精品解析：【市级联考】江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考数学试题(解析版)
江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2019-2020学年度高三年级第一学期第一次联合测试试卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，若A B ⊆，则a 的取值范围为：_______. 【答案】[)0,+∞ 【解析】 【分析】根据A B ⊆,列式解得.【详解】因为{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，且A B ⊆, 所以0a ≥. 故答案为:[0,)+∞.【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.2.若幂函数()kf x x =的图像过点()4,2，则()9f =____.【答案】3 【解析】 【分析】根据(4)2f =解得12k =,由此可得12()f x x =,然后可得(9)f . 【详解】因为幂函数()kf x x =的图像过点()4,2,所以(4)2f =,即42k =, 所以222k =,所以21k =,所以12k =, 所以12()f x x =,所以12(9)9f =122(3)3==, 故答案为:3.【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题. 3.函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_________. 【答案】π利用降幂公式化简再求最小正周期即可. 【详解】1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=,故最小正周期是22ππ=. 故答案为：π【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.4.已知角α的顶点在原点，始边为x 轴非负半轴，则“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据第一象限角,y 轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得. 【详解】由α的终边在第一象限可以推出sin 0α>,由sin 0α>,可以推出α的终边在第一象限或者在y 轴非负半轴上或者在第二象限, 所以“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的充分不必要条件. 故答案为 充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.5.已知向量a v 、b v 的夹角为60o，2a =v ，1b =v ，则a b -=v v ____.【解析】 【分析】利用||a b -=rr可得.【详解】因为222()24221cos ,1a b a a b b a b -=-⋅+=-⨯⨯⨯<>+r r r rr r r 144132=-⨯+=,所以||a b -=rr故答案为【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.6.已知()P a 为角θ的终边上的一点，且1sin 2θ=，则实数a 的值为____. 【答案】1由三角函数的定义，即可求解a 得值，得到答案.【详解】由三角函数的定义可知1sin 2θ==，解得1a =±，又由sin 0θ>，所以1a =.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.7.曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3- 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．8.已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】当02x <<时，22(2)8a a a +=-++，求出1a =；当2a ≥时，282(2)8a a -+=-++无解.从而()11f f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此能求出结果. 【详解】解：由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知， 当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭. 故答案为：2.【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.9.平行四边形ABCD 中，已知6,5,2AB AD CP PD ===u u u r u u u r ，12AP CP ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】6 【解析】 【分析】以,AB AD u u u r u u u r 为基底表示,AP CP u u u r u u u r，代入12AP CP ⋅=-u u u r u u u r，即求AB AD ⋅u u u r u u u r. 【详解】平行四边形ABCD 中，2CP PD =uu ruu u r，122,333AP AD DP AD AB CP CD AB ∴=+=+==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，212223339AP CP AD AB AB AD AB AB ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r g g .6,5,12AB AD AP CP ==⋅=-u u u r u u u rQ ，222126,639AD AB AD AB ∴-=--⨯∴=u u ur u u u r u u u r u u u r g g .故答案为：6.【点睛】本题考查平面向量基本定理和数量积的运算，属于基础题.10.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()22f x x x =--，则当[]4,6x ∈时，()y f x =的最小值为_________.【答案】-1 【解析】 【分析】先根据()()2f x f x +=-推出周期为4,再根据奇函数推出[0,2]x ∈时的表达式,再根据周期性推出[4,6]x ∈时的表达式,再用二次函数求最小值,【详解】因为()()2f x f x +=-, 所以(22)(2)f x f x ++=-+,所以(4)[()]()f x f x f x +=--=,即(4)()f x f x +=, 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数, 设[0,2]x ∈,则[2,0]x -∈-,所以22()()2()2f x x x x x -=----=-+, 因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数, 所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=--+=-, 所以当[4,6]x ∈时,4[0,2]x -∈,所以22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+2(5)1x =--, 所以当5x =时,函数()f x 取得最小值1-. 故答案为1-.【点睛】本题考查了函数的周期性,奇偶性,二次函数求最小值,属于中档题.11.如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =_____．21 【解析】 【分析】设出AD x =，根据ACB ACD ∠=∠，利用余弦定理建立等式解出=3AD ACB ACD ∠=∠的值，在BCD V 中利用余弦定理，解出BD 的值． 【详解】设AD x =，则2AB x =,2164AC x =-又AC 是BCD ∠的角平分线，即ACB ACD ∠=∠,222cos cos 2AC AC CD ADACB ACD BCAC CD+-∠==∠=⋅3x ⇒=,即3AD =，2AC =，=60o ACB ACD ∠=∠，=120o BCD ∠2241241cos12021o BD =+-⨯⨯=故填21【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．12.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(－1)＝0，当x ＞0时，(x 2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为________． 【答案】(－∞，－1)∪(0,1) 【解析】【详解】因为()21f x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭′＝()()()()222121x f x xf x x '+-+，而(x 2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以()21f x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭′＜0，令g(x)＝()21f x x +，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．13.已知函数()ln ,111,122x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的最小值是_____. 【答案】32ln 2-【解析】 【分析】根据分段函数在两段上都单调,可得1,1m n ≤>,且2ln 1m n =-,所以2ln 1n m n n -=-+,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.【详解】因为函数()f x 在(,1]-∞上递增,在(1,)+∞上也递增,且m n <时,()()f m f n =, 所以1,1m e n ≤≥>,所以11()22f m m =+,()ln f n n =, 所以11ln 22m n +=,即2ln 1m n =-, 所以2ln 1n m n n -=-+,1e n ≥>, 令()2ln 1(1)h x x x e x =-+≥>, 则22()1x h x x x-'=-=, 当(1,2)x ∈时,()0h x '<,当(2,)x ∈+∞时,()0h x '>, 所以()h x 在(1,2)上递减,在(2,)+∞上递增,所以2x =时,()h x 取得最小值(2)22ln 2132ln 2h =-+=-. 即n m -的最小值是:32ln 2-. 故答案为: 32ln 2-.【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.14.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为：____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据积化和差公式得11sin sin cos cos()22B C A B C =+-11cos 22A ≤+,再化成辅助角的形式可解得最大值.【详解】由积化和差公式可得,1sin sin [cos()cos()]2B C B C B C =-+--1[cos()cos()]2A B C π=----11cos cos()22A B C =+-11cos 22A ≤+,当且仅当BC =时,等号成立,sin sin A B C +11cos 22A A ≤++11)2A A=+1312(sin cos)332222A A=++,令cos332ϕ==,112sin332ϕ==,则tan4ϕ==,取arctan4ϕ=,所以sin sinA B C+31(sin cos cos sin)22A Aϕϕ≤++31sin()22Aϕ=++31222≤+=,当arctan24Aπ=-,22AB Cπ==-时,等号成立.故答案为:2【点睛】本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或摊..运算过程.15.已知函数()2π2cos214f x x x⎛⎫=-++⎪⎝⎭.(1)求函数()f x的最小正周期;(2)求函数()f x在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】(1) T＝2π4＝π.2;(2)取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期,(2)根据x的范围,求出4x＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答.