1初中证明直线垂直平行的方法
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法
要证明线面平行，可以采用以下方法：
1. 使用向量法：设直线L上一点为P，平面M上一点为Q，
其中从直线L的方向向量可以得到直线L的法向量nL，从平
面M的法向量可以得到平面M的法向量nM。
若nL与nM相
互垂直，则可以判断直线L与平面M是平行的。
2. 使用点法式：设直线L的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其
中(A,B,C)为直线方向向量，(x,y,z)为直线上任意一点的坐标。
设平面M的方程为Ax + By + Cz + D' = 0，其中(A,B,C)为平面的法向量，(x,y,z)为平面上任意一点的坐标。
如果直线L的法
向量与平面M的法向量平行，则直线L与平面M是平行的。
3. 使用斜率法：对于直线L，找出直线上两点的坐标(x1, y1,
z1)和(x2, y2, z2)，计算直线的斜率mL = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
对于平面M，找出平面上两点的坐标(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，计算平面的斜率mM = (z2 - z1) / (y2 - y1)。
如果直线L和平面
M的斜率相等，则直线L与平面M是平行的。
以上三种方法可以用来证明直线与平面之间的平行关系，其实质上是通过分析向量或者坐标的关系来判断直线和平面是否平行。
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。
二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。
三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。
二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。
2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。
3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。
4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。
初中数学 什么是平行线和垂直线
初中数学什么是平行线和垂直线平行线和垂直线是初中数学中重要的几何概念。
本文将详细介绍平行线和垂直线的定义、性质和常见应用。
一、平行线平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线。
简单来说，平行线是永远保持相同距离的直线。
平行线的定义：给定平面上的两条直线l和m，如果它们在平面上永远不会相交，那么我们称l 与m是平行线。
记作l || m。
平行线的性质：1. 平行线上的任意两个点与另一条平行线上的任意两个点之间的线段长度相等。
2. 平行线的斜率相等或者有一个不存在斜率。
平行线的应用：1. 在几何证明中，平行线常用于构造图形、定位和描述。
2. 平行线的性质被广泛应用于测量、计算和解决实际问题。
二、垂直线垂直线是指两条直线在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角的直线。
垂直线的定义：给定平面上的两条直线l和m，如果它们在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角，则我们称l与m是垂直线。
记作l ⊥ m。
垂直线的性质：1. 垂直线上的任意两个角是直角。
2. 垂直线与平行线的交角是直角。
垂直线的应用：1. 在几何证明中，垂直线常用于构造图形、定位和描述。
2. 垂直线的性质被广泛应用于测量、计算和解决实际问题。
总结：本文详细介绍了初中数学中的平行线和垂直线的定义、性质和常见应用。
平行线是指在同一个平面上永远不会相交的直线，垂直线是指两条直线在相交点处形成的四个相邻角中，两个相邻角是直角的直线。
平行线和垂直线在几何证明、测量和解决实际问题中都有重要的应用。
通过理解和应用这些概念，学生可以更好地理解几何学的基本概念和性质。
1初中证明直线垂直平行的方法
1初中证明直线垂直平行的方法
初中证明直线垂直和平行的方法常见有以下几种：
证明直线垂直的方法：
1.垂直交线法：如果两条直线交于一点，并且交角为90度，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.垂直斜交线法：如果两条直线的斜率乘积为-1，则可以证明这两条直线是垂直的。
根据斜率的定义，可以求出两条直线的斜率，然后计算斜率的乘积，若为-1则证明两条直线垂直。
3.垂直平移法：如果一条直线上的所有点按照垂直方向平移得到的点仍然在另一条直线上，则可以证明这两条直线是垂直的。
可以分别求出两条直线上的点的坐标，然后将其中一条直线上的点按照垂直方向平移，如果得到的点在另一条直线上，则证明两条直线垂直。
证明直线平行的方法：
1.平行性质法：根据平行线的性质，如果两条直线与第三条直线的交角分别相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器来测量交角。
2.斜率法：如果两条直线的斜率相等，则可以证明这两条直线是平行的。
可以分别求出两条直线的斜率，如果相等则证明两条直线平行。
3.互补角法：如果两条直线间的相邻内角和为180度，则可以证明这两条直线是平行的。
可以使用直尺和量角器求出相邻内角和，如果等于180度则证明两条直线平行。
以上是一些常见的初中证明直线垂直和平行的方法，学生可以根据具体问题选择合适的方法进行证明。
证明过程中需要使用几何图形的性质和一些基本的几何知识，同时需要运用一些几何推理的方法。
垂直与平行线的性质
