九年级下册数学特色班同步讲义

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北师版九年级数学下册培优精品讲义(最新版;可直接打印)

学科教师辅导讲义．cosB|+．、正弦，余弦，正切的概念、特殊角的三角函数值、tanA是一个比值（数值）、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关学科教师辅导讲义知识梳理m（m （参考数据：≈（5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米6、海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这是测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（）A．5B．6C．6D．8如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为7、急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．面用土石进行加固，（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？8、一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．（1）请根据以上描述，画出图形．（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？课后反击1、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6tan18°cm B．cm C．6sin18°cm D．6cos18°cm2、如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（）A．CD=b sin33°+a B．CD=b cos33°+aC．CD=b tan33°+a D．CD=3、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，上的影长为2米，则树的高度为（）A．（）米B．12米C．（）米D．10米4、如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63PCD=衡阳】如图，为了测得电视塔的高度，再向电视塔方向前进+12、【2014•深圳】小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米3、【2013•深圳】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．B．C．D．4、【2016•十堰】在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为米．（结果保留根号）理解坡度的概念，利用坡度解决实际问题熟练掌握相关方位角、观察角的概念，准确构造直角三角形、将实际问题中，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；、寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解是解决问题的关键．学科教师辅导讲义知识梳理五、知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。

人教版九年级数学全册特色讲义

探索创新
【例8】若点 P (x1, y1) 与 Q (x1 n, y2 ) 在抛物线 y x2 4x 3 上 ( 点 P 、 Q 不重合 ) ，且 y1=y2，求代数式 4x12 12x1n 5n2 16n 8 的值.
若函数 y m2 m xm2 2m1 为二次函数，则 m 的值是
⑵ 写出开口方向，对称轴，顶点坐标； ⑶ 求图象与两坐标轴的交点坐标； ⑷ 画出函数图象； ⑸ 说明其图象与抛物线 y 2x2 的关系； ⑹ 当 x 取何值时， y 随 x 增大而减小； ⑺ 当 x 取何值时， y 0 ， y 0 ， y 0 ； ⑻ 当 x 取何值时，函数 y 有最值？其最值是多少？ ⑼ 求函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积．
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y ax2
y ax2 c
y a x h2 y a x h2 k
y ax2 bx c
模块一二次函数的解析式
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定义
示例剖析
二次函数的定义：一般地，形如
例如 y x2 2x 3 是二次函数，
y ax2 bx c （ a ，b，c 是常数， a 0 ）其中二次项系数为1，一次项系数为
C． y1 y2
D． y1 与 y2 的大小不确定
【探索】若二次函数 y 2 x 22 k 的图象上有两个点 A(7.2 ，y1) 、 B(5.8 ，y2 ) ，则 y1 ，
y2 的大小关系为
；若二次函数 y 2 x 22 k 的图象上有两个点
A(5.5 ，y1) 、 B(2.5 ，y2 ) ，则 y1 ， y2 的大小关系为
简称“左同右异”.
⑶ c 的大小决定抛物线与 y 轴交点的位置（抛物线与 y 轴的交点坐标为 0 ，c ）

北师九年级上下册数学同步讲义教学案

菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 上的一点，连接DE 交AC 于点O ，连接BO ，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB 交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为.9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm, BD ＝ 6cm, 则菱形的高为________.10.（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P 是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．举一反三：【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC 于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、（2016•济宁一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【巩固练习】一.选择题1．（2015春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.平行四边形的对角线平分一组对角D.矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A.23B.33C.4D.43二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. （2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．10.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为．11.如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15.（2015•通州区一模）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：四边形ECGD是矩形．正方形【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75° B．60° C．55° D．45°2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF 于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；【巩固练习】一.选择题1. （2016•陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等cm．3. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )2A.6B.8C.16D.不能确定4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（） A ．31- B.35- C.51+ D. 51-6.如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有（） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个二.填空题7．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_________.9. 如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积是12cm ，则它移动的距离AA '等于____cm .10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是_______.11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．12.（2015•长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．三.解答题13．（2016•乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．14．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD 于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD 于H，求DH的长．《特殊平行四边形》全章复习与巩固知识讲解【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．4、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若ABcm．＝ 3cm，BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________2类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于．类型五、综合应用6、如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边中点，连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是菱形． (2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是矩形． (3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．举一反三：【变式】已知，在四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________.《特殊平行四边形》全章复习与巩固巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 如图，□ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 的长等于（）. A.2cm B.1cm C.1.5cm D.3cm2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）.A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3.如图所示，将一张矩形纸ABCD沿着GF折叠(F在BC边上，不与B，C重合)，使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足( )．A．90°＜α＜180° B．α＝90°C．0°＜α＜90° D．α随着折痕位置的变化而变化4.（2015•武进区一模）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．32B．232 C．75D．25.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6.如图是一张矩形纸片ABCD错误!未找到引用源。