试题解析：(1)由题意知,()f xx-cosπ42x⎛⎫+⎪⎝⎭x＋sin 4x＝2sinπ43x⎛⎫+⎪⎝⎭,∴函数()f x的最小正周期T＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x≤π4,∴-π3≤4x ＋π3≤4π3,∴2-≤sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 3sin B C =，tan A =ABC ∆的面积为. （1）求cos2A 的值； （2）求ABC ∆的周长.【答案】（1）79（2）8 【解析】 【分析】（1）由tan A =和22sin cos 1A A +=可得sinA 和cosA ，再由二倍角公式即得cos2A ；（2）由面积公式1sin 2bc A =可得bc 的值，再由sin 3sin B C =和正弦定理可知b 和c 的值，用余弦定理可计算出a ，即得ABC ∆的周长．【详解】解：（1）因为sin tan cos AA A ==sin A A =，02A π<<.因为22sin cos 1A A +=，所以sin A =，1cos 3A =，则217cos 22cos 12199A A =-=⨯-=.（2）由题意可得，ABC ∆的面积为1sin 23bc A ==12bc =. 因为sin 3sin B C =，所以3b c =，所以6b =，2c =.由余弦定理可得a ===故ABC ∆的周长为8a b c ++=.【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型． 17.已知函数16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）(1,1)-； （2）15[,)2+∞. 【解析】 【分析】（1）由于函数是定义在R 上的奇函数，故可根据()00f =求得a 的值.再利用指数函数的值域，来求得()f x 的值域.（2）将原不等式分离常数，转化为()max 313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，然后通过换元法求得右边函数的最大值，由此求得t 的取值范围.【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133x f x +=-+ 23113131x x x -=-=++ ()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，故3a =据此()()1301xf x f x +=>-，()()1,1f x ∈-，即值域为()1,1-⑵()2131x f x =-+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为正数， 所以()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，令[]31,2,8xm m -=∈，则()()3133231x xx m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大， 最大值为152，∴所求范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域求法，考查不等式恒成立问题的解决策略.属于难题.如果一个奇函数在0x =处有定义，则必有()00f =，偶函数没有这个性质.对于含有参数的不等式恒成立问题，往往通过分离常数法来解决.在分离常数的过程中要注意不等号的变化.18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元【解析】【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况，得到()P x 与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.【详解】（1）产品售价6元，则万件产品销售收入为6x 万元.依题意得，当07x <<时，2211()6224233p x x x x x x =---=-+-， 当7x ≥时，33()6(6ln 17)215ln e e p x x x x x x x=-++--=--， 23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩； （2）当07x <<时，21()(6)103p x x =--+， ∴当6x =时，()p x 的最大值为(6)10p =（万元），当7x ≥时，333221()15ln ()e e e x p x x p x x x x x-=--∴'=-+=，∴当37x e ≤<时，()p x 单调递增，当3,()x e p x ≥单调递减，∴当3x e =时，()p x 取最大值33()15ln 111p e e =--=（万元），1110>Q ∴当320x e =≈时，()p x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.19.设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，集合(){}|A x f x x ==． （1）若{}1,2A =，()00f >，且方程()0f x =的两根都小于-1，求实数a 的取值范围；（2）若{}2A =，求函数()f x 在区间[]22-,上的最大值M （结果用a 表示）．【答案】（1）136a <≤-（2）()max 12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或. 【解析】【分析】(1)根据{}1,2A =,可得132b a c a =-⎧⎨=⎩,由二次函数的图象列式可解得; (2)根据{}2A =,可得144b a c a =-⎧⎨=⎩,再讨论二次函数的图象开口方向和对称轴可解得. 【详解】（1）因为{}1,2A =，所以1和2是()210ax b x c +-+=的两根， 所以由韦达定理得11212b a c a-⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得132b a c a =-⎧⎨=⎩， 因为()00f >，所以20c a =>，即0a >，此时2222(1)498b ac a a a =--=-=V 0> ,又因为方程()0f x =的两根都小于-1，所以()2401210b ac b af a b c ⎧-≥⎪⎪-<-⎨⎪-=-+>⎪⎩，将13,2b a c a =-=代入得()()2213801321320a a a a a a a ⎧--≥⎪->⎨⎪--+>⎩，所以26101516a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩,解得136a <≤- （2）因为{}2A =，所以()210axb xc +-+=有两个相等的两根2， 故12222b a c a-⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩， 此时2222(1)41688b ac a a a =--=-=V 0>,所以()()2144f x ax a x a =+-+，对称轴为411222a x a a-==-， ①当0a <时，则1222a ->，()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()max 22f x f ==； ②当104a <<时，则1222022a -+-<=，()()max 22f x f ==； ③当14a ≥时，则1222022a -+-≥=，()()max 2162f x f a =-=-， 综上：()max 12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或． 【点睛】本题考查了二次方程实根的分布,解一元二次不等式,分类讨论思想,二次函数在指定区间上的最值,属于中档题.20.已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =． （1）求函数()()f x yg x =的极小值； （2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数；（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值．【答案】（1）3e -；（2）分类讨论，详见解析；（3）4.【解析】【分析】(1)求导后,利用导数可求得极小值;(2)转化为讨论25xx a e -=-在(],4-∞上的解的个数,再利用导数可解决; (3) 转化为对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511xx x e -+≤恒成立后,构造函数利用导数可解得, 【详解】（1）()()251xf x x x yg x e -+==，x ∈R . 则()()22261(25)(51)76'()x x x x xx x x e x x e x x y e e e -----+-+==-=-， 令'0y >，得16x <<；令'0y <，得1x <或6x >（或列表求）∴函数()()f x yg x =在(),1-∞单调减，在()1,6单调增，在()6,+∞上单调减， ∴函数()()f x y g x =在1x =处取得极小值3e-； （2）()()'250x y f x a g x x a e =+⋅=-+⋅=，∵0x e >，∴25x x a e -=-， 设()25x x h x e -=-，则()27'x x h x e -=，令()'0h x >，则72x >. ∴()25x x h x e -=-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调减，在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，且x →-∞，()h x →+∞，min ()h x =72722h e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()443h e -=-. ∴当43a e ->-或722a e -=-时，()h x a =有1解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上零点的个数为1个； 当74223e a e ---<≤-时，()h x a =有2解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为2个； 当722a e -<-时，()h x a =有0解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为0个．（3）∵0x e >，存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，∴存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()x t xf x g x ≤-恒成立. ∵min 0t =，∴对任意的[]1,x m ∈，不等式()()10f x g x ≤-恒成立. 即对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511x x x e -+≤恒成立．设()()251x G x x x e =-+，[)1,x ∈+∞， ∴()()()2'2551x x G x x e x x e =-+-+()()()23441x x x x e x x e =--=-+，可求得()G x 在(),1-∞-上单调增，在()1,4-上单调减，在()4,+∞上单调增，则()()251x G x x x e =-+在[)1,4上单调减，在()4,+∞上单调增， 当4m ≤时，()()251x G x x x e =-+在[1,]m 上递减,所以()()max 131G x G e ==-≤恒成立； 当4m >时，()()251x G x x x e =-+在[1,4]上递减,在(4,]m 上递增,所以()()(){}max max 1,G x G G m =，因为()131G e =-≤， ()4431G e =-≤，而()551G e =>；所以()2511x x x e -+≤在[1,]m 上不恒成立, ∴正整数m 的最大值为4．【点睛】本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题.。
江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校22-23学年高三上学期第二次联考数学试题(解析版)
10.已知函数 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）
A.
