十字相乘法 导学案
成都市东湖中学因式分解-十字相乘法导学案
成都市东湖中学因式分解-十字相乘法导学案一、探索：1．问题:我们能用“提取公因式法”、“公式法”分解下列式子吗？（1） 652++x x （2） 62--x x2．回忆：___________________))(=++q x p x （反之：___________________)(2=+++pq x q p x3．因式分解：(1)256x x ++观察以下过程：∴256(2)(3)x x x x ++=++(2)62--x x观察以下过程：=--∴62x x （ ）( )思考：以上的二次三项式 256x x ++ ，62--x x 分解因式有什么规律？以上这种进行因式分解的方法称为十字相乘法。
4、试一试：因式分解（1）652--x x （2）256x x -+（3）234x x +- （4）234x x --５、比一比 抢答练习(1) x 2 －7x + 12(2) x 2－4x －12 (3) x 2 + 8x + 12 (4) x 2 －11x －12(5) x 2 + 13x + 12(6) x 2 －x －12 (7)232x x ++ (8)276x x -+(9)2421x x --(10)2215x x +- (11) x 2-10x+24 (12) x 2+3x-10(13) x 2-3x-28(14) a 2+4a-21 (15)m 2+4m-12 (16)p 2-8p+7(17) a 2+4a-21 (18)m 2+4m-12 (19)p 2-8p+7 (20)b 2+11b+28二、 十字相乘法归纳总结提升1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符 号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号 与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．【典型例题】例1 把2x2-7x+3因式分解。
浙教版七年级下册十字相乘法公开课导学案
〖导学案〗 十字相乘法导学案班级_________ 姓名__________【自主卡】1、了解十字相乘法分解因式.2、能用适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.【自主卡】一个二次三项式，既不能提取公因式，也不能用完全平方公式，该怎样进行因式分解呢？例如 ：2812x x ++ ,不妨试试看？【新知活动】1、计算下列各式： 你能用什么简便方法把这类计算题算得又快又准？（1）(5)(9)x x +- （2）(5)(9)x x -- （3）(6)(10)x x +- （4）(10)(15)x x +-2. 整式乘法运算2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ ，因式分解就是 2()()()x a b x ab x a x b +++=++对于二次三项式．．．．． 2x px q ++ 因式分解成 2()()x px q x a x b ++=++ 需要拆分q ，找到a 和b 使q ab =，同时使p a b =+ ，那么22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++可以表示为2x px q ++ 例如：21440x x ++x a x 10x b x 4ax + bx ()a b x =+ 10x + 4x 14x =即p a b →+ q ab → 即 41014p →+=41040q →⨯=∴ 2()()x px q x a x b ++=++ ∴ 21440(4)(10)x x x x ++=++定义：利用十字交叉线来分解系数 , 把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.拆一拆 ：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6 = ； 12 = ；24 = -6 = ； -12 = ;-24= .尝试练习：将下列各式用十字相乘法因式分解：(1) 2712x x -+ (2) 2412x x -- (3) 21112x x -- (4) 21112x x --(5) 212x x -- (6) 22524x x ++ （7）2524x x -- （8）2224x x --【课堂检测】1．分解因式⑴a 2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶a 2+2ab+b 2-ac-bc⑷x 2-y 2-z 2-2yz (5)x 2+9x+14 (6)x 2-8x+12(7) x 2-3x-10 (8)x 2+2x-8 （9）23269a b ab b ++2.若m 2-5m-6=(m+a)(m+b)，求a ，b 的值。
华东师大版八年级数学上册第12章12.5.3十字相乘法分解因式(一)导学案
；24 ； -24
1、掌握方法 拆分常数项 ， 验证一次项
十字左边相乘等于 交叉相乘再相加等于
项系数，右边相乘等于 系数
2、符号规律 当 q＞0 时， a 、b 的符号
，并且 a、 b 的符号与 p 的符号
当 q＜0 时， a、b 的符号
，并且绝对值较大的因数的符号与
学以致用
1、 自主学习 中要求把 （5）—（ 8）题因式分解，其中的 a 和 b 是怎样确定的？
（ 9） x 2 12 x 36 （ 10） x 2 10 x 25 （ 11） x2 14 x 49 （12） x 2 20x 100
拓展延伸：
1、因式分解：
x2 5xy 14 y2
2、已知 x y 0.2 ，试求 3x2 12xy 9 y2 的值。
3、已知 x2 5x 998 0，试求 x3 6x2 993x 1008 的值。
华东师大版八年级数学上册 第 12 章 12.5.3 十字相乘法分解因式（一） 导学案
课题：形如 x 2 ( a b) x ab 的二次三项式的因式分解
预习导学：
1、 我们已经学过了哪些因式分解的方法？ 2、填空
（ 1） 项式；
（ 2）
类型的多项式适合用 平方差公式 分解因式，这个多项式是 类型的多项式适合用 完全平方公式 分解因式， 这个多项式是
∴ x2 1 4 x 4 0 x( 4 x) ( 1 0 )
用十字相乘法因式分解的好处是： 1、简便快捷 2、对分式的计算有所帮助（第三章分式） 3、用来解一元二次方程（初三）
课堂小练习：
1、 将下列各式 用十字相乘法 因式分解：
