深圳市2020届普通高中高三年级一模冲刺试题(理科数学)含答案
2020年深圳市高三一模理科数学试卷(含答案及解析)
2020年广东深圳高三一模理科数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分。
）1. A.B.C.D.已知集合，，则（ ）．2. A.B.C.D.设，则的虚部为（ ）．3. A.B.C.D.某工厂生产的个零件编号为，，，，，现利用如下随机数表从中抽取个进行检测．若从表中第行第列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第个零件编号为（ ）．4. A.B.C.D.记为等差数列的前项和，若，，则为（ ）．5. A.B.C. D.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）．6. A.B.C.D.已知，则（ ）．7.A.B.C.D.的展开式中的系数为（ ）．8. A.B.C. D.函数的图像大致为（ ）．9. A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（ ）．10.A.B.C.D.已知动点在以，，为焦点的椭圆 ，动点在以为圆心，半径长为的圆上，则的最大值为（ ）．11.A.B.C.D.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则（ ）．12.A.B. C. D.已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
）13.若，满足约束条件，则的最小值为 ．14.设数列的前项和为，若，则 ．15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是的概率为 ．16.已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线：相切，则的最大值为 ．三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共计60分。
广东省深圳市2020届普通高中高三线上统一测试数学理试题(解析版)
绝密★启用前试卷类型：A 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3210{，，，=A，}032|{2<--=xxxB，则A B=UA．)3,1(-B．]3,1(-C．)3,0(D．]3,0(答案：B解析：{|13}B x x=-<<，所以，集合A中，元素0，1，2集合B都有，3不在集合B中，所以，A B=U]3,1(-2．设23i32iz+=-，则z的虚部为答案：B解析：23i32iz+=-＝(23i)(3+2i)6496(32i)(3+2i)13i ii+++-==-，所以，虚部为1。
3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42答案：C解析：如下图，第1行第5列的数字开始，大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为：07、04、08、23、12、所以，第5个编号为12，选C。
A．1-B．1C．2-D．2 A．25B．23C．12 D. 074．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为答案：A 解析：16256256()6()3()22a a a a S a a ++===+＝36 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为答案：C解析：双曲线的渐近线为：by x a=±，经过点(1,2)-， 所以，2b a =，离心率为：c e a ====6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=答案：D解析：πsin 2()4α+=22sin(2)cos 2cos sin 2παααα+==-＝222222cos sin 1tan 194cos sin 1tan 195αααααα---===-+++，选D 。
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．
（1）规定预赛成绩不低于 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 分的学生中随机地抽取 人，求恰有 人预赛成绩优良的概率；
④函数 的最小正周期是 ．
其中所有正确结论的编号是（）
A.②③B.①④C.②③④D.①②
12.将边长为 的菱形 沿对角线 折起，顶点 移动至 处，在以点 ， ， 为顶点的四面体 中，棱 、 的中点分别为 、 ，若 ＝ ，且四面体 的外接球球心落在四面体内部，则线段 长度的取值范围为（）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
10.已知过抛物线 ＝ 焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点， 为线段 的中点，连接 ，则 的最小面积为（）
A. B. C. D.
11.已知定义在 上的函数 在 上有且仅有 个零点，其图象关于点 和直线 对称，给出下列结论：
① ；
②函数 在 上有且仅有 个极值点；
③函数 在 上单调递增；
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
2.下列函数中为奇函数的是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.
3.已知复数 ＝ ，则 的共轭复数
（2）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ＝ ，求 的面积．
深圳市2020届高三年级第一次调研考试理科数学试题(含答案)
连接 GM ， AA1C1C 是菱形， A1M AC1 .
