2019年高考数学二轮复习试题：专题五 第7讲 圆锥曲线中的综合问题(二)(含解析)

第7讲圆锥曲线中的综合问题(二)选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B定点、定值问题2,10,14 3,4 最值问题3,7,12,13,17 1,6,7,8,9范围问题4,5,9 5,12存在性问题13综合问题1,6,8,11,15,16 2,10,11,14巩固提高A一、选择题1.M是抛物线y2=4x上一点,且在x轴上方,F是抛物线的焦点,以x轴的正半轴为始边,FM的倾斜角为60°,则|FM|等于( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:由题知F(1,0),设|FM|=2a,由点M向x轴作垂线,垂足为N,则|FN|=a,于是点M的横坐标x0=1+a.由M向准线作垂线,利用抛物线的定义,有|FM|=x0+1,即2a=1+a+1,所以a=2,从而|FM|=4.故选C.2.已知抛物线C:y2=16x,斜率为k的直线l与C交于A,B两点,且OA⊥OB,O 为坐标原点,则直线l恒过定点( C )(A)(8,0) (B)(4,0)(C)(16,0) (D)(6,0)解析:设直线l:x=my+b(b≠0),代入抛物线y2=16x,可得y2-16my-16b=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16m,y1y2=-16b,所以x1x2=(my1+b)(my2+b)=b2,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,可得b2-16b=0,因为b≠0,所以b=16,所以直线l:x=my+16,所以直线l恒过定点(16,0).所以C选项是正确的.3.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是该椭圆上的任意一点,则|PF1|·|PF2| 的最大值是( C )(A)9 (B)16 (C)25 (D)解析:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10 ,根据基本不等式可知|PF1||PF2|≤()2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,等号成立,所以最大值为25,故选C.4.已知a,b>0,若圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,则该双曲线离心率的取值范围是( A )(A)[,+∞) (B)(1,](C)(1,) (D)(,2)解析:由圆x2+y2=b2与双曲线-=1有公共点,可知b2≥a2,即有c2-a2≥a2,即有c2≥2a2.由e=,可得e≥.故选A.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=2x-4,圆C的半径为1,圆心在直线l 上,若圆C上存在点M,且M在圆D:x2+(y+1)2=4上,则圆心C的横坐标a的取值范围是( B )(A)[,2](B)[0,](C)[2-,2+](D)[0,2-]∪[2+,4]解析:点M既在圆C上,又在圆D上,所以圆C和圆D有公共点,圆C的圆心为(a,2a-4),半径为1,圆D的圆心为(0,-1) ,半径为2,则圆心距=,满足解得0≤a≤,故选B.6.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左,右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( C )(A)+=1(y≠0) (B)+y2=1(y≠0)(C)+3y2=1(y≠0) (D)x2+=1(y≠0)解析:依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),则由三角形重心坐标关系可得即代入+=1得重心G的轨迹方程为+3y2=1(y≠0).故选C.7.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A,点P为双曲线C左支上一点,若△APF周长的最小值为6b,则双曲线C的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)解析:设双曲线的左焦点为F′,△AFP的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2a,而|AP|+|PF′|≥|AF′|,所以△AFP周长的最小值是|AF|+|AF′|+2a=2+2a=6b,解得7b=6a,49b2=36a2⇔49(c2-a2)=36a2⇔=,解得,e==,故选B.8.过双曲线-=1(a>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是( B )(A)(,5) (B)(,)(C)(1,) (D)(5,5)解析:令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为±.据题意,2<<3.因为=,所以2<<3,所以5<e2<10,所以<e<.故选B.二、填空题9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,M为抛物线C上一点,点N的坐标为(2,2),则|MF|+|MN|的取值范围是.解析:如图所示,过M作抛物线C的准线的垂线,垂足为P,过N作抛物线C的准线的垂线,垂足为P0,交抛物线于M0,连接FM0.根据抛物线的定义知,|MF|=|MP|,|MF|+|MN|=|MP|+|MN|≥|M0P0|+|M0N|=|P0N|=3,故|MF|+|MN|的取值范围是[3,+∞).答案:[3,+∞)10.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l 的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .解析:由直线l:mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.由|AB|=2,得()2+()2=12,解得m=-.又直线l的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=.画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=.在 Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4.答案:411.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M,N 两点,则弦MN的长为.解析:假设l过椭圆右焦点,则方程为y=2(x-1),由得11x2-18x-9=0.由根与系数的关系,得x M+x N=,x M·x N=-.由弦长公式|MN|=|x M-x N|=·==.答案:12.若C(-,0),D(,0),M是椭圆+y2=1上的动点,则+的最小值为.解析:易知C,D是椭圆的焦点,则|MC|+|MD|=4.所以+=≥=1.当且仅当|MC|=|MD|时取等号,所以+的最小值为1.答案:113.设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是直线x=4上的动点,若∠F1PF2=θ,则θ的最大值为.