江苏省盐城市2020届高三数学上学期期中试题

江苏省盐城市2020届高三数学上学期期中试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}210A x x =-=，[0,)B =+∞，则AB = ▲ ．2.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,P 是其终边上一点，则cos α的值为 ▲ ．3.“1m >”是“2m >”的 ▲ 条件. （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4.若向量(1,)a m =，(3,2)b =，a //b ，则实数m 的值为 ▲ ．5.函数y =的定义域为 ▲ ．6.若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为 ▲ ．7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =且公差0d ≠，则1a d的值为 ▲ ． 8.若4sin()5π+α=-，则cos2α的值为 ▲ ．9.若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则||a 的最小值是 ▲ ．10.若函数221, 0,(), 0x ax x a x f x e x ⎧++-<⎪=⎨≥⎪⎩在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，且数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为 ▲ ．12.如图，在ABC ∆中，AB =，AC =，23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若M N B C⊥，则c o s A的值为 ▲ ．13.在ABC ∆中，1AC =，AB =，D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC 边的长为 ▲ ．14.设函数32()23f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0,2]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)若函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象，当[1,5]x ∈-时，求g()x 的值域.16. (本小题满分14分)设:p “,sin 2x R x a ∀∈≤+”；:q “2()f x x x a =--在区间[1,1]-上有零点”．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．第12题图如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路,,,,AE DE EF BF CF ，道路的宽度忽略不计.考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值.第17题图18. (本小题满分16分)如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC ⋅+⋅=.（1）求sin sin ABCBCD∠∠的值；（2）求边BC 的长.第18题图在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展. 如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2. 设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S .（1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P ≥，求n 的最小值；（3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)设函数()(1)xf x e x x a =---,a 为常数.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0,(0))P f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x . ① 当a Z ∈时，求a 的最小值； ② 当1a =时，求12x x +的值.盐城市2020届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1 2. 13 3. 必要不充分 4. 235. [2,)+∞6. 3-7. 72-8. 725-9. 6π10.[]0,1 11. 1534 12.614. 5(,]2-∞二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解：(1)()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=, 又2T πω=，6πω∴=. ...............................................................................2分()2sin()(0)62f x x ππϕϕ∴=+<<;()f x 的图象经过点，(0)2sin )2f πϕϕ∴==<<，3πϕ∴=， ..................................................4分 ∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+. ..................................................6分 (2)将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象,由(1)得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数g x的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366x x x ππππ=-+=-； ..............10分当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin()[2]66x ππ-∈.综上，当[1,5]x ∈-时，g (x 的值域为[3,2]. ..................................14分16.解：(1) p为真命题，则max 2(sin )a x +≥,1a ∴≥-； ........................... 4分 (2) ""p q ∨为真命题，""p q ∧为假命题, 则,p q一真一假. ......................................6分若q 为真命题，则2a x x =-在[1,1]x ∈-在有解， 又2,[1,1]y x x x =-∈-的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，124a ∴-≤≤ ......................................8分① p 真q 假,1,124a a a ≥-⎧⎪⎨<->⎪⎩或则121.4a a >-≤<-或......................................10分 ②p假q真,1,124a a <-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩则a无解 .......................................12分综上，实数a 的取值范围是1[1,)(2,)4--+∞. (14)分17.解：（法一）设((0,))2ADE πθθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，EF 垂直平分AD ，1502DH BC ∴==(米)， 50cos DE θ∴=(米)，50tan EH θ=(米)， 又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002200100tan EF EH θ∴=-=-(米)，记这5条路总长度为()f θ(米)， 则50()4200100tan ((0,))cos 2f πθθθθ=⋅+-∈， ..................................6分 即2sin ()200100((0,))cos 2f θπθθθ-=+⋅∈，2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ''---'∴=⋅， ..................................8分 化简得22s i n1()100c o sf θθθ-'=⋅，由()f θ'=，可得6πθ=， ..................................10分由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值2()2001002006fπ-=+=+(米) ..................13分 答：5条道路的总长度的最小值为200+(米). ..................................14分（法二）过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =(米)( 0100x <<)因EF 垂直平分AD ，故1502AH BC ==(米)， 又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-(米)；在Rt AEH ∆中，AE =米)，由对称性可得，AE DE CF BF ===(米)； 记这5条路总长度为()f x (米)，()2002,(0100)f x x x ∴=-<<. ...............................6分'()f x ∴==. ..............................8分令'()0,f x =解得x =(负值舍). ................................10分 列表如下：由上表可知，当3x =时，()f x 取最小值200+. .................................13分答：5条道路的总长度的最小值为200+米. .................................14分（法三）同方法二得到()2002,(0100)f x x x =-<<，以下可用判别式法. 