江苏省南京市六校联合体2020届高三上学期12月联考数学试题含解析
，第二次循环：
，结束循环，输出
考点：循环结构流程图 7.若圆锥底面半径为 1，侧面积为 ,则该圆锥的体积是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由圆锥底面半径为 1，侧面积为 得到圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，从而得到该圆锥
的体积.
【详解】设圆锥的母线长为 ，圆锥底面半径为 1，侧面积为 ,
，集合
，则
=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由 M 与 N，求出两集合的交集即可．
【详解】∵集合
，集合
，
∴
=
故答案为：
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.双曲线
的渐近线方程是____准方程中，把 1 换成 0，即得此双曲线的渐近线方程． 【详解】令 ﹣ =0 得
，
∴
综上， ∴ ；
即 t 的取值范围是： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，
是综合性题目．
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、正切公式，同角基本关系式，考查了计算能力，属
于基础题.
10.已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，
．若 f (a)＜4＋f (－
a)，则实数 a 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数，不等式可转化为 f (a)＜2，结合函数图象可得结果.
（ 1）设椭圆的半焦距为 c，由已知得
，又
，a2=b2+c2，联立解出即可得
出；
（2）设直线 方程为：
代入椭圆
并整理得：
，利用韦
达定理表示 ，分别计算Ａ，Ｂ到直线 PQ 的距离，即可表示四边形 APBQ 面积，从而得到直
线 l 的方程.
【详解】（1）由题设得
解得
,
∴.
故椭圆 的方程为
.
，又 ，
（2）设直线 方程为：
在 的最小值为 f（a）=﹣
∈
，
①当 2≤a＜3 时，
函数 f（x）=
（x∈ ）在 x=0 时取得最大值，
且最大值为 2a﹣1，由于此时 2≤a＜3，则 3≤2a﹣1＜5；
2a﹣1
∴
②0＜a＜2 时，
函数 f（x）=
（x∈ ）在 x=4 时取得最大值，
且最大值为 42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时 0＜a＜2，则 3＜15﹣6a＜15；
想求最值.
16.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AC 与 BD 交于点 O，PC⊥底面 ABCD， 点
E 为侧棱 PB 的中点．
求证：(1) PD∥平面 ACE； (2) 平面 PAC⊥平面 PBD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析。 【解析】 【分析】 （1）连接 OE．易证 PD∥OE，根据线面平行判定定理得证； （2）要证平面 PAC⊥平面 PBD，即证 BD⊥平面 PAC 【详解】(1) 连接 OE．
代入椭圆
并整理得：
，
设
，则
.
，
到直线 PQ 的距离为
，
到直线 PQ 的距离为 又因为 在第一象限, 所以 所以
， ，
，
所以
，
解得
，
所以直线方程为
．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的 根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
故答案为： 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事 件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗 漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
6.如图所示的流程图的运行结果是______．
【答案】20 【解析】 试题分析：第一次循环：
∴
，即 ，
∴圆锥的高
∴该圆锥的体积是
故答案为：
【点睛】本题考查圆锥的体积与侧面积公式，属于基础题.
8.设直线 是曲线
的切线，则直线 的斜率的最小值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，利用均值不等式求最小值即直线 的斜率的最小值
【详解】
的定义域为（0，+∞）
y'=4x+
，当且仅当 x= 时取等号·
【答案】
或
【解析】 【分析】 设 P（x，y），由 PA=2PT，求出点 P 的轨迹方程，问题可转化为直线 l 与圆有公共点的问题， 列不等式求解即可． 【详解】圆 C：
直线 l：
与与轴交于点 A（0，﹣2），
设 P（x，y），由 PA= PT，可得
=2（
﹣2），
即 x2+y2﹣12y=0，即满足 PA=2PT 的点 P 的轨迹是一个圆
y=± x，
∴双曲线 ﹣ =1 的渐近线方程为 y=± x，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
3.复数 满足
，其中 是虚数单位，则复数 的模是______．
【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．
【详解】∵
∴
∴|z|=
．
（1）求角 B；
（2）若 ，
，求 ， ．
【答案】（1） ；（2）
.
【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解 B 的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在 中，
由正弦定理
，得
．
又因为在 中
．
所以
．
法一：因为
，所以
，因而
．
所以
，
所以 ．
法二：
即
，
所以
，因为
【详解】∵f (x)为奇函数，∴
∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为 f (a)＜2
作出 的图象，如图：
由图易知：a＜2
故答案为： 【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题关键利用奇偶性简化不等式，结合函数图象即可 得到结果.
11. 中，
为边 的中点，
，则
的值为
______． 【答案】-4 【解析】 【分析】 利用基底 【详解】∵
17.已知椭圆
：
上一点与两焦点构成的三角形的周长为
,离心
率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 C 的右顶点和上顶点分别为 A、B，斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点（点
P 在第一象限）.若四边形 APBQ 面积为 ，求直线 l 的方程.
【答案】（1）
；（2）
。
【解析】 【分析】
∴方差 s2= [（3﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2+（9﹣6）2+（6﹣6）2]= ．
故答案为： ． 【点睛】本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运 算求解的能力，属于基础题． 5.从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2 个数，则所取 2 个数的乘积为奇数的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 列举可得共 6 种情形，其中满足所取 2 个数的乘积为奇数的有 1 种情形，由概率公式可得． 【详解】从 1，2，3，4 这 4 个数中依次随机地取 2 个数有 （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共 6 种情形， 其中满足所取 2 个数的乘积为奇数的有（1，3）共 1 种情形， ∴所求概率 ，
，
所以 ．
（2）由正弦定理得
，
而 所以
， ，①
由余弦定理
，得
，
即
，②
把①代入②得
.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现
“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的
关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思
(1) 求新增观光道 FG、FH 长度之和的最大值； (2) 在观光道 ON 段上距离 O 为 15 百米的 E 处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影 响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道 CD 的延长线不能进入以 E 为圆心，2.5 百米为半 径的圆形 E 的区域内．则点 D 应选择在 O 与 E 之间的什么位置？请说明理由．
即直线 的斜率的最小值是 4 故答案为：4 【点睛】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用均值不等式求最值， 掌握不等式成立时的条件，属于基础题．
9.已知
，则
的值是_____．
【答案】 【解析】
【分析】 由
得到 ，进而得到
【详解】∵
，
，再结合两角和的正弦公式得到结果.
∴
，
∴
故答案为：
的前 n 项和为 ，若
对任意的 n∈N*
【答案】
【解析】 【分析】
设
，明确 的单调性，得到
，进而得到
，
对任意的 n∈N*
恒成立即 ，转求 的最小值即可.