B. 在 上单调递增
C. 的解集为
D.将 的图像向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数图象易得 与周期，即可求出 ，再利用待定系数法求出 ，即可求出函数解析式，即可判断A；结合正弦函数的单调性代入验证即可判断B；根据正弦函数的性质解不等式即可判断C；根据平移变换求出变换后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可判断D.
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故BCD不一定成立.
故选：A
6.在棱长为 的正方体 中， 是底面 内动点，且 ∥平面 ，当 最大时，三棱锥 的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接 ，可证得平面 ∥平面 ，则可得点 位于线段 上，再由 可知当 最大时， 最小，当 时， 最小，则可得 为 中点，从而可求出三棱锥 的体积.
【详解】对于 ，命题“ ， ” 否定是“ ， ”，故A正确；
对于 ，由 得 ，∴“ ”是“ ”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，由 得函数的定义域为 ，
由 在 时单调递增及 在 时单调递增可知，
的增区间为 ，故C错误；
对于 ，作出函数 和 的图象，
∵ ，
故在 上， 恒成立，
∴ ， 不成立， 不正确；
（2）三角形面积的最值问题可根据题意得到面积的表达式，然后根据表达式的特征，选择是利用基本不等式求解还是利用函数知识求解，利用基本不等式时要注意不等式使用的条件．
8.已知 设 其中 为自然对数 底数，则（）
A. B. C.式移项合并，利用放缩法判断 的大小关系；构造函数 利用导数法求出最大值，确定最大值与 的大小关系即可判断.
精品解析：【区级联考】江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019届第一学期期中考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.设集合，，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合A，根据函数的值域得到集合B，然后可得．【详解】由题意得，，所以．故答案为：．【点睛】本题以集合的运算为载体，考查二次函数的值域和简单的绝对值不等式的解法，属于基础题．2.已知向量，，若，则实数的值为______．【答案】2【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为零，进而得到关于的方程，解方程可得所求．【详解】因为，所以，解得．故答案为2．【点睛】本题考查向量数量积的应用，解题时根据数量积的坐标表示直接求解即可，属于简单题．3.设R，则是的______条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断后可得结论．【详解】由得；由，得或．所以由“”可得“”，反之不成立，所以“”是“”充的分不必要条件．故答案为：充分不必要【点睛】充分、必要条件的判断方法（1）利用定义进行判断，即直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假．在判断时，首先要分清条件是什么、结论是什么．（2）从集合的角度判断，利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．4.已知等差数列的前项和为，若，则______．【答案】24【解析】【分析】由可得，然后再根据等差数列的前n项和公式求解即可．【详解】因为，所以，所以，所以．故答案为24．【点睛】本题考查等差数列的基本运算，解题的关键是得到以及合理运用项的下标和的性质，属于基础题．5.已知是函数的导函数，实数满足，则的值为______．【答案】【解析】【分析】求导后根据得到，然后根据倍角公式得到所求．【详解】由可得，因为所以，整理得，所以．故答案为．【点睛】本题考查导数的基本运算和简单的三角变换，解题的关键是正确运用公式，属于基础题．6.已知，，若向量与共线，则实数的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出的坐标，然后根据向量的共线得到的值．【详解】因为，，所以.又向量与共线，所以，解得．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示．7.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性可求得函数的解析式，然后再解不等式可得所求的结果．【详解】由题意得，因为函数为偶函数，所以，所以．又在上单调递减，所以．由，得，解得：或，所以不等式的解集为．故答案为．【点睛】本题考查函数性质的应用和二次不等式的解法，解题的关键是得到函数的解析式，然后再根据一元二次不等式的解法可得所求，体现了函数与方程间的关系．8.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段弧上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是______．【答案】【解析】【分析】根据四段弧所在的位置并结合三角函数线，分别判断出的大小关系后可得结果．【详解】（1）当点在上时，由于弧的位置在第一象限靠近x轴的一方，所以，不合题意；（2）当点在上时，由于弧的位置在第一象限靠近y轴的一方，所以，而，所以不合题意；（3）当点在上时，由于弧在第二象限靠近y轴的一方，所以，且，所以，符合题意．（4）当点在上时，由于弧在第三象限，所以，所以不合题意．由以上分析可得点所在的圆弧是．故答案为．【点睛】解答本题的关键是根据三角函数线得到各个三角函数值的符号，解题中要注意正弦线、余弦线、正切线分别对应的有向线段，进而得到三角函数值的正负和大小关系，体现了数形结合在解题中的作用．9.函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为_______．【答案】【解析】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为考点：本题考查基本不等式求最值点评：解决本题的关键是求出A点坐标，注意利用基本不等式的条件10.已知R，函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，然后结合图象分析后可得所求的范围．【详解】画出函数的图象，如下图所示．结合图象可得：当时，函数有1个零点，即点B的横坐标；当时，函数恰有2个零点，即点A,B的横坐标；当时，函数有1个零点，即点A的横坐标；当时，函数恰有2个零点，即点A，C的横坐标．综上可得当或时，函数有两个零点．所以实数的取值范围是．【点睛】已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11.在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为______．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.12.已知不等边（三条边都不相等的三角形）的内角的对边分别为，若，则的弧度数为______．【答案】【解析】【分析】在中运用余弦定理并进行变形后得到，再根据余弦定理的推论可得角A的大小．【详解】∵，∴，即，∴∴∴整理得，由题意得，∴，即．由余弦定理的推论得，又，∴．故答案为．【点睛】本题考查余弦定理的应用、考查计算能力，由于解题中需要用到大量的化简、计算，所以在解题时要注意运算的合理性和准确性，属于基础题．13.已知定义在R上的函数，若存在实数，使得对任意实数都有成立，则实数的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由题意得对任意实数恒成立，又根据函数的值域可得，，故可得，解不等式可得所求．【详解】∵，∴．由题意得对任意实数恒成立，又的值域是（0,1）所以，所以由题意得，解得，∴实数的最小值为．故答案为．【点睛】解决不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，当恒成立时，只需即可，若的最大值不存在，则利用函数值域的端点值来代替，此时需要注意等号能否成立．14.若正实数、满足，且，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由结合重要不等式得到；由两边平方后变形，再根据重要不等式得到，进而可得所求的范围．【详解】由，得，当且仅当时等号成立，所以．由，得，即所以即，解得．所以．故的取值范围为．【点睛】本题考查综合应用不等式知识解决问题，考查变形应用的能力，解题时要根据所求选择合适的不等式，同时要正确判断是将式子进行放大还是进行缩小，特别要注意等号能否成立．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.的内角、、的对边分别为、、，已知，，.⑴求角的值；⑵求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得可求得；（2）由得到，然后根据余弦定理得到，于是可得所求的面积．【详解】（1）∵，∴，∴，又，∴，∴．（2）由及正弦定理得，∵，∴，由余弦定理得，所以，∴，∴的面积为．【点睛】（1）本题考查正弦定理、余弦定理的应用，解题时注意三角变换的运用，同时还要注意三角形中三内角间的关系．（2）余弦定理常与三角形的面积公式结合在一起考查，解题时注意余弦定理中的变形，如等．16.已知为坐标原点，，，，若.⑴求函数的最小正周期和单调递增区间；⑵将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由题意得到，进而可得函数的周期和单调增区间；（2）根据图象变换得到，根据的范围得到的取值范围，然后可得的最小值．【详解】(1)由题意，，所以，所以函数的最小正周期为，由，得，所以的单调递增区间为.(2)由(1)得，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为，∴，∵，∴，∴当，即时，有最小值，且，∴函数在上的最小值为2．【点睛】（1）解决三角函数的有关问题时，一般将所给的函数化为的形式，然后将作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质进行求解．（2）求函数在给定区间上的最值或范围时，先由所给的范围得到的范围，然后结合函数的图象求解．17.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.