垂直与平行线的性质垂直与平行线是几何学中的基本概念，它们之间有着一系列独特的性质和关系。
本文将详细介绍垂直与平行线的性质，包括定义、判定方法、性质特点以及在几何证明中的应用。
一、垂直线的性质垂直线是指在同一平面上，两条线段相交时，相交角度为90度（也称为直角）。
根据垂直线的定义，我们可以得出以下两个性质：1. 垂直线的判定方法判定两条线段是否垂直的方法有多种，其中最常用的方法是判断两条线段的斜率是否相乘为-1。
若两条线段的斜率（垂直或倾斜）之积等于-1，则可以确定它们是相互垂直的。
2. 垂直线的性质垂直线的性质有许多，以下是其中几个重要的性质：(1) 相交直线的垂直角度为90度；(2) 一个点到一条直线的垂直距离为两线段间的最短距离；(3) 垂直线与水平线之间无斜率关系，即水平线的斜率为0，垂直线的斜率不存在。
二、平行线的性质平行线是指在同一平面上，永不相交且始终保持等间距的两条直线。
平行线也有一系列与之相关的性质和定理。
1. 平行线的判定方法判定两条直线是否平行也有多种方法，其中常用的有以下几种：(1) 借助对应角、内错角或同位角等角度关系判断是否平行；(2) 判断两条直线的斜率是否相等或互为倒数关系；(3) 求取两条直线上两个点的坐标，并验证斜率是否相等。
2. 平行线的性质平行线的性质有：(1) 平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交叉点；(2) 平行线具有等间距性，两条平行线上任意一点到另一条线的距离保持不变。
三、垂直线与平行线的关系垂直线与平行线之间存在一系列重要的关系，我们来看一下：1. 垂直线与平行线的关系(1) 垂直线与平行线不可能同时存在于同一平面上；(2) 两条平行线分别与第三条垂直线相交，则它们与垂直线的交点之间的角度相等。
2. 平行线之间的垂直线关系(1) 两条平行线与一条垂直线相交，则垂直线与平行线上的各个角度之和为180度。
(2) 平行线之间的垂直线等于从平行线上的任意一点到垂直线的距离。
第二阶段专题9：证明直线的垂直平行
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧.*......形的第三边则这条直线平行于三角，所得的对应线段成比例边（或两边的延长线）一条直线截三角形的两两底）位线平行于第三边（或三角形（或梯形）的中梯形的两底平行平行四边形的对边平行），则这两条直线平行相等，或同旁内角互补同位角相等（或内错角互相平行线平行，这两条直线也两条直线都和第三条直两条直线平行在同一平面内不相交的⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧.............于两圆的公共弦相交两圆的连心线垂直点的半径圆的切线垂直于经过切圆周角是直角半圆（或直径）所对的直于该弦分弦所对的弧的直径垂径垂直于这条弦，或平平分弦（非直径）的直圆菱形的对角线互相垂直矩形的两邻边互相垂直四边形垂直于底边线（或底边上的中线）等腰三角形的顶角平分边上的高垂直于这边三角形（或多边形）一这边所对的内角为直角其他两边的平方和，则三角形一边的平方等于所对的内角为直角于这边的一半，则这边三角形一边上的中线等，则第三个内角为直角三角形的两个锐角互余互相垂直直角三角形的两直角边三角形垂直角时，这两条直线互相个角中，有一个角是直两条直线相交所成的四【专题】证明直线的垂直或平行：直线的平行与垂直是直线形的重要内容，也是平面几何的基础内容.掌握好“三线八角”是学好平行线的基础.直线垂直的定义是有关垂直知识的基础，直线的平行与垂直常常融于三角形、四边形及圆的有关命题中，因此，掌握好本专题的内容是非常必要的.一、专题知识网络：证明两直线平行 的主要方法 证明 两直线 垂直 的主要 方法二、典型例题分析：例1：如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，下面有四个条件（1）AC AE AB AD =（2）AC EC AB DB =（3）EC AE DB AD =（4）BCDE DB AD =. 其中一定能判定DE ∥BC 的有 个.分析：在前三个比例式中，都符合一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例这个条件，因此能判定DE ∥BC.在（4）中比例式的各线段不是对应线段，故比例式不成立，从而不能判定.因此有3个条件是正确的.例2：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，边AD 、BC 的延长线相交于点P ，直线AE 切⊙O 于点A ，且AB ⋅CD=AD ⋅PC ，求证：（1）△ABD ∽△CPD ；（2）AE ∥BP.分析：要证（1）△ABD ∽△CPD ，由等积式得AB:PC=AD:CD ，只须证∠BAD=∠DCP 即可.由四边形ABCD 内接于⊙O 便得.要证（2）AD ∥BP ，若能证∠EAP=∠P 即可.由△ABD ∽△CPD 得∠ABD=∠P ，又∠ABD=∠EAP ，问题即可得到解决.证明：（1）∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BAD=∠PCD.∵AB ⋅CD=AD ⋅PC ，∴AB:PC=AD:CD ，∴△ABD ∽△CPD.（2）∵AE 切⊙O 于点A ，AD 是弦，∴∠EAP=∠ABD.（弦切角等于夹弧所对的圆周角）由（1）得∠ABD=∠P ，∴∠EAP=∠P ，∴AE ∥BP.例3：如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点.求证：CD与⊙O相切于点E.分析：要证相切，通过连接OE，只要能证OE⊥CD即可.由∠1=∠2，∠1=∠3，则∠2=∠3，从而OE∥AD，由AD⊥CD便可得到OE⊥CD.证明：如图，连结OE.∵AE平分∠BAF，∴∠1=∠2，.∵OE=OA, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴OE∥AD，∴∠OED+∠D=180°.∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠OED=90°，∴OE⊥CD.又∵E为⊙O上的点，∴CD与⊙O相切于点E.[本题还有其他证法，如：连结BF、OE，交于点G；或连结BE、OE.]例4：已知如图，△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于F.求证：DF=FE.分析：在证明不在同一个三角形中的两条线段相等时，通过作平行线，利用相似原理或平行线分线段成比例的性质可得.此题要充分利用条件AB=AC，作平行线的方式不止一种，可尝试不同的作法.证明：过点D作DN∥BC交AC于N，则有BD:AB=CN:AC.∵AB=AC，∴BD=CN.∵BD=CE，∴CN=CE,∴DF=FE.三、应用练习：1、已知如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且EA=ED.求证：EB=EC.2、已知如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.求证：OB=OD.3、已知如图，AB=AC，D、E是BC上两点，且BD=CE，作GE⊥BC，FD⊥BC，分别与BA、CA的延长线交于点G、F，求证：GE=FD.4、已知如图，△ABC中，D是AB的中点，E是BC上一点，EF∥AC，EM∥CD.求证：BM=MF.5、如图，A是⊙O的直径EF上的一点，半径OB⊥EF，BA的延长线与⊙O相交于另一点C，若 .(1)求∠B的度数；（2）过C作⊙O的切线CD和OA的延长线交于点D.求证：AC=CD=AD.6、已知如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆相交于点D，求证：DB=DC. 5题图4题图3题图6题图7、已知如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，PC切⊙O于C，PD⊥AB于D，交AC于E.求证：PE=PC.8、已知如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F.（1）当时，求证：AE=BE；（2）当点P在什么位置时，AF=EF？（3）证明你的结论.。
平行线和垂直线的解题技巧和方法
地理学
在地图制作中，利用平行 线间距离的计算可以确定 不同地理位置之间的相对 距离和方向。
03
CATALOGUE
垂直线间角度关系分析
垂直线与水平线间角度关系
垂直线与水平线形成的角度
当一条直线与水平线垂直时，它与水平线形成的角度为90度 。
角度的性质
在垂直线与水平线的交点上，两个锐角的角度和为90度。
平行线和垂直线的 解题技巧和方法
目录
• 平行线与垂直线基本概念 • 平行线间距离计算 • 垂直线间角度关系分析 • 平行线与垂直线在几何图形中应用 • 解题技巧总结与提高
01
CATALOGUE
平行线与垂直线基本概念
定Hale Waihona Puke 及性质平行线定义在同一平面内，不相交 的两条直线叫做平行线
。
垂直线定义
两条直线相交成直角时 ，这两条直线互相垂直
是两条平行线。
使用方法
首先确定两条平行线的方程，然后 提取出a、b、c1和c2的值，代入 公式进行计算即可得到平行线间的 距离。
注意事项
在使用公式时，要确保两条直线是 平行的，即它们的斜率相等。
特殊情况下距离计算
水平线和竖直线间的距离
当两条平行线中有一条是水平线或竖 直线时，可以直接使用点到直线的距 离公式进行计算。
图形表示
平行线的图形表示
用两条平行的直线表示，通常标注为 “//”。
垂直线的图形表示
用两条相交的直线表示，标注为 “⊥”，表示两直线垂直相交。
02
CATALOGUE
平行线间距离计算
公式法求距离
公式介绍
平行线间距离的公式为d = |c1 c2| / √(a^2 + b^2)，其中ax + by + c1 = 0和ax + by + c2 = 0
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证明两条直线垂直（直角)的常用方法
（一）相交线与平行线
1．定义法:两条直线相交成直角则两直线垂直。
2．两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
即:若a‖ｂ，ａ⊥c，则b⊥c。
3.邻补角的平分线互相垂直。
4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
(二）三角形
５.证直角三角形:直角三角形的两直角边互相垂直。
①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。
③勾股定理的逆定理:三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。
6．三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
７.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。
8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。
（三）四边形
9.矩形的两邻边互相垂直。
10．菱形的两条对角线互相垂直平分,且平分每一组对角。
(四)圆
1２.半圆或直径所对的圆周角是直角。
1３.圆的切线垂直于过切点的半径。
（五)图形变换法
1４.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。
15.同一法或反证法(不要求掌握）
证明直线平行的常用方法
（一）平行线与相交线:
1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。
