最全最新高考数学一轮复习知识思维导图
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
2023高考数学一轮复习第18讲 导数中的同构系列(教师版)
第19讲导数中同构与放缩的应用思维导图-----知识梳理同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）思维导图-----方法梳理在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a ＞0且a ≠1时，有log a x xa ，(2)当a ＞0且a ≠1时，有log xax a再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x ＞0)(“e x ”三兄弟与“ln x ”三姐妹)(3)ln xx xxｅｅ，ln ln ()x x x xｅ(4)ln xx xxｅｅ，ln lnx x x xｅ(5)ln x x xxｅｅ，ln lnxxx x ｅ再结合常用的切线不等式：1x x ｅ，e x x ｅ，l n 1x x ，ln xx ｅ等，可以得到更多的结论(6)ln ln 1xx xxx x ｅｅ，ln ln ()e 1xxx x x x ｅ．ln (ln )xx xx x x ｅｅｅ，1eln ln ()xxx x x x xx ｅ＝ｅｅ．(7)ln ln 1xx xx x xｅｅ，ln ln x x x x x x ｅｅ－１,ln (ln )x x xx x x ｅｅｅ，1ln ln x x x x x xｅｅ(8)ln ln 1x x xxx x ｅｅ，ln lnx x xx x x－１ｅｅ,ln (ln )x xx x x x ｅｅｅ，1ln ln x x x xx x ｅｅ围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.已知f(x)=ln x +x −x ｅx+1，则函数()f x 的最大值为________．解析1ln 1()ln ln ln (ln 2)2x x x f x x x x xx xx x xｅｅ．(当且仅当x ＋ln x ＋1＝0取等号)．例2.函数ln 1()xxf x xｅ的最小值是________．解析ln ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1()1xx xxxx x x x x x f x xx x xｅｅｅ(当且仅当x ＋ln x ＝0取等号)．例3.函数22ln ()1xx xf x xｅ的最小值是________．解析22ln 2ln 2ln 2ln 12ln ()1111xx xx x x x x xf x x x xｅｅ(当且仅当x ＋2ln x ＝0取等号)．例4.不等式ln 10xxa x x ｅ恒成立，则实数a 的最大值是________．解析m ineln 1eln 1ln 10()xxx x x x x x a x x a xxｅ恒成立ln eln 1x xx xln 1ln 11xx x x，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．例5.不等式x ｅx−a(x +ln x +1)≥0恒成立，则正数a 的取值范围是________．解析ln (ln 1)0(ln 1)0(ln 1)xx x x x a x x x a x x a x x ｅｅｅ，当x ＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x xa x x ｅ，由于ln ln 1=1ln 1ln 1x x x x x x x x ｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a １，故0a ＜１．例6.已知函数()ln 1(1)b xf x x a x x x ｅ，其中b ＞0，若()0f x 恒成立，则实数a 与b 的大小关系是________．解析ln ln 1()0ln 11ln ln x b xbxx b xx f x x a x x x a x a xｅｅｅ，由于ln 1ln 11ln ln x b xx xb x x b xxｅ，当且仅当x ＋b ln x ＝0等号成立，所以ab．例7.已知函数()ln 1xf x a x ｅ，若()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln 1ln 10xxxa x aｅｅ，由于ln x ＋1≤x ，e x ≥e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则ln 11e e xxx xｅ，所以a １ｅ．例8.已知不等式1ln xk x x ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析elne 1ln xxxk x x k xxｅ，由于e x≥e x ，lne x ≤x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，所以xxｅｅ，lne 1xx则elne 1xxxxｅ，所以k ≤ｅ－1．例9.已知不等式ln 10a x a x xx ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln ln 1ln 1ln 1ln 10a xa x xx a x x a x x a x x a x x ｅｅ，当且仅当－a x ＋ln x ＝0，即ln xa x时等号成立，由ln xa x有解，易得1aｅ．例10.已知函数()(ln )xf x x a x x ｅ有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析f(x)=x ｅx−a(x +ln x)=ｅx+ln x−a(x +ln x)，令ln ,t x x t R ，显然该函数单调递增，即e 0ta t 有两个根，即eta t有两个根，令e()tg t t，()g t 在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．m i n ()(1)e g t g ，e a ．例11.(2020届太原二模)已知函数()ln 1f x x a x .(1)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()e xf x x 恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)()f x 定义域是(0,) ，1()f x a x，①当0a 时，()0f x ，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点；②当0a 时，由1()0f x a x，得10x a，当1(0,)x a时，()0f x ，()f x 在定义域上单调递增，当1(,+)x a时，()0f x ，()f x 在定义域上单调递减，所以当1xa时，()f x 取得极大值．当0x 时，()f x ，当x 时，()f x ，因为()f x 有两个零点，所以1()0f a，解得10a ．(2)要使()e xf x x 恒成立，只要ln x +ax +1e xx 恒成立，只要eln 1xx x a x恒成立，令eln 1()xx x g x x，则eln 1xx x xln eln 1ln 1ln 11x xx xx x xx，当且仅当时取等号．所以()e xf x x 恒成立，实数a 的取值范围为1a ．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．函数f(x)=x ｅx−x−ln x 的最小值为________．