⑴ 求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵ 若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）1040；（2）120【解析】【分析】（1）根据题意得到的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．【详解】（1）由题意知，，（为常数），∵，∴，∴，∴，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量人．（2）由，可得，①当时，，当且仅当时等号成立；②当时，，当时等号成立，∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．18.已知函数．⑴讨论的单调性；⑵若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（Ⅱ）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .19.设函数，其中，．⑴若，，求曲线在点处的切线方程；⑵若，求的极值；⑶若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解可得结果；（2）先根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到极大值和极小值；（3）由，得，故可将两函数图象有三个互异公共点的问题转化为方程有三个不同解的问题处理，然后根据函数的单调性、极值求解可得结果．【详解】（1）当，时，，∴，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即．（2）当时，，∴，令，解得或；当变化时，，的变化情况如下表：由上表可得，当时，函数有极大值，且极大值为，当时，函数有极小值，且极小值为．（3）由，得，∴，令，可得．设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个不同的零点；又，（ⅰ）当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意；（ⅱ）当时，令，解得，；∴在上单调递增，在上单调递减，在上也单调递增；∴的极大值为；极小值为；①若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；②若，即，解得，此时，，且，，从而由的单调性可知，在区间，，内各有一个零点，符合题意．综上可得的取值范围是．【点睛】（1）本题考查导数的应用，解题时注意根据导函数的符号得到函数的单调性，进而可得函数的极值、最值等，然后再结合题意进行求解即可．（2）研究方程根的情况时，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的展现．20.设数列的前项和为．已知，设.⑴ 求证：当时，为常数；⑵求数列的通项公式；⑶ 设数列是正项等比数列，满足：，，求数列的前n项的和．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由题意求出，然后通过作差可得，故结论成立；（2）根据（1）中的结论，即是常数列且，可得；（3）由题意得，所以，故利用错位相减法求和．【详解】（1）证明：由题意知，当n=1时，，∴；当时，，∴，∴∴，∴，∴当时，为常数0.（2）由（1）得，是常数列.∵，∴，∴，∴.（3）由（2）知，∵数列是正项等比数列，∴公比为2，∴．∴……③，∴……④，③④得：，设……⑤，∴……⑥，⑤⑥得：，，∴，∴．【点睛】用错位相减法求和的注意事项（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．。
精品解析：江苏省泰州中学、宜兴中学等校2019届高三4月联考数学试题(含附加题)(解析版)
2019届高三第二学期联合调研测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，，则集合中元素的个数为____.【答案】4【解析】【分析】先求出集合A B，数出其中元素个数即可.【详解】解：因为集合A＝{l，2，3}，B＝{2，3，4}所以A B＝{l，2，3，4}，有4个元素故答案为：4.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于第_______象限．【答案】四【解析】【分析】先对复数进行运算化简，找出其对应的点即可判断出其所在的象限.【详解】解：因为所以复数对应的点为，位于第四象限故答案为：四.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数与复平面中坐标的关系，属于基础题.3.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_______．【答案】1200【解析】【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数.【详解】解：由题意知高三年级抽取了人所以该校学生总人数为人故答案为：1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.4.从集合A＝{0，1，2，3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为奇数的概率是_______．【答案】【解析】【分析】先列出一共有多少种取法，再找出其中和为奇数的取法，即可求出其概率.【详解】解：集合A中共有4个元素，任取两个不同的元素有（0,1）、（0,2）、（0,3）、（1,2）、（1,3）（2,3）共6种取法，其中两个元素之和为奇数的有（0,1）、（0,3）、（1,2）、（2,3）共4种取法，所以故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型，当取法总数较少时可以采用穷举法，属于基础题.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的n＝2，x＝1，依次输入的a为1，2，3，运行程序，输出的s的值为_______．【答案】6【解析】【分析】先代入第一次输入的，计算出对应的，判断为否，再代入第二次输入的，计算出对应的，判断仍为否，再代入第三次输入的，计算出对应的，判断为是，得到输出值.【详解】解：第一次输入，得，，判断否；第二次输入，得，，判断否；第三次输入，得，，判断是，输出故答案为：6.【点睛】本题考查了循环结构流程图，要小心每次循环后得到的字母取值，属于基础题.6.若双曲线的离心率为，则实数a的值为_______．【答案】1【解析】【分析】先由双曲线方程求出，再利用列方程求解.【详解】解：因为代表双曲线所以，且，所以解出故答案为：1.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于基础题.7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。
江苏省常州田家炳高级中学2019届高三10月月考数学(文)试题
常州田家炳高级中学2019届高三10月阶段调研高三年级数学（文）试卷命题人：蒋 涛 审核人：王 琳2018年10月注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知命题p ：“x ∃∈R ，使得25x >”，则p ⌝为 ▲ ．2．已知集合{1,2}A =，{1,1,||}B a a =-+，若A B A ⋂=，则a = ▲ ． 3．已知偶函数24()aaf x x -=在(0,)+∞上是减函数，则整数a 的值是 ▲ ．4．125lg 2lg 242-++= ▲ ．5．已知平面向量,,||1,||2,(2)αβαβααβ==⊥-u r u r u r u r u r u r u r ，则|2|αβ+uu r u r的值是 ▲ ．6．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为 ▲ ．7．已知函数()cos(2)(||)2f x x ϕϕπ=+<的一个对称中心是(,0)3π，则的值是 ▲ ．8．设0,x y >∈R ，则“||x y >”是“x y >”的 ▲ 条件．（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）9．设()f x 是定义在上且周期为6的函数，在区间[3,3]-上，5, 30,4()π2cos ,03,3ax x x f x x x -⎧-<⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩≤≤≤则(2018)f a +的值为 ▲ ．10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若为DC 中点，且1AE BD =uu u r uu u r g ，则BD BE uu u r uu rg 的值为 ▲ ．11．已知定义在[0,)+∞的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，2()2f x x x =-+. 设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*,n a n N ∈，则{}n a 的前n 项和n S = ▲ ．12．定义在上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()2f x x x =-．若实数m 满足(5)()3f m f m +=+，则m 的值是 ▲ ．13．已知函数1()log (1)a x f x a x=+-(1)a >，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数||()()exx f x x =∈R ，12()421()x x g x a a a a +=-+⋅++-∈R ，若集合{|(g())e}A x f x =>=R ，则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分14分）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为4,,,cos 5a b c B =. （1）若4C B π-=，求sin A 的值；（2）若2c a =，求sin sin BC的值．16．（本小题满分14分）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，且0,0,0A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示. （1）求,,A ωϕ的值；（2）若存在(,0)6x π∈-，使得等式2[()]()0f x f x m -+=成立，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠=（其中(0,)4θπ∈）．