概率论与数理统计课件(第4章)
概率论与数理统计教程(茆诗松)第4章
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
ห้องสมุดไป่ตู้
1
85
0.5 9
90
0.966.
13 July 2020
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
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二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
第6页
4.4.3 二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np npq
y
( y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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第四章 大数定律与中心极限定理
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第四章 大数定律与中心极限定理
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例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征
北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
哈工大著名老师田波平课件4——概率论与数理统计-刘星斯维提整理
F ( x, y) = P ( X ≤ x,Y ≤ y)
称为二维rv,(X,Y)的分布函数,或称 为X和Y的联合分布函数. 二维rv(X,Y)的分布函数F(X,Y)几 何解释:
6
(X,Y)——随机点之坐标,
x, y ∈ R ,F(x,y)——表示随机点 (X,Y)落在以点(x,y)为顶点的左下
F ( x, y ) = ∫∞ ∫∞ P(u , v )dudv
x y
则称(X,Y)为二维连续型rv,并称P(x,y) 为 二维rv(X,Y)的pdf或称为X和Y的联合pdf.
33
物理解释:设pdf(x,y)为质量面密度,则 F(x,y)相对于以P(x,y)为质量密度分布在 (∞, x] × (∞, y ] 中物质总质量. 由定义知,若 P( x, y )在点(x0,y0)处连续, 则有: 2 F (x , y ) ( x 0 , y 0 ) = P (x 0 , y 0 ) xy
… … …
…
…
Pi … 1
17
Pj P1 P2 … Pj
…
…
Definiton2 设(X,Y)为二维离散型rv,所有可能 取值为(xi,yj)
P = P(X = xi ,Y = y j ) ij
i,j=1,2… 令 (I) i, j =1,2,
则称(I)为rv(X,Y)的分布列,或称为X与Y的 联合分布列. 二维离散型rv分布列具有: (1) (2)
i =1
1
r
表示Ai出现次数,它们都是E0产生的rv;
例 2. X = ( X 1 , X n ) 表示对某物理量的 用 n 次随机测量的结果,则( X 1 , X n ) 是同 一 E 产生的 n 个 rv. 例3.掷一对均匀称骰子一次E,X,Y分
概率论和数理统计(第三学期)第4章随机向量
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)
证明
x, y x• y
Fx, y x y u,vdudv
x
y
u
v
dudv
x
u
du
y
v
dv
F x• F y
i 1
例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正
品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不 放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
pij η
或η的概率分布称为它的边缘分布。
定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)
关于ξ、η的边缘分布函数。
设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边 缘分布函数为
F x P x P{ x, } Fx,
同F理y F , y
由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确 定，但其逆并不一定成立。
（４）对任意两点(x1，y1) 、(x2，y2) ，若x1≤x2， y1≤y2，则 F(x2，y2)－ F(x2，y1) － F(x1，y2)＋ F(x1，y1) ≥0
§4.2 二维离散型随机向量
定义 若随机向量(ξ,η) 所有可能取值是有限对或
可列多对(xi，yj)(i，j=1,2, …)，则称(ξ,η)是二 维离散型随机变量；
我们可以证明：
海南大学《概率论与数理统计》课件 第四章 随机变量及其分布
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
概率论与数理统计(茆诗松)第四章讲义
⎡ T eit ( X − x1 ) − eit ( X − x2 ) ⎤ e − itx1 − e − itx2 ( ) ϕ t dt E dt ⎥ = ⎢ ∫−T ∫−T it it ⎦ ⎣
T
⎡ T cos t ( X − x1 ) + i sin t ( X − x1 ) − cos t ( X − x2 ) − i sin t ( X − x2 ) ⎤ dt ⎥ = E ⎢∫ it ⎦ ⎣ −T cos t ( X − x1 ) − cos t ( X − x2 ) ⎤ ⎡ T sin t ( X − x1 ) − sin t ( X − x2 ) dt ⎥ = E ⎢∫ −i −T t t ⎦ ⎣ ⎡ T sin t ( X − x1 ) − sin t ( X − x2 ) ⎤ dt ⎥ ， = E ⎢2∫ t ⎦ ⎣ 0
itx 0
+∞
−λ x
dx = ∫ λ e
0
+∞
−( λ −it ) x
e −( λ −it ) x λ ； dx = λ ⋅ = − (λ − it ) 0 λ − it
x2
+∞
1 −2 （6）标准正态分布 N (0, 1)：密度函数 p ( x) = e , − ∞ < x < +∞ ，特征函数为 2π
1 1 e itx dx = ⋅ ϕ (t ) = ∫ e ⋅ a b−a b − a it
b itx b
=
a
e ibt − e iat ； it (b − a )
⎧λ e − λx , （5）指数分布 Exp(λ)：密度函数 p ( x) = ⎨ ⎩0,
x > 0; x ≤ 0.