解析f(x)=x ｅx −x−ln x =ｅx+ln x−x−ln x ≥x +ln x +1−x−ln x =1，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．2．函数ln ()1xx xf x x ｅ的最小值为________．解析ln ln ln ln 1ln ()1111xx xx x x x x xf x x x xｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝0等号成立．3．函数()(ln 1)x f x x x x ｅ的最大值是________．解析ln ln 1ln 1()(ln 1)x x xxx xxx x x x f x x x x ｅｅｅｅｅln 1(ln 1)0x x x x x ｅ(当且仅当x ＋ln x ＝0取等号)．4．已知不等式x ｅx−a(x +1)≥ln x ，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln (1)ln 1xxx x x a x x a xｅｅ，由于ln ln ln 11x x xx x x x x ｅｅln 1ln 11x x xx ，所以a 1．5．已知函数()(ln 1)xf x x a x x ｅｅ，若()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析f(x)≥0⇔x ｅx +ｅ≥a(x +ln x +1)⇔ｅx+ln x+ｅ≥a(x +ln x +1)，当x ＋ln x ＋1≤0时，原不等式恒成立，当x ＋ln x ＋1＞0时，ln ln 1x xa x x ｅｅ，由于ln (ln )=ln 1ln 1x x x x x x x x ｅｅｅｅｅ，当且仅当x ＋ln x ＝1等号成立，所以a ≤ｅ，故0＜a ≤ｅ．6．已知函数f(x)=a ｅ2x−ln x−1，若()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析f(x)=a ｅ2x−ln x−1⇔a ≥ln x+1e2x，由于ln x ＋1≤x ，e 2x≥2e x ，两者都是当且仅当x ＝1等号成立，则2ln 112e 2ex xx xｅ，所以2a１ｅ．7．已知a ，b 分别满足ae a=e 2,b(ln b−1)=e 3，则ab ＝________．解析同构化处理，并利用函数的单调性．222ln 232e e e e e e e ln e (ln 1)eln e e e e ea a a ba a ab b b b b ，ln e e ln e e b a b a ，令()e xf x x ，显然该函数单调递增，即()(ln)eb f a f，即ln eba，则ab ＝e 3．8．已知x 0是函数f(x)=x 2e x−2+ln x−2的零点，则e2−x 0+ln x 0=________．解析22222222eeeeeln 2e2ln e lnln ln (ln ())ln ()x x xx x xx x x x xxxx＝０，所以2eln ()x x，即2−ln x =x ，或ｅ2−x =x ，则e 2−x 0+ln x 0=x 0+ln x 0=2．考点二整体同构携手脱衣法在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F (x )≥0能等价变形为f [g (x )]≥f [h (x )]，然后利用f (x )的单调性，如递增，再转化为g (x )≥h (x )，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)f x 1 －f x 2x 1－x 2>k (x 1<x 2) f (x 1)－f (x 2)<k x 1－k x 2 f (x 1)－k x 1<f (x 2)－k x 2 y ＝f (x )－k x 为增函数；(2)f x 1 －f x 2 x 1－x 2<k x 1x 2(x 1<x 2) f (x 1)－f (x 2)>k (x 1－x 2)x 1x 2＝k x 2－k x 1 f (x 1)＋k x 1>f (x 2)＋k x 2 y ＝f (x )＋k x为减函数；含有地位同等的两个变x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：ln e(ln )e ()e eln e ln eln ()ln ln ln ln (ln )()ln abx aaaa b f x x a b b b bf x x xaa b b f x x x构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对如，322222ln ln eln ln m mm mxxxxm xxme xxxxe xｅ，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：ln eee()ln ee()ln ln eln ln ln ln ln (ln )()ln abxaaaf x abx bbxf x abbxaa b b f x x x构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对(3)和差：ln e e ln ()e eln eln e ln ()ln a b x aaa ab f x xa b b b b f x x x构造函数两种同构方式构造函数同左同右如；ln (1)ln (1)1ln (1)ln (1)a x a xx a x x x a x x a x x ｅｅｅ．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)eln e ln 21a xx a x a x a x x x 同乘(无中生有)，后面的转化同()；(2)ln ln 1e ln ()eln (1)1e ln ln (1)1e +ln xxx a x x aa a x a a a x a x x a a同加(无中生有)ln (1)ln (1)1ln (1)ln ln (1)x xx x xa xｅ＋；(3)a x >log a x⇔exln a>ln x ln a⇔(xln a)e xln a>xln x ，后面的转化同2(1)．围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.若1201x x ，则()A ．2121ee ln ln x x x x B ．2121ee ln ln x x x x C ．1221ee x xx x D ．1221ee x xx x 解析设()e ln xf x x ，则1()e xf x x，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()xeg x x，2(1)()xe xg x x，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以12g x g x，选C ．例2.若120x x a，都有211212ln ln x x x x x x 成立，则a 的最大值为()A ．2１B ．1C ．eD ．2e解析121221ln ln 11x x x x x x，即121122ln ln 11x x x x x x，令ln 1()xf x xx，则()f x 在(0,)a 上为增函数，()0f x 在(0,)a 上恒成立，2ln ()xf x x，令()0f x ，解得x ＝1，()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,) 上为减函数，1a，a 的最大值为1，选B ．例3.