由（1）知 A1G 平面 AB1C1 ，故 A1G AC1 ，
A1G A1M A1 ， AC1 平面 A1MG ，
GM 平面 A1MG , GM AC1，……7 分
A1MG 为二面角 A1 AC1 B1 的平面角， 不妨设棱柱的棱长为 2 ，
由题意直线的斜率存在，因为 A(−2,0) ，设直线 l ： y = k (x + 2) ， M (x0, y0 ) ，
x2
联立
4
+
y2
=1
，整理得 (1+ 4k2 )x2 +16k2x + (16k2 − 4) = 0 ，
…………6 分
y = k(x + 2)
由韦达定理，
由双曲线定义可知： 2a =| NF1 | − | NF2 |=| MN | + | MF1 | − | NF2 | ，
| MN |=| NF2 | + | OF2 | ，且| OF2 |= c ， 2a = b + c ， b = c − 2a ，
b2 = (c − 2a)2 = c2 − 4ac + 4a2 ，
又
曲线 y
=
f (x) 关于直线 x = − 1 4
对称， − 1 + 4
=
k2
π+
π 2
，（k2 Z) ……（2）
由（1）、（2）可得 = 2(k1 − k2 ) −1π ，即 = (2n −1)π (n Z) ……（3）
f (x) 在 1, 2 上有且仅有 3 个零点， 2π 2 −1 4π ( 0) ，
E 是 AC 的中点， 到点 A ， C 的距离相等的点位于平面 BED 内，
2020届深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)参考答案
函数 f (x) 在区间[−1,3] 上有两个零点，
f (−1) = 2t 0
则
f
(3)
=
8
−
−1 t 3
6t
0
，解得
0
t
4 3
，
V= 4t 2 + 4 0
0 m n 4 ， | m − n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
sin A
2
2
（法二） acos B + bsin A = c ，
又 acos B + bcos A = c ，
acos B + bsin A = acos B + bcos A ， …………………………………………………8 分
即 sin A = cos A，又 A(0, π) ， A = π . ……………………………………………9 分 4
a2 + b2 − c2 = absin C ， …………………………………………………………………2 分
在△ ABC 中，由余弦定理得 cosC = a2 + b2 − c2 = absin C = sin C ，
2ab
2ab
2
sin C=2cosC ， …………………………………………………………………………4 分
在 Rt NAD 中， sin = AN = 1 = 2 ， …………11 分 ND 2 2
= π ， = π ，
4
2
二面角 N − BD − M 的正弦值为1 .
…………………12ຫໍສະໝຸດ 分（法二）由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 − 2AD ABcosDAB = 3，
2020广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(带解析)
2020广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）（带解析）一、选择题：1.若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A. {2，4}B. {4，6}C. {6，8}D. {2，8}2.若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A. 2B. 3C. ﹣2D. ﹣33.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A. B. C. D.4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A. ﹣3B. ﹣1C. 1D. 35.直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A. B. C. D. 26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A. 4πB. πh2C. π（2﹣h）2D. π（4﹣h）27.函数f（x）= •cosx的图象大致是（）A. B.C. D.8.已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A. ac＞bcB. a c＞b cC. log a（a﹣c）＞log b（b﹣c）D. ＞9.执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A. 335B. 336C. 337D. 33810.已知F是双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. 3 D. 411.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）= ，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+ ﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A. （0，）B. （2 ，+∞）C. （e+ ，+∞）D. （+ ，+∞）二、填空题：13.已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则| + |=________．14.（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为________（用数字作答）．15.若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=________．16.已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．三、解答题：17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c= ，求△ABC的面积S的最大值．18.如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE= ，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b 的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20.已成椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2= 为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN 的面积不小于n2，求n的取值范围．21.已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．22.在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出这个定值．23.已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】C二、<b >填空题：</b>13.【答案】514.【答案】-515.【答案】316.【答案】[0，+∞）三、<b >解答题：</b>17.【答案】（1）∵2a= csinA﹣acosC，∴由正弦定理可得：2sinA= sinCsinA﹣sinAcosC，∵sinA≠0，∴可得：2= sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣= ，可得：C=（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）∴S△ABC= absinC= ab≤ ，可得△ABC面积的最大值为18.【答案】（1）证明：连接EG，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，在△EAD和△EAB中，AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，∴△EAD≌△EAB，∴ED=EB，则BD⊥EG，又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，∵BD⊂平面ABCD，∴平面ACEF⊥平面ABCD（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，∵EF⊥GM，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDM，∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，可求得MG= ，DM=BM= ，在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD= ，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为；解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，∵MG⊥平面ABCD，∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（），F（），，，设平面BEF的一个法向量为，则，取z=2，可得平面BEF的一个法向量为，同理可求得平面DEF的一个法向量为，∴cos＜＞= = ，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．19.