人教版九年级数学下册培优体系讲义

第二十六章反比例函数1. 反比例函数的意义预习归纳两个变量x ，y 满足时，y 是x 的反比例函数，其中k 是．例题讲解【例】在反比例函数4y x=中，当x =2时，函数 y 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．-2 D ．0基础题训练1．下列函数中是反比例函数的是( ) A ．y =2x B ．2x y = C ． 2y x = D ． 21y x =+ 2．下列函数:①12y x =；②2x y =③xy =3 ；④ky x=；⑤12y x -=，其中y 是x 的反比例函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．若函数1a y x+=是反比例函数，则 a 的取值范围是( )． A ．a>-1 B ．a≠-1 C ．a<-1 D ．a≠0 4．当路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 之间的函数关系是( )．A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．不同于以上的函数关系 5．下列函数关系中是反比例函数的是( )A ．等边三角形面积与边长的关系B ．直角三角形两锐角的关系C ．长方形面积一定时，长与宽的关系D ．等腰三角形顶角与底角的关系 6．下列各点中，在函数2y x=的图象上的是( ) A ．(2，1) B ．(-2，1) C ．(2，-2) D ．(2，2) 7． (2014.齐齐哈尔)在平面直角坐标系x o y 中，点 P 到x 轴的距离为3个单位长度，到原点o 的距离为5个单位长度，则经过点 P 的反比例函数的解析式为． 8．已知 y 是x 的反比例函数，当 x =2时，y =-6 (1)求 y 与x 的函数关系式； (2)当 x =4时，求 y 的值中档题训练9．函数21y k x +=是反比例函数，则k 的取值范围是( )． A ．k ≠12- B ．k >12- C ．k ＜12- D ．k ≠0 ．10．若 y 与x 成正比例，y 与 z 成反比例，则下列说法正确的是( )A ．z 是x 的正比例函数B ．z 是x 的反比例函数C ．z 是x 的一次函数D ．z 不是x 的函数 11．若y 与一3x 成反比例，x 与z 成正比例，则 y 是z 的( )A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．不能确定12．反比例函数()212m y m +=-的函数值为3时，求自变量x 的值．13．已知梯形的面积为60cm 2 ，其上底是下底的13，设下底长为x cm ，高为 y cm ． (1)求y 与．x 的函数关系式； (2)当 y =6时，求x 的值．综合题训练14．已知函数 y =y 1-y 2 ，y 1与x 成反比例，y 2与 x -2成正比例，且当x =1时，y =-1；当x =3时，y =5(l)求 y 与x 的函数关系式；(2)当x =-3时，求y 的值．2.比例函数的图象与性质（一）预习归纳1.反比例函数的图象叫做2.反比例函数kyx=与kyx=-的图象关于对称，也关于对称.例题讲解【例】如图是我们学过的反比例函数的图象,它的函数解析式可能是( )A. y=x2B.4yx= C.3yx=- D. y=12x基础题训练1.(2014 邵阳)若反比例函数kyx=的图象经过点（－1，2），则k的值是.2. (2015 河南) 如图，直线y = kx与双曲线y =2x(x＞0)交于点A（1，a），则k= .3.函数2(1)my m x-=-为反比例函数，则m为（）A. 1B.±1C.0D. －14.反比例函数的图象经过点（3，2），下列各点中，在此函数图象上的点是（）A. （3，－2）B. （－3，2）C. （－3，－2）D. （－2，3）5.反比例函数2yx=的图象位于（）A.第一、三象限B.第二、三象限C. 第二、四象限D.第三、四象限6.已知点（1，1）在反比例函数ky x=（k 为常数，k ≠0）的图象上，则这个反比例函数的大致图象是（）7.(2014年漳州)双曲线1k y x+=所在象限内，y 的值随x 值的增大而减小，则满足条件的一个数值k 为8.（2015温州）如图，点A 的坐标是（2,0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限，若反比例函数ky x=的图象经过点B ，则k 的值.9.若点（-1,4）是反比例函数ky x=图象上一点，则此函数图象必经过点（）. A. (2,2) B .（2，-2） C .（-4，-1） D .（-1，-4） 10.已知反比例函数1y x=，下列结论不正确的是（）. A.图象经过点（1，1） B.图象在第一、三象限 C. C. 当x>1时，0<y<1D.当x<0时，y 随x 的增大而增大11.在同一直角坐标系中，正比例函数y=x 与反比例函数2y x=的图象大致是（）A. B. C. D.12.反比例函数3y x=关于x 轴对称的图象的函数解析式为13.（2015·哈尔滨）点A （-1，1y ),B (-2,2y )在反比例函数2y x=的图象上，则1y ，2y 的大小关系是（）.A. 1y > 2yB.1y = 2yC.1y <1y D .不能确定 14.如图，若点A 在反比例函数ky x=（k≠0)的图象上，AM ⊥x 轴于点M ，△AMO 的面积为3.（1）求k 的值；（2）当A 点在反比例函数图象上运动时，其他条件不变，△AMO 的面积会发生变化吗？并说明你的理由.综合题训练15.（2015·沈阳）如图，已知一次函数332y x =-与反比例函数ky x=的图象相交于点A（4，n ），与x 轴相交于点B.(1)填空：n 的值为，k 的值为；（2）以AB 为边作菱形ABCD ，使点C 在x 轴正半轴上，点D 在第一象限，求点D 的坐标；（3）考察反比例函数ky x=的图象，当y≥2时，请直接写出自变量x 的取值范围.3．反比例函数的图象与性质（二）预习归纳1．当k ＞0时，反比例函数()0ky k x=≠的图象在第象限；在每个象限的图象上，y 随x 的增大而． 2．当k ＜0时，反比例函数()0ky k x=≠的图象在第象限；在每个象限的图象上，y 随x 的增大而．例题讲解【例】(2015·泰州)点(a －1，y 1)、（a ＋1，y 2）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，若y 12，则a 的取值范围是．基础题训练1．若双曲线21k y x -=经过第一、三象限，则k 的取值范围是（）． A ．12k > B ．12k < C ．12k = D ．不存在2．反比例函数1k y x-=的图象，当0x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）．A ．k <1B ．k ≤1C ．k >1D ．k ≥13．（2015·包头）已知点A （-2，y 1）B (-1，y 2)和C （3，y 3）都在反比例函数3y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（用“＜”连接）． 4．正比例函数y =kx 和反比例函数ky x=在同一坐标系内的图象为（）．ABC D5．（2014·天水）已知函数my x=的图象如图，以下结论：①m ＜0；②在每个分支上，y 随x 的增大而增大； ③若点A （-1，a ）点B （2，b ）在图象上，则a ＜b ；④若点P （x ，y ）在图象上，则点P 1（-x ， -y ）也在图象上．其中正确的个数是（）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．（2015·广州）已知反比例函数7m y x-=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；（2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，求m 的值．7．如图，已知一次函数()0y kx b k =+≠的图像与x 轴，y 轴分别交于A （1，0），B （0，1）两点，且又与反比例函数()0my m x=≠的图象在第一象限交于C 点，C 标为2．(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．中档题训练8．(2015·兰州)在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数()0≠=k xky 的图象大致是（）ABC D9．反比例函数xky =的图象与正比例函数y ＝kx 的图象的交点个数为（）． A ． 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 10．(2015·天津)已知反比例函数xy 6=，当1时，y 的取值范围是（）． A ．0＜y ＜1 B ．1＜y ＜2 C ．2＜y ＜6 D ．y ＞6综合题训练11．(2015·上海)已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数x y 34=的图象经过点A ，点A 的坐标为4，反比例函数xmy =的图象也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图象上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC ＝AB ，求： (1)这个反比例函数的解析式； (2)直线AB 的表达式．专题反比例函数的概念、性质小结与复习一、反比例函数的基本概念1．在下列函数中，m 为何值时y 是x 的反比例函数？(1)xm y 2+= （2）x m y 42-= （3）()221-+=m x m y2．已知点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）都在xy 6=的图象上，若x 1· x 2＝４，求y 1· y 2的值．二、反比例函数图象的性质3．若反比例函数xm y 1+=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是（）． A ． m ＞－1 B ．