已知f(x)=a ln (x +1)−x 2，在区间(1,2)内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f pf q p q恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析①当p >q 时，(1)(1)(1)(1)f pf qp q即(1)(1)(1)(1)f pp f qq，令()(1)(1)g x f xx，则(1)(1)g p g q ，()g x 在(1,2)递减，即2()ln (2)(1)(1)g x a x x x ，在(1,2)递减，()0x ｇ在(1,2)上恒成立，()2(1)102a x x xｇ在上恒成立，2276a x x 在(1,2)上恒成立，∴a ≤(2x 2+7x +6)min ．②当p <q 时，同理可得出28a ，综上所述(,15][28,)a 例4.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)log 2x −k ⋅2kx≥0解析log 2x−k ⋅2kx≥0⇔xlog 2x ≥kx ⋅2kx⇔(log 2x)⋅2log 2x≥kx ⋅2kx，()2x f x x ．(2)x 2ln x −m ｅm x≥0解析x 2ln x−m ｅmx≥0⇔xln x ≥m x ｅm x ⇔ln x +ln (ln x)≥m x +ln mx，f(x)=x +ln x ．(3)a(ｅax+1)≥2(x +1x)ln x 解析22221(1)2()ln 2ln 2ln ln ln a xa x a xa x xa x a x x x x a x a x x x x xｅｅｅ22ln 2ln ln ()a x xx a x a x x x f x x xｅｅ，ｅ(4)x +a ln x +ｅ−x≥x a(x >1)解析x +aln x +ｅ−x≥x a ⇔x +ｅ−x≥x a −ln x a ⇔ｅ−x −ln ｅ−x≥x a −ln x a，()ln f x x x ．(5)x 2ｅx+ln x =0解析2ln 1111ln 0lnln lnxx x x x xx x x x xxxxxｅｅｅｅｅ，()ln f x x x ．例5.已知不等式log (0,1)x a a x aa，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析ln ln ln log e (ln )e ln ln xx a x a a x ax x a x x aln ln ln ln (ln )e (ln )e ()e (1)e ln eln ()ln (2)ln ln (ln )ln ln (ln )()ln (3)x a x x x ax ax a x f x x x x f x x x x a x a x x f x x x(三种模式，只要写一种)，由(3)得，xln a >ln x ，即ln ln xax，由导数法可得1ln aｅ，从而所以a >e 1e ．例6.已知函数()ln (1)33f x m x x ，若不等式()3e x f x m x 在(0,) 上恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．0≤m ≤3B ．m ≥3C ．m ≤3D ．m ≤0解析mln (x +1)−3(x +1)>mx−3e x=mln e x−3e x(同构)，令()ln 3g x m x x ，由(1)(e )x g x g ，且11e x x ，知()g x 在(1,) 为减函数，所以()3033m g x m x m x．故选C ．例7.对任意x >0，不等式2a e 2x−ln x +ln a ≥0恒成立，则实数a 的最小值为________．解析2222eln ln 02e ln2e ln2ln 2ln ln (ln)xx x x x x x x a x a a x x x aaa aa(积型同构取对数)，令()ln f x x x ，则()f x 为增函数，由(2)(ln)x f x f a，得2lnx xa，即2x xaｅ恒成立，令2()x xg xｅ，则212()xx g xｅ，易得m a x 11()()22e g x g ，所以实数a 的最小值为12e．例8.已知函数f(x)=ｅx−a ln (ax−a)−a(a >0)，若关于x 的不等式()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．2(0,e ]B ．2(0,e )C ．2[1,e ]D ．2(1,e ]解析f(x)=ｅx −aln (ax−a)−a >0⇔1aｅx>ln a(x−1)−1⇔ｅx−ln a −ln a >ln (x−1)−1⇔ｅx−ln a +x−ln a >eln (x−1)+ln (x−1)(和差型同构)，令g(x)=e x+x ，显然()g x 为增函数，则原命题等价于g(x−ln a)>g(ln (x−1))⇔x−ln a >ln (x−1)⇔ln a <x−ln (x−1)，由于ln (1)(2)x x x x ，所以ln a <2，即得0<a <e 2．例9.对任意0x，不等式1(e 1)2()ln a xa x x x恒成立，则实数a 的最小值为________．解析22221(e1)2()ln (e 1)(1)ln (e 1)ln e (1)ln a xa x a x a x a x xa x x x x x x(积型同构)，令()(1)ln f x x x ，则1()ln xf x x x，22111()=xf x xxx，易知()f x 在(0,1)上递减，在(1,)上递增，所以()(1)20f x f ，所以()f x 在(0,) 上单调递增，则22(e 1)ln e(1)ln (e )a xa xa xx x f 222ln ()e 2ln a x xf x x a x x a x，由导数法易证2ln 2exx，所以2ea．例10.已知不等式1ln ea xx a x x 对任意的(1,)x 恒成立，则实数a 的最小值为()A ．eB ．e 2C ．eD ．2e解析11ln ln ln e ln e ln eea a a a x x a a xxxa x x x x a x x x x x，令()ln f x x x ，则1()xf x x，易知()f x 在(0,1)上递减，在(1,) 上递增，所以(e)()xaf f x，(1,)x ，1e (0,)e x．根据选项只讨论a ＜0的情况，当a ＜0时，(0,1)a x ，∴e−x≤x a，ln xa x．令()ln xh x x，则21ln ()(ln )xh x x，所以()h x 在(1,e )上递增，在(e ,) 上递减，则m a x ()(e )e h x h ，即e a ，故选C ．例11.已知函数ln (1)()xf x x.(1)判断()f x 在(0,) 上的单调性；(2)若x >0，证明：(e x−1)ln (x +1)>x 2．解析(1)2ln (1)1()xx xf x x，令()ln (1)1x g x x x，2()0(1)xg x x，()g x 在(0,) 上单调递减，()(0)0g x g ，即()0f x ，()f x 在(0,) 上单调递减．(2)要证2(e 1)ln (1)x x x ，即证：2ln (1)e1xx x即证：ln (1)e1xxx x即证：ln (1)ln (e11)e 1xxxx，令ln (1)()xh x x，即证：ℎ(x)>ℎ(e x−1)，由(1)，()h x 在(0,) 上单调递减，即证：e 1x x ．令s(x)=e x−x−1，s '(x)=e x−1>0，()s x 在(0,) 上单调递增，∴s(x)>s(0)=0，∴e x −x−1>0，即x <e x−1．例12.