5最标准全面的马尔可夫模型例题(以中天会计事务所为例)
马尔可夫链模型简介
马尔可夫链模型简介设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。
N i ⋅⋅⋅=,2,1。
称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义2 向量),,,(21n u u u u ⋅⋅⋅= 成为概率向量，如果u 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅=≥∑=nj jj u nj u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。
定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=3212222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(其中)(k P 为k 次转移矩阵。
定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。
（此处2≥m ）定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。
马尔可夫链模型如下：设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,()0()0(2)0(1)0(N S S S S ⋅⋅⋅=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ⋅⋅⋅=),2,1(⋅⋅⋅=k ，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0()( 此式即为马尔可夫链预测模型。
马尔科夫模型简介
对任意 n ,r和 的 0t1 正 t2 整 trm ;数 ti,m ,n m T i, 有
P { X m n a j|X t 1 a i 1 , X t 2 a i 2 , L , X t r a i r , X m a i } P { X m n a j|X m a i} ,其中 aiI.
1 2345 如果Q现在位于1(或5)这点上, 则下一时刻就 以概率1移动到2(或4)这一点上. 1和5这两点称为反射壁. 上面这种游动称为带有两个反射壁的随机游动. 模拟方法:产生均匀分布的随机数序列132322 11122…,其中1表示左移;2表示不动;3表示右移.
01
P0 1
p q
பைடு நூலகம்
q p
例3 一维随机游动 一随机游动在的如质图点所示直线的点 I {1,2,3,4,5}上作随机,游 并动 且仅仅 1秒在2、 秒 等时刻发生. 游动
1 2345 游动的概率规则
如果Q现在位于点 i (1< i <5),则下一时刻各以 1/3的概率向左或向右移动一格, 或以1/3的概率留 在原处;
3. 马尔可夫链的定义
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔 可夫链, 简记为 { X n X ( n )n , 0 ,1 ,2 , }.
二、马尔可夫过程的概率分布
研究时间和状态都是离散的随机序列
{ X n X ( n )n , 0 ,1 ,2 , }, 状态 I 空 (a 1 ,a 2 , 间 }a ,i R 为 .
即: 过程“将来”的情况与“过去”的情况是无 关的.
2. 马尔可夫过程的定义
具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程.
用分布函数表述马尔可夫过程 设 I:随机 {X (过 t)t, T 程 }的状,态空 如果对 t的时 任 n个 间 意 数 , 值 t X 1 (tn t 2 )在 t 条 n ,X n ( t件 i3 ), t ix i下 T ,的 恰有条件分布函 P { X ( t n X ) ( tn x )n 在 | X ( t 1 条 ) X (x t1 n 件 , 1 X )( t 2 ) x n1 x 下 2 , , X 的 ( t n 1 ) 条 x n 件 1 } P { X ( t n ) x n | X ( t n 1 ) x n 1 } x n , R
数学建模马尔可夫讲义
排队论和可靠性理论
排队论
排队论是研究排队现象的数学理论， 马尔可夫链可以用于描述排队系统的 状态变化。通过马尔可夫链，可以计 算排队系统的性能指标，如等待时间、 队列长度等。