18.解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =， 由50AB AC DB DC ⋅+⋅=， 所以54cA D ⋅+⋅⋅=，即co A D =-， ..................................2分又,A D为三角形的内角，所以s in A D =， ..................................4分 在ABC∆中，s insina bAABC =∠，所以4sin sin a A ABC=∠， ..................................6分 同理2sin sin a D BCD=∠， ..................................8分 所以42sin sin ABC BCD=∠∠，sin 2sin ABCBCD ∠∴=∠ ..................................10分（2）在ABC ∆中，2222225441cos225440b c a aaA bc+-+--===⋅⋅， ..................................12分同理28co 8a D -=， ..................................14分 由（1）可得22418408a a --=-，解得BC a ==. ..................................16分19.解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=； 经第2次拓展后的项数2549P =+=； 经第3次拓展后的项数39817P =+=. ..................................3分（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -， 所以1(n n P P +=+， ..................................5分所以11222(1)n n n P P P +-=-=-， 由（1）知114P -=，所以111422n n n P -+-=⋅=，121n n P +∴=+， ..................................7分由1212019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥，所以n 的最小值为10. ..................................8分（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ，所以123n m S a a a a a c =++++++，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++，即11223332n m S a a a a c+=+++++，所以13()n n S S a c +=-+， ..................................10分所以13()22n n a c a cS S +++-=-， 11()322n n a c a c S S -++-=-⋅， ..................................12分又1()()232S a a b b b c c a b c =++++++=++， 所以()322n n a c a cS b ++=+⋅+， 为使数列{}n S 为等比数列，则0202a c a c b +⎧=⎪⎪⎨+⎪+≠⎪⎩或0202a cb ac +⎧+=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，所以，,,a b c满足的条件为a cb +=⎧⎨≠⎩或200b ac b ++=⎧⎨≠⎩. ...................................16分 （说明：少一种情况扣2分）20.解：（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，(0)1f =-，()1x f x xe '=-，(0)1f '=-，故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=. ...................................2分（2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '==-，则()(1)x g x x e '=+，当1x <-时()10x g x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减，令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，又1()102g =<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断，所以存在唯一实数01(,1)2x ∈使得0()0g x =， ...................................4分 故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在0(,)x +∞上递增，∴min 0()()f x f x =000(1)x e x x a =---，由0()0g x =得001x e x =， ∴min 001()1()f x a x x =--+， .........................6分因为函数()f x 有两个不同的零点1x ,2x ，所以min ()0f x <，得0011()a x x >-+， 由01(,1)2x ∈易得00131()(,1)2x x -+∈--，故整数1a ≥-, 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明） ...................................10分注：由0(0,1)x ∈得0011()(,1)x x -+∈-∞-，不能得到1a ≥-.②法一：当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，由12()()f x f x =得11111x x e x +=-，22211x x e x +=-， 两式相乘得121212121212(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x e x x x x +++--++==----， 得1212122()1(1)(1)x x x x e x x ++=+--（※） ...................................12分不妨设12x x <，由(1)2f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<， ...................................14分故12(1)(1)0x x --<，当120x x +=时（※）式成立；当120x x +>时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；当120x x +<时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；综上，120x x +=. ...................................16分 法二：当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，不妨设12x x <，由(1)2f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<， ...................................12分 由1()0f x =得111(1)10x e x x ---=， ∴111111111111(1)1()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e -------=--+-=+-==， ...................................14分故函数()f x 有两个不同的零点1x ,1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ,2x ，∴21x x =-，∴120x x +=. ...................................16分。