(2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，∴f ′(x )＝e x －1x ，∴f ′(1)＝e －1．∵f (1)＝e ＋1，∴切点坐标为(1，1＋e )，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)·(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，－2e －1，0()，∴所求三角形面积为12×2×－2e －1||＝2e －1．(2)解法一：∵f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，∴f ′(x )＝a e x －1－1x，且a >0．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝a e x －1＋1x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＝1时，f ′(1)＝0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝1，∴f (x )≥1成立；当a >1时，1a <1，∴11e a<1，∴f ′1a()f ′(1)＝11(e 1)(1)0a a a ，∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)＝a e x 0－1－1x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时f ′(x )>0，∴a e x 0－1＝1x 0，∴ln a ＋x 0－1＝－ln x 0，因此f (x )min ＝f (x 0)＝a e x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1>1，∴f (x )>1，∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <a <1，∴f (1)<1，f (x )≥1不恒成立．综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．解法二：f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a ＋x －1－ln x ＋ln a ≥1等价于e ln a ＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )，显然g (x )为单调递增函数，∴又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－xx，在(0，1)上h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x )ma x ＝h (1)＝0，ln a ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数()ln()xf x m x m R ｅ，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有1212()()f x f x x x成立，则实数m 的取值范围是________．解析由1212()()f x f x x x得，1122()()f x x f x x，令()()g x f x x，12()()g x g x ，()g x 在(0,) 单调递增，又()()xg x f x x m x xｅ，()10xm g x xｅ，在(0,) 上恒成立，即(1e)xm x，令()(1e )x h x x ，则()e (1)10x h x x ，()h x 在(0,) 单调递减，m a x ()0h x (但取不到)． m ≥0．2．已知函数()xf x a x xｅ，(0,)x ，当x 2＞x 1时，不等式1221()()0f x f x x x恒成立，则实数a的取值范围是()A ．(,e ]B ．(,e )C ．e (,)2D ．e (,]2解析由1221()()0f x f x x x，得1122()()x f x x f x ，令()()g x x f x ，则()g x 在(0,) 上单调递增，又2()xg x a x ｅ，()20xg x a x ｅ在(0,) 上恒成立，即e2xa x，令e()2xh x x，则2e (1)()2xx h x x，令()0h x ，则()h x 在(0,1)单调递减，在(1,) 单调递增，m i n e ()(1)2h x h ，选D ．3．对不等式21ln 0xxｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．解析2222ln 11ln0ln 2ln 2(ln )2xxx x xxxx x x x xｅｅｅｅｅ4．对方程2ln 0xx x ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．解析2ln 0ln ln ln x x x xx x x x x x x -ｅｅｅｅ．5．对不等式ln (1)2(1)2xa x x a x ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．解析ln (1)2(1)2ln (1)2(1)ln 2x x xa xx a x a x x a ｅｅｅ6．设实数0 ，若对任意的(0,)x ，不等式ln 0xxｅ恒成立，则 的最小值为________．解析ln ln 0ln 0ln ln xx x xxx x x x x x xｅｅｅｅ，令()e xf x x ，易知()f x 在(0,) 上递增，所以()(ln )f x f x，ln x x ，ln xx．令ln ()xh x x，则21ln ()xh x x，所以()h x 在(0,e )上递增，在(e ,) 上递减，则m a x 1()(e )eh x h，即1e．7．已知函数1()ln (0)x f x a a x a a ｅ，若关于x 的不等式()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析1111()ln 0ln (ln 1)x x x x f x a a x a a a x a a a x x ｅｅｅｅ(lna x 1)a xeln 1(ln 1)e a x a x，ln 1e >(ln 1)e xa x x a x，令()e x g x x ，显然()g x 为增函数，则原命题等价于()g x (ln 1)ln 1ln ln 1g a xx a x a x x ，令()ln 1h x x x ，则1()xh x x，所以()h x 在(0,1)上递减，在(1,) 上递增，则m i n ()(1)2h x h ，所以ln 2a ，即得20e a ．8．已知对任意0x，不等式1(e 1)(1)ln 0k x k xx恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析1(e1)(1)ln 0(e 1)(1)ln e ln k xk x k x k xk x x x k x k x x x x x，即ln e ln e ln k x x k x k x x x ．令()e xf x x x ，则()f x 在(0,) 上递增，所以()(ln )f k x f x，所以ln k x x ，则ln xk x，由导数法易证ln 1exx，所以1ek．9．已知0a ，不等式1ln 0a xxa x ｅ，对任意的实数1x恒成立，则实数a 的最小值是()A ．12eB ．1eC ．eD ．