拟用长度为4（百米）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形．．养殖区OPQ ，使得PQ 的弧长为4（百米），其面积记为1S ； 方案二：如图2，围成等腰三角形．．．．．养殖区OCD ，使得底边CD 的长为4（百米），其面积记为2S ；（1）分别用表示1S ，2S ；（2）为使养殖区的面积更大，应选择何种方案？并说明理由．18．（本小题满分16分）已知{}n a 是以为首项，为公比的等比数列, n S 为它的前项和. （1）当134,,S S S 成等差数列时，求的值；（2）当,,m n l S S S 成等差数列时，求证：对任意自然数,,,m k n k l k k a a a +++也成等差数列．19．（本小题满分16分）已知定义在上的函数2(()(2)2)21f x x a a x a =+-+∈-R ，()2||g x x =． （1）当2a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （2）定义{}(),()(),()min (),()(),()().f x f x g x F x f x g x g x f x g x ⎧==⎨>⎩≤①若在区间[2,5]上，恒有()()F x f x =，求实数的取值范围； ②当4a >时，求()F x 在[0,)+∞上的最小值()m a ．20．（本小题满分16分）已知函数2()2ln ()f x x ax x a =+∈-R 有两个极值点1212,()x x x x <． （1）求实数的取值范围；（2）函数()f x 的图象能否与直线3y =-相切？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由； （3）求证：函数()y f x =有且只有一个零点．常州田家炳高级中学2019届高三10月阶段调研高三年级数学（文）答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．2,5x x ∀∈R ≤ 2．1 3．24．325 6．27．6π-8．充分不必要9．110．311．31123n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12．3-或2- 13．4a ≥ 14．10a -≤≤二、解答题（本大题共6个小题，共90分） 15．（本小题满分14分）解：（1）因为cosB ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725． …………………………2分又0＜B ＜π，所以sinB ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sinBcosB ＝2×35×45＝2425． …………………………4分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C)＝3π4－2B ，所以sinA ＝sin(3π4－2B)＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ………………………6分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………8分 （2）解法1 、在△ABC 中，因为cosB ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45． ………………………10分因为c ＝2a ，所以(c 2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．…………………12分又由正弦定理得sinB sinC ＝b c ，所以sinB sinC ＝3510．……………………………14分解法2、因为cosB ＝45，B ∈(0，，所以sinB ＝1－cos 2B ＝35．………………………10分因为c ＝2a ，由正弦定理得sinC ＝2sinA ，所以sinC ＝2sin(B ＋C)＝65cosC ＋85sinC ，即－sinC ＝2cosC ． ………………………12分 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sinC ＞0，解得sinC ＝255，所以sinB sinC ＝3510． ………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）由图象得A = ······························ 2分因为最小正周期47()3126T ππ=+=π，所以22T ωπ==， (4)分所以())f x x ϕ+，由7()12f π=72()2122k k ϕππ+=-+π,∈Z ， 所以523k k ϕπ=-+π,∈Z ，因为0ϕ<<π，所以3ϕπ=． ··············· 7分 （2）由（1）知())3f x x π+， 因为(,0)6x π∈-，所以2(0,)33x ππ+∈，所以0sin(2)3x π<+<，所以30()2f x <<． · 10分设()f x t =，则3(0,)2t ∈，问题等价于方程20t t m -+=在3(0,)2上有解， ······· 12分 因为2y t t =-+在1(0,)2上单调递增，在13(,)22上单调递减，所以2y t t =-+的值域为31(,]44-，即实数m 的取值范围是31(,]44-． ········· 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）在图一中，设OP r =，»PQl =，则24l r θ=⋅=，即2r θ=，所以11422S lr r θ===．……3分在图二中，取CD 中点M ，连结OM ，因为OC OD =，所以OM CD ⊥且OM 平分AOB ∠， 在Rt OCM △中，因为2CM =，所以2tan tan CM OM θθ==， 所以21124422tan tan S CD OM θθ=⋅⋅=⨯⨯=． ···················· 6分 （2）令()tan (0)2f x x x x =-π<<，则22sin sin ()()1cos cos x x f x x x ''=-=， 当(0,)2x π∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)2π上单调递增，所以当(0,)2x π∈时，总有()(0)0f x f >=，即tan x x >在(0,)2π上恒成立（*），····· 11分 在（*）中令x θ=，则tan θθ>，所以2144tan S S θθ=<=； ············· 13分 所以两种方案中，所围面积最大的是1S ．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． ···················· 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）若公比=1，则a S =1，3S =3a ，4S =4a∵23S =6a 1S +4S 5a ，∴不满足1S ，3S ，4S 成等差数列，∴ 1， ………………3分∴qq a S n n --=1)1(∵1S ，3S ，4S 成等差数列，∴ 2S 3=S 1+S 4，即q q a a q q a --+=--1)1(1)1(243………………5分 即2a(1－q 3)=a(1－q)+a(1－q 4) ∵a≠0，∴1(1－q)(1+q+q 2)=(1－q)+(1－q)(1+q)(1+q 2). 又∵1－q ≠0，∴2 (1+q+q 2)=1+(1+q)(1+q 2) 即q 2－q －1=0，∴q=251±…………………8分 （2）若公比q=1，则a m+k =a n+k =a l+k =a ，∴a m+k ，a n+k ，a l+k 成等差数列； …………………10分 若公比q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列，得2S n =S m +S l ，即qq a q q a q q a n m --=-'-+--1)1(21)1(1)1(，∴l m n q q q +=2 …………………………………12分 又1.22-++=k n k n q a a ，∴11..-+-++++=+k l k m k l k m q a q a a a =)(.1l m k q q q a +-=n k q q a 2..1-=21.-+k n q a∴k n k l k m a a a +++=+2，∴k l k n k m a a a +++,,也成等差数列. …………………………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）()()f x g x ≤即为2232||x x x -+≤（*）．当0x ≥时，（*）即为2430x x -+≤，解得13x ≤≤； 当0x <时，（*）即为230x +≤，无解；所以，当2a =时，不等式()()f x g x ≤的解集为[1,3]． ················ 4分 （2）①因为()()F x f x =在[2,5]上恒成立，所以()()f x g x ≤在[2,5]上恒成立，即不等式22210x ax a -+-≤在[2,5]上恒成立， ··················· 6分所以(2)320,(5)2480,h a h a =-⎧⎨=-⎩≤≤解得3a ≥． ························ 9分②因为0x ≥，所以{}2()min (),()min{(22)21,2}F x f x g x x a x a x ==+-+-，由()()f x g x =得22210x ax a -+-=，即(1)(21)0x x a --+=，解得121x x a ==-或， 因为4a >，所以211a ->，所以()f x 与()g x 的图象有两个交点，结合图象可知(),01,()(),121,(),2 1.g x x F x f x x a g x x a ⎧⎪=<<-⎨⎪-⎩≤≤≥ ······················ 11分当01x ≤≤时，min ()(0)0F x g ==；当121x a <<-时，2()(22)21F x x a x a =+-+-，因为4a >，所以1121a a <-<-，所以()F x 在(1,1)a -上单调递减，在(1,21)a a --上单调递增，2min ()(1)42F x f a a a =-=-+-； 当21x a -≥时，()F x 单调递增，()(21)42F x g a a -=-≥． ············ 14分 因为4a >，所以242(4)20a a a a -+-=---<且24242a a a -+-<-，所以2()42m a a a =-+-．