m ≥－1 C ．m ＜－1 D ．m ≤－1 4．若反比例函数ky x=的图象在第二、四象限，则一次函数y ＝kx ＋k 图象经过（）． A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第一、三、四象限5．（2015·武汉）在反比例函数xmy 31-=图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＜0＜ x 2，y 1＜ y 2，则m 的取值范围是（）． A ． 31>m B ．31<m C ．31≥m D ．31≤m 6．在同一坐标系中,函数xky =与k kx y +=的图象大致是( )．ＢＤO7．(2014·赤峰)如图,反比例函数xky =（k ＞0）的图象与以原点(0，0)为圆心的圆交于A 、B 两点，且A (1，)，图中阴影部分的面积等于．（结果保留π）8．(2015·兰州)若点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）在反比例函数xky =（k ＞0）的图象上，且x 1＝－x 2，则（）．Ａ．y 1＜y 2 Ｂ．y 1＝y 2 Ｃ．y 1＞y 2 Ｄ．y 1＝－y 29．如图，已知反比例函数xky =（x ＞0），则k 的取值范围是（）． A ．１＜k ＜ B ．2＜k ＜3 C ．2＜k ＜4 D ．2≤k ≤4211 B专题反比例函数与一次函数1．已知反比例函数xky =(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A （2，3）．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B (－1，6)，C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．２．(2015·广东)如图，反比例函数xky =(k ≠0，x ＞0)的图象与直线y ＝3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB ＝3BD ．（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C ，D 两点距离之和d ＝MC ＋MD 最小，求点M 的坐标．3．如图，A (－4，n )，B （2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数xmy =的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求方程kx ＋b －xm＝0的解（请直接写出答案）；B（3）求不等式kx ＋b －xm＜0的解集（请直接写出答案）．4．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝xm的图象交于A （2，3）、B （－3，n ）两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx ＋b ＞xm的解集；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．5．（2015·北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋b （k ≠0）与双曲线y ＝x8的一个交点为P （2，m ），与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．（1）求m 的值；（2）若P A ＝2AB ，求k 的值．6．如图，已知反比例函数y ＝xk的图象经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，若直线y ＝ax ＋b 经过点A ，并且经过反比例函数y ＝xk的图象上另一点C （n ，－2）.（1）求直线y ＝ax ＋b 的解析式；（2）设直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点M ，求AM 的长．专题勾股定理与反比例函数1．如图，直线y ＝2x 与双曲线y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A ，且OA ＝5，求k 的值．2．如图，直线y ＝x 向右平移b 个单位后得到直线l ，l 与函数y ＝xk（x ＞0）的图象相交于点A ，与x 轴相交于点B ，且228OA OB -=，求k 的值．x3．如图，点B 为双曲线y ＝xk（x ＞0）上一点，直线AB 平行于y 轴交直线y ＝x 于点A ，若224OB AB -=，求k 的值．4．如图，点A 为双曲线()20y x x=-<上一点，AB ∥x 轴交直线y x =于点B ，求22AB OA -的值．5．如图，反比例函数y ＝xk（x ＞0）图象上的两点A 、B 的横坐标分别为1，3．点P 为x 轴正半轴上一点，若PA PB -的最大值为，则k ＝．6．如图，直线y ＝x －1交x 轴于D ，交双曲线y ＝xk（x ＞0）于B ，直线y ＝2x 交双曲线y ＝xk（x ＞0）于A ，OA ＝OB ，求k 的值．7．如图，直线y x =向右平移b 个单位后得直线l ，l 与双曲线()60y x x=>相交于点A ，与x 轴相交于点B ，求22OA OB -的值．8．如图，B 点为双曲线()100y x x=>上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y x =于点A ，求22OB AB -的值．9．如图，直线y x m =-+与双曲线2y x=-相交于C 点，与y 轴交于B ，与x 轴交于A 点，求BC AC ⋅的值．10．如图，直线4y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 为双曲线()60y x x=>上一点，PC ⊥x 轴于C ，交AB 于点N ，PD ⊥y 轴于D ，交AB 于点M . （1）求证：OA ＝OB ；（2）当P 点运动时，AM BN ⋅的值是否发生变化？若不变，求其值．4．实际问题与反比例函数预习归纳基本公式：s ＝vt ，F ＝PS ，U ＝IR ，S △＝21ah ．例题讲解【例】在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会改变．密度ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图所示，则当体积V ＝10cm 3时，气体的密度为（）． A ．5kg/m 3 B ．2kg/m 3 C ．100kg/m 3 D ．1kg/m3(m 3)基础题训练1．某同学要到离家2000米外的学校上学，那么他每分钟走m （米）和所用时间t （分钟）之间的函数关系式为______________．2．已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．3．已知甲、已两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 4．（2015·河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y （万册）与它的使用时间x （年）成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20，则y 与x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．你吃过拉面吗？实际在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （m ）是面条粗细（横截面积）S （mm 2）的反比例关系，其图象如图所示．（1）写出y 与S 之间的函数关系式；（2）当面条粗1．62mm 时，求面条的总长度．中档题训练6．某空调厂的装配车间计划组装9000台空调．（1）从组装空调开始，每天组装的台数y （台）与组装的天数x （天）有怎样的函数关系？（2）原计划60天完成，由于气温升高，厂家决定让这批空调提前10天上市，那么组装车间每天至少要多组装多少台？(mm 2)m，6小时可将满池水全部排空．7．某蓄水池的排水管每小时排水83（1）求蓄水池的容积；m），此时将满池水排空所需时间t （2）如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（3（h），求Q与t之间的函数关系式；（3）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？8．有200个零件需要一天内加工完成，设当工作效率为每人加工P个零件时，需要q个工人．（1）求q与p的函数关系式；（2）若每人每天工作效率提高25％，则工人数减少百分之多少？综合题训练9．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设销售贺卡的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；（3）若规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？5．实际问题与反比例函数（二）预习归纳基本公式：s ＝vt ，F ＝PS ，U ＝IR ，S ∆＝12ah ．例题讲解【例】汽车油箱中有油20升，汽车行驶过程中每小时耗油x 升，则其行驶时间y （小时）与x （升）之间的函数关系式为（） A ．y ＝20x B ．y ＝20x C ．y ＝20x D ．y ＝20—x 基础题训练1．面积为4的矩形一边为x ，另一边为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为（）2．一定质量的二氧化碳，当它的体积V ＝53m 时，它的密度3=1.98kg m ρ／．（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）当V ＝93m 时，求二氧化碳的密度ρ．