【详解】设 ，
即 ∴ ∴
即
，
由 与 图象可知：在第一象限 n 取正整数时，仅有 n=3 时，
江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题(含答案解析)
江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --2．记(){}2log 12A x x =-<，A N B ⋂=，则B 的元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．已知1cos 3θ=，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．23D ．23-4．设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A 与学生B 要安排在同一地点，则不同的安排方案共有（ ） A ．72种B ．36种C ．24种D ．12种6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%—45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为正常数，0P 为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A ．6小时B ．3小时C ．1.5小时D ．59小时7．设1F 、2F 分别是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，M 是椭圆E 准线上一点，12F MF ∠的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A B CD 8．已知1sin 3a =，13b =，1c π=，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<二、多选题9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 78795491074 乙 9578768677 在这次射击中，下列说法正确的是（ ） A ．甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B ．甲成绩的众数比乙成绩的众数大 C ．甲的成绩没有乙的成绩稳定D ．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大10．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当[)1,x ∞∈+时，()3f x x =，则（ ）A ．()00f =B ．对任意的正实数a ，都有()44a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭C ．()1f x +为偶函数D ．不等式()()13f x f +<的解集为()1,3-11．在平面直角坐标系中，三点()1,0A -，()10B ,，()0,7C ，动点P 满足PA =，则（ ）A ．点P 的轨迹方程为()2238x y -+= B ．PAB △面积最大时PA =C ．PAB ∠最大时，PA =D ．P 到直线AC12．在底面棱长为2侧棱长为111ABC A B C -中，点E 为1AC 的中点，()01BD BC λλ=≤≤，则以下结论正确的是（ ）A ．当12λ=时，111122A D AB AC AA =+- B ．当12λ=时，1//AB 平面11AC DC ．存在λ使得DE ⊥平面11A B CD ．四面体E ABC -三、填空题13．已知()3x ay +的展开式中含2x y 项的系数为6，则实数a 的值为____________. 14．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为4，则=a ____________.15．若一个等差数列{}n a 满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式n a =____________.四、双空题16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()tan tan 3tan tan cos cos A BA B B A+=+，则a bc+=____________；4c =，D 为AB 的中点且CD =ABC 的面积为____________.五、解答题17．已知函数()()sin 0,0,,22f x A x A x R ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<∈ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的()0t t >倍，得到()y g x =的图像.若4π为函数()y g x =的一个零点，求t 的最大值. 18．我国脱贫攻坚战取得全面胜利,创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.某农户计划于2021年初开始种植新型农作物.根据前期各方面调查发现,该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性,且两者互不影响,其具体情况如表:（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X 元,求X 的分布列;（2）若该农户从2021年开始,连续三年种植该农作物,假设三年内各方面条件基本不变,求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率.19．在①2634n n n S a a =+-；②1235n n a a n --=+；两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，数列{}n a 前n 项和为n S ，满足2221a b =-，332a b =+，_______.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前70项和.20．如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且2AD CD ==，4BC =，2PA =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）点M 在线段PD 上，二面角M AC D --求三棱锥M ACB -体积. 21．已知抛物线C ：24y x =，点()(),00M a a >，直线l 过点M 且与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）若2a =，直线l 的斜率为2，求AB 的长；（2）在x 轴上是否存在异于点M 的点N ，对任意的直线l ，都满足AN AMBN BM=?若存在，指出点N 的位置并证明，若不存在请说明理由.22．已知函数()e sin 1x af x b x +=+-的图象在原点处的切线方程为2y x =.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）证明：()2f x x ≥.参考答案1．A 【分析】根据题意，结合复数的乘除运算，以及共轭复数的概念，即可求解. 【详解】 由题意可知，()()()2i i 2i 12i i i i z +⋅-+===-⋅-，故i 12z =+. 故选：A. 2．B 【分析】由题意求出集合,A B 即可求解 【详解】由题意可知，{}15A x x =<<， 因为A N B ⋂=，所以{}2,3,4B =，即B 的元素个数为3， 故选：B. 3．A 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果． 【详解】解：由题意可知，2217sin 2cos 22cos 121239πθθθ⎛⎫⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A. 4．A 【分析】m ，n 为非零向量，存在负数λ，使得m n λ=，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n <．反之不成立，非零向量m ，n 的夹角为钝角，满足0m n <，而m n λ=不成立．即可判断出结论． 【详解】解：m ，n 为非零向量，存在负数λ，使得m n λ=，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n <．反之不成立，非零向量m ，n 的夹角为钝角，满足0m n <，而m n λ=不成立．∴m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是0m n <”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．D 【分析】利用排列数运算即可求解. 【详解】由题意可知，教师A 与学生B 要安排在同一地点， 则剩下的4人：2名教师，2名学生，可组成22A 种， 再与教师A 与学生B 这一组全排列33A ，所以共有12种， 故选：D. 6．B 【分析】根据前3个小时度气中的污染物被过滤了90%，求得函数关系式，然后再由规定排放时污来物的残留含量不得超过1%求解. 【详解】由题意可知，()300190%kP Pe --=，则1ln 0.13k =-，又001%kt P P e -⋅=，则13ln 0.01ln 0.016ln 0.1t k =-==，所以至少还需要过滤6-3=3小时，故选：B. 7．A 【分析】由题意可设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β，利用斜率公式及两角差的正切可得()1222222tan cb F a tM c tF c =∠++，利用基本不等式可得该角何时取最大值，从而可求离心率.【详解】由题意可设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β，由椭圆的对称性不妨设M 为第一象限的点，即()2,0a M t t c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则2tan ta c cα=+，2tan ta c cβ=-，因为12F MF βα∠=-， 所以()221222tan tan tan tan 1tan tan 1tta a c cc c F MF t t a a c c c c βαβαβα--+-∠=-==+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪+ ⎪⎪⎪⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222222222ctcb ac b a c ttc c t==≤=++++22tan 60==︒=，所以()4443c a c =-，则4434c a=，解得c e a ==，故选：A. 8．D 【分析】由函数的单调性结合已知条件求解即可 【详解】由题意可知，113b c π=>=，即b c >， 又10,32π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()sin f x x x =-， 则()cos 10f x x '=-≤，所以()sin f x x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，又103>，所以()1003f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即11sin 033-<所以11sin 33<，即a b <，又因为160sin sinsin 200.343a π︒=≈≈︒≈，而10.31c π=≈， 所以c a <，即c a b <<， 故选：D. 9．AC 【分析】利用极差的定义可判断A 选项的正误；利用众数的定义可判断B 选项的正误；利用平均数和方差可判断C 选项的正误；利用中位数的定义可判断D 选项的正误. 【详解】由题意可知，对于选项A ，甲成绩的极差为1046-=，乙成绩的极差为954-=， 所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，故选项A 正确；对于选项B ，甲成绩的众数为7，乙成绩的众数为7，所以选项B 错误； 对于选项C ，甲成绩的平均数为78795491074710+++++++++=，方差为010*******410+++++++++=，乙成绩的平均数为9578768677710+++++++++=，方差为44010111001.210+++++++++=，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，故选项C 正确； 对于选项D ，甲成绩的中位数为7，乙成绩的中位数为7，故选项D 错误. 故选：AC. 10．BC 【分析】由对称性可判断A ，由单调性结合基本不等式可判断B ，由函数平移与奇偶性的对称性可判断C ，由单调性可判断D 【详解】 由题意可知，对于选项A ，因为()()11f x f x -=+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，则()()028f f ==，故选项A 错误；对于选项B ，因为[)1,x ∞∈+时，函数()3f x x =单调递增，且44a a +≥，当且仅当2a =时取等号， 所以()44a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭对任意的正实数a 恒成立，故选项B 正确；对于选项C ，由函数()f x 关于直线1x =对称，可得()1f x +关于直线0x =对称， 即()1f x +为偶函数，故选项C 正确；对于选项D ，因为()f x 在[)1,+∞上单调递增且()f x 关于直线1x =对称， 所以()1f x +为偶函数，且在[)0,∞+上单调递增， 所以由()()13f x f +<解得()2,2x ∈-，故选项D 错误； 故选：BC. 11．ABD 【分析】根据PA =可求得点P 轨迹方程为()2238x y -+=，A 正确；根据直线AB 过圆心可知点P 到直线AB 的距离最大值为(3,P ±，由此可确定B 正确；当PAB ∠最大时，PA 为圆的切线，利用切线长的求法可知C 错误； 求得AC 方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D 正确. 【详解】设(),P x y ，由PA =得：222PA PB =，即()()2222121x y x y ⎡⎤++=++⎣⎦， 化简可得：()2238x y -+=，即点P 轨迹方程为()2238x y -+=，A 正确； 直线AB 过圆()2238x y -+=的圆心，∴点P 到直线AB 的距离的最大值为圆()2238x y -+=的半径r ，即为2AB =，PAB ∴面积最大为122⨯⨯(3,P ±，PA ∴==B 正确；当PAB ∠最大时，则PA 为圆()2238x y -+=的切线，∴PA =C 错误；直线AC 的方程为770x y -+=，则圆心()3,0到直线AC=∴点P 到直线ACD 正确.故选：ABD. 12．