··························· 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222()x ax f x x-+'=．因为函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，所以方程2220x ax -+=一定有两个不相等的正根1212,()x x x x <，所以21212160,0,21,a a x x x x ⎧∆=->⎪⎪+=>⎨⎪=⎪⎩解得4a >， ························· 4分此时()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以实数a 的取值范围是(4,)+∞． ························· 5分 （2）假设函数()f x 的图象与直线3y =-相切于点0(,3)x -，其中00x >，则00()3,()0,f x f x =-⎧⎨'=⎩即200020002ln 3,220,x ax x x ax x +-+=⎧-=-⎪⎨⎪⎩······················ 7分将20022ax x =+代入方程20002ln 3x ax x -=-+，得200ln 102x x +=-（*）， ······· 8分 令2()2l ()n 10g x x x x =-+>，2(1)(1)()22x x g x x x x-+'=-=， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以max ()(1)0g x g ==，所以（*）有唯一解01x =， ················ 10分 将01x =代入20002ln 3x ax x -=-+，得4a =，与（1）中4a >矛盾，故()f x 的图象不能与直线3y =-相切． ······················ 11分（3）由（1）知211222220,220x ax x ax -+=-+=⎧⎪⎨⎪⎩且1201x x <<<，又因为()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以1112211212ln 2ln 2()()0f x f x x x ax x x =--=-+<<， ·············· 14分 所以当20x x <<时，()0f x <．又4a >时()2ln 0f a a =>，且()f x 的图象在2(,)x a 上是一条连续不断的曲线，所以存在2(,)t x a ∈使得()0f t =，所以()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点． ······ 16分。
江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学试卷(解析版)
江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。
江苏省七校2019届高三上10月联考理科数学试卷(含答案)
绝密★启用前高三10月联考 理科数学试题命题学校：龙泉中学本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1．已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()U M N =∅ ðC ．M N U =D ．()U M N ⊆ð 2．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是A ．()22x x f x -=-B ．2()1f x x =-C ．()cos f x x x =D ．()ln f x x =- 3．下列命题中错误的是A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D ．00,x ∃>使“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件4．若tan 2α=，则sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值为A ．16B ．16- C ．12 D ．12-5．已知11617a =，16log b =17log c =a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 6．若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ()0ϕ>个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ最小时，tan ϕ= A．C．D7．已知函数21()7,0(x)2log (1),0xx f x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A.()[),30,1-∞- B.()()3,01,1-- C.()3,1- D.()(),31,-∞-+∞ 8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升9．平面直角坐标系xOy 中，点00(,)P x y在单位圆O 上，设xOP α∠=，若5 36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且3sin()65πα+=，则0x 的值为 A BC D 10．已知函数2()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是A B C D 11．已知函数()xf x e =，,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤B ．()()sin sin f A f B ≤C ．()()cos sin f A f B ≤D ．()()cos cos f A f B ≤12．设实数0λ>，若对任意的()2,x e ∈+∞，不等式ln 0x e x λλ-≥恒成立，则λ的最小值为 A ．22e B ．22e C ．212e D ．22e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数log (1)4a y x =-+的图象恒过定点P , 点P 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f =． 14．若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为．15．已知命题2:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为真命题，则实数m 的取值范围为． 16．已知1()2sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,AC =． （Ⅰ）若30DAC ∠= ，求角B 的大小；（Ⅱ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角P CE D --的余弦值．19．（本小题满分12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，EDBCAP小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2x x x f x e x π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩根据上述条件，回答以下问题：（Ⅰ）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （Ⅱ）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15 2.71,ln 30 3.40,ln 90 4.50≈≈≈）20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(2,0)，且其中一个焦点的坐标为()1,0.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆E 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)1()xf x e ax x x R =+++-∈.（Ⅰ）若0x ≥时,()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）求证：23e 2<.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标和参数方程选讲已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：1(x tt y t=-⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()0f x x ->；（Ⅱ）若2(43)((4)1)f a f a -+>-+，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案一． 选择题：二、填空题13．914．20x y --= 15．2m <16．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：17．解：（Ⅰ）在△ABC 中,根据正弦定理,有sin sin AC DCADC DAC=∠∠.因为AC ,所以sin ADC DAC ∠=∠=.………………………………3分 又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC 所以120ADC ∠=°.于是 3030120180=--=∠C ,所以60B ∠=°.……………………………………6分 （Ⅱ）设DC x =,则2BD x =,3BC x =,AC =.于是sin AC B BC ==,cos B =.6x AB =………………………………………9分 在ABD ∆中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅,即222264222x x x x =+-⨯=,得x =DC =．………12分 18．证明：（Ⅰ）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接,OF EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA P ，且12OF PA =， 因为DE PA P ，且12DE PA =，所以OF DE P ，且OF DE =． 