可靠性理论
可靠性理论是研究系统可靠性的数学 理论，马尔可夫链可以用于描述系统 的故障和修复过程。通过马尔可夫链， 可以计算系统的可靠性和可用性指标。
02
马尔可夫链是指状态转移概率只依赖于当前状态的 一类随机过程。
03
在马尔可夫链蒙特卡洛方法中，通过迭尔可夫链蒙特卡洛方法的实现和应用
实现马尔可夫链蒙特卡洛方法需要确定马尔可夫链的状态转移概率和初始 状态分布。
常见的马尔可夫链蒙特卡洛方法包括Metropolis-Hastings算法、Gibbs 采样等。
数学建模马尔可夫讲 义
目录
• 引言 • 马尔可夫链简介 • 数学建模基础 • 马尔可夫链在数学建模中的应用 • 马尔可夫链蒙特卡洛方法 • 结论
01
引言
主题简介
数学建模
使用数学语言、符号和公式来描述和解决实际问题的过程。
马尔可夫模型
一种数学模型，用于描述随机过程，其中未来的状态只与当 前状态有关。
数学建模的步骤
• 总结词：数学建模通常包括问题定义、数据收集、模型建立、模型验证 和模型应用五个步骤。
• 详细描述：数学建模是一个系统的过程，通常包括以下五个步骤：问题 定义、数据收集、模型建立、模型验证和模型应用。在问题定义阶段， 需要对问题进行清晰明确的阐述，明确建模的目的和意义。在数据收集 阶段，需要收集与问题相关的数据，为建模提供依据和支持。在模型建 立阶段，根据问题定义和数据收集的结果，建立相应的数学模型。在模 型验证阶段，需要对建立的模型进行验证，确保其准确性和可靠性。在 模型应用阶段，将建立的模型应用于实际问题中，得出相应的结论和建 议。
第9章马尔可夫预测方法讲述案例
指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策，譬 如采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折 价优惠等方法。
假设甲公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向乙、丙 两公司的流失，使保留率从原来的63.16％提高到80％，同 时向乙、丙两公司的转移概率分别为9%和11%，此时程序 中第（2）步的一步转移概率矩阵变为：
第9章 马尔可夫预测方法
9.1 马尔可夫链基本理论 9.2 案例分析
9.2.1市场占有率预测 9.2.2 股票价格走势预测 9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势 9.2.4 期望利润预测
9.1 马尔可夫链基本理论
9.1.1马尔可夫链基本概念 （1）马尔可夫链
设随机过程{ X (t) ,t T }，
（2） 争取策略
指从竞争者拥有的顾客中争取顾客的各种经营方针 与对策。如：通过广告等方法。
设甲公司采用争取策略后，能从上一期内向另外两 家公司购货的顾客中分别争取20％与15％，此时程 序中第（2）步的一步转移概率矩阵又变为：
0.6316 0.1579 0.2105
P
0.2
0.5759 0.2241
( j) 1 的唯一解
j0
注1
定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经 有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。
注2 定理给出了求平稳分布 ( j)的方法。
3．马尔可夫链预测基本步骤
（1）划分状态区间，确定状态空间I =[1, 2，…，N]；
（2）按步骤（1）所划分状态区间，确定资料序列中各时段指 标值所对应的状态；
设有限马氏链{ X n , n 0 }的状态空间为 I={0,1,2,…,s}
如果存在正整数n0 ，使对一切i, j I 都有pi(jn0 ) 0 ，
隐马尔可夫模型(有例子-具体易懂)课件
定义前向变量为:
“在时间步t, 得到t之前的所有明符号序列, 且时间 步t的状态是Si”这一事件的概率, 记为 (t, i) = P(o1,…,ot, qt = Si|λ)
则
算法过程
HMM的网格结构
前向算法过程演示
t=1
t=2
t=3
t=4
t=5
t=T
t=6
t=7
问题 1 – 评估问题
给定
一个骰子掷出的点数记录
124552646214614613613666166466163661636616361651561511514612356234
问题
会出现这个点数记录的概率有多大? 求P(O|λ)
问题 2 – 解码问题
给定