AD 【分析】由空间向量的基本定理可判断A ，由线面平行与面面平行的判定与性质可判断B ，由线面垂直的定义可判断C ，由多面体外接球的特点求解可判断D 【详解】 由题意可知，对于选项A ，当12λ=时，111111112222A D A A AD AA AB AC AB AC AA =+=-++=+-，故选项A 正确；对于选项B ，在正三棱柱111ABC A B C -中，有11AC A C ∥，又AC ⊄平面11AC D ，11AC ⊂平面11ACD ，则AC ∥平面11AC D ，若1AB ∥平面11AC D ，则平面1AB C ∥平面11AC D ，则与题意矛盾，故选项B 错误； 对于选项C ，因为点D 在线段BC 运动， 所以DEC ∠的最大值为BEC ∠，而90BEC ∠<︒， 所以不存在点D 使得DE ⊥平面11A B C ，故选项C 错误；对于选项D ，设ABC 的外接圆圆心为1O ，其半径为r ，四面体E ABC -外接球球心为O ，其半径为R ，则22sin 60r ==︒，解得r =设1OO h =，则可得到222R h r =+，且)222R h =+⎝⎭，解得R =D 正确； 故选：AD.13．2 【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令x 的指数为2，求出r ，再代入得到方程，解得即可； 【详解】解：由题意可知，()3x ay +的展开式通项为()33133rr r r r r r r T C x ay C a x y --+==，令32r -=，解得1r =，所以展开式中含2x y 项的系数为136C a =，解得2a =. 故答案为：2 14．4 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可． 【详解】由题意可知，正方形OABC 的边OA ，OC 在双曲线的渐近线上， 所以1ba=， 又正方形OABC 的边长为4，所以OB ==即c =4a b ==. 故答案为：415．21n （答案不唯一） 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得213a a d a <<即1112a d a d a d +<<+，对1a 和d 取符合题意的值，再由等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知， 213a a d a <<，即1112a d a d a d +<<+， 因为10a >，所以可取13a =，2d =，满足不等式， 则数列的通项公式为21n a n =+. 故答案为：21n （答案不唯一）.16．3 【分析】利用弦化切以及三角恒等变换可得出sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理可得出a bc+的值，求出cos 29CA CB ab C ⋅==，利用余弦定理可求得ab 的值，进而可求得cos C 、sin C 的值，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，因为()tan tan 3tan tan cos cos A BA B B A+=+， 所以sin sin sin sin 3cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 则()3sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=+，即()3sin sin sin 3sin A B A B C +=+=，则由正弦定理可得，3a b c +=，所以3a bc+=； 在ABC 中，()()22111224CA CB CD DA CD DB CD AB CD AB CD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=++=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21334294=-⨯=，且cos cos 29CA CB CA CB C b a C ⋅=⋅=⋅⋅=，所以由余弦定理可知22222162cos 58a b c a b ab C +-=+-==，即()2274a b ab +-=，又33412a b c +==⨯=，所以35ab =，则29cos 35C =，所以sin 35C =，则ABC 的面积为11sin 3522ABC S ab C ==⨯=△故答案为：3；. 17．（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）310【分析】（1）、根据图像，求出A ，T ，ϕ，即可求出函数()y f x =的解析式;（2）、先根据图像变换求出()g x 的解析式，再由题意可知=04g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出t 的表达式，即可求出t 的最大值. （1）由图像知，2A =. 又54632T πππ=-=，0>ω，22T ππω∴==，1ω∴=,()()2sin f x x ϕ∴=+，将点,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2sin f x x ϕ=+，22sin 3πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,()232k k ππϕπ∴+=+∈Z ,()26k k πϕπ∴=+∈Z ，又22ππϕ-<<，6πϕ∴=,()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（2）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()12sin 6g x x tπ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又4π为函数()y g x =的一个零点，=04g π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，12sin =0446g t πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 146k t πππ∴⋅+=，3122t k ∴=-，k ∈Z .故时1k =，t 的最大值为310. 18．（1）分布列见解析 （2）0.896 【分析】(1)X 的所有可能取值为:27000,36000,48000,分别求出相应的概率,由此能求出X 的分布列． (2)设C 表示事件"种植该农作物一亩一年的纯收入不少于30000元",则P (C)(30000)(36000)(48000)0.50.30.8P X P X P X ===+==+=,设这三年中有Y 年有纯收入不少于30000元,则有~(3,0.8)Y B ,由此能求出这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于3000元的概率． （1） 由题意知:9003027000⨯=,12003036000⨯=, 9004036000⨯=,12004048000⨯=, X ∴的所有可能取值为:27000,36000,48000,设A 表示事件"作物亩产量为900kg ",则P (A)0.5=,B 表示事件"作物市场价格为30元/kg ",则P (B)0.4=,则(27000)()0.50.40.2P X P AB ===⨯=,(36000)()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P AB P AB ===+=-⨯+⨯-=, (48000)()(10.4)(10.5)0.3P X P AB ===--=,X ∴的分布列为:（2）设C 表示事件"种植该农作物一亩一年的纯收入不少于30000元", 则P (C)(30000)(36000)(48000)0.50.30.8P X P X P X ===+==+=, 设这三年中有Y 年有纯收入不少于30000元,则有~(3,0.8)Y B ,∴这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于3000元的概率为: (2)(2)(3)P Y P Y P X ==+=2233330.80.20.80.896C C =⨯⨯+⨯=．19．（1）条件选择见解析，31n a n =+，2n n b =（2）6869 【分析】（1）选①：由n S 与n a 的关系求出12,a a 即可求得n a ，进而可求n b ； 选②：先由题意求出公差和首项，即可求得n a ，进而可求n b ；（2）分{}n c 的前70项中含有{}n b 的前6项与前7项讨论，求得n 的范围，再结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可 （1）选①，令1n =，则2111634S a a =+-，所以14a =（负值舍去）.令2n =，则2222634S a a =+-，则27a =（负值舍去）. 所以743d =-=，所以4(1)331n a n n =+-⨯=+. 又2221a b =-，332a b =+， 所以24b =，38b =， 所以2q，所以222n nn b b q -==.选②，令2n =，则2121a a =-；设数列{}n a 是公差为d 的等差数列， 所以11a d =+.令2n =，则3224a a =-；24a d =+ 则3d =，14a =.所以4(1)331n a n n =+-⨯=+.又2221a b =-，332a b =+，所以24b =，38b =，所以222n nn b b q -==.（2）当{}n c 的前70项中含有{}n b 的前6项时， 令7312128n +<=，解得1273n <， 此时至多有41+7=48项（不符）. 当{}n c 的前70项中含有{}n b 的前7项时，8312256n +<=，解得85n <.且22，42，62是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前70项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 前66项，再减去公共的三项， ∴47270666652(12)66432226869212S ⨯-⎛⎫=⨯+⨯+---= ⎪-⎝⎭. 20．（1）证明见解析（2）43【分析】（1）先证明AB AC ⊥，PA AB ⊥，从而证明AB ⊥平面PAC ，进而AB PC ⊥， （2）建立坐标系，由向量法求解即可 （1）∵四边形ABCD 是直角梯形，2AD CD ==，4BC =，∴AC =AB ==∴ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴PA AB ⊥，又PA AC A =，∴AB ⊥平面PAC ， 又PC ⊂面PAC ， ∴AB PC ⊥. （2）过点A 作AE BC ⊥于E ，以A 点为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立平面直角坐标系，取平面DAC 的法向量()0,0,2AP =.设()()0,,202M a a a -<≤，()0,,2AM a a =-，()2,2,0AC =， 设平面CAM 的法向量为(),,n x y z =，由0AC n ⋅=，0AM n ⋅=，得()22020x y ay a z +=⎧⎨+-=⎩，可取()2,2,n a a a =---，所以3cos ,3AP n =，得1a =. 故11144213323M ABCABC V S a -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△.21．（1）AB =（2）存在，x 轴上的点(),0N a -满足题意，证明见解析 【分析】（1）由直线与抛物线联立求出交点坐标，再由距离公式即可求解；（2）由直线与抛物线联立，由根与系数的关系，斜率公式结合正弦定理即可求解 （1）由题意可知直线l ：24y x =-，由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得44x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩. 所以()4,4A ，()1,2B -， 所以AB =（2）存在x 轴上的点(),0N a -满足题意，证明如下： 设直线l ：x my a =+，由24x my ay x=+⎧⎨=⎩得2440y my a --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y a =-. ()()()()()()()()122112************AN BN y x a y x a y my a y my a y yk k x a x a x a x a x a x a +++++++=+==++++++ ()()()()()()121212122224240my y a y y m a a mx a x a x a x a ++⋅-+⋅===++++.所以0AN BN k k +=，可知AN ，BN 的倾斜角互补，所以ANM AMN ∠=∠. 所以NM 为ABN 的角平分线， 由正弦定理：sin sin BM BN BNM BMN =∠∠，sin sin AM ANANM AMN=∠∠，两式相除得AN AM BN BM=， 综上，存在x 轴上的点(),0N a -满足题意. 22．（1）()e sin 1xf x x =+-；（2）证明见解析. 【分析】（1）由原点处的切线方程有()02f '=，()00=f ，即可求参数a 、b ，进而写出()y f x =的解析式；（2）由题设只需证e sin 210x x x +--≥恒成立，令()e sin 21xg x x x =+--利用导数研究其单调性，进而确定各单调区间上的函数符号，即可证结论. （1）由()f x 在原点处的切线方程为2y x =且()e cos x a f x b x +'=+，∴()0e 2a f b '=+=，()0e 10af =-=， 解得0a =，1b =，∴()e sin 1xf x x =+-.（2）证明：要证()2f x x ≥，即证e sin 210x x x +--≥，令()e sin 21xg x x x =+--，则()00g =，()e cos 2x g x x '=+-，()00g '=，令()e cos 2x h x x =+-，则()00h =，()e sin xh x x '-=，当0x >时，()e si 0n xh x x -'=>，∴()h x 在()0,+∞上是增函数，()()00h x h >=，即0g x .∴()g x 在()0,+∞上是增函数，则()()00g x g >=. 当0x π-<<时，e 0x >，sin 0x ->，∴()0h x '>，()h x 在(),0π-上的增函数，()()00h x h <=.即0g x ，∴()g x 在(),0π-上单调递减，则()()00g x g >=.当x π≤-时，()e sin 21220xg x x x π=+-->->.综上，在定义域R 上恒有()0g x ≥，即()2f x x ≥.。
精品解析：江苏省南京市六校联合体2019-2020学年高三上学期期初数学试题(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.集合 ， ，则 中元素的个数是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
对 中元素逐个检验后可得 中元素的个数.
