初二几何练习--全等2
初二数学全等图形练习题
初二数学全等图形练习题在初二的数学教学中，全等图形是一个重要的概念。
理解和掌握全等图形的性质和判定条件，对于解决与全等图形相关的问题至关重要。
为了帮助同学们更好地掌握全等图形的知识，下面将给出一些全等图形的练习题，并逐一解答。
题目一：在平面上的两个三角形ABC和DEF中，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE。
问是否可以推出△ABC≌△DEF？若可以，请给出证明；若不可以，请说明理由。
解答一：根据给定条件，我们知道∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE。
根据全等三角形的判定条件，如果两个三角形的对应的三个角分别相等，且对应的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
现在观察题目中给出的条件，我们发现只有两个角和一个边对应相等。
根据全等三角形的判定条件，我们知道这样的条件是不足以确定两个三角形全等的。
因此，根据给定条件，无法推出△ABC≌△DEF。
题目二：如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=5cm。
在平行于BC的直线段AD上，取一点D，使得AD=BC。
连接AC、BD，问△ACB≌△BDA 么？请给出证明或证伪。
解答二：根据题目中给定的信息，在△ABC中，∠C=60°，BC=5cm。
我们知道在平行于BC的直线段AD上，取一点D，使得AD=BC。
我们要判断△ACB与△BDA是否全等，根据全等三角形的判定条件，我们需要证明这两个三角形的对应的三个角分别相等，且对应的三边分别相等。
首先，我们观察图中的角C和角AD，由于角C=60°，而角AD由平行线与直线交角定理可知，角C等于角AD的对应内角。
因此，∠C=∠AD。
其次，我们来比较两个三角形的边长。
根据题中已知，BC=5cm，而根据题目要求的AD=BC，所以AD=5cm。
综上所述，我们得出以下结论：∠C=∠AD，BC=AD。
根据全等三角形的判定条件，我们可以得出结论：△ACB≌△BDA。
通过以上两道练习题的解答，我们对于全等图形的性质和判定条件有了更深入的了解。
12-2-6 全等专题-几何变换模型2021-2022学年八年级数学上册练(人教版)(解析版)
12.2.6 全等专题-几何变换模型平移全等模型【例题1】（2021·衡阳）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC △△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上 △//,//AC DF BC EF△,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DEABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABC DEF ASA △≌△【点睛】平移是几何变换中的一种，平移不改变形状和大小，三角形平移得到的两个三角形是全等的.本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．此题型通常结合线段的和差以及平行线的性质与判定综合考察.1. 平移全等模型，如下图：变式训练【变式1-1】（2021·河南）如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的—个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． △AB DE =；△AC DF =；△ABC DEF ∠=∠；△BE CF =； 解：我写的真命题是：在ABC 和DEF 中，已知：________________． 求证：________________．（不能只填序号） 【详解】解：将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，AC DF =，BE CF =． 求证：ABC DEF ∠=∠． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SSS ≌． △ABC DEF ∠=∠；将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，ABC DEF ∠=∠，BE CF =． 求证：AC DF =． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SAS ≌， △AC DF =．【变式1-2】（2021·北京一模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可． 【详解】证明：△//AB DE ， △B DEF ∠=∠． △BE CF =，△BE EC CF EC +=+． △BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC DEF △≌△． △A D ∠=∠．【变式1-3】（2021·湖北武汉市·九年级三模）已知：如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB △DE ，AC △DF ．求证：△ABC △△DEF ．【分析】由BE ＝CF ，可推出BC ＝EF ，再由平行线的性质可推出△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ．即可利用“ASA”证明△ABC △△DEF ． 【详解】证明：△BE ＝CF ， △BC ＝EF ，△AB △DE ，AC △DF ， △△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ， 在△ABC 和△DEF 中，B DEFBC EF ACB F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△ABC △△DEF （ASA ）．翻折全等模型【例2】（2021·全国九年级专题练习）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，△BAE ＝△DAC ．求证：△C ＝△E ． 【分析】根据△BAE =△DAC ，可推出△BAC =△DAE ，解题已知可证△BAC △△DAE 即可得出答案． 【详解】△△BAE =△DAC ，△△BAE ＋△EAC =△DAC ＋△EAC ， 即：△BAC =△DAE ． 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BAC △△DAE ． △△C =△E ．