一个骰子掷出的点数记录
124552646214614613613666166466163661636616361651561511514612356234
HMM的三个基本问题
令 λ = {π，A，B} 为给定HMM的参数， 令 O = O1,...,OT 为观察值序列，则有关于 隐马尔可夫模型（HMM）的三个基本问题: 1.评估问题: 对于给定模型，求某个观察值序列的概率P(O|λ) ； 2.解码问题: 对于给定模型和观察值序列，求可能性最大的状态序列maxQ{P(Q|O,λ)}； 3.学习问题: 对于给定的一个观察值序列O，调整参数λ，使得观察值出现的概率P(O|λ)最大。
5点
1/6
3/16
6点
1/6
3/8
公平骰子A与灌铅骰子B的区别:
时间
1
2
3
4
5
6
7
骰子
A
A
中天会计事务所马尔可夫模型例题(最完整的例题分析)
中天会计事务所马尔可夫模型例题一、问题分析中天会计事务所由于公司业务日益繁忙，常造成公司事务工作应接不暇，解决该公司出现的这种问题的有效办法是要实施人力资源的供给预测技术。
根据对该公司材料的深入分析，可采用马尔可夫模型这一供给预测方法对该事务所的人力资源状况进行预测。
马尔可夫分析法是一种统计方法，其方法的基本思想是：找出过去人力资源变动的规律，用以来推测未来人力变动的趋势。
马尔可夫分析法适用于外在环境变化不大的情况下，如果外在环境变化较大的时候这种方法则难以用过去的经验情况预测未来。
马尔可夫分析法的分析过程通常是分几个时期来收集数据，然后在得出平均值，利用这些数据代表每一种职位的人员变动频率，就可以推测出人员的变动情况。
二、项目策划（一）第一步是编制人员变动概率矩阵表。
根据公司提供的内部资料：公司的各职位人员如下表1所示。
期到另一个时期（如从某一年到下一年）在两个工作之间调动的雇员数量的历年平均百分比（以小数表示）。
（注：一般以3—5年为周期来估计年平均百分比。
周期越长，根据过去人员变动所推测的未来人员变动就越准确。
）（二）第二步是编制人员变动矩阵表。
将上面的表2做成一个人员变动矩阵表，其具体过程是将中天会计事务所各个阶层员工流动的概率与各职位人数分别相乘即可预测出下一期人员可能调动的情况如下表3所示。
内，而有20%离职。
在任何一年里，平均65%的会计员留在原岗位工作，15%提升为高级会计师，20%离职。
这些历史数据代表了每一种工作中人员变动的概率。
（三）第三步是预测未来的人员变动（供给量）情况。
将计划初期每一种工作的人员数量与每一种工作的人员变动概率相乘，然后纵向相加，即得出表4的组织内部未来劳动力的净供给量。
（四）第四步是该会计事务所的某一期预测如上表4所示。
1、如上表4所示，会计员离职人数最多，离职率也最高，这说明这一职位在将来会出现短缺的现象，据此公司可采取以下具体的对策：①查明公司会计员离职率高的原因，采取必然的措施尽快地降低离职率②加大对公司会计员的培训力度，使他们尽快地晋升为会计师③采取多种方式，广开人员补充的渠道，吸引更多的专业人才补充岗位空缺。
马尔可夫决策过程实例讲解
} 算法步骤简单，思想也简单但有效：重复贝尔曼公式（4），更新V (s) 。经过验证，该算
法 最 终 能 够 使 得 V (s) V *(s) 。 具 体 证 明 值 迭 代 算 法 收 敛 的 过 程 可 以 参 考 文 档
file:///E:/rearchStudent3/201501.15@MDP/MDP%E8%B5%84%E6%96%99/introduction%20of% 20MDP--Princeton.pdf 中的 3-10 部分。
上图的场景表征的是机器人导航任务，想象一个机器人生活在网格世界中，阴暗单元是 一个障碍。假设我希望机器人到达的目的地是右上角的格子（4,3），于是我用+1 奖励来 关联这个单元；我想让它避免格子（4,2），于是我用-1 奖励来关联该单元。现在让我们 来看看在该问题中，MDP 的五元组是什么： S：机器人可以在 11 个网格中的任何一个，那么一共有 11 个状态；集合 S 对应 11 个可 能到达的位置。 A={N S E W}。机器人可以做出的动作有 4 个：向东 向南 向西 向北。 Psa ：假设机器人的行为核心设计并不是那么精准，机器人在受到相关指令后有可能会走偏 方向或者行走距离不那么精确，为简化分析，建立机器人随机动态模型如下：
P(3,1)N ((3, 2)) 0.8; P(3,1)N ((2,1)) 0.1； P(3,1)N ((4,1)) 0.1；P(3,1)N ((3,3)) 0；...