【详解】 中仅有 ，故 中元素的个数为1，填1 .
【点睛】本题考查集合的交，属于基础题.
3.某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人．
【答案】20
【解析】
【分析】
利用分层抽样方法直接求解.
【详解】由题意，应抽取高一学生 （人），
故答案是20.
【点睛】该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目.
南京市六校联合体2019-2020学年度第一学期期初测试
高三数学
Ⅰ试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.已知函数 的最小正周期为4，则 =________.【Biblioteka 案】【解析】【分析】
的周期计算公式 可得答案
【详解】
由周期计算公式可得 ，解得 =
【点睛】 或 的最小正周期计算公式均为
5.已知命题“存在 ”为假命题，则实数 的取值范围是_______．
【答案】[-16,0]
江苏省南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学试卷1卷
的最小值是 ▲ ．
1
9．已知 tan(
)
,
4
7
0, ，则 sin(
) 的值是
2
6
a4
N
Y
S Sa
a a1
第 6 题图
▲．
输出 S 结束
10．已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥ 0 时， f ( x) x2 x ．若
f ( a)＜ 4＋f (－ a)，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
13．已知 n∈N* , a n 2n ， bn 2n 1， cn max{b1 a1n,b2 a2n, ,bn ann} ，其中
max{ x1, x2 , , xs } 表示 x1 , x2 , , xs 这 s 个数中最大的数． 数列 { cn} 的前 n 项和为 Tn ，
若 an Tn 0对任意的 n∈ N* 恒成立，则实数 的最大值是 ▲ ． 14 ．已知函数 f ( x) x2 2ax 2a 1 . 若对任意的 a (0,3) ，存在 x0 [0, 4] ，使得
（ i ）求数列 { an} 的通项公式； （ ii ）若 k， t ∈N *，且 S1 ，Sk－ S1，St－ Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值．
20． (本小题满分 16 分）
已知函数 f ( x)
x ex , g( x)
ln x
.
x
(1) 求 f (x) 的极大值；
(2) 当 a 0 时，不等式 xg ( x) ax b 恒成立，求 b 的最小值； a
已知椭圆 C ： x 2 a2
y2 b2
1(a b 0) 上一点与两焦点构成的三角形的周长为
4+2 3 ,
离心率为 3 . 2
江苏省南京市2020届高三数学上学期期初联考试题试题(含解析)
江苏省南京市 2020 届高三数学上学期期初联考试题试题（含分析）一、填空题（本大题共14 小题，每题5 分，共70 分，请将答案填写在答题卷相应的地点上．）1．已知会合A ＝x1x2， B ＝x x，则A IB ＝．答案： ( ﹣1，0] 考点：会合的运算分析： ( ﹣1，0]2．已知复数 z ＝ 3i（ i 是虚数单位） ，则 z 的虚部是．答案：﹣ 2 1 i考点：虚数分析： z ＝3i (3 i)(1 i) i 2 4i 3 4i 2 2i 1，因此则 z 的虚部是﹣ 2．1 i(1 i)(1 i)1 i 223．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频次散布直方图以下图． 依据标准， 单件产质量量在区间 [25 ，30) 内为一等品， 在区间 [15，20) ，[20 ， 25) 和 [30 ，35) 内为二等品，其他为三等品．则样本中三等品件数为．答案： 200考点：统计，抽样检查 分析： 2004．现有三张卡片，分别写有“1”、“ 2”、“ 3”这三个数字．将这三张卡片随机排序构成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是 ．答案：13考点：古典概型分析：将这三张卡片随机排序构成一个三位数以下： 123，132，213，231，312，321，共 6种，此中偶数有 2 种，因此该三位数是偶数的概率是1 2 6．35．函数 y1 log 2 x 的定义域为．答案：[ 1，)2考点：函数的定义域1 log2 x 0 1 ，因此原函数定义域为 [ 1，)．分析：由，解得 xx226．运转以下图的伪代码，其结果为．答案： 17考点：算法初步，伪代码分析：依据伪代码所示的次序，逐框剖析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出 S＝ 1＋ 1＋3＋ 5＋7 的值，因此 S＝ 1＋ 1＋ 3＋5＋ 7＝ 17．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线 C：x2y21(a＞0)的右极点到双曲线的一条渐近a216线的距离为45，则双曲线 C的方程为．3答案： x2y212016考点：双曲线的性质分析：由题意可知双曲线的右极点为( a， 0) ，渐近线方程为y 4x ，依据点到线的距离a公式求得右极点到双曲线渐近线距离为：4a，即可得方程4a＝45 ，16a216 a23解得 a2＝20，因此双曲线 C 的方程为x2y21．20168．以下图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰巧与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引认为骄傲的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．答案：32考点：圆柱、球的表面积分析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为22 R，高为 2R，S 圆柱＝2π R× 2R＋ 2×π R＝6π R ，2S圆柱6R23．S 球＝4π R ．因此R2S球429．函数f ( x)Asin( x ) (A ＞0， ＞ 0) 的部分图象以下图．若函数 y f (x) 在区间 [ m ，n ] 上的值域为 [2 ， 2] ，则 n ﹣ m 的最小值是．答案： 3考点：三角函数的图像与性质分析：由函数的最大值为2，可得 A ＝ 2．由 1 ?2＝ 4，可得．由五点法作图可得424×2＋ ＝，∴＝ 0，函数 f ( ) 2sin( ) ．因为函数在 [2 ，5] 上是减函数， x2xx4＝2 时，f ( x)＝ 2， x＝5时， f (x)＝ 2，故 nm5﹣ 2＝ 3．﹣ 的最小值是10．在公比为 q 且各项均为正数的等比数列a n 中， S n 为 a n 的前 n 项和．若 a 11 ，q2且S 5 S 27 ，则首项 a 1 的值为．答案：14考点：等比数列分析：因为 S 5S 2 7 ，因此 a 3 a 4a 5 23 4，将 a 117 ，则 a 1 (qqq ) 7 2代入q可得： q 2q 6 0，因为 q ＞ 0，因此 q ＝ 2，进而首项 a 1 的值为 1 ．411．已知 f ( x) 是定义在区间 ( ﹣ 1， 1) 上的奇函数，当x ＜ 0 时， f ( x) x(x 1) ．已知 m知足不等式f (1 m)f (1 m 2 ) 0 ，则实数 m 的取值范围为．答案： (0 ，1)考点：函数性质综合分析：当 x ＜ 0 时， f ( x) x(x 1)，可得 f ( x) 在 ( ﹣1， 0) 单一递减；由 f ( x) 是定义在区间 ( ﹣ 1， 1) 上的奇函数，可得 f (x) 也是区间 ( ﹣ 1， 1) 上的减函数．因为 f (1m)f (1 m 2 )0 ，因此 f (1 m) f ( m 21) ，可得以下不等式组：1 1 m10 m 22，得0 m2m 0，解得： 0m 1 ．因此实数 m1m 11或21 m m 212 m1的取值范围为 (0 ， 1) ．12．已知圆 O ：x 2＋ y 2＝ 4 和圆 O 外一点 P( x 0 ， y 0 ) ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，且∠ AOB ＝ 120°．若点 C(8，0) 和点 P 知足 PO ＝PC ，则的范围是．答案：113考点：圆的方程分析：第一求得PO ＝4，设 P( x ，y ) ，则 x 2y 21622，POPCPO＝ PC①，由 ＝，得则 x 2＋y 2＝2[( x ﹣ 8) 2＋ y 2] ，化简得 0 ( 2 1)( x 2 y 2)162x64 2 ②，由①52 ②得： x21 ，依据﹣ 4≤ 52 21≤4，求得11 ．313．如图，已知梯形ABCD ， AD ∥BC ，BC2 ，取 BD 中点 E ，连结 AE 并延伸交 CD 于 F ， uuur uuur uuur uuur AD3AB ＝若AB AD 2FA CD ，则．AD3答案：3考点：平面向量的数目积uuur uuur uuuruuur2 uuuruuur uuur 1 uuur uuur分析：依据题意可得CF 1 FD 3 ，CD CB BA AD 3 ADAB ADAD AB ，1 uuur1 uuur33 uuur 2uuur uuur2( 3 uuur uuur uuur 3uuuruuuruuur2FA CDCDAD) CD2[ (ADAB)AD] (ADAB)AB1 uuur 244 332uuur uuuruuur uuuruuur uuuruuur uuur 3 uuur 2 1 uuur 2ADAB AD ，因此由 AB AD2FA CD ，得 AB ADABAD222uuur uuuruuur 2uuur 2AB 3AB AD ，因此 AD3AB，因此＝．AD31 ln x ， x 114．已知函数 f ( x)11，若 xx ，且 f ( x ) f ( x )2 ，则 xx 的取x ， x 1 1212122 2值范围是．答案： [ 3 2ln 2 ， )考点：函数与方程分析：设 x 1 1 x 2 ，则1x 1 1 1ln x 2 2 ，得：x 1 1 2ln x 2 ，因此 x 1 x 2 ＝ 1﹣ 2 ln x 222＋ x 2 ．令 g ( x 2 ) 1 2ln x 2x 2 2x 2 ，g (x 2 )，当 1＜ x 2 ＜ 2，g (x 2 ) ＜ 0，g( x 2 )x 2在 (1 ，2) 上单一递减，当 x 2 ＞ 2， g ( x 2 ) ＞ 0， g ( x 2 ) 在(2 ，) 上单一递加，∴当x ＝ 2 时， g (x 2 ) 有最小值为 32ln 2，因此 x 1 x 2 ≥ 3 2ln 2 ，即 x 1 x 2 的取值范围是 [ 3 2ln2，) ．二、解答题（本大题共6 小题，合计 90 分，请在答题纸指定地区内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥P — ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝ AD ，点F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点．（ 1）证明： EF ∥平面 PAC ；（ 2）证明： AF ⊥ PC ．解：16．（本小题满分 14 分）在△ ABC 中， A ＝3， AB ＝ 6， AC ＝ 3 2 ．4（ 1）求 sinB 的值；（ 2）若点 D 在 BC 边上， AD ＝ BD ，求△ ABD 的面积．解：（1）∵ A ＝3，AB ＝ 6，AC ＝ 3 242 2 2∴由余弦定理可得： BC ＝AB ＋ AC ﹣ 2AB · AC · cosA ＝ 90∴BC ＝ 3 1032AC sin A210 由正弦定理可得：2sin B3 10．BC10（2）∵ A ＝3， B 为锐角4∴ cosB ＝3 1010由余弦定理： 222AD ＝ AB ＋ BD ﹣ 2AB · BD · cosBAB 610因为 AD ＝ BD ，因此 BD ＝2cos B31021011 1010 ＝3因此 S ＝ AB · BD · sinB ＝6△ ABD2102因此△ ABD 的面积为 3．17．（本小题满分 14 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一． 图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的极点都在圆周上． 已知正十字形的宽和长都分别为 x ， y （单位： dm ）且 x ＜ y ，若剪去的正十字形部分面积为24dm ．（ 1）求 y 对于 x 的函数分析式，并求其定义域；（ 2）现为了节俭纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x 取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．解：（1）由题意可得： 2xy x24 ，则 yx 2 42x ，∵ yx ，∴ 0＜ x ＜ 2∴ y 对于 x 的函数分析式x 2 4y，定义域为 (0 ， 2) ．2x（2）设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知 d 2x2 y 2x 2( x 24 25x 242 25 2 ，) 4x 22x当且仅当 x 24 5 时，正十字形的外接圆直径 d 最小，5则半径最小值为d 2 5 2 ，22∴正十字形的外接圆面积最小值为2 525 142答：当 x 取4 5，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为5 1 ．5218．（本小题满分 16 分）已知椭圆 C ：x 2y 2 1( a ＞ b ＞ ，左、右焦点分别为 1 ﹣ ， ， 2 ， ，椭圆0) F ( F (1 0)a 2b 21 0)离心率为 1，过点 P(4 ， 0) 的直线 l 与椭圆 C 订交于 A 、 B 两点（ A 在 B 的左边）．2（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若 B 是 AP 的中点，求直线 l 的方程；（ 3）若 B 点对于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴订交于定点． 解：（1）∵左、右焦点分别为F 1( ﹣1， 0) ， F 2(1 ， 0)∴ c ＝1，∵椭圆离心率为 12∴ a ＝2∴ b 2＝ a 2﹣c 2＝ 4﹣ 1＝ 3∴椭圆 C 的方程为x 2y 2 1．