【答案】（1）解：当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=（2）解：由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020（3）解：由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.520.【答案】（1）解：由题意知2a=4，所以a=2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则直线A2B2的方程为，即bx+2y﹣2b=0，所以= ，解得b2=3，故椭圆C的方程为（2）解：由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，联立，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，化简得3m2﹣n2+4=0，设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则• =﹣1，解得：t=﹣，所以△F1HN的面积= （n+1）丨﹣丨= ，代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得= 丨m丨，所以丨m丨≥ n2= （3m2+4），解得≤丨m丨≤2，即≤m2≤4，从而≤ ≤4，又n＞0，所以≤n≤4，故n的取值范围为[ ，4]21.【答案】（1）解：对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1，又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2），即y=﹣x﹣e﹣2；（2）解：记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0，由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，下面求函数g（x）的最小值，对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ，令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：min极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1，∴λ﹣eλ﹣1≥0，记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1，令G′（λ）=0，得λ=1，当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：（）max（λ）极大值=G（1）=0，故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号，又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1（3）解：先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2，令h′（x）=0，得x=e﹣2，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：。
深圳市2020届普通高中高三年级模拟测试(理数试题)含答案
深圳市2020届普通高中高三年级统一模拟测试数 学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 }3210{，，，=A }032|{2<--=x x x B A B = A ． )3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设，则的虚部为 23i32iz +=-z 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记为等差数列的前项和，若，，则为n S {}n a n 23a =59a =6S 5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心22221x y a b-=0a >0b >(1,2)-率为6．已知，则tan 3α=-πsin 2()4α+=7．的展开式中的系数为 7)2(xx -3x A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12 D.07A ．36B ．32C ．28 D. 24ABC D.2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D.218．函数的图像大致为()2ln |e 1|xf x x =--9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 1的三视图，则该四面体的外接球表面积为AB ． 32πC ．36πD ．48π10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长M 1F 2F 2214yx +=N M 为 的圆上，则的最大值为 1||MF 2||NF 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则O H ABC M BC A ． 33AB AC HM MO +=+B ．33AB AC HM MO +=- C ． 24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的π[04，π()sin()(0)6f x x ωω=->3ωω取值个数最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x y x z 2-=14．设数列的前项和为，若，则___________． {}n a n n S n a S n n -=2=6aA BC DA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ． 2 D.1 （第9题图）15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验012…9证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码0123的首位数字是的概率为___________．116．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经1(,)2M m m -1(,2N n n -()m n ≠MN P 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则P 21:2C y x x =+(13)x -≤≤的最大值为___．||m n -三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，ABC A B C a b c ABC S .222+2a b c S -=（1）求；cos C （2）若，，求. cos sin a B b A c +=a =b18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别1111ABCD A B C D -ABCD M N 在棱，上，且，.1C C 1A A 12C M MC =12A N NA =（1）求证：平面；1//NC BMD （2）若，，， 13A A =22AB AD ==π3DAB ∠=求二面角的正弦值. N BD M --19．（本小题满分12分）已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，F 2:2(0)C y px p =>(1,2)P -l C A B 为中点，且.M AB OM OP OF λ+=u u u r u u u r u u u r （1）当时，求点的坐标；3λ=M （2）当时，求直线的方程. 12OA OB ⋅=u u r u u u rl 20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天6≤潜伏期天6>总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？20附：0.05 0.025 0.0103.8415.0246.635，其中. ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=)(02k K P ≥0k21．（本小题满分12分） 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数） ()e ln(1)xf x a x =--e=2.718 28⋅⋅⋅（1）若，求函数的极值点个数；a ∈R ()f x （2）若函数在区间上不单调，证明：. ()f x (1,1+e )a-111a a a +>+（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜xOy 1C ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x t α角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C ．θρsin 4=（1）求的直角坐标方程；2C（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若1C 2C F E ,P π)，求直线的普通方程．