【点睛】翻折是几何变换中的一种，翻折不改变形状和大小，其实就是一种抽对称变换.翻折的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等. 变式训练【变式2-1】（2021·苏州一模）已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，,AD AE BD CE ==． 求证：B C ∠=∠．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 推出即可． 【详解】证明：△AD ＝AE ，BD ＝CE ， △AB ＝AC ，翻折全等模型，如下图：在△ABE 和△ACD 中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABE △△ACD （SAS ）， △△B =△C ．【变式2-2】（2021·昆明二模）如图，已知AE 平分CAD ∠，AC AD =，求证：CBE DBE ∠=∠． 【分析】根据题意得出CAB DAB ∠=∠，再利用SAS 即可证明ABC ABD △≌△，然后利用全等三角形的性质得出CBA DBA ∠=∠，最后根据等角的补角相等即可证明．【详解】证明：△AE 平分CAD ∠， △CAB DAB ∠=∠． 在ABC 和ABD △中，,,,AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC ABD △≌△（SAS ）． △CBA DBA ∠=∠． △CBE DBE ∠=∠．【变式2-3】（2021·全国练习）你见过如图所示的风筝吗？开始制作时，AB CD =，AC DB =，后来为了加固，又过点O 加了一根竹棒EF ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，且AOE DOF =∠∠，你认为OE ，OF 相等吗？请说明理由．【答案】OE OF =，理由见解析【分析】连接BC ，首先证明△ABC △△DCB 可得△A =△D ，然后再证明△ABO △△DCO 可得AO =DO ，最后证明△AEO △△DFO 可得EO =FO ． 【详解】解：OE OF =；理由如下： 连接BC ，如图在ABC ∆和DCB ∆中，AB DC AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC DCB SSS ∴∆≅∆，A D ∴∠=∠，在ABO ∆和DCO ∆中，A D AOB DOC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABO DCO AAS ∴∆≅∆，AO DO ∴=，在AEO ∆和DFO ∆中，A D AO DOAOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEO DFO ASA ∴∆≅∆，EO FO ∴=．中心对称全等模型【例题3】（2020·浙江温州市·八年级期末）如图，,,AE BF AD BC DF CE===，求证：//AD CB．【分析】根据AE=BF，得到AF=BE，再利用SSS证明△ADF△△BCE，得到△A=△B，可得AD//B C．【详解】解：△AE=BF，△AE+EF=BF+EF，△AF=BE，又△AD=BC，DF=CE，△△ADF△△BCE（SSS），△△A=△B，△AD//B C．【点睛】中心对称是几何变换中的一种，中心对称不改变形状和大小，其实就是一种特殊的旋转变换（旋转180°）.中心对称的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等.变式训练【变式3-1】（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF△BE，AB△CD．求证BE＝CF．中心对称全等模型，如下图：【分析】根据线段的和差关系可得AE ＝DF ，根据平行线的性质可得△D ＝△A ，△CFD ＝△BEA ，利用ASA 可证明△ABE △△DCF ，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】 △AF ＝DE ，△AF ＋EF ＝DE ＋EF ，即AE ＝DF ， △AB //CD ， △△D ＝△A ， △CF //BE ， △△CFD ＝△BEA ，在△ABE △△DCF 中，A D AE DF BEA CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABE △△DCF ， △BE ＝CF ．【点睛】本题考查平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【变式3-2】（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【详解】//DF BE BEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠ //AB CD ∴【变式3-3】（2021·山东济南市·七年级期末）如图，已知//AB CD ，AB CD =，BF CE =．求证：AE DF =且//AE DF ．【答案】见解析 【分析】先由平行线的性质得△B =△C ，结合BF EF CE EF +=+，从而利用SAS 判定△ABE △△DCF ；根据全等三角形的性质得AE DF =且//AE DF ． 【详解】 证明：BF CE =，BF EF CE EF ∴+=+，即BE CF =，//AB CD ， B C ∴∠=∠，在ABE △与CDF 中，AB CD B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE CDF SAS ∴△≌△，AEB DFC ∴∠=∠，AE DF =//AE DF ∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．简单旋转全等模型【例题4】（2021·广东广州市·九年级一模）如图，∠B ＝∠E ，∠1＝∠2，BC ＝EC ． 求证：AB ＝DE ．【分析】先证出△ACB =△DCE ，再根据AAS 证明 △ABC △△DEC ，即可得出AB =DE ； 【详解】证明：△△1=△2 ， △△ACB =△DCE ， 在△ABC 和△DCE 中，=B E ACB DCE BC EC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ △△ABC △△DEC (AAS )， △AB =DE ．变式训练【变式4-1】（2021·陕西中考真题）如图，//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．