43（2）设 B( x 0 ， y 0 ) ，依据 B 是 AP 的中点，得 A( 2x 04 ， 2 y 0 )因为 A 、 B 两点都在椭圆上，可得方程组：x 02y 02x 07x 0741443，解得或 ，(2 x 0 4)24y 02 1y 03 5 y 03 5438 8因此B(7，3 5)或(7 ， 3 5 )484 83 535 5设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝7 8 或 8 ，即 k ＝±4 74644因此直线 l 的方程为： y5( x 4) ，6化为一般式为：5x 6y 4 5 0 或 5x 6 y 4 5 0 ．（3）设 A( x 1 ， y 1 ) ， B( x 2 ， y 2 ) ，则 E( x 2 ， y 2 )设 D 为直线 AE 与 x 轴的焦点，且 D(d ， 0)依据 A 、 D 、 E 三点共线得：y 1 y 2 ，解得 d x 1 y 2 x 2 y 1x 1 dx 2 dy 1 y 2 设直线 l 为： y k( x4) ，此中 k ≠0则 y 1 k( x 1 4) ， y 2 k ( x 24) ，代入 dx 1 y 2 x 2 y 1y 1 y 2得 d 2x 1x 2 4( x 1 x 2 )x 1 x 2 8y k( x 4)222222，化简得：y (3 4k ) x32k x 64k12x143因此 x 1x 232 k 2 ， x 1x 264k 2 123 4k23 4k22x 1 x 2 4( x 1 x 2 ) 264 k 2 12 4 32k 2则 d3 4k 23 4k 21x 1x 2832k283 4k2因此直线 AE 与 x 轴订交于定点 (1 ， 0) ．19．（本小题满分16 分）在数列a n中，已知a1 2 ， a n 13a n f (n) ．（ 1）若 f (n)k （k为常数），a314 ，求k；（ 2）若 f (n)2n 1．①求证：数列a n n为等比数列；②记b n a n(1) n，且数列b n的前n 项和为T n，若 T3为数列T n中的最小项，求的取值范围．解：（1）k的值为﹣ 1；（2）①②20．（本小题满分16 分）已知函数 f ( x) x ln x2 ．（ 1）求曲线 y f ( x) 在 x ＝ 1 处的切线方程；（ 2）函数 f (x) 在区间 ( k ， k ＋ 1)( k N)上有零点，求 k 的值；（ 3）记函数 g(x)1 x2 bx 2 f ( x) ，设 x 1 ， x 2 ( x 1 ＜ x 2 ) 是函数 g( x) 的两个极值32点，若 bg( x 2 ) k 恒建立，务实数 k 的最大值．，且 g ( x 1 )2解：（1）∵ f ( x) xln x 21∴ f (x)1则 k f (1) 0又∵f (1)1∴曲线yf (x) 在x ＝ 1 处的切线方程 y ＝﹣ 1．（2） k ＝ 3．（3）因此实数 k 的最大值为152ln 2 ．8。
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级一模联考数学试卷解析版
1南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S =2故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．3解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．411．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a的取值范围[；故答案为：[．513．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =，6故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点，ED B 1A 1C 1CBA8所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==，B xy OPAM Nl9CA D联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m m ≠±（，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大以最大航速航行．问：航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值10范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=， 则点Tλ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ；11（2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，x e x x=)(ϕ． （1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）x e x x x x f y )23()()(2+-=⋅=ϕ，所以x e x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根，故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或，12当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-，解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+，由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<，又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分） 等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0，因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134， 所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134， 解得a 1＝12，d ＝12， 于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．13（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212} 当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k＝3，舍去； 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q，所以T 3k T k ＝1＋q k ＋q 2k ， 因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2，因此T 3k T k≥1＋2＋4＝7， 于是T k ＝32，T 3k ＝212， 因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去），从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q得b 1＝32 所以b n ＝3×2n －2（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN * 当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)；当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]，所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2； 所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n 2，n 为偶数．。
2022—2023学年南京市第一学期12月份高三六校联考期末考试试卷
2022-2023学年第一学期12月份高三六校联考数学试题一､单选题1. 已知集合2{|230}A x Z x x =∈-++，{|2}B y y =<，则(A B = )A ．∅B ．[1-，2)C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1)35(z i i i +=+为虚数单位），则复数(z = ) A ．14i + B ．14i -+ C ．4i - D ．4i +3. “8a <”是“方程22240x y x y a ++++=表示圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =-上的一点M 到焦点距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．3116- B ．3316-C ．1-D ．3-5. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔⋅弗兰泡沫，威尔⋅弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是( )A ．936B ．938C ．1236+D ．12386. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率( ) A ．16 B ．14C ．29D ．1367. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心、||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A. 15 B. 3 C. 23 D. 28. 设sin(810)a =-︒，33tan()8b π=-，15c lg =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<二､多选题9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >C ．若甲，乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数10. 已知m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有( ) A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ B ．若m α⊥，m β⊥，n α⊂，则//n β C ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则//n β D ．若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥11. 已知O 为坐标原点，1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 的右支上．若122||9||PF PF ，且222122||4||||PF OF PF =-，则双曲线C 的离心率可能是( ) A ．857B ．1C ．856D ．854812. 在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题，其中真命题的是( ) A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值B ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD C ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD ED ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BEDF 的周长取得最小值三､填空题13. 函数2sin cos y x x =+在x π=处的切线方程是 ．14. 已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = ．15. 已知随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =，则3252(1)()ax x x++的展开式中4x 的系数为________16. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A 是抛物线22(0)y px p =>上的一点，以抛物线的焦点F 为圆心、以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点，记记BFC θ∠=，若22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，且ABC ∆的面积为1283，则实数p 的值为___________四､解答题17． 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin 2A Cc b C +=． （1）求角B 的大小； （2）若112tan tan tan A C B+=，2b =，求ABC ∆的面积．18. 已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-． （1）求证：数列2{2}n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n nT b b b =++⋯+．19. 经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数(1i y i =，2，⋯，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．101i i x =∑101ii y=∑101ii z=∑1021()ii xx =-∑101()()ii i xx y y =--∑ 101()()i i i x x z z =--∑275 731.1 21.7 150 2368.36 30表中i i z lny =，110i i z z ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+，y a x =21c x y c e =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求y 关于x 回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为()( 2.4)170h x x lny =-+，当温度(x x 取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，(n u ⋯，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围．