高数课件1

反函数 y = ϕ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数 y = f ( x ) P (a , b)
x
对称. 直接函数与反函数的图形关于直线 y = x 对称
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练 习 题
一、填空题: 填空题:
1 5 2 1、若 f = + 2t , 则 f ( t ) = __________ , t t f ( t 2 + 1) = __________ . π 1, x ≤ 3 2、若 φ( t ) = , sin x , x > π 3 π π =_________， 则 φ( ) =_________ ， φ( ) =_________. 6 3
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第一章
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定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集， 若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则总有 确定的数值和它对应， 确定的数值和它对应，则称y是x的函数 的函数 记作
因变量
y = f (x)
自变量
当x 0 ∈ D时, 称f ( x0 )为函数在点 x 0处的函数值 .
3、 的区间表示法是_________. 3 、 不等式 x − 5 < 1的区间表示法是_________. 4、 4 、 设 y = x 2 , 要使 x ∈ U ( 0, δ ) 时， y ∈ U ( 0,2) , 营口地区成人高等教育QQ群 须 δ __________.
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上的单调性. 二、证明 y = lg x 在 ( 0,+∞ ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( − a , a ) ( a > 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 为周期的函数， 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 , −1 < x < 0 , 试在( −∞,+∞ ) 上绘出 且 f ( x) = 0, 0 ≤ x < 1 的图形. f ( x ) 的图形. 证明：两个偶函数的乘积是偶函数， 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax − b 的反函数是其本身. 六、证明函数 y = 的反函数是其本身. cx− − a x e −e x 的反函数，并指出其定义域. 七、求 f ( x ) = x 的反函数，并指出其定义域. −x e +e
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 通常说周期函数的周期是指其最小正周期） 周期
−
3l 2
−
lHale Waihona Puke 2l 23l 2营口地区成人高等教育QQ群 54356621
四、反函数
y
函数 y = f ( x )
y
反函数 x = ϕ( y )
W
W
o
D
x
o
D
x
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y
则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
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2．函数的单调性: ．函数的单调性
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间I ∈ D , 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 < x 2时, 恒有 (1) f ( x1 ) < f ( x 2 ),
函数值全体组成的数集 W = { y y = f ( x ), x ∈ D } 称为函数的值域 .
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函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则
x (
(
D
对应法则f 对应法则
x0 )
f (x0 )
自变量
W
y
)
因变量
约定: 约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值. 的一切实数值
高等数学
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在学习高等数学时，要透过抽象的表达形式， 在学习高等数学时，要透过抽象的表达形式，深刻 理解基本概念和理论的内涵与实质， 理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内 在联系，正确领会一些重要的数学思想方法， 在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面 也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。 也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
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4．函数的周期性: ．函数的周期性
设函数 f ( x )的定义域为 D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x ∈ D, ( x ± l ) ∈ D. 则称 f ( x )为周
期函数 , l称为 f ( x )的周期 . 且f ( x + l ) = f ( x )恒成立 .
例如， 例如， y = 1 − x 2 1 例如， 例如， y = 1 − x2
D : [−1,1]
D : ( −1,1)
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一、函数的特性
1．函数的有界性: ．函数的有界性
若X ⊂ D, ∃M > 0, ∀x ∈ X , 有 f ( x ) ≤ M 成立,
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
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3．函数的奇偶性: ．函数的奇偶性
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有 f ( − x ) = f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
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练习题答案
2 2 2 2、1,1； 一、1、5t + 2 , 5( t + 1) + 2 ； 2、1,1； 2 t ( t + 1) 3、(4,6)； 3、(4,6)； 4.∈ (0, 2 ]. 1+ x 七、 y = ln , ( −1,1) . 1− x
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调增加的 ;
y
y = f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
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x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间I ∈ D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) > f ( x 2 ),
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高等数学
1.函数 理解） 1.函数 极限与连续 （理解） 2.导数与微分 掌握） 2.导数与微分 （掌握） 3.中值定理 了解） 3.中值定理 （了解） 4.不定积分 理解） 4.不定积分 （理解） 5.定积分 掌握） 5.定积分 （掌握） 6.微分方程 了解） 6.微分方程 （了解） 考试不作要求） 其他部分 （考试不作要求）
y
y = f ( x)
f (− x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
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设D关于原点对称 , 对于 ∀x ∈ D, 有
f (− x ) = − f ( x )
称 f ( x )为奇函数 ;
y
y = f ( x)
f ( x)
-x o
f (− x )
x
x
奇函数
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 学习数学，必须做一定数量的习题， 是为了掌握数学的基本运算方法， 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题， 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学 好了数学。 好了数学。
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高等数学中几乎所有的概念都离不开极限， 高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极 限概念是高等数学的重要概念， 限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学 的基础理论，极限是高等数学的精华所在， 的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数 学的灵魂。 学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分 的关键， 的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重 要阶梯。 要阶梯。 极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势， 极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这 里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变 里所讲的变化趋势有其明确的含义： 化过程多么复杂， 化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终 极目标，若这个终极目标存在， 极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限
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