2e解析1ln ln 0ln a x xaaaa xxa x x x xxｅｅ，即ln ln e axa x xx ｅ，令()e xf x x ，则()f x 在(1,) 单调递增，即()(ln )af x f x，即ln a x x ，ln xa x．令()ln xg x x，由导数法知m i n ()(e )e g x g ，e a ．故选C ．10．已知函数13()2ln ()m xf x xxm x ｅ，当e x时，()0f x 恒成立，则实数m 的取值范围为()A ．(,4e ]B ．(,3e ]C ．(,2e ]D ．3e (,]2解析1113222()02ln ()2ln (1)ln (1)m m mxxxm m f x xxm x xxx xxxｅｅｅ，即12ln ln e(1)mxx m xxｅ，令()e x g x x ，则()g x 在[e ,) 单调递增，即2(ln )(1)m g x g x，当0m 时，12ln ln e(1)mxx m xxｅ恒成立，当0m 时，2ln 12ln m x m x x x x，令()2ln h x x x x ，则()2ln 30h x x ，()h x 在[e ,) 上单调递增，m i n ()(e )3e h x h ．故选B ．考点三分离含参式同构思维导图-----方法梳理参变分离法是将不等式变形成一个一端是f (a )，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若f (a )≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≥g (x )ma x ；若f (a )≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则f (a )≤g (x )min ．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a ，另一端是变量表达式g (x )的不等式后，若a ≥g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≥g (x )ma x ；若a ≤g (x )在x ∈D 上恒成立，则a ≤g (x )min ．利用分离参数法来确定不等式f (x ，a )≥0(x ∈D ，a 为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f 1(a )≥f 2(x )或f 1(a )≤f 2(x )的形式．(2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值．(3)解不等式f 1(a )≥f 2(x )ma x 或f 1(a )≤f 2(x )min ，得到a 的取值范围．围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.(2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，∴f ′(x )＝e x －1x ，∴f ′(1)＝e －1．∵f (1)＝e ＋1，∴切点坐标为(1，1＋e )，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e －1＝(e －1)·(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2，∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，－2e －1，0()，∴所求三角形面积为12×2×－2e －1||＝2e －1．(2)解法一(同构后参变分离)f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ＝e ln a ＋x －1－ln x ＋ln a ≥1等价于e ln a ＋x －1＋ln a ＋x －1≥ln x ＋x ＝e ln x ＋ln x ，令g (x )＝e x ＋x ，上述不等式等价于g (ln a ＋x －1)≥g (ln x )，显然g (x )为单调递增函数，∴又等价于ln a ＋x －1≥ln x ，即ln a ≥ln x －x ＋1，令h (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1＝1－xx，在(0，1)上h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(1，＋∞)上h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴h (x )ma x ＝h (1)＝0，ln a ≥0，即a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．解法二(最值分析法＋隐零点法)∵f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，∴f ′(x )＝a e x －1－1x，且a >0．设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝a e x －1＋1x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＝1时，f ′(1)＝0，则f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝1，∴f (x )≥1成立；当a >1时，1a <1，∴11e a <1，∴f ′1a()f ′(1)＝11(e 1)(1)0a a a ，∴存在唯一x 0>0，使得f ′(x 0)＝a e x 0－1－1x 0＝0，且当x ∈(0，x 0)时f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时f ′(x )>0，∴a e x 0－1＝1x 0，∴ln a ＋x 0－1＝－ln x 0，因此f (x )min ＝f (x 0)＝a e x 0－1－ln x 0＋ln a ＝1x 0＋ln a ＋x 0－1＋ln a ≥2ln a －1＋21x 0·x 0＝2ln a ＋1>1，∴f (x )>1，∴f (x )≥1恒成立；当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <a <1，∴f (1)<1，f (x )≥1不恒成立．综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)．例2.已知函数f (x )＝x －a ln x ．(1)若曲线y ＝f (x )＋b (a ，b ∈R )在x ＝1处的切线方程为x ＋y －3＝0，求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋a ＋1x(a ∈R )的极值点；(3)设h (x )＝1a f (x )＋a e x －xa＋ln a (a >0)，若当x >a 时，不等式h (x )≥0恒成立，求a 的最小值．解析(1)由f (x )＝x －a ln x ，得y ＝x －a ln x ＋b ，∴y ′＝f ′(x )＝1－ax ．由已知可得f ′(1)＝－1，f (1)＋b ＝2，{即1－a ＝－1，1＋b ＝2，{∴a ＝2，b ＝1．(2)g (x )＝f (x )＋a ＋1x ＝x －a ln x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a x－a ＋1x 2＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]x 2(x >0)，当a ＋1≤0，即a ≤－1时，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值点．