22．已知函数2()(,)f x ax bx lnx a b R =-+∈． （1）当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；（2）当2b =时，若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，求实数t 的取值范围；（3）设2()()g x f x ax =-，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：212x x e >．2022-2023学年第一学期12月份高三六校联考数学试题一､单选题1. 已知集合2{|230}A x Z x x =∈-++，{|2}B y y =<，则(A B = )A ．∅B ．[1-，2)C ．{0，1}D ．{1-，0，1}【解答】解：2{|230}{1A x Z x x =∈-++=-，0，1，2，3}，{|2}B y y =<，{1AB ∴=-，0，1}，故选：D ．2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1)35(z i i i +=+为虚数单位），则复数(z = ) A ．14i +B ．14i -+C ．4i -D ．4i +【解答】解：由(1)35z i i +=+， 得35(35)(1)8241(1)(1)2i i i iz i i i i ++-+====+++-， 则复数4z i =-． 故选：C ．3. “8a <”是“方程22240x y x y a ++++=表示圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程22240x y x y a ++++=表示圆， 41640a ∴+->，5a ∴<，(-∞，5)(⊆-∞，8)，8a ∴<是方程22240x y x y a ++++=表示圆的必要不充分条件，故选：B ．4. 抛物线24y x =-上的一点M 到焦点距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．3116-B ．3316-C ．1-D ．3-【解答】解：24y x =-，214x y ∴=-，∴其焦点F 的坐标为1(0,)16F -， 抛物线24y x =-上的一点0(M x ，0)y 到焦点距离为2， 由抛物线的定义得：01216y -=， 03116y ∴=-，即点M 的纵坐标是3116-． 故选：A ．5. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔⋅弗兰泡沫，威尔⋅弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是( )A ．936B ．938C ．1236+D ．1238【解答】解：棱长为1的正方形的面积为111⨯=， 正六边形的面积为13336112⨯⨯⨯=又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点， 则最多有6个正方形，最少有4个正六边形，一个正六边形与3个正方形相连， 所以该多面体有6个正方形，正六边形有6438⨯÷=个． 故该多面体表面积是33611812362⨯⨯+=． 故选：C ．6. 有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率( ) A ．16B ．14C ．29D ．136【解答】解：甲被安排到了冰壶的情况共有32233212A C A +⋅=（种)，甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的情况共有222A =（种)，故在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为21126=．故选：A ．7. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心、||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A. 15B.3 C. 23 D. 2【解答】解：如图所示，设线段PF 的中点为M ，连接OM ． 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '．则//OM PF '． 又||||2OM OF c ===，11||||(22)122FM PF a c a c ==-=-=． 设MFO α∠=，在OMF ∆中，2222121cos 2214α+-==⨯⨯，215sin 1cos αα∴-， tan 15α∴=；15．8. 设sin(810)a =-︒，33tan()8b π=-，15c lg =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：sin(810)sin(90)1a =-︒=-︒=-，331tan()tan()tan 128882b πππ=-=-=-=-， 15c lg =，112c ∴-<<-，a cb ∴<<，故选：B ．二､多选题9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．若甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >C ．若甲，乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数 【解答】解：由折线图得：对于A ，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A 错误； 对于B ，甲组数据除第二天数据图低于乙组数据， 其它天数数据都高于乙组数据，可知12x x >，故B 正确； 对于C ，甲组数据比乙组数据稳定，2212s s <，故C 错误； 对于D ，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D 正确． 故选：BD ．10. 已知m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有( ) A ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ B ．若m α⊥，m β⊥，n α⊂，则//n β C ．若αβ⊥，m α⊥，m n ⊥，则//n βD ．若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥【解答】解：若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβ或α与β相交，故A 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又n α⊂，则//n β，故B 正确；若αβ⊥，m α⊥，则m β⊂或//m β，又m n ⊥，//n β∴或n β⊂或n 与β相交，故C 错误； 若//αβ，m α⊥，则m β⊥，又//n β，m n ∴⊥，故D 正确． 故选：BD ．11. 已知O 为坐标原点，1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在C 的右支上．若122||9||PF PF ，且222122||4||||PF OF PF =-，则双曲线C 的离心率可能是( ) A ．857B ．1C ．856D ．8548【解答】解：可设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=， 即有2m n a =+，由122||9||PF PF ，即29m n ，可得2(2)9n a a +， 即47a n， 222122||4||||PF OF PF =-，即22222444m c n n an a =-=++， 可得2222221616424424497a a c n an a a =++⋅++，化为228549c a ， 即有857c e a=． 则Γ的离心率的取值范围是85[，)+∞． 故选AC12. 在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题，其中真命题的是( ) A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值B ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD C ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD ED ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BEDF 的周长取得最小值 【解答】解：对于A ，由111111E BB D F BB D B BED V V V ---=+，且11////CC AA 平面11BB D ， 所以点E ，F 到平面11BB D 的距离为定值， 则四棱锥11B BED F -的体积为定值， 故选项A 正确；对于B ，可作出过CG 的平面与1EBD 平行，由面面平行的性质定理可得，存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ，同理可得，也存在无数个点E ，对棱1AA 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交， 故选项B 错误；对于C ，因为111BB B D =，可得对角面11BB D D 为正方形， 所以11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥，由三垂线定理可得，1B D BE ⊥， 又1BD BE B =，BD ，BE ⊂平面1BD E ，所以1B D ⊥平面1BD E ， 故选项C 正确；对于D ，由面面平行的性质定理可得，四边形1BED F 为平行四边形， 由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值， 存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值， 故选项D 正确． 故选：ACD ．三､填空题13. 函数2sin cos y x x =+在x π=处的切线方程是 ． 【解答】解：2cos sin y x x '=-，∴切线的斜率|2x k y π=='=-，切点坐标(,1)π-∴切线方程为(1)2()y x π--=--，即221y x π=-+-．故答案为：221y x π=-+-．14. 已知数列{}n a 满足11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S = ． 【解答】解：由题意，可知20191234520182019S a a a a a a a =+++++⋯++ 1234520182019()()()a a a a a a a =+++++⋯++1(21009)(41009)(20181009)=+-+-+⋯+- 1(242018)10091009=+++⋯+-⨯ 1009(22018)1100910092⨯+=+-⨯1010=．故答案为：1010．15. 已知随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =，则3252(1)()ax x x++的展开式中4x 的系数为________【解答】解：因为随机变量2~(1,)X N σ，且(0)()P X P X a =， 所以2a =，代入可得3252(12)()x x x ++，该式展开式中含4x 的项为：22320322333444535322()()()()(2)40640680C x C C x C x x x x x x+=+=．故4x 的系数为680．16. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A 是抛物线22(0)y px p =>上的一点，以抛物线的焦点F 为圆心、以FA 为半径的圆交抛物线的准线于B ，C 两点，记记BFC θ∠=，若22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，且ABC ∆的面积为1283，则实数p 的值为___________ 【解答】解：由22sin sin 23cos sin θθθθ-=-，得22cos 3cos 2sin sin 2θθθθ+-=-， (2cos 1)(cos 2)sin (12cos )θθθθ-+=-，(2cos 1)(cos 2sin )0θθθ-++=，所以1cos 2θ=，结合图象3πθ=，所以BFC ∆为等边三角形， ||FD p ∴=，23||||BC FB p ∴==， 即圆的半径23||FA p =，设0(A x ，0)y ， 01||2ABC S BC x ∆∴=，2211232128|||||()222333p BC FA p p +====， 解得8p =，四､解答题17． 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin 2A Cc b C +=． （1）求角B 的大小； （2）若112tan tan tan A C B+=，2b =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由sinsin 2A C c b C +=及正弦定理得，sin sin sin sin (*)2A CC B C +=， 因为B ，(0,)C π∈，所以sin 0C >，(0,)22B π∈， 所以sin sinsin cos 222A CB BB π+-===， 代入(*)式化简得，2sin cos cos 222B B B =，即1sin 22B =， 所以26B π=，即3B π=． （2）11cos cos cos sin cos sin sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C C A A C B A C A C A C A C A C +++=+===，22cos 1tan sin sin B B B B==， 因为112tan tan tan A C B+=，所以2sin sin sin A C B =， 由正弦定理，得24ac b ==， 故1sin 32ABC S ac B ∆==18. 