【分析】由题意易得EBD C ∠=∠，进而可证EDB ABC ≌△△，然后问题可求证． 【详解】证明：△//BD AC ， △EBD C ∠=∠． △BD BC =，BE AC =， △()EDB ABC SAS ≌． △D ABC ∠=∠．简单旋转全等模型，如下图：【变式4-2】（2021·昆明二模）如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：△AC BC ⊥，DC EC ⊥，△90ACB ECD ∠=∠=︒△ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE BCD ≌△△ △AE BD =【变式4-3】在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，△DAE =△BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果△BAC =90°，则△BCE 为多少？说明理由；（2）设△BAC =α，△BCE =β．△如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；△当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．【答案】（1）90°；（2）△α＋β＝180°，理由见详解；△点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得△ABC ＝△ACB ＝45°，由“SAS”可证△BAD△△CAE ，可得△ABC ＝△ACE ＝45°，可求△BCE 的度数；（2）△由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；△分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）△AB ＝AC ，△BAC ＝90°，△△ABC ＝△ACB ＝45°，△△DAE ＝△BAC ，△△BAD ＝△CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△BAD△△CAE （SAS ）△△ABC ＝△ACE ＝45°，△△BCE ＝△ACB ＋△ACE ＝90°；（2）△α＋β＝180°，理由：△△BAC ＝△DAE ，△△BAC−△DAC ＝△DAE−△DAC ．即△BAD ＝△CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△B ＝△ACE ．△△B ＋△ACB ＝△ACE ＋△ACB ．△△ACE ＋△ACB ＝β，△△B ＋△ACB ＝β，△α＋△B ＋△ACB ＝180°，△α＋β＝180°；△如图1：当点D 在射线BC 上时，α＋β＝180°，连接CE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△ABD ＝△ACE ，在△ABC 中，△BAC ＋△B ＋△ACB ＝180°，△△BAC ＋△ACE ＋△ACB ＝△BAC ＋△BCE ＝180°，即：△BCE ＋△BAC ＝180°，△α＋β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，又△AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△ABD△△ACE（SAS），△△ABD＝△ACE，△△ABD＝△ACE＝△ACB＋△BCE，△△ABD＋△ABC＝△ACE＋△ABC＝△ACB＋△BCE＋△ABC＝180°，△△BAC＝180°−△ABC−△ACB，△△BAC＝△BCE．△α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD△△ACE是解本题的关键．。
初二几何全等证明题集锦
BAODCE图2初二几何全等证明题集锦1.（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB 和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.2．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BE DG+的值．3.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为▲ ，数量关系为▲ ．C BOD图1AE②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）CF相交于点P，求线段CP长的最大值．4.已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．5.如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB 与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F。
2024学年初中数学几何(三角形全等-倍长中线)模型专项练习(附答案)
2024学年初中数学几何（三角形全等-倍长中线）模型专项练习1．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．2．如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．（1）若CN＝12.5，CE＝7，求BD的值．（2）求证：CN⊥AD．（3）把等腰Rt△DCE绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．3．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．4．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．5．在△ABC中，点D是BC的上一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF．（1）如图1，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB ＝2，求AC的长；（2）如图2，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD．若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB，求证：DE＝DF．1参考答案1．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，连接CD ．E 为CD 中点．