十字相乘例题及在资料分析中的使用
“十字相乘法”的妙用
“十字相乘法”的妙用“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。
它在分解因式与解一元二次方程中有广泛的应用。
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
一、用十字相乘法分解一般的二次三项式例1 、把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2╳1 6所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)例2、把 x²-5x+6分解因式解：因为1 -2╳1 -3所以x²-5x+6=（x-2）(x-3)例3、把 x²-5x-6分解因式解：因为1 +1╳1 -6所以x²-5x-6=（x+1）(x-6)例4、把 x²+5x-6分解因式解：因为1 -1╳1 +6所以x²+5x-6=（x-1）(x+6)例5、把 x²+5x+6分解因式解：因为1 +2╳1 +3所以x²+5x+6=（x+2）(x+3)二、用十字相乘法分解特殊的多项式例6、把x²- y²分解因式解：因为1 1╳1 -1所以x²- y²=（x+y）（x-y）例7、把x²+2 xy+ y²分解因式解：因为1 1╳1 1所以x²+2 xy+ y²=（x+y）(x+y)例8、把x²-2 xy+ y²分解因式解：因为1 - 1╳1 - 1所以x²-2 xy+ y²=（x-y）(x-y)三、用十字相乘法解一些比较难的题目：例9、把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
巧解数量关系之十字相乘法
首先，我们通过一个例题来简单介绍下十字相乘法的优势。
【例1】某班一次数学测试，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，则女生人数是男生人数多少倍？（）A．0.5B．1C．1.5D．2―――〖2008年陕西省公务员录用考试真题〗【解法1】设男生数为x，女生数位y，则88x＋93y＝91（x＋y），解得y：x＝3:2。
【解法2】我们可以设90为基数，将平均分看做1，女生平均分为3，男生平均分为－2，同时设男生数为1，则则可以代入选项，A项带入：（0.5×3＋1×（-2））/1.5＝0.333…；B项带入：（1×3＋1×（-2））/2＝0.5；C项代入：（1.5×3＋1×（-2））/2.5＝1符合题意。
【解法3】解得女生男生＝32比较上面三种方法，很显然，解法1是基础解法，但要经过复杂的运算；解法2运算较方法1又简便了一些，但最快捷的还是第三种方法，一步就能看出结果。
快捷、实用，这就是十字相乘法的魅力所在。
十字相乘法：一个整体有且只有两个不同的部分组成，其中整体的平均值记作C，两个部分的平均值记作A，B（且A>B），则均值为A的个体与均值为B的个体的个数比为：C －BA－C，上述概念可转换成如下形式：＝>均值为A的个体的个数均值为B的个体的个数＝C－BA－C在形如：A、B两溶液的浓度分别为a与b，混合后浓度为r；A班平均分为a，B班平均分为b，两班的平均分为r；A地与B地的人口增长率分别为a和b，总体增长率为r；…的题目中，要求A与B的质量（数量）比，都可以列出式子：aA＋bB＝r（A＋B），＝>AB ＝r－ba－r。
十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
下面我们通过几道真题加深一下对这种方法的理解。
专题04 十字相乘法(解析版).pdf
专题04 十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ,则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时,要先从常数项c 的正、负入手,若0c >,则p q 、同号(若0c <,则p q 、异号),然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时,要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能),然后看这两个整数之和能否等于b ,直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积,即12a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即12c c c =,把1212a a c c ，，，排列如下： 按斜线交叉相乘,再相加,得到1221a c a c +,若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ,即1221a c a c b +=,那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积,即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端,凑中间” （2）二次项系数a 一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的方法方法方法技巧性,在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项,在反复尝试中熟练掌握方法方法方法技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法例1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【参考参考参考答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数,就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+例2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘.【参考参考参考答案与解析】解： 因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ---- ＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便,大家一定要熟练掌握.举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【参考参考参考答案】解：原式()()223432x x x x =---+ ()()()()4112x x x x =-+--例3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++-(2)22(33)(34)8x x x x +-++-【参考参考参考答案与解析】解：（1）令21x x t ++=,则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=,原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点,欲分解都必须先拆开,再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法,这与我们生活中搬家有些类似,要先将一些碎东西找包,会省许多事.类型二、分组分解法例4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学,一看见该式,首先想到的肯定是式子中前三项恰好组成2()x y -,第4、5项→3()x y -.【参考参考参考答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母,其实代数式学习是一个结构的学习,其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代,故有时要有一些整体性认识的想法.举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc-++（2）225533a b a b--+（3）23345xy y x y ++--【参考参考参考答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】分解因式：．