乘法公式及分解因式的十字相乘法 江苏版
完整版十字相乘法因式分解
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 ? x2 ? 6x? 16 分解因式
? x2 ? 6x? 16
? ?? x2 ? 6x ? 16?
? ??x? 8?x?? 2?
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
1.十字相乘法分解因式的公式：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
x2 ? 29x ? 138 ? (x? 23)(x? 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x 2 ? 7 x ? 60 ? (x ? 12)(x ? 5) x2 ? 14 x ? 72 ? (x? 4)(x? 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
1
–2
5
4
4 – 10 = –6 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。
分解因式 3x －102x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
江苏省昆山市兵希中学七年级数学下册 十字相乘法课件(1) 苏科版
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式分解因式
12
作业
把下列各式分解因式
(1) x 9 x 22；（2）m 7m 12；
2 2
(3) x 4 xy 21y ； (4) x 2 x 8；
2 2 2
(5) y 4 y 2 12；（6） (a b) 2 6(a b) 7； （7） ( x 2 x) 2 14( x 2 x) 24.
（补充）
1
知识回顾
1.因式分解的定义 2.因式分解与整式乘法的关系 3.因式分解的方法:
2
情景引入
计算：
(1)
( x 5)(x 9) x 14x 45
2
(2) ( x 12)(x 5) (3) (4)
x 2 7 x 60
2
( x 3)(x 6) x 9 x 18
13
x 2 9 x 18 ( x 3)(x 6)
x 4 x 32 ( x 4)(x 8)
2
x (a b) x ab ( x a)(x b)
2
4
合作探究
x 2 px q
x
2
(a b) x ab (x + a)(x + b)Fra bibliotek2 29
例题讲解
例2：把下列各式分解因式：
(1). x 6x 16
2
(2)． x2-5xy+6y2 (4)．(x+y)2-14(x+y)+48 。
(3)．x4-7x2-18
1-十字相乘法-立方和、立方差公式淮安
第一讲 十字相乘法 立方和、立方差公式教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax 2+bx+c 的二次三项式因式分解；2. 理解掌握立方和、立方差公式；3．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学过程（一）十字相乘法我们知道：ab x b a x b x a x +++=++)())((2.因此在分解因式中有))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，注意观察式中的系数.一般地我们有：对于二次项系数是1的二次三项式q px x ++2来说，如果它的常数项可以看作两个数a 与b 的积，而一次项系数恰是a 与b 的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，即p ＝a+b ，q ＝ab 时，))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++.借助画十字交叉线写成：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到一次项系数.像这样，利用画十字交叉线分解系数，来把二次三项式分解因式的方法叫十字相乘法.用此方法分解因式的关键在于确定a 与b 的值.例1 分解因式：（1）652+-x x ；（2）2142--x x .例2 分解因式:（1）8224--x x ；（2）3)(4)(2++-+b a b a .例3 分解因式:（1）2223y xy x +-；（2）2222242153y a xy a x a --.例4 分解因式：（1）3722+-x x ；（2）22224954y y x y x --. 例5 分解因式：（1）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（2）a ax x x 51522---+.例6已知：关于x 的方程07x 14mx 2=--的两个实数根21x x 和，关于y 的方程0n 2n y )1n (2y 22=-+--有两个实数根21y y 和，且4y y 221≤<≤-。
当21x x 2+－014)y y 2(2x x 622121=+-+时，求m 的取值范围。
十字相乘法的运算方法
上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
讲解：
x^2-3x+2=如下：
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么
kx^2＋mx＋n＝(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
通俗方法
先将二次项分解成（1 X二次项系数），将常数项分解成（1 X常数项）然后以下面的格式写
1 1
╳
二次项系数常数项
若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。）
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数）
a b
╳
c d
第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
苏科版八下数学课件10.5十字相乘法分解因式
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
五、选择题：
以下多项式中分解因式为的多x 项6式x 是4（ ） c
A
x2 2x 24 B x2 2x 24
x 6x 4
C x2 2x 24 D x2 2x 24
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时，先提出 负号再因式分解。
六、独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 y2 3x 18 x2 13x 12 y2 17x 30
十字相乘法（竖分常数交叉验，横写因式不能乱。）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2x2+13x+15 （2）3x2－15x－18 (3)6x2-3x–18 (4)8x2-14xy+6y2
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
下列各式是因式分解吗？观察左右两边你 有什么发现？
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
a2 13a 42
将下列多项式因式分解 (1)x2+3x-4(2)x2-3x-43 (3)x2+6xy-16y2(4)x2-11xy+24y2 (5)x2y2-7xy-18(6)x4+13x2+36
十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧
十字相乘法口诀是什么乘法公式技巧十字相乘法口诀十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数具体步骤：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数原理：运用了乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能把二次三项式分解因式(不一定在整数范围内)。