已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-． （1）求证：数列2{2}n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n nT b b b =++⋯+． 【解答】解：（1）由已知有：2221(1)2(1)23(1)2(1)n n a n n a n n n +-+-+=+--+-+222242(2)n n a n n a n n =--=--， 211212a --⨯=，∴{}22n a n n --为等比数列；（2）由（1）可得：212222n n n a n n ---=⨯=，∴222n n a n n =++，∴222(2)n n n b a n n n n =-=+=+， ∴1111111111[(1)()()]132435(2)23242n T n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-⨯⨯⨯++ 11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++．19. 经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x 有关，现将收集到的温度i x 和产卵数(1i y i =，2，⋯，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．101i i x =∑101ii y=∑101ii z=∑1021()ii xx =-∑101()()ii i xx y y =--∑ 101()()i i i x x z z =--∑275 731.1 21.7 150 2368.36 30表中i i z lny =，110i i z z ==∑ （1）根据散点图判断，y a bx =+，y a x =21c x y c e =哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据． ①试求y 关于x 回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为()( 2.4)170h x x lny =-+，当温度(x x 取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，(n u ⋯，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-．【解答】解：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围， 所以21c x y c e =适宜作为y 与x 之间的回归方程模型；⋯⋯（2分） （2）①令z lny =，则21z c x lnc =+，⋯⋯（3分）10121021()()3011505()iii ii x x zz c x x ==--===-∑∑；⋯⋯（5分） 12 3.33lnc z c x =-=-，⋯⋯（6分）13.3375z x ∴=-；⋯⋯（7分） y ∴关于x 的回归方程为 13.335ˆx zye e -==；⋯⋯（8分）②成本函数()h x 与x 和y 的关系为 ()( 2.4)170h x x lny =-+ 1( 3.33 2.4)1705x x =--+215.731705x x =-+，⋯⋯（10分） ∴当 5.7314125x =≈⨯时，培养成本的预报值最小．⋯⋯（12分）20. 四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，//AE BF ，22AE BF ==． （1）证明：平面EAC ⊥平面EFC ；（2）若CF 与平面AEC 所成角为30︒，求二面角F EC D --的余弦值．【解答】解：（1）取EC 的中点G ，连接BD 交AC 于M ，连接GM ，GF ， 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，且M 是AC 的中点，所以//GM AE 且12GM AC =，又//AE BF ，22AE BF ==， 所以//GM BF 且GM BF =，所以四边形BMGF 是平行四边形， 所以//GF BM ，又EA ⊥平面ABCD ，所以EA BM ⊥， 又因为ACEA A =，所以MB ⊥面EAC ，所以GF ⊥面EAC ， 又GF ⊂面EFC ，所以面EFC ⊥面EAC ；（2）以A 为原点，AD ，AB ，AE 为坐标轴建立空间直角坐标系， 由（1）知FCG ∠为CF 与平面AEC 所成的角，所以30FCG ∠=︒， 所以12GF CF =，又设BC a =，则21CF a =+2GF MB =，所以解得1a =，所以(1D ，0，0)，(1C ，1，0)，(0E ，0，2)，(0F ，1，1)则(0DC =，1，0)，(1DE =-，0，2)，(1CF =-，0，1)，(1CE =-，1-，2)， 设平面CDE 的一个法向量(n x =，y ，)z20n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩．则，令2x =，则0y =，1z =， 所以平面CDE 的一个法向量(2n =，0，1)， 设平面CFE 的一个法向(m a =，b ，)c ，20m CF a c m CE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1c =，则1a =，1b =， 所以平面CFE 的一个法向(1m =，1，1)， cos n <，31535m >=⨯ 所以二面角F EC D --的余弦值为15．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(2,0)F ，2(2,0)F -．过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求||||MN AB 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）依题意可得2c =，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，过点1F 作AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF ∆的周长为46446a =6a =， 可得222b a c =-故椭圆的方程为22162x y +=．（Ⅱ）①当直线l 斜率不存在时，MN 与x 轴重合，不合题意，舍．②当直线l 斜率为0时，||26AB a ==MN 的方程为2x =，不妨设M 在N 上方， 则66(2,M N ，从而26||MN ． 所以||1||3MN AB =． ③当直线l 斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠， 则MN 的方程为1(2)(0)y x k k=--≠．由22(2)162y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2222(13)121260k x k x k +-+-=．所以△224(1)0k =+>．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++． 因为222121212||(1)|(1)[()4]AB k x x k x x x x +-=++- 所以22222221212626(1)||(1)[()4]1313k k k AB k k k -+=+-⨯=++ 同理，将上式中k 换为1k -，得222126(1())26(1)||113()k k MN k +-+==+-． 所以22222||3139883(0)||333MN k k k AB k k k ++-===-≠+++．由23(3,)k +∈+∞，得221188(0,),(,0)3333k k ∈-∈-++， 所以2||813(,3)||33MN AB k =-∈+． ④综上，由①②③，||||MN AB 的取值范围为1[,3)3．22．已知函数2()(,)f x ax bx lnx a b R =-+∈． （1）当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；（2）当2b =时，若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，求实数t 的取值范围；（3）设2()()g x f x ax =-，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：212x x e >． 【解答】解：（1）当1a =，3b =时，2()3f x x x lnx =-+，∴21231(1)(21)()23x x x x f x x x x x-+--'=-+==， 0x >，令()0f x '>，则102xx <或， 令()0f x '<，则112x <<， ()f x ∴的单调递增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调递减区间为1(,1)2；（2）证明：由题可得2221()(0)ax x f x x x-+'=>，函数2()2f x ax x lnx =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，∴方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有121248010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得102a <<．不等式1212()()f x f x x x t +>++有解，1212[()()()]max t f x f x x x ∴<+-+．22121211122212()()()22()f x f x x x ax x lnx ax x lnx x x +-+=-++-+-+2121212122[()2]3()()1(2)a x x x x x x ln x x ln a a=+--++=---．设h （a ）211(2)(0)2ln a a a =---<<，h '（a ）220aa -=>，故h （a ）在1(0,)2上单调递增，故h （a ）1()52h <=-，5t ∴<-．故实数t 的取值范围为(,5)-∞-．（3）()g x lnx bx =-，设()g x 的两个相异零点为1x ，2x ， 设120x x >>，欲证212x x e >，需证122lnx lnx +>． 1()0g x =，2()0g x =， 110lnx bx ∴-=，220lnx bx -=，1212()lnx lnx b x x ∴-=-，1212()lnx lnx b x x +=+．要证122lnx lnx +>，即证12()2b x x +>， 即1212122lnx lnx x x x x ->-+，即1122122()x x x ln x x x ->+，设121x t x =>上式转化为2(1)(1)1t lnt t t ->>+， 设2(1)()1t G t lnt t -=-+，22(1)()0(1)t G t t t -'=>+．()G t ∴在(1,)+∞上单调递增， ()G t G ∴>（1）0=，∴2(1)1t lnt t ->+， 122lnx lnx ∴+>，∴212x x e >．。
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级一模联考数学试卷解析版
1南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S =2故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．3解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．411．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „221a+，解可得：33a ，即a 的取值范围3[3； 故答案为：3[3]．513．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以923221862PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当32PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =，6故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()10sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=， 解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()cos A B -==， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点，ED B 1A 1C 1CBA8所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点(e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点(e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==，B xy O PAM Nl9联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m m ≠±（，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．10解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=，故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=， 则点Tλ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁11 区边界）以外的海域内拦截成功．