PF PE EF +=21C23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知为正数，且满足 证明： ,,a b c 1.a b c ++=（1）； 1119a b c++≥（2） 8.27ac bc ab abc ++-≤理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=；当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=，令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=，如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，，又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13.3-14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-，又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t +--+=-，整理得200210x tx --=，（法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-，令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ，如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点，又(1)0f -=，且8(3)3f =，∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--，∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.（1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-= ，，222sin a b c ab C ∴+-=，…………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，sin =2cosC C ∴，…………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C，25cos C=1cosC=5∴±，，由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ ，………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈ ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=.……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，……………………………………………10分sin sin cos cos sin 252510B AC A C ∴=+=⨯+⨯=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得310sin 103sin 22a Bb A==.……………………………12分（法二）cos sin a B b A c += ，又cos cos a B b A c += ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+，…………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈ ，π4A ∴=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分cos cos b C A a C =+，325c ∴==.………………………………………………………12分（法三）求A 同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =.因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0(不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.E GMDN 1D 1C 1B 1A CBAGEMDN1D 1C 1B 1A CBAMDN1D 1C 1B 1A CBA （第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接MG ．设1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ，……………………………………3分又 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ，∴1//NC GM ，…………………………………4分 GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD .…………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC .设G 是BE 的中点，连接GM .……………………1分11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ，……2分又 BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ，…………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，MDN1D 1C 1B 1A CBA ∴//NE 平面BMD ，…………………………………4分又 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E = ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分（2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C--的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………8分四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥，……………………9分又 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D = ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂ 平面11ADD A ，ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin 2AN ND β===，…………11分∴π4β=，π2α=，∴二面角N BD M --的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.zyxMDN1D 1C 1B1A CBA依题意有(0,0,0)D ，B ，(M -，N ，DB = ，(DM =-，DN =，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z=，00n DB n DM⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x z=∴-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n∴=，……………9分同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===，……………11分所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uur uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ，…………………………………2分设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ，………………4分（2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+，……………7分可设l 方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <，………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uur uu u r，…………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>，………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +，…………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =，…………8分所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-，……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r，………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，．．．．（即概率最大其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．．）是多少？附：)(02k K P ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1） 5.45131511130925073105205385110001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=）（x 天.……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6<天潜伏期6≥天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K 2.083≈，………………………………………5分经查表，得 3.8412 2.083<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.