2．在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行。
3.平行于同一直线的两直线互相平行。
4.平行线的判定方法:
（1）同位角相等,两直线平行;
（2)内错角相等，两直线平行;
（3）同旁内角互补，两直线平行。
(二)三角形
５.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线)所得的对应线段成比例,则这条直线平行于三角形的第三边。
(三）四边形
7.平行四边形的两组对边互相平行。
8.梯形的两底边平行。
９.梯形的中位线平行于两底。
（四)同一法或反证法(不要求掌握)
证明两线段相等的常用方法
(一)三角形
1.等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。
2.证明三角形全等:全等三角形的对应边相等。
3.三线合一：等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边。
4.线段中垂线性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
5.角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
6．过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边。
(二)特殊四边形
７．平行四边形的对边相等、对角线互相平分。
８.矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等。
９．等腰梯形两腰相等，两条对角线相等。
（三）圆
１0.同圆或等圆的半径相等。
1１．垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦。
1２.圆的旋转不变性:同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弧中有一组量相等,那么对应的其余各组量也相等。
１３．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
（四)其他
14.等量代换：若a ＝b,b=c ，则a ＝c 。
1５．等式性质:若a ＝b,则a-c=ｂ-c ；若c
b c a ,则a=b 。
16..等量的一半相等。
１7.计算长度：证明两线段相等。
18.面积相等法：面积相等的三角形（或平行四边形）,若底(高）相等，则高(底)相等。
１9.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
20．图形变换法
(1)轴对称图形(或成轴对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。
（2）平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。
（３）位似变换不改变图形的形状。
２２.同一法或反证法（不要求掌握)
证明两角相等的常用方法
(一）平行线与相交线
1．同角（或等角）的余角相等、补角相等。
2.两直线平行，同位角相等、内错角相等。
3．证角平分线：到角的两边距离相等的点,在角的平分线上。
（二）三角形
５.全等三角形的对应角相等。
6.相似三角形的对应角相等。
７.同一个三角形中,等边对等角。
8．三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角平分线互相重合。
（三）特殊四边形
9．平行四边形的对角相等。
10.菱形的对角线互相垂直平分,且平分每一组对角。
(四)圆
１１.同圆等圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等。
12.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。
13.圆的内接四边形的每一个外角等于它的内对角。
１４.补充：圆的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
(五）
1５.计算角度,证明两角相等。
16.等量代换:若a=ｂ，b=c,则a=c 。
17.等式性质。
１8.等量的一半相等。
19.等量加等量，其和相等;等量减等量,其差相等。
2０.若c
b c a ,则a ＝b.
21.若a ＋c ＝b+c,则a=b. 22.图形变换法
(１）轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等。
（2)平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。
(3）位似变换不改变图形的形状。
23.同一法或反证法(不要求掌握）
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
6. 直角三角形中30度锐角所对的直角边等于斜边的一半。
７.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
８．利用相似三角形对应边比例的性质。
9.利用锐角的三角函数值。
证明角的和差倍分
１.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2．利用角平分线的定义。
3．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2．平行线分线段成比例:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。
3.直角三角形射影定理:直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
4.利用比利式或等积式化得。
5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。