3．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0．5米，设动力为F ，动力臂为l ．（1）动力F 与动力臂有怎样的函数关系？（2）小刚选取了动力臂为2米的撬棍，你能得出他撬动石头至少需要多大的力吗？ 4．（2014▪云南）将油箱注满k 升油后，轿车行驶的总路程s （单位：千米）与平均耗油量a （单位：升／千米）之间满足反比例函数关系s ＝ka（k 是常数，k ≠0）．已知某轿车油箱注满后，以平均耗油量为每千米耗油0．1升的速度行驶，可行驶700千米．D（1）求该轿车可行驶的总路程s 与平均耗油量a 之间的函数解析式（关系式）；（2）当平均耗油量为0．08升／千米时，该轿车可以行驶多少千米？中档题训练5．如图，一个圆台形的物体的上底面是下底面的12，放在桌子上它对桌面的压强为100Pa ，若倒过来后，它对桌面的压强是 Pa ．6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa）是气球体积V （3m ）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（）．A ．不大于0．63m B ．不大于963m C ．不小于0．63m D ．不小于963m7．码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v （单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？3m ）18．制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃后，再进行操作．据了解，该材料停止加热时，温度y （℃）与时间x （min ）成反比例关系，如图所示．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃．（1）当x ≥5时，求y 与x 的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，必须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？综合题训练9．（2015▪衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y （微克／毫升）与服药时间x （时）之间的函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式；（2）血液中药物浓度不低于4微克／毫升的持续时间为多少小时？）专题反比例函数与面积问题1．如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP的面积为2，求反比例函数的解析式．2．如图，点A 为双曲线y ＝2x 的图象上一点，过A 作AB ∥x 轴交双曲线y ＝－4x于点B ，连AO ，BO ，求△AOB 的面积．3．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝kx上，且AB ∥x 轴，AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，C 、D 在x 轴上，若长方形ABCD 的面积为6，求k 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2）和点B ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点B 的坐标．5．如图，直线y ＝2x —4交x 轴、y 轴于B 、C ，交双曲线y ＝kx于E ，且BC ＝2BE ，求k6．(2015·成都)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例函数ky x(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A (1，a )，B 两点．⑴求反比例函数的表达式及点B 的坐标；⑵在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．7．(2015·陕西)如图，在平面直角坐标系中，过点M (－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数4y=的图象交于A 、B 两点，求四边形MAOB 的面积．8．如图，点B 为x 轴正半轴上一点，点A 为双曲线4y x=(x ＞0)上一点，且AO ＝AB ，过B 作BC ⊥x 轴交双曲线于C 点，求S △ABC ．9．(2015·南通)如图，直线y ＝－mx ＋n 与双曲线ky x=相交于A (－1，2)，B (2，b )两点，与y 轴相交于点C ． ⑴求m 、n 的值；⑵若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积．x专题反比例函数与几何小综合1．如图，直线122y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，点P 为双曲线ky x=(x ＞0)上一点，且PA ＝PB ，∠APB ＝90°，求k 的值．2．如图，直线122y x =--与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线ky x=(x ＜0)交于C 点，且AC ＝AB ．求k 的值．3．如图，y ＝－5x ＋5与坐标轴交于A 、B 两点，△ABC 为等腰直角三角形，BC ＝AC ，双曲线ky =(x ＜0)过C 点．求k 的值．4．双曲线ky x=经过P 1，P 2两点，△AOP 1为等腰直角三角形，AP 2⊥x 轴且AP 2＝1，求k 的值．5．如图，直线115y x =-分别与x 轴、y 轴相交于B 、A ，点M 为双曲线ky x=(x ＞0)上一点，若△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．6．(2010·兰州) 如图，P 1是反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限图象上的一点，点A 1的坐标为(2，0) ．⑴当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1OA 1的面积将如何变化？⑵若△P OA 与△P A A 均为等边三角形，求反比例函数的解析式及A 2点的坐标．7．如图，直线y ＝2x －4分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，交双曲线ky x=(x ＞0)于点C ，且S △AOC ＝8．⑴求双曲线的解析式；⑵在C 点右侧的双曲线上是否存在点P ，使∠PBC ＝45°？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图所示，已知A(4，m)，B(－1，n)在反比例函数8yx=的图象上，直线AB与x轴交于C，如果点D在y轴上，且DA＝DC，⑴求C点的坐标；⑵求D点的坐标．9．如图1，直线y＝－x＋4交x轴、y轴于B、C，点A为x轴正半轴上一点，S△ABC＝165，C A的延长线交双曲线kyx=(x＞0)于E点，且A C＝4AE．⑴求点A的坐标及k的值；⑵如图2，正方形OMKN的顶点M、N分别在双曲线及线段BC上，求出点M、N的坐标．专题反比例函数与四边形1．如图，四边形ABCO为等腰梯形，双曲线kyx=过点B，且S四ABCO＝4，求k的值．2．如图，矩形ABCO，点E在AB上，且BE＝2AE，点F在BC上，双曲线kyx=正好过E、F两点，S△BOF＝4，求k的值．3．如图，B（－1，0），正方形ABCD的中心为O1，双曲线kyx=正好经过C，O1两点，求k的值．4．如图，矩形ABCD的面积为8，点A坐标为（1，2），双曲线kyx=正好经过B、D两点，且AB∥x轴，求k的值．5．如图，正方形ABCD，A（0，1），C（－5，0），双曲线kyx=过D点，求k的值．6．在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋2分别与x轴、y轴相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，双曲线kyx=在第一象限经过D点．（1）求双曲线的函数解析式；（2）将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C的对应点C’恰好落在（1）中的双曲线上？专题反比例函数与一元二次方程1．如图，已知直线y＝－x＋2分别与x轴、y轴相交于点A、B，与双曲线kyx=交于点E、F，若AB＝3EF，求k的值．2．(2010·武汉)如图，直线y x b=+与y轴交于点A，与双曲线kyx=在第一象限交于B、C两点，且AB·AC＝4，求k的值．3．如图，直线y＝－x＋5与双曲线kyx=交于A、B两点，点C为双曲线上A、B之间的一点，求△ABC的最大面积．4．如图，将直线y ＝－x 沿x 轴正方向平移5个单位后与()0ky k x=>的图像交于A 、B 两点，且AB＝，求k 的值．5．如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （2，5），C （6，1）．若函数ky x=在第一象限内的图象与△ABC 有交点，求k 的取值范围．专题反比例函数与圆1．如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于M （0，－4），N （0，－10）两点，函数()0ky x x=<的图象过P 点，求k 的值．2．如图，直线AB 与坐标轴交于A （－2，0），B （0，1）两点，M 为线段AB 上的一点，⊙M 分别与OA 、OB 相切与点C 、D ，反比例函数ky x=的图象过点M ，求k 的值．3．如图，⊙O 1与y 轴切于点C （0，－2），与x 轴负半轴交于点A （－2，0），B 两点，双曲线ky x=过点O 1，点P 在双曲线上，PE ⊥x 轴，垂足为E ，求S △OPE ．4．