（1）如图1，连接AE ，作EH ⊥AC ，若AD ＝2BD ，S △BDC ＝6，EH ＝2，求AB 的长；（2）如图2，点F 为腰AC 上一点，连接BF 、BE ．若∠A ＝∠ABE ＝∠CBF ．求证：BD +CF ＝AB ．【过程解答】解：（1）∵AD ＝2BD ，S △BDC ＝6，∴S △ACD ＝2S △BCD ＝2×6＝12，∵E 为CD 中点∴＝6，∵EH ⊥AC ∴AC •EH ＝6∵EH ＝2∴AC ＝6∵AB ＝AC∴AB ＝6（2）如图2，延长BE 至G ，使EG ＝BE ，连接CG ，在△BED 和△GEC 中，∴△BED ≌△GEC （SAS ）∴BD ＝CG ，∠ABE ＝∠G∵AB ＝AC∴∠ABC ＝∠ACB ，即：∠ABF +∠CBF ＝∠ACB∵∠A ＝∠CBF∴∠ABF +∠A ＝∠ACB∵∠BFC＝∠ABF+∠A∴∠BFC＝∠ACB∴BF＝BC∵∠A＝∠ABE＝∠CBF∴∠A＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF∴∠ABF＝∠GBC在△ABF和△GBC中，∴AF＝CG又∵BD＝CG∴AF＝BD∵AF+CF＝AC，AB＝AC∴BD+CF＝AB2．如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．23（1）若CN＝12.5，CE＝7，求BD的值．（2）求证：CN⊥AD．（3）把等腰Rt△DCE绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD 于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【过程解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点N是线段BE的中点，∴BE＝2CN＝25，∵CE＝7，∴BC ＝＝24，∵CD＝CE＝5，∴BD＝BC﹣CD＝17；（2）在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝90°，点N是线段BE的中点，∴CN＝BN，∴∠CBE＝∠NCD，∴∠NCD＝∠CAD，∵∠NCD+∠NCA＝90°，∴∠CAG+∠GCA＝90°，∴∠CGA＝90°，∴CN⊥AD；（3）（2）中的结论还成立，如图2，延长CN到F使FN＝CN，连接BF，在△CEN与△BFN中，，∴△CEN≌△BNF，∴CE＝BF，∠F＝∠ECN，∵∠CBF＝180°﹣∠F﹣∠BCF，∠DCA＝360°﹣∠DCE﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣∠ECF﹣∠BCF，∴∠CBF＝∠DCA，∵CE＝CD，∴BF＝CD，在△ACD与△BCF中，，∴△ACD≌△BCF，∴∠DAC＝∠BCF，∵∠BCF+∠ACH＝90°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CN⊥AD．3．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．45【过程解答】解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∵CH＝2∴DH＝CD＝2∵CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBA∴∴＝∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4 ∴∠DOH＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°∴BE ＝AE＝2在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2∴（2）2+102＝BM2∴BM＝4∴BC＝2（2）作BM∥AH交AG的延长线于M．∵AE∥BM，∴∠EAF＝∠M，∵EF＝FB，∠AFE＝∠MFB，∴△AEF≌△MBF（AAS），∴AE＝BM，易证∠AOD＝∠ABM＝120°，∠DAO＝∠MAB，∵AO＝AB，∴△AOD≌△ABM（ASA），∴OD＝BM＝AE，6∴BD＝BO+OD＝AB+AE．4．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC ＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．∴DF ＝BE，CF ＝BE，∴DF＝CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，7∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠ABC＝45°，∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED＝HB，∵AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB＝4，∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH＝，∴DF＝，∴CF＝∴线段CF的长为．5．在△ABC中，点D是BC的上一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF．（1）如图1，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；（2）如图2，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD．若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB，求证：DE＝DF．【过程解答】（1）解：∵D是BC中点，∴BD＝DC，∵CF⊥AE，∴∠CF A＝∠CFD＝90°，∵∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠CFD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE＝CF，∵∠ABE＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2，∴BE＝CF＝1，∵∠CF A＝90°，∠CAE＝45°，∴AC＝CF＝．（2）证明：∵BC平分∠ABE，∴∠1＝∠2，∵∠CFE＝∠BEF＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴△ABD≌△GCD（ASA），∴BD＝CD，。
初二全等手拉手模型练习题
初二全等手拉手模型练习题在初中几何学中，全等是一个重要的概念。