……6分（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=，……7分设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20，………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352，…………10分化简得⎩⎨⎧≥--≥+kk k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k ,又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >，………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ，…………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分）（法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<，Q e 1na -<，∴1e 2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<，又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数，∴0x 为函数()f x '的唯一零点，…………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点，……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->，两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->，………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+，先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，……………………………………………………8分（思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+，即1e 1a a -≥+，………………………9分又111eaa-≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-，………………………11分∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………12分（思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=，不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥，…………………………10分当0a >时，1e 1e 01(1)ea aaa a a ----=>++，…………………………………………11分∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………………………………………………12分（法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x-'=---<，∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+，…………………………9分令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++，当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++，显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数，………………………………………10分∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >，………………11分141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+，综上所述，必有111a a a +>+成立.…………………………………………………12分（法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤，则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++，下证当12a ≤≤时，21e 0(1)aa -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1aa <+，………9分令2()e 1a H a a =--，12a ≤≤，则21()e 12aH a '=-，当2ln 2a =时，()0H a '=，不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H =-<，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>，∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增，易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立，综上所述，111a a a +>+.…………………………………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-，将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()3α+>πsin()3α+<，不难知道α必为锐角，故π3sin()32α+>，所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =-==，………………8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z ,因为π03α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+-y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c ba b a c b c=++++++3≥++（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab=+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………10分（法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =---()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020年普通高中高三年级统一测试数学（理科）试题参考答案第16页共16页。
2020年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学答案
圳市育科究院市教育2020年深圳市高三第一次调研考试又绝密★启封并使用完毕前试题类型：A圳市育科究院市教E是AC的中点，∴到点A，C的距离相等的点位于平面B ED'内，同理可知，到点B'，D的距离相等的点位于平面ACF内，cos4EF<<，故应选B.二、填空题：圳市究院市13. 1−14. 32 15. 3 16.4516.解析:如图，不难发现直线1F M与圆O相切于点M，且1||MF b=，2)(sin cos)3cos(2π)x x x.）求函数()f x的最小正周期；已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b1,sin2sinC B，2，求△ABC的面积.解：（1）2)(sin cos)3cos(π2)x x x22sin cos2sin cos3cos2x x x x xsin23cos21x xπ2sin(2)13x，…………………………………4分()f x的最小正周期为2ππ2T. …………………………………………(2)π()2sin()113f A A，πsin()03A，ππ5π2333A，π3A,即π3A. …………………………………………………………由正弦定理及sin2sinC B，可得2c b. …………………………………由余弦定理得2222cosa b c bc A，可得b=. ……………………10分圳市育科学究院市教育科3b=，123sin23ABCS b c A. ……………………………………12分【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理分）111A B C的所有棱长都相等，平面平面11C C.