如图，⊙O 1与坐标轴于A 、B 、C 、D 四点，A （1，0），B （－3，0），D （0，－1），双曲线ky x=过点O 1，求k 的值．5．如图，半径为5的⊙O 1与直线y ＝x ＋2于A （0，2），C 两点，交y 轴于B （0，10），CD 是⊙O 1的直径，若函数()0ky x x=<的图象过点D ，求k 的值．专题反比例函数与二次函数1．(2010·武汉)二次函数()20y ax b b =+>与反比例函数ay x=在同一坐标系中的图象可能是（）A B C D 2．(2014·长沙) 函数ay x=与函数()20y ax a =≠在同一坐标系中的图象可能是（）A B C D3．(2014·南昌) 已知反比例函数ky x=与的图象如右图，则二次函数2224y kx x k =-+的图象大致是（）A B C D4．(2014·河北)定义新运算：a ○＋b ＝()()00ab ba b b⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，例如：4○＋5＝45，4○＋(－5)＝－45．则函数y ＝2○＋x(x ≠0)的图象大致是（）A B C D专题反比例函数综合1．（2014·济南）如图1，反比例函数ky x(x ＞0)的图象经过点A(1)，射线AB 与反比例函数图象交于另一点B (1，a )，射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ．(1)求k 的值；(2)求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式； (3)如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．2．水产公司有一种产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下表：观察表中数据，发现这种海产品的每天销售量y （千克）是销售价格x （元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种．（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）按（2）中定价继续销售15天后，公司发现声音的这些海产品不超过2天必须全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？图1第二十七章相似1．图形的相似预习归纳两个形状，大小的图形是相似形．例题讲解【例】两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为40°，60°，那么另一个三角形的最大角为，最小角为．基础题训练1．下列图形中，不是相似图形的是（）2．下列说法正确的是（）A．相似三角形一定全等B．不全等的两个三角形一定不相似C．全等三角形不一定是相似三角形D．全等三角形一定是相似三角形3．在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km4．已知△ABC与△A1B1C1相似，顶点A、B、C的对应点分别是A1、B、C1，∠A=55°，∠B=100°，则∠C1的度数是（）A．55°B．100°C．25°D．不能确定5．在下面的三个矩形中，相似的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙1cm 2cm2cm4cm3cm4cm 丙乙甲6．如图，梯形ABCD与梯形A`B`C`D`相似（A、B、C、D的对应点分别为A`、B`、C`、D`），则α= ，β= ，x= ，y= ，z= ．A`A7．请在方格纸中画出与原图形相似的图形．8．如图，DE ∥BC ．（1）求AB AD 、AC AE 、BCDE的值；（2）证明△ADE 与△ABC 相似．2.523954ED CBA中档题训练9．下列五个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似．其中正确的结论是． 10．要做甲乙两种形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有（） A ． 1种 B ． 2种 C ． 3种 D ． 4种 11．如图，△ABC 与△DEF 相似，∠B 、∠E 为钝角，求未知边x 、y 的长度．y x 8241614FE DCBA12．如图，△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD =2BD ，AE =2CE ，32BC DE ．求证：△ABC 与△ADE 相似．E D CBA综合题训练13．在AB =30m ，AD =20m 的矩形花坛四周修筑小路．（1）如图1，如果四周小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形ABCD 和矩形ABCD 相似吗？请说明理由．图1D`C`B`A`DCBA（2）如图2，如果相对着的两条小路的宽均相等，小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形ABCD 和矩形ABCD 相似？请说明理由．图2D`C`B`A`yxDCBA2．相似三角形的判定（一）预习归纳1．三条平行线截两条直线，所得的比相等． 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的相等． 3．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形．例题讲解【例】如图，在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若AC =10，BC =20，DE =12，求DF 的长．E FDCBA基础题训练1．如图l 1∥l 2∥l 3，下列比例式不成立的是（）A ．EF DE BC AB = B ． EF DF BC AC = C ． CF AD AC AB = D ． DFACDE AB =2．（2015·长沙）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，31=BC DE ，DE =6，则BC 的长是．3．（2015·哈尔滨）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC的延长线上，连接EF ，分别交AD 、CD 于点G 、H ，则下列结论错误的是（）A ．EF EG BE EA = B ． GD AG GH EG = C ． CF BC AE AB = D ． ADCFEH FH =4．（2015·成都）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =6,DB =3,AE =4,则EC 的长为（） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4第2题图第3题图第4题图第1题图l 3l 2l 1ABCDE H ABDEABCDE F G E D CB A5．如图，菱形ABCD 内接于△AEF ，AE =5，AF =4，求菱形的边长．AEFBDC6．如图，在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，交AC 的延长线于点E ，交边BC 于点N ．求证：ACAEAB AD =． N A EF BDC中档题训练7．（2015·宁夏）在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE ．（1）若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠ADC ；（2）若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于点F ，求EF ：F A 的值．BE8．如图，△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，过B 作BE ∥CD 交AC 的延长线于点E ．求证：AD ACDB CB=．9．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点O ，过点O 作EF 分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，求证：OE ＝OF ．B10．如图，在△ABC 中，点E 是AC 上一点，DE ∥BC 交AB 于D ，EF ∥AB 交BC 于F ，AD ＝3，BD ＝5，DE ＝4，求CF 的长．BC综合题训练11．在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 的中点，AD 与BE 交于点P ．（1）如图1，当BD ＝CD 时，PEPB＝；（2）如图2，当CD ＝2BD 时，求证：PE ＝PB ．图1CDCD图23．相似三角形的判定（二）预习归纳如果两个三角形的三组的比相等，那么这两个三角形相似．例题讲解【例】△ABC 的三边长分别为6、8、12，△A 1B 1C 1的三边长分别为2、3、2．5，△A 2B 2C 2的三边长分别为6、3、4，则△ABC 与相似．基础题训练1．一个三角形三边的长分别是3、5、7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边长的和是（）A ．19B ．17C ．24D ．212．已知△ABC 的三边长分别为6，7．5，9，△DEF 的一边长为4，若△DEF 与△ABC 相似，则△DEF 的另两边长可能为（） A ．2，3 B ．4，5 C ．5，6 D ．6，73．如图，A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，为使△PQR ∽△ABC ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）．CB5．△ABC 的三边长分别为2A 1B 1C 1的两边长分别为1，当△A 1B 1C 1的第三边长为时，△ABC 与△A 1B1C 1相似．ABCD。