全等意味着两个形状或物体在所有方面都相等。
为了帮助初二学生更好地理解全等的概念，我们为大家准备了以下手拉手模型练习题。
通过这些练习题，学生们将有机会巩固和应用他们在全等方面所学到的知识，并提高他们的几何解决问题的能力。
练习题一：1. 请首先使用直尺和铅笔在一张白纸上画一条长为7cm的线段AB。
2. 以A点为中心，以3cm为半径画一个圆，并将圆上的一点标记为C。
3. 以B点为中心，以4cm为半径画一个圆，并将圆上的一点标记为D。
4. 连接线段CD。
5. 证明三角形ACD和三角形BDC是全等的。
练习题二：1. 请首先使用直尺和铅笔在一张白纸上画一条长为9cm的线段AB。
2. 以A点为中心，以5cm为半径画一个圆，并将圆上的一点标记为C。
3. 连接线段AC。
4. 以B点为中心，以7cm为半径画一个圆，并将圆上的一点标记为D。
5. 连接线段BD。
6. 证明四边形ABCD是一个平行四边形，并且AC对应BD是平行四边形的对角线。
练习题三：1. 请首先使用直尺和铅笔在一张白纸上画一个直角三角形ABC，其中∠ACB为直角，线段AC为3cm，BC为4cm。
2. 以线段BC为底边，以内切圆的圆心为顶点画一个等边三角形。
3. 连接线段AB，并将等边三角形的顶点标记为D。
4. 证明线段BD是等边三角形ABC的中线。
练习题四：1. 请首先使用直尺和铅笔在一张白纸上画长方形ABCD，其中AB=5cm，BC=3cm。
2. 在线段AB上取一点E，并且AE=BC。
3. 连接线段DE。
4. 证明三角形ABC和三角形DEC是全等的。
通过完成以上练习题，你将能够更好地理解全等的概念，并且提高你的几何解决问题的技能。
希望这些手拉手模型练习题能够对你的学习有所帮助！。
中考数学常见几何模型专题02 全等模型-半角模型(原卷版)
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把∠ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '． E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =求AF 的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中，AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH∠MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF =BE +FD ，探究图中∠BAE 、∠F AD 、∠EAF 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ．连接AG ，先证明△ABE ∠∠ADG ，再证明△AEF ∠∠AGF ，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°．E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF =BE +FD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，如图3所示，仍然满足EF =BE +FD ，请直接写出∠EAF 与∠DAB 的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在∠ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt ∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小明发现，将∠ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到∠ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△F AE∠△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：∠BAD．猜(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝12想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．8．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM∠EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；∠BAD，（3）如图2，将Rt∠ABC沿斜边AC翻折得到Rt∠ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=12连接EF，过点A作AM∠EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP （0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD∠CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．。
初二数学关于全等的练习题
初二数学关于全等的练习题题目一：已知△ABC，AB=AC，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若DE=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AB=AC，则△ABC为等腰三角形。
同时，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
2. 由△AED≌△CFD可知，DE=3cm，EF=4cm，则CF=2EF=8cm。
题目二：已知△ABC，AC=BC，ED⊥AC，ED=EB，EF⊥ED，F是EF的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若AD=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AC=BC，则△ABC为等腰三角形。
同时，ED⊥AC，EB=ED，EF⊥ED，F是EF的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
题目三：已知△ABC，AB=AC，ED⊥AC，ED=EB，EF⊥ED，F是EF的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若DE=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AB=AC，则△ABC为等腰三角形。