当a ＋1>0，即a >－1时，则有，当0<x <a ＋1时，g ′(x )<0，当x >a ＋1时，g ′(x )>0，∴g (x )在(0，a ＋1)上为减函数，在(a ＋1，＋∞)上为增函数，∴x ＝a ＋1是g (x )的极小值点，无极大值点．综上可知，当a ≤－1时，函数g (x )无极值点，当a >－1时，函数g (x )的极小值点是a ＋1，无极大值点．(3)(同构后参变分离)h (x )＝1a f (x )＋a e x －xa＋ln a ＝a e x －ln x ＋ln a (a >0)，由题意知，当x >a 时，a e x －ln x ＋ln a ≥0恒成立，又不等式a e x －ln x ＋ln a ≥0等价于a e x ≥ln x a ，即e x ≥1a ln x a ，即x e x ≥x a ln xa．①①式等价于x e x ≥ln x a ·eln x a ，由x >a >0知，x a >1，ln xa >0．令φ(x )＝x e x (x >0)，则原不等式即为φ(x )≥φlnxa()，又φ(x )＝x e x (x >0)在(0，＋∞)上为增函数，∴原不等式等价于x ≥lnxa，②又②式等价于e x ≥x a，即a ≥xe x (x >a >0)，设F (x )＝x e x (x >0)，则F ′(x )＝1－xex ，∴F (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，又x >a >0，∴当0<a <1时，F (x )在(a ，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．∴F (x )≤F (1)＝1e ．要使原不等式恒成立，须使1e ≤a <1，当a ≥1时，F (x )在(a ，＋∞)上为减函数，F (x )<F (1)＝1e．要使原不等式恒成立，须使a ≥1e ，∴当a ≥1时，原不等式恒成立．综上可知，a 的取值范围是[1e ，＋∞)，a 的最小值为1e ．例3.已知实数a ∈R ，设函数f (x )＝ln x －a x ＋1．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥a (x ＋1－x 2)x＋1恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)由题意得定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－a x x．当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1a，所以当0，1a ()时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当1a，＋∞()时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(2)因为x >0，所以f (x )≥a （x ＋1－x 2）x＋1恒成立等价于x ln x ≥a x ＋1恒成立．设h (x )＝ln x －1－1x()，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，所以函数h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝0．即ln x ≥1－1x ，所以x ln x ≥x 1－1x()＝x －1恒成立，问题等价于x －1－a x ＋1≥0恒成立，分离参数得a ≤x －1x ＋1恒成立．设t ＝x ＋1∈(1，＋∞)，函数g (t )＝t 2－2t，则g ′(t )＝1＋2t 2>0，所以函数g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝－1，所以a ≤－1，故实数a 的取值范围为(－∞，－1]．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数f (x )＝e a x －x ．(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为1，求f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )≥e a x ln x －a x 2对x ∈(0，e ]恒成立，求a 的取值范围．解析(1)f ′(x )＝a e a x －1，则f ′(0)＝a －1＝1，即a ＝2．∴f ′(x )＝2e 2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 22．当x <－ln 22时，f ′(x )<0；当x >－ln 22时，f ′(x )>0．故f (x )的单调递减区间为－∞，－ln 22()，单调递增区间为－ln 22，＋∞()．(2)(同构后参变分离)由f (x )≥e a x ln x －a x 2，即a x 2－x ≥e a x (ln x －1)，有a x －1ea x≥ln x －1x ，故仅需ln e a x－1ea x≥ln x －1x 即可．设函数g (x )＝ln x －1x ，则ln e a x－1ea x≥ln x －1x 等价于g (e a x )≥g (x )．∵g ′(x )＝2－ln xx 2，∴当x ∈(0，e ]时，g ′(x )>0，则g (x )在(0，e ]上单调递增，∴当x ∈(0，e ]时，g (e a x )≥g (x )等价于e a x ≥x ，即a ≥ln xx恒成立．设函数h (x )＝ln x x，x ∈(0，e ]，则h ′(x )＝1－ln xx 2≥0，即h (x )在(0，e ]上单调递增，∴h (x )ma x ＝h (e )＝1e ，则a ≥1e 即可，∴a 的取值范围为1e ，＋∞[)．2．已知函数f (x )＝1＋a e x ln x ．(1)当a ＝1时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若不等式f (x )≥e x (x a －x )(a <0)，对x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f ′(x )＝e x ln x ＋1x ()，令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x－1x 2＝x －1x 2，当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴当x ＝1时，g (x )取得极小值即最小值g (1)＝1，∴f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)(同构后参变分离)不等式f (x )≥e x (x a －x )⇔e －x ＋x ≥x a －a ln x ⇔e －x －ln e －x ≥x a －ln x a ，设k (t )＝t －ln t ，即k (e －x )≥k (x a )，(*)∵k ′(t )＝1－1t ＝t －1t ，∴当t ∈(0，1)时，k ′(t )<0，k (t )在(0，1)上单调递减；当t ∈(1，＋∞)时，k ′(t )>0，k (t )在(1，＋∞)上单调递增，∵x∈(1，＋∞)，0<e－x<e－1<1，当a<0时，0<x a<1，且k(t)在(0，1)上单调递减，则(*)式⇔e－x≤x a⇒－a≤xln x ，令h(x)＝xln x(x>1)，则h′(x)＝lnx－1(ln x)2，当x∈(1，e)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(e)＝e，则－a≤e，∴a≥－e，又a<0，∴a的取值范围是[－e，0)．