初三数学同步讲义(九年级下册)

ABC相似一．图形的相似1.相似图形的定义我们把具有相同形状的图形称为相似图形。

理解概念时应注意以下几点：① 相似图形是指形状相同、大小不一定相同的两个图形； ② 相似的图形不仅指平面图形，也可以是立体图形； ③ 全等是相似的特殊情况； ④ 图形的拉伸和压缩不是相似。

2.成比例线段（1）两条线段的比在同一长度单位下，量得的两条线段的长度的比值就叫做这两条线段的比。

（2）成比例线段对于四条线段,d c b a 、、、如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =()d c b a ::=或，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

即：两条线段的比等于另外两条线段的比。

若线段d c b a 、、、成比例，即d c b a ::=，那么其内项乘积等于外项乘积，即,c b d a ⋅=⋅其他的比例性质也都适用。

如果,cbb a =那么b 叫做c a 、的比例中项，也可以写成.2ac b = （3）黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段,AC CB ()AC CB >，若ACCBAB AC =，则称线段被点C 黄金分割，618.0215≈－＝AB AC . （4）比例性质： ① 若dcb a =，则bc ad =，反之也成立； ② 若a cb d =，则a bc db d ±±=； ③ 若(0)a c m b d n b d n ===+++≠L L ，则a c m a b d n b+++=+++L L二．相似三角形1．相似三角形的定义及表示如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（1）相似三角形用“∽”表示，例如ABC ∆和'''C B A ∆相似，记作ABC ∆∽'''C B A ∆；读作“相似于”。

（2）用“∽”表示两个图形相似时，对应顶点写在对应位置上，这样容易找到对应角、对应边．（3）两个三角形相似，对应边的比叫做相似比。

2024年初中九年级数学下册同步精品讲义(人教版)第7课相似多边形及位似(学生版)

第7课相似多边形及位似目标导航课程标准1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.知识精讲知识点01 相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的，对应边的．（2）相似多边形的周长比等于．（3）相似多边形的面积比等于．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.知识点02 位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.知识点02 黄金分割位似和黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即AB AP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1∵ABAP AP PB = ∴11x x x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：．考法01 相似多边形【典例1】如图，矩形草坪长20m ，宽16m,沿草坪四周有2m 宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【即学即练1】如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=（）能力拓展A B C D E F GHA. 2： 1B. ：1C. 3：D. 3：2【典例2】如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．A. 2cm 2B. 4cm 2C. 8cm 2D. 16cm 2考法02 位似【典例3】利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【典例4】如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.A B C D E【即学即练2】在已知三角形内求作内接正方形．考法02 黄金分割【典例5】求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【即学即练3】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm分层提分题组A 基础过关练1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（）A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. 512-B.512+C.3D.2题组B 能力提升练8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___ ___.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12.图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.题组C 培优拔尖练15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件

cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示，角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定角变值变角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。

人教版九年级数学下精品讲义

第二十六章反比例函数第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲领1.反比例函数⑴定义：一般地，形如kyx=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数.注：①自变量x在分母上，指数为1.②比例系数k≠0.③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0.④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线kyx=（k≠0）⑶性质（如下表所示）注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.⑵kyx=（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性⑴中心对称：对称中心是原点.⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x.4.k的几何意义（如下表所示）5.数学思想⑴数形结合；⑵分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练1.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（）A. 反比例函数B. 正比例函数C.一次函数D. 反比例或正比例函数2.若反比例函数22(21)my m -=-的图像在第二、四象限，则m 的值是（）A.-1或1B.小于12的任意实数 C.-1 D.不能确定 3.如图26-1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，2）则k 的值为（）A. 1B.-3C.4D.1或-34.若函数1mm y x-=为反比例函数，则m =______.5.三个反比例函数y 1，y 2，y 3的图像的一部分如图26-1-2所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为______.3y图26-1-16. 反比例函数2kyx-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图像的某一分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形.⑥一元二次方程x2—（2k—1）x+k2—1=0无实数根.其中正确的是______（在横线上填出正确的序号）7.已知y=y1+y2，而y1与x+1成反比例，y2与x2成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2. 求y与x的函数关系式.8.如图26-1-3所示，定义：若双曲线kyx=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线kyx=（k＞0）的对径.⑴求双曲线1yx=的对径；⑵若双曲线kyx=（k＞0）的对径为k的值；⑶仿照上述定义，定义双曲线kyx=（k＜0）的对径.图26-1-3能力提升9.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y =bx +c 和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）11.根据图26-1-5（a ）所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5（b ），过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ .则以下结论：①x ＜0时，2y x=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ =2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°. 其中正确的结论是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤ABAC D12.⑴正比例函数y =k 1x (k 1≠0)和反比例函数2k y x=(k 2≠0)的一个交点为（1，-2），则另一个交点为______.（2）直线y=ax （a ）0）与双曲线y=x3交于A ()11,y x 、B ()22,y x 两点，则122134y x y x -= .13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数()0>=k xky 的图像上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 .14. 如图26-1-7所示，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图像的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为 .15. 如图26-1-8所示，已知双曲线()0>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若△OBC 的面积为6，则k=.16. 如图26-1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数()0,0>>=x k xky 的图像上.若点R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩（a（b图26-1-5余部分的面积为S，则当S=m（m为常数，且0<m<4）时，反比例函数解析式为，点R的坐标是（用含m的代数式表示）.17. 如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交与点E ，双曲线()0>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k = .18. 如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C （-2，0）作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 19.（1）两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点321P P P 、、、…、2013P 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是321x x x 、、、…、2013x ，纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点分别作y轴的平行线与的图像交点依次是()111,y x Q 、()222,y x Q 、()333,y x Q 、…、()201320132013,y x Q ，则2013y = .（2）如图26-1-13所示，在函数()08>=x xy 的图像上有点321P P P 、、、…、n P 、1+n P ，点1P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点321P P P 、、、…、n P 、1+n P 分别作x 轴、y 轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为321S S S 、、、…、n S ，则1S ，n S .（用含n 的代数式表示）\20.（1）①如图26-1-14（a ）所示，一个正方形的一个顶点在函数()01>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是（，）.②如图26-1-14（b ）所示，若有两个正方形的顶点1P 、2P 都在函数()01>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是（，）.（2）如图26-1-14（c ）所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数()04>=x xy 的图像上，斜边1OA 、21A A 都在x 轴上， ①求点的坐标；②求点2P 的坐标.（3）如图26-1-14（d ）所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数()034>=x xy 的图像上，点1A 、1A 在x 轴上，直接写出点2P 的坐标.21.（1）探究：如图26-1-15（a ）所示，已知△ABC 和△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）应用：①如图26-1-15（b ）所示，点M 、N 在反比例函数()0>=k xky 图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，试证明：MN ∥EF .②若①中其它条件不变，只改变点M 、N 的位置，如图26-1-15（c ）所示，请判断MN 与EF 是否平行，直接写出结论。