平面AB111AC B的余弦值）证明：设直线1AB与直线BA1A为菱形，11A B AB，分111C C C A，G为1A B的中点，故1G A B,1C G G，且1AB，1C G平面AB，1A B平面（法一）取BC中点O为坐标原点，如图，分别以,OA OC建立空间直角坐标系O xyz. ……6分不妨设棱柱的棱长为2，1(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,1,0)C A B，1(3,0,3)AC，…………分11(3,1,0)AC AC，11(0,2,0)B C BC……………………8分设平面11A AC的一个法向量为1n，且111(,,n x y z111n AC，11n AC，则11111n ACn AC，得30330x yx z，取1z，则1x，3y，1(1,3,1)n，……………………………………………………………………9分设平面11AB C的一个法向量为2n，且2222(,,)n x y z，那么21n AC，211n B C，21211n ACn B C，得33020x zy，取1z，则1x，0y，2(1,0,1)n，……………………………………………………………………11分121212210cos552||||n nn nn n，,圳市育科学研院市教育科学即二面角111A AC B. …………………………………12分（法二）同（法一）建立空间直角坐标系，得1(3,0,3)AC，…………7分0003,,)(0,1,3)y z，点3,1,3)，1(3,0,BA1(0,1,3)AA,由于1A B平面1,所以1BA是平面11B一个法向量. ………………9分设平面11A AC的一个法向量为n，且(,,)n x y z1n AA，1n AC，11n AAn AC，得30330y zx z，取1z，则1x，3y，(1,3,1)n， (11)1112310cos5||||65BA nBA nBA n，,二面角111A AC B的余弦值为105. ……………………………………（法三）如图，连接1AC，交1AC于点M，11AAC C是菱形，11A M AC.1A G平面11AB C，故1AG AC，11A M A，1AC平面1A MG，GM平面1A MG,1GM AC，……7分1A MG为二面角111A AC B的平面角，不妨设棱柱的棱长为2，G，M是△1A BC边1A B，1AC上的中点，112BC,……………11B C中点为N，连接1A N，BN，易得平面11BB C C，1A N BN，16A B，162AG，102， (10)11210cos510GMA MGA M，圳市院市教育二面角111A AC B. …………………………………12分【命题意图】考查线面垂直判断定理、线面垂直性质定理等基本知识，考查空间想象能OM ON⋅为定值1b=，设椭圆的半焦距为24a=，……………………………………，使得OM ON⋅为定值，2,0)，设直线l：2216(16x k x++y4(2OM ON⋅=OM ON⋅为定值，则43OM ON⋅=，存在实数23t=，使得OM ON⋅为定值43. …………………………12分（法二）设存在实数=t t，使得OM ON⋅为定值，(2,0)A−，一般情况设:2(0)l x my m=−≠，00(,)M x y，圳市科学研究院市教联立2x my=−与2214xy+=，易知202284mxm−=+，0244mym=+，……6分222284(,)44m mMm m−++，………………………………………………7分m2t mOM ON⋅=OM ON⋅为定值，0012(84)4t t=−，此时43OM ON⋅=，……………………当直线l与x轴重合，且时，点(2,0)M，点也有43OM ON⋅=，………………………………………………………综上，存在实数t=OM ON⋅为定值4【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线与椭圆的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布()2,Nμσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表），且2362σ=. 利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛圳市究院市教成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉(即减去)2(,Nμσ0.9545，P易知样本中成绩不低于60分的学生共有0.007520100⨯⨯分的学生中随机地抽取(,0.7)B n1.5Xξ=，，…………………………………………………………题的资格，甲需要“花”掉的分数为：………………………………………………设甲答完题的最终分数为，则()M n21000.05() 1.05n n n=−++20.05(10)105n=−−+，…………………………10分由于*n∈N，所以当10n=时，()M n取最大值105，即复赛成绩的最大值为105，圳市究院市教所以若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为10. ……………12分【命题意图】考查频率分布直方图，建模能力；考查超几何分布模型，正态分布，二项分布；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力，决策问题.（2）不等式222cos(2sin)()x a x af x+≤恒成立，即不等式2cos(2sin)cosx a x≤恒成立，令sin[1,1]x t=∈−，则等价于不等式2cos2(1)t a t≤−…①恒成立，………………6分圳市究院市教（法一）①若21t=，即1t=±时，不等式①显然成立，此时Ra∈；……………7分②若11t−<<时，不等式①等价于2cos21tat≥−…②，令2()cos21t t tΦ=+−(01)t≤≤，则()2(sin2)t t t'Φ=−，(1)2(1sin2)0'Φ=−>，∴由（1）不难知道存在唯一的实数(0,1t）∈，使得()0t'Φ=，圳市教育科学研究院市教育科学∴()t Φ在0[0,)t 上单调递减，在0(,1]t 上单调递增，又(0)0Φ=，且(1)cos20Φ=<，∴max ()0t Φ=，即()0H t ≤，………………11分 综上所述，满足题意的实数a 的取值范围为[1,)+∞. ………………………12分（法三）当0t =时，由2cos 2(1)t a t ≤−得1a ≥， ……………………7分下证当且仅当1a ≥时，不等式①在[1,1]t ∈−时恒成立，只需证不等式①在[0,1]t ∈时恒成立即可， ……………………8分 ①若cos20t ≤时，即π[,1]4t ∈时，不等式①显然成立； …………………9分 ②若cos20t >时，即π[0)4t ，∈时，2cos 2(1)t a t ≤−等价于2221cos2t att t≤−…③， 令tan t θ=π(0)4θ≤<，则不等式③等价于2tan 2cos 2attθ≤， …………………10分 又不等式tan sin x x x ≥≥在π[0,)2x ∈时显然成立（证明略）， …………………11分π[0)4t ，∈，∴π2[0,)2t ∈，∴2sin 2t t ≥，∴2sin 2tan 2tan 2cos2cos2at a t a t t t t≥=≥，tan t θθ=>，∴tan 2tan 2t θ≥， ∴2tan 2cos 2attθ≤，即不等式③成立，亦即不等式①成立， 综上所述，满足题意的实数a 的取值范围为[1,)+∞. ………………………12分 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式为载体，考查学生利用导数分析、解决问的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧BC ，AD 和线段AB ，CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，π(2,)3A ，2π(1,)3B ，4π(1,)3C ，π(2,)3D −，弧BC ，AD 所在圆的圆心分别是(0,0)，(2,0)，曲线1M 是弧BC ，曲线2M 是弧AD ．（1）分别写出1M ，2M 的极坐标方程；（2）点E ，F 位于曲线2M 上，且π3EOF ∠=， 求△EOF 面积的取值范围．ABCDOx（第22题图）圳市究院市教解：（1）由题意，1M的极坐标方程是2π4π1()33ρθ=≤≤，……………………2分记圆弧AD所在圆的圆心为1(2,0)O，易得极点O在圆弧AD所在圆上，解得13t≤≤，即实数t的取值范围为[1,3]. ……………………………………5分（说明：分类讨论求解亦可，可相应给分.）圳市究院市教(2) 易知222222()23231f x x t t x t t xx x x=+−++−≥+−++−=+−，……6分。
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如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形， 点 M ， N 分别
在棱 C1C ， A1A 上，且 C1M 2MC ， A1N 2NA .
（1）求证： NC1 // 平面 BMD ；
（2）若
A1 A
3
，
AB
2
AD
2
，
DAB
π 3
，
求二面角 N BD M 的正弦值.
2
15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登
录验证码由 0 ，1， 2 ，… ， 9 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验
证码称为“递增型验证码”(如 0123 )，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码
的首位数字是 1 的概率为___________．
（2）当 OA OB 12 时，求直线 l 的方程.
20．（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应
或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 1000 名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位:天） [0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]
深圳市 2020 年普通高中高三年级一模冲刺试卷
数 学（理科）
本试卷共 23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {0，1，2，3} ， B {x | x2 2x 3 0} ，则 A B
一、选择题
1. B
2. B
3. C
4. A
5. C
6. D
7. B
8. A
9. D
10. B
11. D
12. C
12.