同时，ED⊥AC，EB=ED，EF⊥ED，F是EF的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
2. 由△AED≌△CFD可知，DE=3cm，EF=4cm，则CF=2EF=8cm。
题目四：已知△ABC，AB=BC，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若DE=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
解题思路：1. 由题意可知，AB=BC，则△ABC为等腰三角形。
同时，AD⊥BC，AE⊥AB，F是AE的中点，因此△AED≌△CFD（共边、共角、共边）。
题目五：已知△ABC，AC=BC，ED⊥AC，ED=EB，EF⊥ED，F是EF的中点。
1. 证明△AED≌△CFD。
2. 若AD=3cm，EF=4cm，求CF的长度。
初二数学全等三角形经典题型
专题训练：全等三角形专题一全等三角形的性质及应用1.如图,△ABC ≌△EBD ,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明,若不相等说出为什么?解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系.2.如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°，∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.专题二全等三角形的探究题3.全等三角形又叫合同三角形， 平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．C 1B 1A 1C B AC 1B 1A 1CB A (1)(2)BA E 21FC D O两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）．DC B A 4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．（1）试说明BD =DE +CE ；（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？5.如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°.（1）△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;（2）直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？AB C DE【知识要点】1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.【温馨提示】1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.【方法技巧】1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.参考答案：1.解：∠1和∠2∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E(全等三角形对应角相等),又∵∠A+∠AOF+∠1=180°,∠E+∠EOB+∠E=180°(三角形内角和定理),∠AOF=∠BOE(对顶角相等),∴∠1=∠2(等式的性质).2.解:因为AB、EC是对应边，所以∠AEB=∠CDE=100°，又因为∠C=35°，所以∠CED=180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB=10°，所以∠BEC=45°-10°=35°，所以∠AEC=∠AEB-∠BEC=100°-35°=65°.3.B提示:A与C中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B 中的三角形是镜面合同三角形．4.解:（1）因为△BAD≌△ACE，所以BD=AE，AD=CE，又因为AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．（2）∠ADB=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠CEB，若BD ∥CE，则∠CED=∠BDE，所以∠ADB=∠BDE，又因为∠ADB+∠BDE=180°，所以∠ADB=90°.5.解:（1）由题知可得：△ABC≌△DBE,AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角;（2）延长AC交DE于F.∵△ABC≌△DBE∴∠A＝∠D，又∵∠ACB＝∠DCF（对顶角相等）,∠A＋∠ACB＝90°,∴∠D＋∠DCF＝90°,即∠AFD ＝90°.∴AC与DE是垂直的位置关系.。
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初二几何练习（二）
1．已知：如图，AB = CD，AB∥CD，BE = CF，
求证：AF∥DE。
2．已知：点B、C、D三点共线，AC = CE，
AC⊥CE，∠ABC = ∠CDE = 90°。
（1）线段BC和DE相等吗？说明理由。
（2）说明线段AB、BD、DE的关系。
3．已知：△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∠BAC = 90°，∠DAE = 90°；
求证：BD⊥CE。
4．已知：△ABC中，AD平分∠BAC，AB = AE，
∠FEB = ∠DEB。
求证：EF∥BC。
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D
C
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ED
CB
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5．已知：△ABC中，O是AE的中点，你
认为添加什么条件，可以证明AB = DE。
6．已知：如图，∠E =∠F = 90°，∠B =∠C，AE = AF；给出下列四个结论：
① ∠1 =∠2； ② BE =CF； ③ CD = DN； ④ △CAN ≌ △ABM。
（1）其中哪个结论是正确的；
（2）证明这些结论。
7．已知：下面四个条件中，请你以其中的两个为已
知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
①AE = AD，②AB = AC；③OB = OC；④∠B =∠C。
已知： ；
求证： 。
O
E
A
D
CB