3．已知函数f(x)＝e－x－a x，g(x)＝ln(x＋m)＋a x＋1．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意的x∈(－m，＋∞)，恒有f(－x)≥g(x)成立，求实数m的取值范围．解析(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，则f′(x)＝－1e x＋1．令f′(x)＝0，得x＝0．当x＜0时，f′(x)＜0，当x＞0时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．∴当x＝0时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(0)＝1．(2)由(1)得e x≥x＋1恒成立．f(－x)≥g(x)⇔e x＋a x≥ln(x＋m)＋a x＋1⇔e x≥ln(x＋m)＋1．故x＋1≥ln(x＋m)＋1，即m≤e x－x在(－m，＋∞)上恒成立．当m＞0时，在(－m，＋∞)上，e x－x≥1，得0＜m≤1；当m≤0时，在(－m，＋∞)上，e x－x＞1，m≤e x－x恒成立．于是m≤1．∴实数m的取值范围为(－∞，1]．考点四双变量问题之转化同构思维导图-----方法梳理若问题的不等式或等式中含有1x ，2x 两个变量，我们称这类题型为双变量问题，双变量问题有若干细分题型，本节先分析其中一种：若对任意的1x ，2x 在区间D 上，某关于1x 和2x 的具有轮换对称性的不等式恒成立，求参数取值范围.这类问题一般将原不等式等价转化为12f x f x这种同构形式，根据函数f x 的单调性来研究参数的取值范围.围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.已知函数12ln f x x x.（1）求曲线yf x在点1,1f 处的切线方程；（2）若对任意的 12,0,x x ，不等式121211f x f x mx x恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题意， 221f x xx，所以 13f ，11f ，故所求切线方程为 131y x ，整理得：34yx .（2）由（1）知 2210f x x x，所以f x 在 0, 上单调递增，不妨设120x x ，则12f x f x，所以121211f x f x mx x等价于2112m m f x f x x x，即1212m m f x f x x x①，令m g x f x x，则由①知g x 在 0, 上单调递增，所以 22210m g x xxx恒成立，从而21mx ，故1m ，所以实数m 的取值范围为 ,1 .【反思】本题的不等式121211f x f x mx x具有轮换对称性，这种情况一般考虑将1x ，2x 分离到不等号两侧，化为同构形式，运用函数的单调性解决问题.例2.已知函数 xf x e ，其中 2.71828e 为自然对数的底数.（1）设函数223g x x a x a f x ，a R ，试讨论函数 g x 的单调性；（2）设函数2h x f x m x x，m R ，若121,,22x x且12x x ，都有21121221x h x x h x x x x x 成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题意， 22313x xg x e x a x a e x x a ，当4a 时， 210x g x e x 在R 上恒成立，所以 g x 在R 上单调递增；当4a 时， 03g x x a 或1x ， 031g x a x ，所以 g x 在 ,3a 上单调递增，在 3,1a 上单调递减，在 1, 上单调递增；当4a 时， 01g x x 或3x a ， 013g x x a ，所以 g x 在 ,1 上单调递增，在 1,3a 上单调递减，在 3,a 上单调递增.（2）由题意，22x h x f x m x x e m x x，当1x 、21,22x时， 21121221x h x x h x x x x x 等价于121212h x h x x x x x ，因为12x x ，令11xh x eF x x m x xx，则问题等价于Fx 在1,22上单调递增，所以2110xe xF x m x在1,22上恒成立，从而211xe x m x，令211xe xHx x122x，则 23110xex H x x，所以H x 在1,22上单调递增，从而 m i n1122Hx H e，故实数m 的取值范围为 ,12e.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1.（多选）若正实数a 、b 满足ln ln s i n s i n b a b a b a ，则下列不等式可能成立的有（）A .01a bB .1b a C .01b a D .01a b 【答案】AD 【解析】ln ln ln ln s i n s i n s i n s i n b b a aba b a b a b b a a，设 ln 0f x x x x ， s i n g x x x 0x ，则 1xf x x，所以 001f x x ， 01f x x ，从而f x 在 0,1上 ，在 1, 上 ，而 1co s 0g x x ，所以 g x 在 0, 上 ，因为s i n s i n b b a a ，所以 g b g a ，故b a ，又ln ln b b a a ，所以f b f a，A 项，作出f x 的大致图象如图，由图可知A 项正确；B 项，若1b a ，则f b f a，故B 项错误；C 项，因为b a ，所以C 项错误；D 项，若01a b ，则 f b f a ，故D 项正确.2．已知函数s i n f x x a x ，若对任意12,x x R 且12x x，不等式1212f x f x a x x恒成立，则实数a 的取值范围为（）A .1,2B .1,2C .1,2D .1,2。
人教版高中数学必修一章节思维导图全套
《3.3 幂函数》思维导图
《4.1 指数的运算》思维导图
《4.2指数函数》思维导图
《4.3 对数的运算》思维导图
《4.4 对数函数》思维导图
《4.5 函数的应用（二）》思维导图
《5.1 任意角和弧度制》思维导图
《5.2 三角函数的概念》思维导图
《5.3 诱导公式》思维导图
《5.4 三角函数的图象与性质》思维导图
《5.5 三角恒等变换》思维导图
《5.6 函数 》思维导图
《5.7 三角函数的应用》思维导图
人教版高中数学必修一章节思维导图全套11集合的概念及特征思维导图12集合间的关系思维导图13集合的基本运算思维导图14充分必要条件思维导图15全称量词与存在量词思维导图21等式与不等式的性质思维导图22基本不等式思维导图23二次函数与一元二次方程不等式思维导图31函数的概念思维导图32函数的性质思维导图33幂函数思维导图41指数的运算思维导图42指数函数思维导图43对数的运算思维导图44对数函数思维导图45函数的应用二思维导图51任意角和弧度制思维导图52三角函数的概念思维导图53诱导公式思维导图54三角函数的图象与性质思维导图55三角恒等变换思维导图56函数思维导图57三角函数的应用思维导图
人教版高中数学必修一章节思维导图全套
《1.1集合的概念及特征》思维导图
《1.2 集合间的关系》思维导图
《1.3 集合的基本运算》思维导图
《1.4 充分、必要条件》思维导图
《1.5 全称量词与存在量词》思维导图
《2.1 等式与不等式的性质》思维导图
《2.2 基本不等式》思维导图
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》思维导图
高中数学最全地思维导图
列裘法
表示