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第4章 随机变量的数字特征指联系于分布函数的某些数，如平均值，离散程度等. 本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数、矩等.4.1随机变量的数学期望例 4.1 甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量X 、Y 表示，它们的分布分别如下：试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣.解 假设甲、乙两射击手分别射击N 次，则射击手甲击中的总环数为106.091.083.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯N N N ，平均环数为3.9106.091.083.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯NN N N ；射击手乙击中的总环数为105.094.081.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯N N N ，平均环数为4.9105.094.081.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯NN N N .上述平均环数可以告诉我们，射击手乙的射击技术优于射击手甲.从例4.1可以看出，在大量次独立重复试验中，离散型随机变量的平均值总是稳定在一个常数附近，这个常数就是将分布列表中各组对应数据相乘所得乘积的总和，据此，我们给出随机变量数学期望的定义.定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为Λ2,1,)(===i p x X P i i . 如果+∞<∑+∞=k k kp x1，则称)(X E =i i i p x ∑+∞=1. （4.1）为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值. 若1||kk k xp +∞=∑不收敛，则称X 的数学期望不存在.类似地给出连续型随机变量的数学期望的定义. 定义4.2 设连续型随机变量X 的密度函数为)(x f . 如果||()x f x dx +∞-∞<+∞⎰，则称)(X E =dx x xf ⎰+∞∞-)(. （4. 2）为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.若||()x f x dx +∞-∞⎰不收敛，则称X 的数学期望不存在.例 4.2 设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X （以分种计）是一个随机变量，其密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤=其他,030001500),3000(1500115000,15001)(22x x x x x f ， 求)(X E . 解 )(X E =dx x x xdx xdx x xf )3000(1500115001)(30001500215002--+=⎰⎰⎰+∞∞- 150********=+=（min ） . 例4.3 柯西分布的密度函数为+∞<<-∞+=x xx f ,111)(2π.求)(X E . 解 因为211||()||1x f x dx x dx x π+∞+∞-∞-∞==+∞+⎰⎰，故)(X E 不存在.4.1.2 随机变量函数的数学期望按照随机变量X 的数学期望的定义，)(X E 由其分布唯一确定，如今若要求随机变量的一个函数)(X g 的数学期望，可以通过下面的一个定理来求得.定理4.1 设Y 是随机变量X 的函数：)(X g Y =（g 为连续函数）. （1）X 是离散型随机变量，它的分布律为Λ2,1,)(===i p x X P i i ，若ii ipx g ∑+∞=1)(绝对收敛，则有[]==)()(X g E Y E i i i p x g ∑+∞=1)( （4. 3）（2）X 是连续型随机变量，它的密度函数为)(x f .若dx x f x g ⎰+∞∞-)()(绝对收敛，则有[]==)()(X g E Y E dx x f x g ⎰+∞∞-)()(. （4. 4）定理4.1的重要意义在于当求)(Y E 时，不必先算出Y 的分布.类似于一维随机变量的数学期望，此定理还可以推广到多维随机变量函数的数学期 望.定理4.2 设Z 是二维随机变量（X ，Y ）的函数：),(Y X g Z =（g 为连续函数）. （1）若二维随机变量（X ，Y ）的分布律ij j i p y Y x X P ===),(，Λ,2,1,=j i 则有ij j i j i p y x g Y X g E Z E ∑∑∞=∞===11),()),(()(. （4.5） （2）若二维随机变量（X ，Y ）的密度函数为),(y x f ，则有dxdy y x f y x g Y X g E Z E ),(),()),(()(⎰⎰∞∞-∞∞-== （4. 6）这里，假设（4.5），（4.6）的右端都是绝对收敛的.例4.4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0)(x x xe x f x. 求E (e -3X ).解 161)()(040333==⋅==⎰⎰⎰+∞-+∞--+∞∞---dx xe dx xe e dx x f e e E x x x x X .例4.5 设随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，其密度函数为22221),(y x e y x f +-=π，求22Y X Z +=的数学期望)(Z E .解 dxdy e y x Z E y x 2222221)(+-∞+∞-∞+∞-⋅+=⎰⎰πrdr er d r 220221-∞+⋅=⎰⎰πθπdr er r 2022221-∞+⋅⋅=⎰ππ221221222ππππ=⋅==-∞+⎰dr er . 4.1.3 数学期望的性质 以下假设所涉及的随机变量的数学期望存在. 性质1 设C 是常数，则有C C E =)(.性质2 设X 是一个随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E =. 