解析:F1(-2,0),F2(2,0),不妨设P(4,y),y>0,x=4与x轴的交点记为M,设∠F1PM=β,∠F2PM=α,则θ=β-α,所以tan θ=tan(β-α)===≤=,当且仅当y=时等号成立.所以θ≤30°.答案:30°三、解答题14.如图,在平面直角坐标系xOy中,点F(,0),直线l:x=-,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程;(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C上,TS是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时,弦长|TS|是否为定值?请说明理由.解:(1)依题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,所以RQ是线段FP的垂直平分线.因为点Q在线段FP的垂直平分线上,所以|PQ|=|QF|,又|PQ|是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x(x>0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下:取曲线C上点M(x0,y0),M到y轴的距离为d=|x0|=x0,圆的半径r=|MA|=,则|TS|=2=2,因为点M在曲线C上,所以x0=,所以|TS|=2=2是定值.15.已知点P(2,1)在椭圆+=1(a>b>0)上,且离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l交椭圆于A,B两点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且,2,成等差数列,求△AOB面积的最大值.解:(1)椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),①设直线l:x=ty+m,则有⇒(t2+4)y2+2tmy+m2-8=0,由Δ>0得2t2-m2+8>0.因为k1+k2=4k1k2,所以+=4·,化简得(2t-4)y1y2+(m-t+2)(y1+y2)-2m=0,又因为y1+y2=-,y1·y2=,所以m2+(t+2)m+4t-8=0,解得m=2-t或m=-4,所以x=ty-4或x=t(y-1)+2(舍去),S△AOB=|AB|·d=|y2-y1|d=8,令u=t2-4,则S△AOB=8=8≤2,当且仅当u=8,即t=±2时取“=”.②设直线l:y=y0(y0≠±1),则有x1=-x2,由+=4,可得=4,得y0=0(不合题意舍去).综上,(S△AOB)max=2.16.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点P(-2,0)与点(1,1).(1)求椭圆的方程;(2)过P点作两条互相垂直的直线PA,PB,交椭圆于A,B.①证明:直线AB经过定点;②求△ABP面积的最大值.解:(1)由+=1,+=1⇒a2=4,b2=,所以椭圆的方程为+=1.(2)①由对称性知,若存在定点,则必在x轴上,当k PA=1时,l PA:y=x+2,所以所以x2+3(x2+4x+4)=4⇒x=-1.以下验证:定点为(-1,0),由题意知,直线PA,PB的斜率均存在,设直线PA的方程为y=k(x+2),A(x A,y A),B(x B,y B),则x2+3k2(x2+4x+4)=4⇒x A=,y A=,同理x B=,y B=-,则==,得证.②由于直线不与x轴平行,设直线AB方程为x=ty-1,S△PAB=×1×|y A-y B|=×=,令=λ∈[3,+∞),则t2=,所以S△PAB===≤=1,当且仅当λ=3,即t=0时取等号.即△ABP面积的最大值为1.17.(2018·温州二模)斜率为k的直线交抛物线x2=4y于A,B两点,已知点B的横坐标比点A的横坐标大4,直线y=-kx+1交线段AB于点R,交抛物线于点P,Q.(1)若点A的横坐标等于0,求|PQ|的值;(2)求|PR|·|QR|的最大值.解:(1)因为A(0,0),B(4,4),所以k=1,联立⇒x2+4x-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|=|x1-x2|=8.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),R(x R,y R),AB的方程为y=kx+b,代入x2=4y,得x2-4kx-4b=0,因为x B-x A==4,所以k2=1-b,由⇒x R==,联立⇒x2+4kx-4=0,所以x1+x2=-4k,x1x2=-4,则|PR|·|QR|=-(1+k2)(x1-x R)(x2-x R)=-(1+k2)[x1x2-x R(x1+x2)+]=-(1+k2)(-4+2k2+)=-(k2-)2+,所以当k=±时,|PR|·|QR|的最大值等于.巩固提高B一、选择题1.若椭圆+=1上有一动点P,圆E:(x-1)2+y2=1,过圆心E任意作一条直线与圆E交于A,B两点,圆F:(x+1)2+y2=1,过圆心F任作一条直线与圆F交于C,D两点,则·+·的最小值为( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:·=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-1,同理·=||2-1,所以·+·=||2+||2-2≥-2=-2=6(当且仅当||=||时,等号成立).故选D.2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,点F为双曲线C的左焦点,过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P,Q两点,PB交y轴于点E,AE交QF于点M,若M是线段QF的中点,则双曲线C的渐近线方程为( A )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±3x (D)y=±x解析:易得P(-c,),则k PB==,直线PB的方程为y=(x-a),令x=0可得y E=,则A(-a,0),E(0,),可得直线AE方程为+=1,令x=-c可得y M=×,据此有×=-,整理可得c=3a,所以=3,则双曲线C的渐近线方程为y=±2x.故选A.3.如图,已知椭圆C1:+y2=1,曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于A,B两点,直线MA,MB分别与C1相交于D,E两点,则·的值是( B )(A)正数(B)0(C)负数(D)皆有可能解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,-1),=(x1,y1+1),=(x2,y2+1).设直线l 的方程为y=k x与抛物线方程联立整理为x2-k x-1=0, 所以x1+x2=k,x1x2=-1,·=t·=t[x1x2+(y1+1)(y2+1)]= t[x1x2+y1y2+(y1+y2)+1]=t[x1x2+k2x1x2+k(x1+x2)+1]=t[-1-k2+k2+1]=0 (t>0),故选B.4.双曲线x2-=1的左右焦点分别为F1和F2,P为右支上一点,且||=8,·=0,则双曲线的离心率为( B )(A)3 (B)5 (C)(D)解析:||-||=2a=2⇒8-||=2,解得||=6,因为⊥, ||2+||2=|F1F2|2=82+62=100,解得4c2=100,c=5,e===5,故选B.5.