便解祈式有意义
定文域
—（「换元法貳解析式一J
值城
单调性
)
—I对称性
基本初等函教
分段国颈
亘合函救
拥象函数
函数的应用
c注意应用函数的单调性求值域
U雷Sn娱牛区应谨增図盼與址舸證佗哑血序同匕迂明孰皆世注导気;总一3-亘金關总巧上询总
]=定虫誉笑工W盘刁牡，三LC址有U卫B注凿啟一/恼=0
周期为『的奇பைடு நூலகம்数帖0
二廣匡1教'基本不等灵打$和耐克侖|、三角團数有界性、数形結合、导数丿
图急及其变撫
|~|—获、二次函藪、反比创函数 卜
吋数啊埶
三角函埶
1台旳数的单调性；同增具屎
斌情法、典型的函敎
圈象*性质
一I黝g|~U分法'醵法、二烦3：烦程根的分石
建立因数模型
高中数学最全的思维导图
很多同学一轮复习已经过半，但还不知道该怎么总结，小数老师给大家提个建议，要想总结，
主要还是首先梳理出脉络来， 提到某个知识点， 那么关于这个知识点相关的所有知识你都要弄明白，
这样你就成功了一半！下面是8张思维导图，先研究下看看吧！
性质
定义
三要表
运勒交，并、补
确定性、互异唯、无序性
高中数学必修一知识点思维导图
高中数学必修一知识点思维导图一、函数与映射1. 函数的概念- 定义- 函数的表示方法- 函数的组成：定义域、值域、对应关系2. 函数的性质- 单调性- 奇偶性- 周期性- 有界性3. 特殊函数- 一次函数- 二次函数- 指数函数- 对数函数- 三角函数4. 函数的运算- 函数的加法、减法、乘法、除法- 复合函数- 反函数二、集合与运算1. 集合的基本概念- 集合的定义- 元素与集合的关系- 集合的表示法2. 集合间的关系- 子集、真子集- 并集、交集、补集3. 集合的运算- 集合的并、交、补运算的性质 - 德摩根定律三、不等式与不等式组1. 不等式的性质- 基本性质- 特殊不等式（如柯西不等式）2. 不等式的解集- 一元一次不等式的解集- 一元二次不等式的解集3. 不等式组- 定义- 解集的求解方法- 线性规划四、数列与数学归纳法1. 数列的概念- 数列的定义- 数列的表示方法2. 等差数列与等比数列- 定义与性质- 通项公式- 求和公式3. 数学归纳法- 原理- 证明方法- 应用五、初等几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 圆的性质- 相似三角形- 圆与直线的关系2. 空间几何- 空间图形的基本概念- 空间直线与平面的位置关系- 立体角的概念- 柱、锥、台的体积与表面积计算六、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件- 概率的定义- 条件概率2. 随机变量及其分布- 离散型随机变量- 连续型随机变量- 概率分布与概率密度函数3. 统计基础- 数据的收集与整理- 描述性统计量（均值、中位数、众数等）- 抽样与估计以上是高中数学必修一知识点的思维导图结构。
每个部分都应该详细展开，包含具体的公式、定理、性质和例子。
这份思维导图旨在帮助学生系统地复习和掌握必修一的数学知识，为进一步学习打下坚实的基础。
高中数学知识框架思维导图(整理版)
柯西不等式
第四部分
位置关系
截距
解析几何
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan ， =
倾斜角和斜率
重合
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0
平行
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0
相交
A1B2－A2B1≠0
垂直
直线的方程
z 的几何意义：
过可行域内一点（, ）
向直线 = ， = 作
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
对称性
y＝Asin(x＋)＋b
化简、求值、
证明（恒等变形）
）
值域
图象
对称轴（正切函数除外）经过函数图象
的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，
对称中心是正余弦函数图象的零点，正
切函数的对称中心为( ，0)（k∈Z）.
最值
2
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1
2+1 −1
人教版高中数学知识框架思维导图(04)-按章节整理(含目录高清版)
几何意义
归纳
合情推理
猜想
类比
推理
演绎推理
推理与证明
三段论
大前提、小前提、结论
综合法
由因导果
分析法
执果索因
直接证明
证明
间接证明
1.验证 = 0 （初始值）命题成立；
2.若 = ( ≥ 0 )时命题成立，证明 = + 1时命题也成立.
数学归纳法
两个原理
反设、归谬、结论
反证法
分类加法计算原理和分步乘法计算原理
1.f (a+x)＝f (b-x)，对称轴为 =
对称性
2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(
2
+
2
, )
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
最值
一次、二次函数、反比例函数、双勾函数
基本初等函数
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
分段函数
利用对称性求函数
对称变换： = () → = −()， = () → = (−)， = () → = −(−)
函数图象
及其变换
翻折变换： = () → = |()|， = () → = (||)
伸缩变换： = () → = ()， = () → = ()
②减法：( + i)－( + i)＝(－c)＋(b－d)i；
③乘法：( + i)·( + i)＝(c－bd)＋(d＋bc)i；
运算
④除法：
+i
+i
=
(+i)(−i)
(+i)(−i)
全套高中数学思维导图(清晰打印版)
高中数学必修三目录 第一章 算法初步 算法与程序框图 基本算法语句 算法案例 第二章 统计 随机抽样 用样本估计总体 变量间的相关关系 第三章 概率 随机事件的概率 古典概型函数 任意角和弧度制 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图像与性质 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 三角函数模型的简单应用 第二章 平面向量 平面向量的实际背景及基本概念 平面向量的线性运算 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 平面向量应用举例 第三章 三角恒等变换
高中数学必修五目录 第一章 解三角形 正弦定理和余弦定理 应用举例 实习作业 第二章 数列 数列的概念与简单表示法 等差数列 等差数列的前 n 项和 等比数列 等比数列的前 n 项和 第三章 不等式 不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式(组)与简单的线 性规划问题 基本不等式
圆的方程 直线、圆的位置关系 空间直角坐标系
两角和与差的正弦、余弦和正切公 式
简单的三角恒等变换
高中数学选修 1-2 目录 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初 步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其 初步应用 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 第三章 数系的扩充与复数的引 入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第四章 框图 4.1 流程图 4.2 结构图