对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式计算步骤：⑴把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2⑵把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2⑶使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b⑷结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)实质：二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，需注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
十字相乘顺口溜竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
步骤注释①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式十字相乘法对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
【十字相乘法的方法】十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
【十字相乘法的用处】(1)用十字相乘法来分解因式。
(2)用十字相乘法来解一元二次方程。
因式分解的一般步骤(1) 如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;(2) 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解;(3) 对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解;(4) 对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行。
在进行因式分解时，要结合题目的形式和特点来选择确定采用哪种方法。
以上这四种方法是彼此有联系的，并不是一种类型的多项式就只能用一种方法来分解因式，要学会具体问题具体分析。
十字相乘法
十字相乘法十字分解法能把二次三项式因式分解。
要务必注意各项系数的符号，以及写在十字交叉线四个部分的项。
方法是：交叉相乘，水平书写。
公式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)或写为(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab中文名：十字分解法别称：十字相乘法表达式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)应用学科：数学适用领域范围：因式分解目录1概念2通俗方法3例题解析例1 例2 ▪例34教学难点5原理6教学重点7判定8具体应用9注意事项1概念编辑十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能把某些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
十字相乘法例题解析2通俗方法编辑例：a²x²+ax-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a 相乘得到的，则推断出(a ×+？）×(a ×+？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成-21×2 或者21×-2。
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乘法公式及分解因式的十字相乘法
【同步教育信息】 一. 本周教学内容：
乘法公式及分解因式的十字相乘法
二. 教学目标：
为了使学生能够更好的学习高中数学，本节课将使学生掌握一些高中阶段常用的乘法公式以及分解因式的几种常用方法。
三. 教学重点：乘法公式及分解因式的十字相乘法
［知识要点］
（一）乘法公式：
初中：（1）平方差公式 2
2
()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 2
2
2()2a b a ab b ±=±+
高中：（1）立方和公式 2
2
3
3
()()a b a ab b a b +-+=+ （2）立方差公式2
2
3
3
()()a b a ab b a b -++=-
（3）三数和平方公式2
2
2
2
()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++
（4）两数和立方公式3
223333)(b ab b a a b a +++=+ （5）两数差立方公式3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b -=-+- 例1. 计算)1)(1)(1)(1(2
2
+++--+x x x x x x
解法一：原式])1)[(1(2
2
2
2
x x x -+-=
1
)1)(1(6
242-=++-=x x x x
解法二：原式)1)(1)(1)(1(2
2++-+-+=x x x x x x
1
)1)(1(6
33-=-+=x x x
例2. 已知44=++=++ac bc ab c b a ，，求2
22c b a ++的值。
解：8)(2)(2
2
2
2
=++-++=++ac bc ab c b a c b a
（二）分解因式 1. 十字相乘法
关于x 的二次多项式ab x b a x +++)(2
，怎样分解因式呢？
例1. 分解因式：
（1）232+-x x ；（2）1242
-+x x ；（3）2
2
)(aby xy b a x ++-
解：（1）)2)(1(232
--=+-x x x x （2）)6)(2(1242
+-=-+x x x x
（3）))(()(2
2
by x ay x aby xy b a x --=++-
2. 提取公因式法与分组分解法 例2. 分解因式
（1）x x x 3392
3+++；（2）)(2
2
a a x x --+
解：（1）法一：)93()3(3392
3
2
3
+++=+++x x x x x x
)
3)(3()3(3)3(2
2++=+++=x x x x x
法二：8)133(3392
3
23++++=+++x x x x x x
)
3)(3(]2)1(2)1][(2)1[(2)1(8
)1(22
2
3
33++=++-+++=++=++=x x x x x x x
（2）提示：)()()(2
222a x a x a a x x ++-=--+
（3）关于二次三项式)0(2
≠++a c bx ax 的分解因式的方法：求根法。
若此方程的两实数根为21x x ，，则二次三项式)0(2≠++a c bx ax 可分解为))((21x x x x a --。
例3. 把下列关于x 的二次三项式分解因式：
（1）122
-+x x ；（2）2
2
44y xy x -+（0>y ）
解：（1）令0122
=-+x x ，解得211+
-=x ，212--=x
)]21()][21([122---+--=-+∴x x x x
)21)(21(++-+=x x
（2）令0442
2
=-+y xy x 解得：2222
2221--=+-=x x
)
222)(222()]
222()][222([4422++-+=---+--=-+x x x x y xy x
【模拟试题】 1. 填空： （1）
))(2
131(419122b a b a +=- （2）)(
416)4(22++=+
m m m （3）)(4)2(2
2
2
2
+++=-+c b a c b a
2. 选择题
（1）若k mx x ++2
1
2
是一个完全平方式，则k 等于（ ） A. 2
m
B. 241m
C. 231m
D. 216
1m
（2）不论a 、b 为何实数，8422
2
+--+b a b a 的值（ ） A. 总是正数
B. 总是负数
C. 可以是零
D. 可以是正数也可以是负数
（3）多项式2
2
152y xy x --的一个因式为（ ） A. y x 52- B. y x 3- C. y x 3+ D. y x 5-
3. 分解因式： （1）862
++x x
（2）3
38b a -
（3）122--x x
（4）)2()1(4x y y y x -++-
（5）bc ac ab c b 2222
2
++++
[参考答案]
1. （1）)2131(b a -
（2）21，4
1
（3）bc ab ab 424-- 2. （1）D （2）A （3）B
3. （1）)4)(2(++x x （2）)24)(2(2
2
b ab a b a ++- （3）)21)(21(+--
-x x （4）)22)(2(+--y x y
（5）)2)((a c b c b +++。