性质3 设Y X ,是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+. 推论 设有随机变量,,,21n X X X Λ则有)()(11∑∑===ni i ni iX E XE .性质4 设Y X ,是两个独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =.性质1和性质2可以自己证明.下面就连续情形给出性质3和性质4的证明，对于离散情形，读者只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到证明.证明（性质3） 设二维随机变量（Y X ,）的密度函数为),(y x f ，其边缘密度函数为)(x f X ，)(x f Y .由随机变量函数的数学期望知道，dxdy y x f y x Y X E ),()()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=+ +=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f x ),(dxdy y x f y ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-)()(Y E X E +=. 证明（性质4） 因Y X ,是两个独立的随机变量，于是=)(XY E dxdy y x f xy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞- dxdy y f x f x Y X )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==])([dx x f x X ⎰+∞∞-])([dy y f y Y ⎰+∞∞-=)()(Y E X E .例4.6 机场大巴载有20位旅客自起点站开出，途经10个站点.设每位旅客在各个站点下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立.以X 表示停车的次数，求)(X E .解 引入随机变量⎩⎨⎧=。
i ，i X i 站有人下车在第站没有人下车在第,1,010,,2,1Λ=i .易知 1021X X X X i Λ++=.按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率是109，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为20109⎪⎭⎫ ⎝⎛，在第i 站有人下车的概率为201091⎪⎭⎫⎝⎛-，也就是 ,109)0(20⎪⎭⎫ ⎝⎛==i X P 10,,2,1,1091)1(20Λ=⎪⎭⎫⎝⎛-==i X P i .进而，有)()(1021X X X E X E +++=Λ)()()(1021X E X E X E +++=Λ784.810911020=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.本题是将X 分解成若干个随机变量之和，然后利用数学期望的性质来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义.4.2 随机变量的方差4.2.1 方差的定义例4.1曾用平均环数来评判甲、乙两个射击手射击技术的优劣，如果二者平均环数相同，那么仅用平均环数就无法科学地评判两个射击手射击技术的优劣，如下例.例 4.7 甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量X 、Y 表示，它们的分布分别如下：试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣.解 假设甲、乙两射击手分别射击N 次，则射击手甲击中的平均环数为3.9106.091.083.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯NN N N ；射击手乙击中的平均环数为3.9105.093.082.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯NN N N .其实, 还可以进一步考察射击手环数与平均环数的偏离程度，若偏离程度较小，则表示成绩比较稳定.从这个意义上说，我们认为甲射击手相对于乙射击手较稳定.由此可见，讨论随机变量与其均值的偏离程度是十分有必要的.那么用怎样的量去度量这个偏离程度呢？因为)(X E X - 可能为正，也可能为负，为了避免正负偏离相互抵消，自然而然会考虑取)(X E X -，但是绝对值运算不方便. 为了便于运算方便，通常是取()2)(X E X -，然后求其均值)))(((2X E X E -就可以作为刻画随机变量X 的“波动”程度，这个量被称作为随机变量X 的方差.定义 4.3 设X 是一个随机变量,若2[(()]E X E X -存在,则称2[(()]E X E X -为随机变量X 的方差, 记为)(X D 或)(X Var ，即==)()(X Var X D 2[(()]E X E X -. （4.7）称方差的算术平方根)(X D 为随机变量X 的标准差或均方差，记为)(X σ.方差和标准差的功能相似，它们都是用来描述随机变量取值的集中与分散程度的两个特征数，若X 的取值比较集中，则)(X D 较小，若X 的取值比较分散，则)(X D 较大.方差与标准差的区别主要在量纲上，由于标准差与所讨论的随机变量的数学期望有相同的量纲，所以在实际中，人们比较喜欢选用标准差，但标准差的计算必须通过方差才能计算.由定义4.3知道，方差实际上就是随机变量X 的函数2))(()(X E X X g -=的数学期望，于是，对于离散型随机变量，按（4. 7）式有[]i i i p X E x X D ⋅-=∑∞=12)()(， （4.8）其中Λ2,1,)(===i p x X P i i 为X 的分布律.对于连续型随机变量，按（4.7）式有[]dx x f X E x X D )()()(2⎰+∞∞--=， （4.9） 其中)(x f 为X 的密度函数.随机变量X 的方差可按下面公式计算：[]22)()()(X E X E X D -=. （4.10）事实上，由数学期望的性质1、性质2、性质3得))]([)(2()]([)(222X E X XE X E X E X E X D +-=-=[]22)()()(2)(X E X E X E X E +-=[]22)()(X E X E -=.4.2.2 方差的性质下面给出数学期望的几个常用性质,以下假设随机变量的数学期望是存在的. 