解析：当 π 4
π 6
π 时，即 2
8 时， 3
f
( x) max
1
3
，解得
3；
当 π 4
π 6
π 2
时，即 0
8 时， 3
f
( x)max
sin(π 4
π) 6
3
A． 2
B． 4
C． 8
D． 16
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则
被称为欧拉线定理．设点 O ， H 分别是△ ABC 的外心、垂心，且 M 为 BC 中点，则
A． AB AC 3HM 3MO
，
令 g() sin( π π) ， h() ，
46
3
如图，易知 y g() ， y h() 的图象有两个交点 A(1, y1) ， B(2 , y2 ) ，
所以方程
sin(π 4
π 6
)
3
有两个实根
1，2
，
又
g(8) 3
1
8 9
h(8) 3
，所以易知有
1
8 3
2
，
所以此时存在一个实数 1 满足题设，
17．（本小题满分 12 分） 已 知 △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， △ ABC 的 面 积 为 S ，
a2 +b2 c2 2S . （1）求 cosC ；
（2）若 acos B bsin A c ， a 5 ，求 b .
18．（本小题满分 12 分）
（1）求 cos C ；
（2）若 acos B bsin A c ， a 5 ，求 b .
解：（1）S = 1 absin C，a2 b2 c2 2S ， 2
a2 b2 c2 ab sinC ， …………………………………………………………………2 分
在△ ABC 中，由余弦定理得 cosC a2 b2 c2 absin C sin C ，
2 EF PE PF ，求直线 C1 的普通方程．
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 a, b, c 为正数，且满足 a b c 1. 证明： （1） 1 1 1 9 ；
abc （2） ac bc ab abc 8 .
27
5
理科数学试题答案及评分参考
A． (1,3)
B． (1,3]
C． (0,3)
D． (0,3]
2．设 z 2 3i ，则 z 的虚部为 3 2i
A． 1
B． 1
C． 2
D． 2
3．某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取 5 个进行检测. 若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，直线
C1
的参数方程为
x y
2 t sin
3
,
t
cos
,
（
t
为参数，
为倾斜
角），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin ．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）直线 C1 与 C2 相交于 E, F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2 3, π) ，若
A
Bபைடு நூலகம்
C
D
9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线画出的是某四面体
的三视图，则该四面体的外接球表面积为
A． 32 3π 3
B． 32π
C． 36π
D． 48π
（第 9 题图）
10．已知动点 M
在以 F1 ， F2 为焦点的椭圆 x2
y2 4
1 上，动点 N 在以 M第 9为题圆图心，半径长
为 | MF1 | 的圆上，则 | NF2 | 的最大值为
（2）（法一）在△ ABC 中，由正弦定理得 sin A cos B sin B sin A sin C ，……………7 分
请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计
50 岁以上（含 50 岁）
100
50 岁以下
55
总计
200
（3）以这1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过 6 天
发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调
已知函数 f (x) ex aln(x 1) .（其中常数 e=2.718 28 ，是自然对数的底数） （1）若 a R ，求函数 f (x) 的极值点个数； （2）若函数 f (x) 在区间 (1,1+ea ) 上不单调，证明： 1 1 a .
a a 1
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定 的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．
函数 f ( x) 在区间 [1, 3] 上有两个零点，
f (1) 2t 0
则
f
(3)
8
1 t 3
6t
0
，解得 0
t
4 3
，
V 4t 2 4 0
0 m n 4 ， | m n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分） 已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a2 +b2 c2 2S .
1) 2
， (m
t
n)
，且过点
P
的直线 l
与曲线 C
相切于点 Q ( x0 ,
1 2
x02
x0 )
，
易知
y |x x0
kPQ ，即
x0
1
(1 2
x02
x0 ) x0 t
(t
1) 2
，整理得
x02
2tx0
1
0
，
（法一）显然 x0
0 ，所以 2t
x0
1 x0
，
令 f ( x) x 1 ， x [1,0) U (0,3] ， x
D. 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x 2y 2 0 13．若 x, y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z x 2y 的最小值为 ___________．
x 1
14．设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn 2an n ，则 a6 ___________．
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A． 25
D1 A1
C1
B1 M
D
N
C
A
B
（第 18 题图）
3
19．（本小题满分 12 分）
已知以 F 为焦点的抛物线 C : y2 2 px( p 0) 过点 P(1, 2) ，直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， uuur uuur uuur