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ． ····················· 2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ． ·············································· 4分 因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． (5)（Ⅱ）因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45o ，所以45PCA ∠=o ，所以2AC PA ==．所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ， 则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐 标系A xyz -． ···················································································· 7则()0,02P ，，)0C，，()0,21E ，，()0,20D ，，)2,PC=-(),CE=()0,0,1DE=．设平面PCE的法向量为()111,,x y z=n，则0,0,PCCE⎧=⎪⎨=⎪⎩nnuu u rguu u rg即11111120,0.y zy z+-=++=⎪⎩令11y=，则112.xz⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n．…………………………………………9分设平面CDE的法向量为()222,,x y z=m，则0,0,DECE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mmuuu ruu u r即22220,0.zy z=⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x=则220.yz⎧⎪⎨=⎪⎩所以()=m．cos,⋅=⋅n mn mn m，设二面角P CE D--的大小为θ，由于θ为钝角，所以cosθ=， ·············11分即二面角P CE D--的余弦值为． ··················································12分19．解：（Ⅰ）由图可知，当函数()f x取得最大值时，02x<<，…………………1分此时()40sin()133f x xπ=+，……………………………………………………………2分当32xππ=，即32x=时，函数()f x取得最大值为max401353y=+=．………………4分故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升．………………5分（Ⅱ）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x>．由0.5901420xe-⋅+<，得0.5115xe-<，…………………………………………………7分两边取自然对数，得0.51ln ln15xe-<………………………………………………………8分即0.5ln15x-<-，所以ln15 2.715.420.50.5x->==-，…………………………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．………………………………………………12分注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分2分．20．解：（Ⅰ）由已知得2,1a c==，∴b=E的方程为22143x y+=；...........4分（Ⅱ）假设存在点(,0)M x,使得MA MB⋅为定值，当直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为1x my=+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(34)690m y my ++-=..............................................................6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++，............................7分 101202(,),(,)MA x x y MB x x y =-=-22102012120120()()(1)(1)()(1)MA MB x x x x y y m y y x m y y x ∴⋅=-⋅-+⋅=+⋅+-++-=22002296(1)()(1)()(1)3434mm x m x m m +-+--+-++ 22002(615)9(1)34x m x m --=+-+.............................................................................9分 要使上式为定值, 即与m 无关，应有0615934x -=- 解得0118x =，此时13564MA MB ⋅=- ．.................................................................................11分当直线l 的斜率为0时，不妨设(2,0),(2,0)A B -，当M 的坐标为11(,0)8时13564MA MB ⋅=- 综上，存在点11(,0)8M 使得13564MA MB ⋅=- 为定值．.……………………………………12分21．解:（Ⅰ）法一：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++..................................................1分 ()()211x f x e x ''=-+，()()211x f x e x ''=-+在[)0+∞，上单调递增， 则()()0=0f x f ''''≥................................................................................................................. .....3分 则()f x '在[)0+∞，上单调递增，()()0=2f x f a ''≥+..............................................................4分 ① 当20a +≥，即-2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在[)0+∞，上单调递增，此时()()0=0f x f ≥，满足题意................................................................................................5分 ②若2a <-,由()f x '在[)0+∞，上单调递增， 由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=,∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. ............................................ .....................................7分 法二：若0x ≥时, 则()11x f x e a x '=+++...................................................................................1分 ① 2a ≥-，令()1x g x e x =--，则()10xg x e '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增， 则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+．………………………………………………….... .... .... ...3分 ∴()()1112011xf x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增. ∴()()00f x f ≥=，成立.......….............5分②若2a <-,由()()()()222111011xxx e f x e x x +-''=-=≥++. ∴函数()f x '在[)0,+∞上单调递增.由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=. 则当00x x <<时,()()00f x f x ''<=, ∴函数()f x 在()00,x 上单调递减. ∴()()000f x f <=,不恒成立.舍去．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞. .........................................................................7分 （Ⅱ）证明:由(Ⅰ)知,当2a =-时,()f x =()2ln 11xe x x -++-在[)0,+∞上单调递增....................... ........ ..................... ........................ ...................................... .....................9分则()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1211ln 1102e ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭. ∴3ln 22>∴232e>即232e <.............................................................................................. .....12分 22.解：（Ⅰ）.24cos ,4cos ρθρθ=∴= , 由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1x ty t =-⎧⎨=⎩,消去t 解得：10x y +-=.所以直线l 的普通方程为10x y +-=．………5分（Ⅱ）把12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入224x y x +=,整理得230t -=, 设其两根分别为12,t t，则12123t t t t +=⋅=-12PQ t t ∴=-== .……………………………………………10分亦可求圆心()2,0到直线10x y +-=的距离为d =，从而PQ = 23．解：（Ⅰ）()0f x x ->可化为1x x ->，所以22(1)x x ->，所以12x <， 所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………5分（Ⅱ）因为函数()1f x x =-在[1)+∞，上单调递增，431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+.所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围是(2,6)．……………………………………………………………10分。