2242244241a b c ab ac bc ++--+-【参考参考参考答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+-=()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++-=()()()()222222211b a c b a c c -+-++-=．()()222121b a c b a c -++-+-类型三、拆项或添项分解因式例5、阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax +a 2可以直接用公式法分解为（x +a ）2的形式,但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2,就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2,使其成为完全平方式,再减去a 2这项,使整个式子的值不变,于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax +a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x +a ）2﹣9a 2=[（x +a ）+3a ][（x +a ）﹣3]=（x +4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法,并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣ ）•（x﹣ ）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0,且x≠y）（3）先化简﹣﹣,再利用（2）中y与x的关系式求值．【参考参考参考答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故参考参考参考答案为：y；3y（3）原式===﹣,若x=y,原式=﹣2；若x=3y,原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法,正确地添（拆）项是解本题的关键．【稳固练习】一.选择题1.如果多项式能因式分解为,那么下列结论正确的是 ( ).22mx nx --()()32x x p ++A.＝6B.＝1C.＝-2D.＝3m n p mnp 2. 若,且,则的值为( ).()2230x a b x ab x x +++=--b a <b A.5B.－6C.－5D.63. 将因式分解的结果是( ).()()256x y x y +-+-A. B.()()23x y x y +++-()()23x y x y +-++C.D. ()()61x y x y +-++()()61x y x y +++-4．把多项式1+a +b +ab 分解因式的结果是（ ）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a +1）（b +1）C ．（a +1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b +1）5. 对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )224293x x y y +--A. B.22(42)(93)x x y y ++--22(49)(23)x y x y -+-C. D. 22(43)(29)x y x y -+-22(423)9x x y y +--6．如果有一个因式为,那么的值是（ ）3233x x x m +-+()3x +m A. －9 B.9C.－1D.1二.填空题7.分解因式： ．2242y xy x --+=8. 分解因式：= ．224202536a ab b -+-9．分解因式的结果是__________.5321x x x -+-10. 如果代数式有一因式,则的值为_________．a 11．若有因式,则另外的因式是_________.3223a a b ab b --+()a b -12. 分解因式：（1）；（2）3)32(2-+-+k x k kx mnm x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知,, 求的值.0x y +=31x y +=2231213x xy y ++14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a （2）32344xy xy x y x y-++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax +by +bx +ay =（ax +bx ）+（ay +by ）=x （a +b ）+y （a +b ）=（a +b ）（x +y ）2xy +y 2﹣1+x 2=x 2+2xy +y 2﹣1=（x +y ）2﹣1=（x +y +1）（x +y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x +1﹣4=（x +1）2﹣22=（x +1+2）（x +1﹣2）=（x +3）（x ﹣1）请你仿照以上方法,探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【参考参考参考答案与解析】一.选择题1. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--∴,解得.22,32p p n =-+=-1n =2. 【参考参考参考答案】B ；【解析】,由,所以.()()23065x x x x --=-+b a <6b =-3. 【参考参考参考答案】C ；【解析】把看成一个整体,分解.()x y +()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++4. 【参考参考参考答案】B ；【解析】解：1+a +b +ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【参考参考参考答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后,组与组之间无公因式可提取,所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得,与第二组有公因式可提取,所以分组合理,C 与D 各组均()()2323x y x y +-23x y -无公因式,也不符合公式,所以无法继续进行下去,分组不合理.6. 【参考参考参考答案】A ；【解析】由题意当时,代数式为零,解得.3x =-9m =-二.填空题7. 【参考参考参考答案】．()()22x y x y -+--【解析】解：===．2242y xy x --+()2224y xy x -+-()24x y --()()22x y x y -+--8. 【参考参考参考答案】；()()256256a b a b -+-- 【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【参考参考参考答案】；()()()22111x x x x +--+ 【解析】原式.()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+10.【参考参考参考答案】16；【解析】由题意当时,代数式等于0,解得.4x =16a =11.【参考参考参考答案】；()()a b a b -+ 【解析】.()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+12.【参考参考参考答案】；；()()31kx k x +-+()()x m x m n --+ 【解析】；()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+.()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++ 由,解得0x y +=31x y +=12y =所以,原式.21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭14.【解析】解：（1）原式；()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-（2）原式；()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦（3）原式；()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a +b +1）；（2）原式= x 2﹣6x +9-16=（x -3）2﹣16=（x -3+4）（x -3-4）=（x +1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab +4b 2﹣9b 2= （a +2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a +2b +3b ）=（a ﹣b ）（a +5b ）．知识改变命运。
