算法设计与分析(作业一)

算法设计与分析实验报告学院信息科学与技术学院专业班级软件工程3班学号 20122668 姓名王建君指导教师尹治本2014年10月实验一 同时求最大元与次大元一、问题提出在N 个元素中同时求出最大元与次大元。

二、求解思路利用分治法解决问题。

将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。

递归地解这些子问题，然后将各个子问题解合并得到原问题的解。

三、算法复杂度当n=1时，不需要比较就可知最大元和次大元均为该数本身。

当n=2时，一次比较就可以找出两个元素的最大元和次大元。

当n>2时，可以把n 个数据元素分为大致相等的两半，一半有n/2个数据元素，而另一半有n/2个数据元素。

先分别找出各自组中的最大元和最小元，然后将两个最大元进行比较，就可得n 个元素的最大元； 将两个最小元中的大元与两个最大元中的小元进行比较，就可得n 个元素的次大元。

在规模为n 的数据元素集合中找出最大元和次大元，至少需要5n/2-4次比较，即5n/2-4是找最大次大元算法的下界，得算法复杂度)(42/5)(T n O n n =-=。

四、源代码 #include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define N 10 //宏定义元素的个数int max(int a,int b){if(a>b)return a;elsereturn b;}int min(int a,int b){if(a<b)return a;elsereturn b;}void Search(int a[],int *max0,int *second0,int n){int g[30];int i,m;int max1,max2,second1,second2;if(n==1){*max0=a[0];*second0=a[0];}else if(n==2){*max0=max(a[0],a[1]);*second0=min(a[0],a[1]);}else{m=n/2;for(i=0;i<m;i++)g[i]=a[i];Search(g,&max1,&second1,m);for(i=0;i<n-m;i++)g[i]=a[i+m];Search(g,&max2,&second2,n-m);*max0=max(max1,max2);*second0=max(min(max1,max2),max(second1,second2));}}int main(){int a[N];int i,max,second;system("title 软件3班王建君20122668 分治法求最大元与次大元");printf("请输入%d个数字:\n",N);for(i=0;i<N;i++)scanf("%d",&a[i]);Search(a,&max,&second,N);printf("最大元为%d\n次大元为%d\n",max,second);return 0;}五、结果分析运算结果截图如下依次输入10个数字 12、3、4、9、6、87、34、23、4、2后求得最大元为87，次大元为34。

实验二 实现两个大整数的乘法一、问题提出实现两个大整数的乘法。

二、求解思路利用分治法解决问题。

将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。

递归地解这些子问题，然后将各个子问题解合并得到原问题的解。

三、算法复杂度设X 和Y 都是n 位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY ，我们将n 位的二进制整数X 和Y 各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n 是2的幂)，如下图所示：由此，X=A2n/2+B ，Y=C2n/2+D ，这样，X 和Y 的乘积可表示为：XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD 。

它仅需做3次n/2位整数的乘法(AC ，BD 和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位，由此可得算法复杂度为：用解递归方程的套用法可得其解为：)3log n T 59.12n n O O （）（）（==。