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学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-----锐角三角函数与解三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式；②掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算；③能根据题目已知条件，进行解三角形；④能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在∠A+∠B=90°时B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =⋅B A2、同角关系sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan AAA = （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α 如图所示，l hi ==αtan ，即坡度是坡角的正切值．（3）方向角：平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．（五）解三角形1、定义锐角A 的正弦，余弦和正切都是∠A 的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C．D．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．例3、考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米D．AB=米例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（）A．500sinαB．C．500cosαD．考点四：解三角形例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）例2、如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．2、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB3、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（）A．30°B．60°C．90°D．120°5、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（）A．B．C．D．6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于．8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长．➢课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．2、在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．等边三角形C．含60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形3、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（）A．tanB B．sinB C．cosB D．sinB或cosB4、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为5、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为米．6、如图，水平面上有一个坡度i=1：2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上，己知DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点D离地面的高DH为m．（结果保留根号）7、计算：6tan260°﹣cos30°•tan30°﹣2sin45°+cos60°．8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．直击中考1、【2012•内江】如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．2、【2014•安顺】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．3、【2011•日照】在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=14、【2012•深圳】小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、正弦，余弦，正切的概念2、特殊角的三角函数值3、斜坡的坡度4、解三角形名师点拨1、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。

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中考尖子生训练集中营（一）——切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。

4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．·OPABCAD C例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。

D ·AO BE ·ACBDO B E【课堂练习】一．填空题：1．以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别为，， .2．已知⊙O 的直径为231-，点O 到直线l 的距离是方程013442=+-x x 的根，则直线l 与⊙O 的位置关系是．3．两个同心圆的半径分别为1cm 和2cm ，大圆的弦AB 与小圆相切,则AB= cm.4.如图1，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，若AM=a ，BN=b ，则AB= .5．如图2，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到D ，使BD=OB ，DC 切⊙O 于C ，则∠D= ，∠ACD= ，若半径为r ，AC= ． 6．经过圆的直径两端点的切线必互相．7．如图3，AB 为⊙O 的直径，MN 切⊙O 于C ，交AB 的延长线于M ，∠ACN=︒68，∠M= 。

8．如图4，P 为⊙O 外一点，PB 切⊙O 于B ，连结PO 交⊙O 于A ，已知,21AP OA =OB=5cm ，则PB= ．二．选择题：1．如图5所示，PA 切⊙O 于A ，PA=cm 5，PO 交⊙O 于B ，32sin =P ，则PB 的长为（）A 、1cmB 、2cmC 、1.5cmD 、cm )53(- 2．如图6所示，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，∠P=︒70，则∠C=（） A 、︒70 B 、︒55 C 、︒110 D 、︒1403．已知直径为13cm 的圆，圆心到直线l 的距离是6.5cm ，那么这条直线和这个圆的公共点个数是（）· A BDCO图2 · O B C N A图3· O PB A图4·CO BN 图1MA 、0个B 、1个C 、2个D 、不能确定4．如图7，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=︒90，以CD 为直径的圆切AB 于E 点，AD=3，BC=4，则CD 的长为（）A 、7B 、3.5C 、25D 、以上答案都不对三、解答题：1．如图所示，已知：AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 、BC 相交于E ．求证：AB=AE ．2．如图所示，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点。

求证：DE 是⊙O 的切线．· AOB图5 · CBOAP图6 C· A BODE 图7· ABC E OD· ABC EOD【课后作业】1．如图①所示，OA ⊥OB ，P 为OA 上一点，BP 交⊙O 于Q ，切线QR 交OA 的延长线于R ．（1）求证：RP=RQ（2）如图②所示，若P 在OA 的延长线上，其它条件不变，那么（1）中的结论是否成立？说明理由．· ABOPQR①· A BOQRP②中考尖子生训练集中营（二）——三角形的内切圆【知识要点】有关概念，三角形的内接圆，三角形的内心，圆的外切三角形，以及相应的多边形的内切圆，圆的外切多边形．本节课通过作图题引入新的概念，说明作三角形的外切圆的重要性，另外学生要深刻理解三角形的内心的实质：三角形三个内角平分线的交点．这对于解相关问题起点睛的作用．常用公式：已知三角形ABC 三边分别为a,b,c 面积为s ，则其内切圆半径r= ; 若该三角形为直角三角形，∠C=90︒，则则其内切圆半径r= ; 若等边三角形边长为m,则则其内切圆半径r= 。