江苏省扬州2019届高三上学期10月月考数学(文)试卷(带答案)
2019届高三年级十月质量检测数学（文）18.10一.填空题1.已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}3,2,2,1==Q P ，则()U P Q I ð=▲. 2.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是▲． 3.已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z =▲．4.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的▲.条件. （从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空）5.已知向量(,12),(4,5),(10,),OA k OB OC k ===u u u r u u u r u u u r当,,A B C 三点共线时，实数k 的值为▲.．6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若222,sin 3sin ,a b bc C B -==则A =_▲.. 7.设函数)(x f 满足x x f x f sin )()(+=+π，当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则)623(πf =▲. 8.已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为▲.9.已知函数(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，2()log .x f x =若1(3),(),(2),4a fb fc f =-==则,,a b c 由大到小的顺序是▲.10.若函数()sin cos()(0)6g x x x πωωω=++>的图象关于点(2,0)π对称，且在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为▲.11. 已知函数24,0,()5,0.x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()50f x ax --=恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为▲.12. 已知点O 在ABC ∆所在平面内，且4,3,AB AO ==()0,OA OB AB +=u u u r u u u r u u u rg ()0,OA OC AC +=u u u r u u u r u u u r g 则AB AC u u u r u u u rg 取得最大值时线段BC 的长度是▲. 13.在ABC ∆中，若tan tan tan tan 5tan tan ,A C A B B C +=则sin A的最大值为▲.14.已知定义在R 上的函数1()2x f x +=可以表示为一个偶函数()g x 与一个奇函数()h x 之和，设(),()(2)h x t p t g x ==+2()mh x +2m m -1-().m R ∈若方程(())0p p t =无实根，则实数m 的取值范围是▲.二.解答题15.已知命题:p 指数函数()(26)xf x a =-在R 上单调递减，命题:q 关于x 的方程23x ax -2210a ++=的两个实根均大于3.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.A DOM C16. 函数)0(3sin 32cos 6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域；(Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.17.已知向量(2,1),(sin ,cos()),2Am n B C =-=+u r r 角,,A B C 为ABC ∆的内角，其所对的边分别为,,.a b c（1）当.m n u r r取得最大值时，求角A 的大小；（2）在（1）成立的条件下，当3a =22b c +的取值范围.18.为丰富农村业余文化生活，决定在A ,B ,N 三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ,B 和以边AB 的中心M 为圆心，以MC 长为半径的圆弧的中心N 处，且AB ＝8km ，BC ＝42．经协商，文化服务中心拟建在与A ,B 等距离的O 处，并建造三条道路AO ,BO ,NO 与各村通达．若道路建设成本AO ,BO 段为每公里a 2万元，NO 段为每公里a 万元，建设总费用为w 万元．（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N 村的距离； （2）若建设总费用最少，求该文化中心离N 村的距离.19.设2()(f x x bx c b =++、)c R ∈．（1）若()f x 在[2,2]-上不单调，求b 的取值范围； （2）若()||f x x ≥对一切x R ∈恒成立，求证：214b c +≤；（3）若对一切x R ∈，有1()0f x x+≥，且2223()1x f x ++的最大值为1，求b 、c 满足的条件。
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1
江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考
数学试卷
注意事项：
1答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条
形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框内作答，超出答题区域书写的答案无效。4保持卡面清洁，不折
叠，不破损。
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.已知集合1，，集合，则______
．
【答案】
【解析】
【分析】
由交集的定义逐一检验集合B中的元素，根据集合交集的运算，即可求解．
【详解】由集合A={0，1，2}，集合B={-1，1}，
又对于集合B中的元素，-1?A，1∈A且1∈B，所以=．
【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及其运算，其中解答中熟记集合交集的概念与运算是解答的关
键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
2.
函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据要使有意义，则满足，即可求解．
【详解】由题意，要使有意义，则满足，解得，
所以该函数的定义域为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式
2
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3.函数的最小正周期为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数恒等变换的公式，化简函数的解析式，进而求解函数的最小周期，得到答案．
【详解】由题意，函数
，所以函数的最小正周期为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练应用三角恒等变换
的公式化简函数的解析式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4.
命题“，”的否定是______命题填“真”或“假”
【答案】，
【解析】
试题分析：“，”的否定是，
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结
合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“?x∈M，p（x）
”
是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集
合M中的一个特殊值x0，使p（x0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找
到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则就是假命题
.
5.已知，，则______
．
【答案】
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系式，求得，进而可求得的值，得到答案．
3
【详解】由题意，因为，，所以，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关
系式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
6.函数在点处切线的斜率为______
【答案】
【解析】
【分析】
求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率．
【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应
用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，
则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再根据函数的奇偶性，即可求解，得
到答案．
【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位后，
得到函数的图象，
若函数是偶函数，则，即，，所以，