四、源代码#include <iostream>#include <sstream>#include <string>#include <stdlib.h>using namespace std;//string 类型转换成int 类型int string_to_num(string k){int back;stringstream instr(k);instr>>back;return back;}//整形数转换为string类型string num_to_string(int intValue){string result;stringstream stream;stream << intV alue;stream >> result;return result;}//在字符串str前添加s个零string stringBeforeZero(string str,int s){for(int i=0;i<s;i++){str.insert(0,"0");}return str;}//两个大整数字符串相加，超出计算机表示范围的数也能实现相加(本函数可以实现大整数加法运算)string stringAddstring(string str1,string str2){//假定str1和str2是相等的长度，不相等时在前面自动补零，使两个字符串长度相等if (str1.size() > str2.size()){str2 = stringBeforeZero(str2,str1.size() - str2.size());}else if (str1.size() < str2.size()){str1 = stringBeforeZero(str1,str2.size() - str1.size());}string result;int flag=0;//前一进位是否有标志,0代表无进位，1代表有进位for(int i=str1.size()-1;i>=0;i--){int c = (str1[i] - '0') + (str2[i] - '0') + flag;//利用ASCII码对字符进行运算,这里加上flag 代表的是:当前一位有进位时加1，无进位时加0flag = c/10;//c大于10时，flag置为1，否则为0c %= 10;//c大于10时取模，否则为其本身result.insert(0,num_to_string(c));//在result字符串最前端插入新生成的单个字符}if (0 != flag) //最后一为(最高位)判断，如果有进位则再添一位{result.insert(0,num_to_string(flag));}return result;}/*两个大整数字符串相减，超出计算机表示范围的数也能实现相减(在这里比较特殊，第一个参数一定大于第二个参数,因为：a1*b0+a0*b1=(a1+a0)*(b1+b0)-(a1*b1+a0*b0) > 0 ,所以(a1+a0)*(b1+b0) > (a1*b1+a0*b0)这个函数的两个参数，第一个代表的其实就是(a1+a0)*(b1+b0)，第二个代表的其实就是(a1*b1+a0*b0)所以本函数里不用考虑最终得到结果为负数的情况，至于计算有关大整数负数相乘的问题可以通过其他途径判断*/string stringSubtractstring(string str1,string str2){//对传进来的两个数进行修剪，如果前面几位有0则先去掉，便于统一处理while ('0' == str1[0]&&str1.size()>1){str1=str1.substr(1,str1.size()-1);}while ('0' == str2[0]&&str2.size()>1){str2=str2.substr(1,str2.size()-1);}//使两个字符串长度相等if (str1.size() > str2.size()){str2 = stringBeforeZero(str2,str1.size() - str2.size());}string result;for(int i=str1.size()-1;i>=0;i--){int c = (str1[i] - '0') - (str2[i] - '0');//利用ASCII码进行各位减法运算if (c < 0) //当不够减时向前一位借位，前一位也不够位时再向前一位借位，依次如下{c +=10;int prePos = i-1;char preChar = str1[prePos];while ('0' == preChar){str1[prePos]='9';prePos -= 1;preChar = str1[prePos];}str1[prePos]-=1;}result.insert(0,num_to_string(c));//在result字符串最前端插入新生成的单个字符}return result;}//在字符串str后跟随s个零string stringFollowZero(string str,int s){for(int i=0;i<s;i++){str.insert(str.size(),"0");}return str;}//分治法大整数乘法实现函数string IntMult(string x,string y)//递归函数{//对传进来的第一个数进行修剪，如果前面几位有0则先去掉，便于统一处理while ('0' == x[0]&&x.size()>1){x=x.substr(1,x.size()-1);}//对传进来的第二个数进行修剪，如果前面几位有0则先去掉，便于统一处理while ('0' == y[0]&&y.size()>1){y=y.substr(1,y.size()-1);}/*这里的f变量代表在两个数据字符串长度不想等或者不是2的指数倍的情况下，所要统一的长度，这样做是为了让数据长度为2的n次方的情况下便于利用分治法处理*/int f=4;/*当两字符串中有任意一个字符串长度大于2时都要通过与上面定义的f值进行比较，使其达到数据长度为2的n次方，实现方式是在前面补0，这样可以保证数据值大小不变*/if (x.size()>2 || y.size()>2){if (x.size() >= y.size()) //第一个数长度大于等于第二个数长度的情况{while (x.size()>f) //判断f值{f*=2;}if (x.size() != f){x = stringBeforeZero(x,f-x.size());y = stringBeforeZero(y,f-y.size());}}else//第二个数长度大于第一个数长度的情况{while (y.size()>f) //判断f值{f*=2;}if (y.size() != f){x = stringBeforeZero(x,f-x.size());y = stringBeforeZero(y,f-y.size());}}}if (1 == x.size()) //数据长度为1时,在前面补一个0(这里之所以会出现长度为1的数据是因为前面对数据修剪过){x=stringBeforeZero(x,1);}if (1 == y.size()) //数据长度为1时,在前面补一个0(这里之所以会出现长度为1的数据是因为前面对数据修剪过){y=stringBeforeZero(y,1);}if (x.size() > y.size()) //最后一次对数据校正，确保两个数据长度统一{y = stringBeforeZero(y,x.size()-y.size());}if (x.size() < y.size()) //最后一次对数据校正，确保两个数据长度统一{x = stringBeforeZero(x,y.size()-x.size());}int s = x.size();string a1,a0,b1,b0;if( s > 1){a1 = x.substr(0,s/2);a0 = x.substr(s/2,s-1);b1 = y.substr(0,s/2);b0 = y.substr(s/2,s-1);}string result;if( s == 2) //长度为2时代表着递归的结束条件{int na = string_to_num(a1);int nb = string_to_num(a0);int nc = string_to_num(b1);int nd = string_to_num(b0);result = num_to_string((na*10+nb) * (nc*10+nd));}else{ //长度不为2时利用分治法进行递归运算/***************************************************小提示:c = a*b = c2*(10^n) + c1*(10^(n/2)) + c0;a = a1a0 = a1*(10^(n/2)) + a0;b = b1b0 = b1*(10^(n/2)) + b0;c2 = a1*b1; c0 = a0*b0;c1 = (a1 + a0)*(b1 + b0)-(c2 + c0);****************************************************/string c2 = IntMult(a1,b1);// (a1 * b1)string c0 = IntMult(a0,b0);// (a0 * b0)string c1_1 = stringAddstring(a1,a0);// (a1 + a0)string c1_2 = stringAddstring(b1,b0);// (b1 + b0)string c1_3 = IntMult(c1_1,c1_2);// (a1 + a0)*(b1 + b0)string c1_4 = stringAddstring(c2,c0);// (c2 + c0)string c1=stringSubtractstring(c1_3,c1_4);// (a1 + a0)*(b1 + b0)-(c2 + c0)string s1=stringFollowZero(c1,s/2);// c1*(10^(n/2))string s2=stringFollowZero(c2,s);// c2*(10^n)result = stringAddstring(stringAddstring(s2,s1),c0);// c2*(10^n) + c1*(10^(n/2)) + c0 }return result;}int main(){int f=1;string A,B,C,D;string num1,num2;string r;system("title 软件3班王建君20122668 分治法实现大整数乘法");cout<<"请输入第一个大整数(任意长度):";cin>>num1;int i=0;//判断第一个输入的数据是否合法,当字符串中包含非数字字符时提示用户重新输入for(i=0 ;i < num1.size();i++){if (num1[i]<'0' || num1[i]>'9'){cout<<"您输入的数据不合法,请输入有效的整数!"<<endl;cin>>num1;i=-1;}}cout<<"请输入第二个大整数(任意长度):";cin>>num2;//判断第二个输入的数据是否合法,当字符串中包含非数字字符时提示用户重新输入for(i=0 ;i < num2.size();i++){if (num2[i]<'0' || num2[i]>'9'){cout<<"您输入的数据不合法,请输入有效的整数!"<<endl;cin>>num2;i=-1;}}r=IntMult(num1,num2);//对求得的结果进行修剪，去掉最前面的几个0while ('0' == r[0]&&r.size()>1){r=r.substr(1,r.size()-1);}cout<<"两数相乘结果为:"<<endl;cout<<num1<<" "<<"*"<<" "<<num2<<" "<<"="<<" "<<r<<endl<<endl;}五、结果分析计算结果截图如下11210748210374098777790374124081568900。