【经典例题】例1．如图所示，O 是ABC ∆的内心，且∠BOC=︒120．求∠A 的度数．例2．如图所示，ABC ∆中，内切圆M 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．若∠FDE=︒70，求∠A 的度数．·AO BCE例3．如图所示，点I 是ABC ∆的内心，AI 的延长线交边BC 于点D ，交ABC ∆外接圆于点E ．（1）求证：IE=BE ；（2）若IE=4，AE=8，求DE 的长．例4．如图所示，ABC Rt ∆，∠C=︒90，AB=10，AC=8，BC=6，⊙O 为ABC ∆的内切圆，与三边的切点分别为D 、E 、F ．求⊙O 的半径．例5. 如图所示ABC Rt ∆，∠C=︒90，⊙O 为ABC ∆的内切圆，与三边的切点分别为D 、E 、F ．求证：BD AD S ABC ∙=∆BB【典型练习】一、填空题1．如图1，在A B C ∆中，∠ABC=︒60，∠ACB=︒80，点O 是内心，则∠BOC 的度数为．2．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．3．等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ．4．如图2，ABC ∆中，∠C=︒90，⊙O 是ABC ∆的内切圆，分别切BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，AB=8cm ，OD=2cm ，则ABC ∆的周长为 cm ．5．ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的。

6．圆外切等腰梯形底角为︒60，腰长为10，则圆的半径长为．7．ABC ∆的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=︒135，则ABC ∆为三角形．8．如图3所示，在ABC ∆中，∠ABC=︒50，∠ACB=︒78，点O 为ABC ∆的内心，BO 的延长线交AC 于D ，则∠BDC= ． 9．等腰ABC ∆中，AB=AC=13，ABC ∆的面积为60．求A B C ∆的内切圆的半径= ．二、选择题1．半圆圆心在ABC Rt ∆的斜边BC 上，且半圆分别外切AB 、AC 于D 、E ，AB=4，AC=5，则半圆的半径R 为（） A 、920 B 、925 C 、209 D 、9402．如图4，ABC ∆的内切圆⊙O 分别切BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，如果∠A=︒54，∠EDF 的度数为（）A 、︒36B 、︒54C 、︒63D 、︒126图1· OAA BO ·E F 图2·图3ABCOD图4· AB COD EF3．一定有内切圆的四边形是（）A 、矩形B 、菱形C 、等腰梯形D 、直角梯形 4．等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是（）A 、1:2:3B 、1:3:2C 、1:2:3D 、1:2:3 5．等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于（）A 、3B 、332C 、33 D 、323 三、解答题1．如图所示，ABC Rt ∆的内切圆⊙O 切斜边AB 于点D ，切BC 于点F ，BO 的延长交AC 于点E ．求证：BE BD BC BO ⋅=⋅．2．如图所示，⊙O 为ABC ∆的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，∠A:∠B:∠C=2:3:4．求∠EDF:∠DEF:∠EFD ．·BDF CAO ·BDFCE AO【课后作业】一、填空题1．如图1，已知等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积是． 2．如图2，⊙O 内切于ABC Rt ∆，∠C=Rt ∠，D 、E 、F 是切点，若∠BOC=︒105，则 ∠A= ．3．PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠APB=︒78，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点，则∠ACB= ．二、选择题·1．一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形2．如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（）A 、∠BIC=180-2∠AB 、∠BIC=2∠AC 、∠BIC=︒90+2A ∠ D 、∠BIC=︒90-2A∠3．在ABC Rt ∆中，∠C=︒90，AB=13，135sin =A ，则ABC ∆内切圆的周长为（）A 、3πB 、4πC 、6πD 、8π 4．⊙O 是ABC Rt ∆的内切圆，切斜边AB 于D ，切直角边BC 、AC 于E 、F ，则四边形OECF 是（）A 、直角梯形B 、矩形C 、菱形D 、正方形 5．直角三角形的内心在（）A 、三角形外B 、三角形内C 、斜边上D 、无法确定·O ABC图1 · ABC D F O 图2·I AB C三、解答题1．如图所示，在ABC ∆中，∠BAC 的平分线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，线段AD 上有一点E ，DE=DB ．求证：E 是ABC ∆的内心．2．如图所示，已知O '在⊙O 上，以O '为圆心的圆交⊙O 于A 、B 两点，⊙O 的弦O 'C 交⊙O '于D ．求证：D 为ABC ∆的内心．· ABCED · ·ABO ' O CD中考尖子生训练集中营（三）——切线长定理【知识要点】1、切线长的概念．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，我们把线段PA ，PB 叫做点P 到⊙O 的切线长．2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3、切线长定理的基本图形研究如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AP 于C (1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的相似三角形； (4)写出图中所有的等腰三角形．说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．【典型例题】：例1．如图所示，过半径为5cm 的⊙O 外一点P 引⊙O 的切线PA 、PB ，连结PO 交⊙O 于点M ，过M 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于点E 、D ，如果OP=13cm ，则PED 的周长为例2．已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线， A 和B 是切点，BC 是直径．求证：AC ∥OP ．· A PE MDBO例3．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=3，BC=2，半圆O 与AD 、DC 、BC 都相切，且圆心O 在AB 上，则AB= ．例4．如图所示，已知过⊙O 的直径AB 的两端及AB 上任一点E 作⊙O 的三条切线AD 、BC 和CD ，它们分别交于D 、C 两点．求证：BC AD 为定值．例5．如图，已知AD 是⊙O 的直径，AB 、DC 是⊙O 的两条切线，且AB ＋CD=BC ，求证：BC 与⊙O 相切ADCB· O·ADO B CE· A BCDO【典型练习】一、填空题1．⊙O 是菱形ABCD 的内切圆，半径为3，∠A=︒60，则菱形ABCD 的边长为．2．如图1，ABC ∆外切于⊙O ，D 、E 、F 为切点，AB=5，BC=7，AC=8，则AD= ，BE= ，CF= ．3．⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为5，由P 作⊙O 的切线，切点为A ，则PA 的长为．4．已知点P 为⊙O 外一点，AP 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，∠APB=︒80，则 ∠AOB= ，∠POA= ．5．如图2，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，若⊙O 的半么为5，AB=8，则PA= ．二、选择题。