(1) x2 7 x 12
(2) x2 4x 12
(3) x2 11x 12
用十字相乘法解一元二次方程(补)导学案
课题 2.4.2 用十字相乘法 课型 新授 课时 22 教师 解一元二次方程（补）
教学 1． 理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。 目标 2． 在分解因式的基础上实行解一元二次方程。
重点 用十字相乘法解一元二次方程
难点 用十字相乘法解一元二次方程
教法
合作探究
学法
合作交流
时间
次项的系 由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式
ax2 bx c 实行因式分解。
我们知道，
a1x c1 a2x c2
a1a2 x2 a1c2 x a2c1x c1c2
a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2
反过来，就得到
a1a2 x2 a1c2 a2c1 x c1c2 a1x c1 a2x c2
式，能够把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式。 把 x2 px q 分解因式时：
如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，
它们的符号与一次项系数 p 的符号相同。
如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，
其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同。 对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一
能上一行，a2 ，c2
位于下一行。 像这种借助画十字交叉分解系数，从而协助我们把二
次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 一般地我们也能够用这种方法实行解一元二次方程。
例 1 （1） x2 3x 2 =0
（1） x2 4x 21=0
我们发现，二次项的系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解
成 c1c2 ，并且把 a1 ， a2 ， c1 ， c2 排列如下：
a1
c1
十字相乘法导学案.doc
标
发展题：
测 （1） x4 3x 4
（2） x2 2x 15
我还有什么 疑问？
试
提高题：（1） x2 2xy 8y2 （2）a2 4ab 3b2
我这节课的 不足是：
桃源七中八年级数学因式分解（十字相乘法）导学案
导 （3）(x－2)(x＋1)=
（4）(x－2)(x－1)=
2、根据上面的计算试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：
x2 ＋ (2 ＋ 3)x ＋ 2×3 ＝
； x2 ＋ ( － 1 － 2)x ＋ ( － 1)×( － 2)
＝
；
x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝
；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝
发展题： 作 （1） x2 4x 3
（2） x2 8x 12
（3） x2 8x 15
（4） x2 6x 7
探 提高题：（1）x2＋xy－12y2
究
（2）x4＋5x2－6
基础题：
达 （1）a2 10a 11 （2）m2 3m 4
（3）x2 x 30
这节课我有
（4）x2 12x 13 什么收获？
练习：
（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21
（3）t 2－2t－8
桃源七中八＋6
合
（2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6 （4）m2＋4m－12
方式： 先小组内
讨 论 ，然 后 展 示 在 本组 的 展 示 区 ，一 人 主 讲，一人板书。
4、因式分解：
叫因式分解。 。 。
方式： 组长交老师
检 查 ，其 他 组 长检查。 方式：
对子评星， 1
颗到 5 颗。
完 成 情况 好 三
习
14.3.4十字相乘法--新人教版初中数学导学案八年级上册《整式》【一流精品】
课题： 14、3、4十字相乘法【学习目标】1、了解“二次三项式”的特征，理解“十字相乘”法的理论根据；2、能熟练地把形如的二次三项式因式分解。
3、通过对规律的探索，提升自己从特殊到一般，从具体到抽象的思维品质，通过课堂交流，培养合作学习能力，提高自己的表达能力。
【学习重点】熟练地把形如的二次三项式因式分解 【学习难点】在分解形如的二次三项式时能准确找到各个因式。
【课前预习案】１、因式分解与整式乘法的关系： ；２．已有的因式分解方法： ；３．把下列各式因式分解：(1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2 (3)x 4-8x 2+16【课中探究案】 活动一：探究的分解１．提出问题： 你能分解x 2+3x+2吗？（1）请直接填写下列结果2、（1）（x+2）（x+1）= ；（x+7）（x-1）= ；（x+P ）（x+q ）= ；(2)因式分解x 2+3x+2= x 2 + 6x – 7= x 2+(p+q)x+(pq)=把上述式子左右对调，你有什么发现？（2）把x 2+3x+2分解因式 步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，和相加③检验确定，横写因式2X + X = 3X 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)练一练：（1）652--x x （2）256x x -+ （3）234x x +-（4）234x x -- （5）-x 2-6x+16 （6）（7）x 2-5x+6 （8） （9）x 2+2x-3拓展练习1、用十字相乘法分解因式：x x 12⨯（1）22157x x ++ (2) 2384a a -+2、先阅读学习，再求解问题：材料：解方程：=-+1032x x 0。
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0∴x+5=0或 x-2=0由x+5=0得x=-5由x-2=0得x=2∴x=-5或 x=2为原方程的解。