十字相乘例题及在资料分析中的使用
十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。
（一）原理介绍：通过一个例题来说明原理。
某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一：假设男生有A，女生有B。
（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。
方法二：男生：75 580女生：85 5男生：女生=1：1。
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A 的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是：A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5分析：男教练：90% 2%82%男运动员：80% 8%男教练：男运动员=2%：8%=1：4 答案：C2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600男职工工资：580 30600女职工工资：630 20男职工：女职工=30：20=3：23．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。
十字相乘法例题20道及解答思路
十字相乘法例题20道及解答思路20道例题1.x²-8x+15=0；2.6x²-5x-25=0；3.a2-7a+6=0；4.8x2+6x-35=0；5.18x2-21x+5=0；6.20-9y-20y2=0；7.2x2+3x+1=0；8.2y2+y-6=0；9.6x2-13x+6=0；10.3a2-7a-6=0；11.6x2-11x+3=0；12.4m2+8m+3=0；13.10x2-21x+2=0；14.8m2-22m+15=0；15.4n2+4n-15=0；16.6a2+a-35=0；17.5x2-8x-13=0；18.4x2+15x+9=0；19.15x2+x-2=0；20.6y2+19y+10=0。
解题思路首先将二次项系数分解写在十字线的左上角和左下角，然后将常数项分解写在十字线的右上角和右下角，再通过交叉相乘得到代数和使其等于线性项系数。
二次系数分解(只取正因子，因为负因子的结果和正因子的结果一样)。
因式分解方法1.提出一个公因子:如果多项式的每一项都有一个公因子，你可以提出来，把多项式变成两个因子的乘积。
2.应用公式法:由于因式分解和代数式乘法有倒数关系，如果把乘法公式反过来，就可以用来因式分解某些多项式。
比如和的平方，差的平方。
3.分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）。
4.十字相乘法（经常使用）：对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）。
5.匹配法:对于那些不能用公式法的多项式，有的可以用它来匹配成完全平坦的方式，然后用平方差公式进行因式分解。
6.分解加法:多项式可以分成几部分，然后进行因式分解。
十字交叉法在数学运算以及资料分析中的妙用
十字交叉法在数学运算以及资料分析中的妙用一、十字交叉法的原理首先通过例题来说明原理。
例题：某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均城市75分，女生的平均城市85分，求该班男生和女生的比例。
方法一：特殊值法男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分，男生和女生的比例是1:1。
方法二：列方程法假设男生有X，女生有Y。
有（X×75+Y×85）/（X+Y）=80，整理有X=Y，所以男生和女生的比例是1:1。
方法三：十字交叉法假设男生有X,女生有Y。
男生：X7585-80=580女生：Y8580-75=5男生：女生=X：Y=1：1。
******************************************************************************十字交叉法用溶液问题来讲解更加浅显易懂，怎么说呢，我们还是通过例题来讲解。
有两种溶度浓度的溶液A、B，其浓度为x、y，现将这些溶液混合到一起得到浓度为r 的溶液，那么这两种溶液的浓度之比为多少？假设A溶液的质量为X，B溶液的浓度为Y，则有：Xx+Yy=（X+Y）r，整理有X（x-r）=Y（r-y）；所以有X：Y=（r-y）：（x-r）上面的计算过程就抽象为：Xxr-yrYyx-r******************************************************************************十字相乘法使用时要注意几点：第一、用来解决两者之间的比例关系问题。
第二、得出的比例关系是基数的比例关系。
第三、总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
二、十字交叉法在数学运算中的应用十字交叉在数学运算中相对比较简单，主要是直接根据材料中的数量关系来计算，下面的这些试题，具有一定的代表性，速速的呈现给大家。
******************************************************************************【例1】要将浓度分别为20%和5%的A、B两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水900克，问5%的食盐水需要多少克？A．250 B．285 C．300 D．325【分析】这个很简单吧，就是咱们上面讲解到的内容，直接将试题中的数量嵌套在十字交叉表。
十字相乘法公式例题
十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。
- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。
2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。
- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。
3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。
把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。
- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。
4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。
x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。
- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。
5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。
将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。
- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。