性质1 0)(≥X D .性质2 设C 是常数，则有0)(=C D .性质3 X 是一个随机变量，C 是常数，则有)()(2X D C d CX D =+. 性质4 设Y X ,是两个随机变量，则有)]()][([2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+.特别地, 若Y X ,相互独立,则有)()()(Y D X D Y X D +=±. 证明 2)]()[()(Y X E Y X E Y X D +-+=+ 2)](()([(Y E Y X E X E -+-=)]()][([2)]([)]([22Y E Y X E X E Y E Y E X E X E --+-+-=)]()][([2)()(Y E Y X E X E Y D X D --++=又)]()][([Y E Y X E X E --)]()()()([Y E X E Y XE X YE XY E +--=)()()()()()()(Y E X E X E Y E Y E X E XY E +--=)()()(Y E X E XY E -=.若Y X ,相互独立,由数学期望的性质4知道0)()()(=-Y E X E XY E ,于是有)()()(Y D X D Y X D +=+.同理可证明 )()()(Y D X D Y X D +=-.这一性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.例如，若,,,2,1),,(~2n i N X i i i Λ=σμ且它们相互独立，则它们的线性组合：n n X C X C X C +++Λ2211（n C C C ,,,21Λ是不全为0的常数）仍服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道：),(~21212211i ni i n i i i n n C C N X C X C X C σμ∑∑==+++Λ.这是一个重要的结果.例 4.8 若)6,3(~),5,2(~22N Y N X 且它们相互独立，求随机变量函数Y X Z 42-=的分布.解 83422)(-=⨯-⨯=Z E ，6766452)(2222=⨯+⨯=Z D ， 故)676,8(~-N Z .4.3 常见随机变量的数学期望和方差1.两点分布的数学期望和方差 设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛p qX 10~，p q p -=<<1,10，则p X E =)(，pq X D =)(. 证明 ()01E X q p p =⨯+⨯=，而222()0(1)1E X p p p =⨯-+⨯=由公式（4.10）知[]pq p p p p X E X E X D =-=-=-=)1()()()(222.2.二项分布的数学期望和方差设,10),,(~<<p p n B X 则np X E =)(,npq X D =)(. 证明 由于随机变量),(~p n B X ，即{}kn k k n q p C k X P -==，)1;,,2,1,0(p q n k -==Λ，所以∑==nK k X E 0)(=-kn kk nqp C k n k nK q p k n k n k -=⋅-⋅∑)!(!!=k n k nk q p k n k n n -=⋅---⋅∑)!()!1()!1(1k n k nk q p k n k n np--=⋅---=∑11)!()!1()!1(1)(-+=n q p np np =.[]kn k nk k n kn knk k nq p C k k k qp C k X E -=-=∑∑+-==0022)1()(kn k nk k n kn knk k nq p kC qp C k k -=-=∑∑+-=00)1( np q p C k k kn k nk k n +-=-=∑0)1( np q p k n k n k k kn k nk +--=-=∑2)!(!!)1(np q p k n k n pn n k n k nk +----=----=∑)2()2(222)!()!2()!2()1( np q p p n n n ++-=-22)()1( np p n n +-=2)1(.于是[]npq X E X E X D =-=22)()()(.3.泊松分布的数学期望和方差设)(~λP X ，则λ=)(X E ,λ=)(X D . 证明 由于随机变量X 的分布律为(),0,1,2,0!k e P X k k k λλλ-===>L .所以随机变量X 的数学期望为λλλλλλλλλ=⋅=-==--∞=--∞=-∑∑e e k ek e kX E k k k k 11)!1(!)(，即 λ=)(X E .[][])()1()1()(2X E X X E X X X E X E +-=+-=22212(1)!(2)!k k k k e k k ee e k k λλλλλλλλλλλ--∞∞--===-+=+=⋅+-∑∑λλ+=2所以随机变量X 的方差为[]λ=-=22)()()(X E X E X D .由此，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于λ.又泊松分布只含有一个参数λ，只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了.4.几何分布的数学期望和方差 设)(~p G X ，则p X E 1)(=，21)(p p X D -=. 证明 由于随机变量X 的分布律为 1)(-==k pqk X P ，Λ,2,1=k ，则称随机变量X 的数学期望为 pkq p kpqX E k k k k 1)(1111===∑∑+∞=-+∞=-. ∑∑+∞=-+∞=-==1121122)(k k k k q k p pqkX E])1([1111∑∑+∞=-+∞=-+-=k k k k kq q k k ppp q p q pq121)1(223+=+-=，所以随机变量X 的方差为2221)]([)()(p pX E X E X D -=-=. 5.均匀分布的数学期望和方差设),(~b a U X ，则2)(ba X E +=, 12)()(2ab X D -=.证明 由于随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=。