已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是( D )(A)(4,+∞) (B)(-∞,4](C)(10,+∞) (D)(-∞,10)解析:过点A(0,-2)作曲线C:y=2x2的切线,设方程为y=kx-2,代入y=2x2得,2x2-kx+2=0,令Δ=k2-16=0得k=±4,由图当k=4时,切线为l,因为B点在直线x=3上运动,直线y=4x-2与x=3的交点为M(3,10),当点B(3,a)满足a<10时,视线不会被曲线C挡住,故选D.6.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( A )(A)-2 (B)- (C)1 (D)0解析:设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4 (x-)2-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2.故选A.7.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )(A)2 (B)3 (C) (D)解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设y1>0,y2<0),直线AB的方程为x=ty+m,且直线AB与x轴的交点为M(m,0).由消去x,得y2-ty-m=0,所以y1y2=-m.又·=2,所以x1x2+y1y2=2,(y1y2)2+y1y2-2= 0,因为点A,B在抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2.又F(,0),于是S△ABO+S△×2×(y1-y2)+××y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=,即y1=时AFO=取得等号,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.故选B.二、填空题8.若抛物线y2=4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线y2=-4x(y≥0)上,则△PAB的面积的最小值为.解析:由题意知F(1,0),直线AB的方程为y=x-1.由得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=1,所以|AB|=·=8,设P(-,y0)(y0≥0),则点P到直线AB的距离d==≥.所以△PAB面积的最小值为S=×8×=2.答案:29.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.解析:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.则+===.所以(+)2===,易知()2-+1的最小值为.故(+)max=.答案:10.已知点A(-1,0),点P,Q在抛物线y2=2px(p>0)上,且△APQ为正三角形,若满足条件的△APQ唯一,则p= ,此时△APQ的面积为. 解析:因△APQ为正三角形,可知P,Q关于x轴对称,又满足条件的△APQ唯一,则直线AP(直线为y=(x+1))与抛物线相切,联立由Δ=0可得p=,进而解得P(1,),Q(1,-),则S△APQ=.答案:11.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则当PA与PB的斜率都存在,且=-2时,直线PA与PB的斜率之和为.解析:设直线PA的斜率为k PA,PB的斜率为k PB,由=2px1,=2px0,两式相减得-=2p(x1-x0),得k PA==,同理k PB=.由=-2,得y1+y2=-2y0,故+=0,即k PA+k PB=0.故直线PA与PB的斜率之和为0.答案:0三、解答题12.(2017·衢州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2,以A为圆心的圆(x-2)2+y2=r2(r>0)与椭圆相交于B,C两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求·的取值范围;(3)设P是椭圆上异于B,C的任一点,直线PB,PC与x轴分别交于M,N,求SS△PON的最大值.△POM·解:(1)椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0)且+=1,所以·=(x0-2)2-=(x0-2)2-(1-)=-4x0+3=(x0-)2-.因为-2<x0<2,所以·的取值范围为[-,16).(3)设P(x1,y1)(y1≠±y0),M(x M,0),N(x N,0),则+=1,直线PB,PC的方程分别为PB:y-y1=(x-x1),PC:y-y1=(x-x1),分别令y=0得x M=,x N=所以x M x N====4,于是S△POM·S△PON=|OM||ON|·=|x M x N|·=.因为-1≤y1≤1,所以S△POM·S△PON的最大值为1.13.如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得=恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点(,1)在椭圆E上,因此解得a=2,b=,所以椭圆E的方程为+=1.(2)当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C,D两点,如果存在定点Q满足条件,则有==1,即|QC|=|QD|,所以Q点在y轴上,可设Q点的坐标为(0,y0).当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M,N两点,则M,N的坐标分别为(0,),(0,-),由=,有=,解得y0=1或y0=2,所以,若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为(0,2), 下面证明:对任意直线l,均有=,当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0,其根的判别式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=-,因此+==2k,易知,点B关于y轴对称的点B′的坐标为(-x2,y2),又k QA===k-,k QB′===-k+=k-,所以k QA=k QB′,即Q,A,B′三点共线,所以===,故存在与P不同的定点Q(0,2),使得=恒成立.14.(2018·浙江卷)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. (1)证明:设P(x0,y0),A(,y1),B(,y2).因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程()2=4·,即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根. 所以y1+y2=2y0.因此PM垂直于y轴.(2)解:由(1)可知所以|PM|=(+)-x0=-3x0,|y1-y2|=2.因此,△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.因为+=1(x0<0),所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].因此,△PAB面积的取值范围是[6,].。