解方程：x 2-2x-3=0。
【课末达标案】1．把下列各式分解因式：（1）1522--x x = ； (2) =-+1032x x 。
十字相乘法导学案
学具使用 多媒体课件
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前 20 分钟）
1、阅读课本 P 121 页，思考下列问题：
（1） x2 (a b)x ab (x a)(x b) 你能理解吗？
（2）课本 P121 页最下面 4 道题你能独立解答吗？
10. a 2 n a (_____) (____ ____)2 ． m
B． (2x 2 y)2 13(x y) 20 D． 2(x y)2 9(x y) 20
二、填空题
6. x2 3x 10 __________． 7. m2 5m 6 (m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________． 8. 2x2 5x 3 (x－3)(__________)． 9. x2 ____ 2 y2 (x－y)(__________)．
（1）二次项系数是
；
（2）常数项是两个数的
；
（3）一次项系数是常数项的两个因数的
。
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(x＋a)(x＋b)竖
式乘法法则．
（二）例题讲解
例 1.因式分解 x2 + 6x ― 7
步骤：1.竖分二次项与常数项； 2.交叉相乘，积相加； 3.检验确定，横写因式
A．ab
B．a＋b C．－ab
D．－(a＋b)
2.如果 x2 (a b) x 5b x2 x 30 ，则 b 为 ( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
八年级数学上册 14.3.3 十字相乘法导学案(新版)新人教版
八年级数学上册 14.3.3 十字相乘法导学案（新版）新人教版1、会用字相乘法把形x2+px+q的二次三项式分解因式；2、培养自己的观察、分析、抽象、概括的能力、学习重点：能熟练地用字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。
学习难点：把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b,使ab=q、a+b=p、学习过程：一、自主学习：(一)课前检测，回顾旧知：1、分解因式：（1）x2-4x+4；（2）x2+6x+9、2、填空：（ x+a）（x+b）= 反之，x2+（a+b）x+ab=(二)基础知识导学，感受新知：由上面的回顾旧知可知形如x2+px+q的二次三项式，如果常数项 q 能分解成两个因数a、b的积，并且a+b 恰好等于一次项系数p,那么它就能分解因式，即x2+px+q= x2+（a+b）x+ab=（ x+a）（x+b）例如：（1）x2+7x+6=（x+1）（x+6）（2） x2+6x-7=(x+7)(x-1) X2分解为6分解为 x2分解为1像这样借助字交叉线分解因式的方法，通常叫字相乘法。
顺口溜:竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
步骤：（1）竖分二次项与常数项；（2）交叉相乘和相加；（3）检验正确，横写因式、二、合作交流探究与展示1、在例（1）中6为什么不分解成23呢？或者分解成（-1）（-6）呢？每一根对角线上的两项的积的和是多少？正好等于谁？2、（1）如果常数项是正数，那么它分解成的两个因数有什么特点？（2）如果常数项是负数，那么它分解成的两个因数又是什么特点？（3）你有什么发现？三、当堂检测：必做1、用字相乘法分解下例因式（1）y2+9y+8; (2)x2-5x+6; (3)x2+2x-3; (4)a2-3a-10; (5)x2+x-30、 B组2、用字相乘法分解下例因式（1）x2-5xy+6y2; (2)x4+2x2-3;(3)y4+3y2-28; (4)3 x2-2x-8、。
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十字相乘法分解因式
【学习目标】
1、能熟练地把形如的二次三项式因式分解。
2、通过课堂交流，培养合作学习能力，提高自己的表达能力。
3、通过对规律的探索，提升自己从特殊到一般，从具体到抽象的思维品质。
【学习重点和难点】
重点：熟练地把形如的二次三项式因式分解
难点：在分解形如的二次三项式时能准确找到各个因式。
【课前导学】
1、计算：
(1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1)
(5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3)
2、问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢
(x + a)(x + b) =
反之可得：=
3、由此你能发现把形如x2+px+q二次三项式分解因式的方法吗
提示：⑴可从一次项系数和常数项找规律；
⑵可用具体的例子来说明。
【课堂研讨与展示】
一、交流展示
例1、分解因式:
⑴⑵x2-5x+6
⑵⑷x2+2x-3
二、梳理归纳
1、独立思考下列问题（比一比，谁的语言简练准确，有更多发现，师点拨：由特殊到一般）
（1）要将二次三项式因式分解，需要找到两个数a 和b ，使它们的 等于 ，并且验证它们的 等于 ，如果满足这两个条件就可以利用十字相乘法进行因式分解。
（2）所有形如
的二次三项式在有理数范围内都能分解因式吗请举例说明。
（3）因式分解的符号规律你能发现吗
当q>0，p>0时 当q>0，p<0
当q<0，p>0时 当q<0，p<0
三、综合延伸：
1、类比上述方法，把下列各式分解因式
（1）2
(xy)5xy+6 - （2）4220x x -- （3）()()2223320x x x x +++-
2、先填空,再分解[尽可能多的]（发散拓展）：
四、检测与反馈
（1）276x x -+ （2）2215x x +- （3）22421x xy y --
（4）4220x x -+ （5）222(2)11(2)24x x x x +-++ （6）3412a a a --+
五、拓展
我们已经学会了二次项系数为1的一类二次三项式的分解因式，那么如果二次项系数不是1还能使用我们本节课学习的方法吗让我们深入思考一下~！
（1）2224x x --+ （2）232118x x -+
（3）243x x -- （4）226y y +-。