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，x e x x=)(ϕ． （1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <． ①若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）x e x x x x f y )23()()(2+-=⋅=ϕ，所以x e x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根，故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， ①若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-，12解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+，由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<，又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分） 等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0，因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134， 所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134， 解得a 1＝12，d ＝12， 于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4． （2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}13当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k＝3，舍去； 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q，所以T 3k T k ＝1＋q k ＋q 2k ， 因为q ∈N *且q ≠1，所以q ≥2，因此T 3k T k≥1＋2＋4＝7， 于是T k ＝32，T 3k ＝212， 因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去），从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q得b 1＝32 所以b n ＝3×2n －2（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ∈N * 当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝k (4k －1)；当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]，所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2； 所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n 2，n 为偶数．。
江苏省南京市六校联合体2020届高三上学期期初测试数学试题(二卷)及参考答案
南京市六校联合体2019-2020学年度第一学期期初测试 高三数学 2019．08．09Ⅱ试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵01M ⎡=⎢⎣ 10-⎤⎥⎦，21N ⎡=⎢-⎣ 12⎤⎥-⎦． （1）求MN ；（2）若曲线1C ：122=-y x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=．（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有5只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励20元；共两只球都是绿色，则奖励10元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得20元的概率；（2）记X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量X 的概率分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线)0(22>=ppxy上一点),43(mP到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F．（1）求抛物线的标准方程；（2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E．试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．参考答案21．A(1)1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)22 3.y x -=21．B(1)C :220x y x y +--=，l :cos sin 20ρθρθ-+= 22．(1)110 (2)见解析23．(1)x y 62= (2)菱形。
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级第一学期期中检测试卷数学
江苏省南京市六校联合体2020届高三年级第一学期期中检测试卷数学Ⅰ试题命题： 审核：一、填空题：本部分共14题，每题5分，满分70分。
1．设全集={25}U x Z x ∈-≤≤，若集合{}24A x Z x =∈≤，则=U C A __________．2．已知命题:4p x >，命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的__________条件（选填“充分不必要”、“充要”、“既不充分也不必要”）．3．命题“若20x x -≥，则2x >”的否命题是__________．4．函数y =log 7(x 2−4x +3)的定义域为__________．5．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，()25f x x x =-，则()()1f x f x ->的解集为__________．6．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =__________．7．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=__________．8．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为__________． 9．已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为__________． 10．正方形ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为__________．11．在△ABC 中，cos 2A+cos 2B+cos 2C<1，C ＝4π，则tan A +tan B 的最小值为__________． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF△BF ，当△ABF ＝12π时，椭圆的离心率为__________．13．已知圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是__________．14．已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是__________．二、解答题：本部分共6题，满分70分。
2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题(学生版)
南京2019-2020学年第一学期12月高三十校联合调研一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.已知集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-，则集合A B =U ______.2.已知复数21i z i =+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 .3.根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为______.4.某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为______.5.函数f(x)=2ln(1)4x x +-____________.6.甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______.7.在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.8.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数，则ϕ=______. 9.已知数列{}n a 是首项为1，公差为正数等差数列，其前n 项和为n S ，若2a ，6a ，22a 成等比数列，则10S =______.10.某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：30x m -=，点()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围______.12.如图，在ABC ∆中，3AB =2AC =，2BD DC =u u u r u u u r，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF的中点.AG CF ⋅=u u u r u u u r ______.13.已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 14.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()()x x f x e =，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.已知分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且3tan 4A =（1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()10sin A B -=，求tan B 的值 16.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11A E AC ⊥.（1）求证：//DE 平面11AB C ；（2）求证：1A E ⊥平面BDE .17.如图，已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为12，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB ，CD 的中点分别为M 、N .（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦AB ，CD 的斜率均存在，且OMF ∆和ONF ∆的面积分别为1S ，2S ，试求当12S S 最大时的方程.18.如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB 长2千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点］根据市场行情BQ ，OP 段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD 的建造费用是每千米()20213+万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度观光步行道的建造费用为w 万元.（1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其走义域；（2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？19.已知函数()3232f x x x x =-+，()g x tx =，t R ∈. （1）求函数()()xf x e x xϕ⋅=的单调增区间； （2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0，m ，n ，其中m n <.①若12m n =，求函数()h x 在 x m =处的切线方程； ②若对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，求实数t 的去取值范围.20.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足23a =，2420S S +=，数列{}n b 是首项为2，公比为q （0q ≠）的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若11k r r k a b a b a b +=+=+，求实数q 的最大值；（3）若数列{}n c 满足,21,2k n k a n k c b n k=-⎧=⎨=⎩，k *∈N ，其前n 项和为n T ，当3q =时，是否存在正整数m ，使得221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项？若存在，求岀m 的值；若不存在，说明理由. 【选做题】在21、22、23三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答卷卡指．．．．定区域内．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知点()2,2P ，在矩阵21a Mb ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点()4,6Q . （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1,22,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.23.设函数()22f x x x =-++，若不等式242a b a b a --+≤()f x 对任意a ，b R ∈，且0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P .25.甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）求第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率.。