R：奖励函数可以设置为：
R((4,3)) 1 R((4, 2)) 1 R(s) 0.02对于其他状态s
去状态是条件独立的。在一些资料中将 Psa 写成矩阵形式，即状态转换矩阵。
[0,1) 表示的是 discount factor，具体含义稍后解释。
马尔可夫决策规划5
马尔可夫决策规划第五讲 有限阶段模型及其他有限阶段模型的目标只有有限项，即1110210100P P P P P P P )(2)(+-++++=n n n f f f f f n f f f f f f n r r r r V βββπβ1) 当n 充分大时，近似令∞=n 2) 用动态规划法求解注意：用Bellmon 最优化原理可推出平稳策略优势。
§ 5.1 向后归纳法在确定性动态规划问题求解中，向后归纳法是寻求最优策略的一种有效解法，同样也是求解有限阶段Markov 决策规划问题中最优策略与最优值函数的有效解法。
定理5.1 在状态集与所有行动集均为有限的有限阶段模型中，定义函数()nV i *，使其满足如下等式：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∈+∈S j n i A a nj V a i j p a i r i V 1**,,max()()()()()∑∈++=Sj n n n j V i f i j p i f i r 1***,, ……..(5.1)()0,...,2,1,,--=∈N N N n S i 其中()01*=+j V N 。
则由上述算式求出的()()()()00001,2,...,V V V V l ****=即为有限阶段模型的最优值函数，即对每个i S ∈，均有()()0sup ,N V i V i ππ*∈∏=；与此同时求得的决策序列()01,,...,N f f f π****=即为最优策略，其中{1,2,...,}S l =。
由于所有的()(),A i i S∈及{1,2,...,}S l =均为有限集，故由(5.1)式求得的()n f i *一定存在，且达到最优的行动可能多于一个（此时可任取一个作为()n f i *）。
定理5.1不仅解决了有限阶段模型求解最优策略的方法问题，而且还表明对任何n ，()i V n*表示在阶段n ，从状态i 出发，在余下1N n +-的阶段的最优期望总报酬，()1,,...,n n N f f f ***+也构成从n 到阶段N 的最优策略，这体现了Bellman 的最优化原理。
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中天会计事务所马尔可夫模型例题一、问题分析
中天会计事务所由于公司业务日益繁忙，常造成公司事务工作应接不暇，解决该公司出现的这种问题的有效办法是要实施人力资源的供给预测技术。
根据对该公司材料的深入分析，可采用马尔可夫模型这一供给预测方法对该事务所的人力资源状况进行预测。
马尔可夫分析法是一种统计方法，其方法的基本思想是：找出过去人力资源变动的规律，用以来推测未来人力变动的趋势。
马尔可夫分析法适用于外在环境变化不大的情况下，如果外在环境变化较大的时候这种方法则难以用过去的经验情况预测未来。
马尔可夫分析法的分析过程通常是分几个时期来收集数据，然后在得出平均值，利用这些数据代表每一种职位的人员变动频率，就可以推测出人员的变动情况。
二、项目策划
（一）第一步是编制人员变动概率矩阵表。
根据公司提供的内部资料：公司的各职位人员如下表1所示。
期到另一个时期（如从某一年到下一年）在两个工作之间调动的雇员数量的历年平均百分比（以小数表示）。
（注：一般以3—5年为周期来估计年平均百分比。
周期越长，根据过去人员变动所推测的未来人员变动就越准确。
）
（二）第二步是编制人员变动矩阵表。
将上面的表2做成一个人员变动矩阵表，其具体过程是将中天会计事务所各个阶层员工流动的概率与各职位人数分别相乘即可预测出下一期人员可能调动的情况如下表3所示。
内，而有20%离职。
在任何一年里，平均65%的会计员留在原岗位工作，15%提升为高级会计师，20%离职。
这些历史数据代表了每一种工作中人员变动的概率。
（三）第三步是预测未来的人员变动（供给量）情况。
将计划初期每一种工作的人员数量与每一种工作的人员变动概率相乘，然后纵向相加，即得出表4的组织内部未来劳动力的净供给量。
（四）第四步是该会计事务所的某一期预测如上表4所示。
1、如上表4所示，会计员离职人数最多，离职率也最高，这说明这一职位在将来会出现短缺的现象，据此公司可采取以下具体的对策：
①查明公司会计员离职率高的原因，采取必然的措施尽快地降低离职率
②加大对公司会计员的培训力度，使他们尽快地晋升为会计师
③采取多种方式，广开人员补充的渠道，吸引更多的专业人才补充岗位空缺。
2、“预计的人员供给量”为：下一年将有同样数目的合伙人40人，以及同样数目的高级会计师120人，这说明合伙人与高级经理的
供求较稳定；但经理人数将减少18人，会计员将减少50人，这说明经理与会计员的供给小于需求，需要招聘。
3、这些人员变动的数据，与正常的人员扩大，缩减或维持不变的计划相结合，就可以用来决策怎样使预计的劳动力供给与需求匹配。
要做到这一点，可以到外面直接招聘会计员与高薪聘请经理；或到外面招聘更多的会计员和高级会计师，把更多的高级会计师提升为经理；再或者采取与总的组织计划相一致的其他策略，如此就可解决中天会计事务所出现的问题。