6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。
把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。
十字相乘法 典型例题
十字相乘法典型例题在数学中，十字相乘法是一种简便的计算乘法的方法。
它通过将乘数和被乘数的各位数字进行配对相乘，然后将结果相加得到最终的乘积。
接下来，我们将以一个典型的例题来详细介绍十字相乘法的步骤。
例题：计算87和25的乘积。
步骤一：将87分解为80和7，将25分解为20和5。
然后将80、7、20和5按照从左到右的顺序一字排开：8 0× 2 5__________步骤二：从右上角的5开始，依次与下方的数字相乘，得到以下结果：8 0× 2 5__________4 0 0+ 1 4__________步骤三：从右上角的7开始，依次与下方的数字相乘，得到以下结果：8 0× 2 5__________4 0 0+ 1 4+ 5 6__________步骤四：将所有的结果相加，得到最终的乘积：8 0× 2 5__________4 0 0+ 1 4+ 5 6__________2 1 7 5因此，87和25的乘积为2175。
通过以上例题，我们可以看到十字相乘法的步骤非常简单清晰。
它不仅适用于两位数的乘法，也适用于更大位数的乘法计算。
无论是小学生还是成年人，在进行乘法计算时都可以轻松使用十字相乘法，提高计算效率。
除了简洁明了的计算步骤外，十字相乘法还有一些其他的优点。
首先，它可以帮助人们更好地理解乘法的本质，通过将数字进行拆解和重新组合，培养了我们的数学思维。
其次，十字相乘法避免了繁琐的竖式计算，减少了出错的可能性。
最后，它还可以培养我们的观察能力和耐心，提高我们的注意力和集中精力的能力。
综上所述，十字相乘法是一种简便而实用的计算乘法的方法。
通过灵活运用十字相乘法，我们可以快速准确地完成乘法计算，不仅提高了计算效率，还培养了我们的数学思维和观察能力。
在日常生活和学习中，我们可以随时使用十字相乘法，为自己带来更多的便利和快乐。
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十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。
（一）原理介绍：通过一个例题来说明原理。
某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一：假设男生有A，女生有B。
（A*75+B85）/（A+B）=80
整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。
方法二：
男生：75 5
80
女生：85 5
男生：女生=1：1。
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A 的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
AX+B（1-X）=C
X=（C-B）/（A-B）
1-X=（A-C）/A-B
因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）
上面的计算过程可以抽象为：
A C-B
C
B A-C
这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是：A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5
分析：
男教练：90% 2%
82%
男运动员：80% 8%
男教练：男运动员=2%：8%=1：4 答案：C
2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少
A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2
答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600
男职工工资：580 30
600
女职工工资：630 20
男职工：女职工=30：20=3：2
3．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。
现在城镇人口有（）万。
A30 B 31.2 C 40 D41.6
分析：城镇人口：4% 0.6%
4.8%
农村人口：5.4% 0.8%
城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=30 答案A
4.（2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超
标部分按照基本价格的80%收费。
某用户九月份用电84度，共交电费39.6元，则该市每月标准用电为（）度。
A 60
B 65
C 70
D 75
5．（2007年国考）某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：
A ．84 分
B . 85 分
C . 86 分
D . 87 分
分析：假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。
男生与女生的比例是9：5。
男生：Y 9
75
女生：X 5
根据十字相乘法原理可以知道 X=84 答案：A
6. （2007年国考）．某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有：
A ．3920 人
B ．4410 人
C ．4900人
D ．5490 人
分析：去年毕业生一共7500人。
7650/（1+2%）=7500人。
本科生：-2% 8%
2%
研究生：10% 4%
本科生：研究生=8%：4%=2：1。
7500*（2/3）=5000 5000*0.98=4900 答案：C
7 资料分析中的十字相乘法：
根据所给文字资料回答121-125题。
2006年5月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272.2亿元，创今年历史第二高。
据统计，1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5％。
汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。
5月份，全市机动车类销售量为5.4万辆，同比增长23.9％。
据对限额以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额32.3亿元，占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3％。
据对限额以上批发零售贸易企业统计，5月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50％。
其中，家具类商品零售额同比增长27.3％，建筑及装潢材料类商品零售额同比增长60.8％。
同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6％。
问：123题：2006年5月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装潢材料类商品零售额的比例是：
A．27.4％B．29.9％C．32.2％D．34.6％
答案:A 分析:两种方法。
法一：比较常规的做法假设2005年家具类所占比例为X。
X*（1+27.3%）+（1-X）*（1+60.8%）=1+50%
X=32.2%。
[32.2%*（1+27.3%）]/ [32.2%*（1+27.3%）+（1-32.2%）*（1+60.8%0）]=27.4%
整个过程计算下来，至少5分钟。
法二：十字相乘法原理.最快.
家具27.3%，近似为27%；
建筑60.8%，近似为61%。
家具：27% 11%
50%
建筑：61% 23%
家具：建筑=11%：23% 大约等于1：2。
注意这是2006年4月份的比例。
建筑类2006年所占比例为：1*（1+27.3%）/[1*（1+27.3%）+2*（1+60.8%）=1.27/（1.27+3.2）=1.27/4.5=28%。
和A最接近。