2020年江苏高考数学试卷

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ▲ ．2．已知i是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ▲ ．4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ▲ ． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ．7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 8．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ▲ cm.10．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ▲ ．12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． （1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17．（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422342() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20．（本小题满分16分）已知数列{}()n a n ∈*N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk k n nn S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列． （1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a ”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分. 1．{0,2} 2．3 3．24．195．3-6．327．4- 8．139．2π- 10．524x π=-11．412．4513．185或014．二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥. 又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C =所以AB ⊥平面1AB C .又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得29223455b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C ==则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯.17．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）设1111,,,AA BB CD EF 都与MN 垂直，1111,,,A B D F 是相应垂足. 由条件知，当40O'B =时， 31140640160,800BB =-⨯+⨯= 则1160AA =. 由21160,40O'A =得80.O'A = 所以8040120AB O'A O'B =+=+=（米）.（2）以O 为原点，OO'为y 轴建立平面直角坐标系xOy （如图所示）. 设2(,),(0,40),F x y x ∈则3216,800y x x =-+ 3211601606800EF y x x =-=+-. 因为80,CE =所以80O'C x =-.设1(80,),D x y -则211(80),40y x =- 所以22111160160(80)4.4040CD y x x x =-=--=-+ 记桥墩CD 和EF 的总造价为()f x ，则3232131()=(1606)(4)80024013(160)(040).80080f x k x x k x x k x x x +-+-+=-+<<2333()=(160)(20)80040800k f x k x x x x '-+=-， 令()=0f x '， 得20.x =所以当20x =时，()f x 取得最小值.答：（1）桥AB 的长度为120米；（2）当O'E 为20米时，桥墩CD 和EF 的总造价最低.18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:（1）由条件()()()f x h x g x ≥≥，得222 2x x kx b x x +≥+≥-+， 取0x =，得00b ≥≥，所以0b =．由22x x kx +≥，得2 2 ()0x k x +-≥，此式对一切(,)x ∈-∞+∞恒成立， 所以22 0()k -≤，则2k =，此时222x x x ≥-+恒成立， 所以()2h x x =．（2） 1 ln ,()()()()0,h g x k x x x x -=--∈+∞.令() 1ln u x x x =--，则1()1,u'x x=-令()=0u'x ，得1x =.所以min () 0(1)u x u ==.则1ln x x -≥恒成立， 所以当且仅当0k ≥时，()()f x g x ≥恒成立．另一方面，()()f x h x ≥恒成立，即21x x kx k -+≥-恒成立， 也即2()1 1 +0x k x k -++≥恒成立． 因为0k ≥，对称轴为102kx +=>， 所以2141)0(()k k +-+≤，解得13k -≤≤． 因此，k 的取值范围是0 3.k ≤≤ （3）①当1t ≤≤由()()g x h x ≤，得2342484()32x t t x t t -≤--+，整理得4223328()0.()4t t x t t x ----+≤*令3242=()(328),t t t t ∆---- 则642=538t t t ∆-++．记64253()18(t t t t t ϕ-++=≤≤则53222062(31)(3())06t t t t t t 't ϕ-+=--<=恒成立，所以()t ϕ在[1,上是减函数，则()(1)t ϕϕϕ≤≤，即2()7t ϕ≤≤． 所以不等式()*有解，设解为12x x x ≤≤，因此21n m x x -≤-=≤ ②当01t <<时，432()()11 34241f h t t t t ---=+---．设432 = 342(41)t t t t v t +---，322 ()=1212444(1)(31),v't t t t t t +--=+-令()0v t '=，得t =．当(0t ∈时，()0v t '<，()v t 是减函数；当1)t ∈时，()0v t '>，()v t 是增函数． (0)1v =-，(1)0v =，则当01t <<时，()0v t <．（或证：2()(1)(31)(1)0v t t t t =++-<．） 则(1)(1)0f h ---<，因此1()m n -∉，．因为m n ⊆［］［，，所以1n m -≤<③当0t ≤<时，因为()f x ，()g x 均为偶函数，因此n m -≤综上所述，n m -≤20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）因为等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立．若1λ≠，则10n a +=恒成立，故320a a -=，而211a a -=-， 这与{}n a 是等差数列矛盾．所以1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）因为数列*{}()n a n ∈N”数列，== 因为0n a >，所以10n n S S +>>1-=．n b =，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->．解得2n b =2=，也即14n nS S +=， 所以数列{}n S 是公比为4的等比数列．因为111S a ==，所以14n n S -=．则21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n SS aλ++-==．因为0n a ≥，而11a =，所以10n n S S +≥>1=-n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（*） ①若0λ≤或=1λ，则（*）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个． （此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（*）化为3232(1)(1)01n nn c c c λλ+-++=-， 因为1n c ≥，所以3232101n n c c λλ+++>-，则（*）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nn c c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）． 所以1n n S S +=或31n n S t S +=．由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个．综上所述，能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，02θ≤<π）．（1）求1ρ，2ρ的值； （2）求出直线l与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD ,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值． 23．（本小题满分10分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1，q 1和p 2，q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为123=114a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，所以213,24,a b -=⎧⎨--=-⎩ 解得2a b ==，所以2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．（2）因为2112⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ M ，det 221150=⨯-⨯-=≠（）（）M ，所以M 可逆， 从而121551255-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ - M． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6π））也在圆C 上， 因此22ρ=或0．（2）由cos 2,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得4sin cos 2θθ=，所以sin 21θ=．因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4θπ=，ρ．所以公共点的极坐标为)4π．C ．[选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤； 当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．解：（1）连结OC ，因为CB =CD ，O 为BD 中点，所以CO ⊥B D ． 又AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OB ，AO ⊥O C ． 以{}OB OC OA ，，为基底，建立空间直角坐标系O –xyz ．因为BD =2，CB CD ==，AO =2，所以B （1，0，0），D （–1，0，0），C （0，2，0），A （0，0，2）． 因为E 为AC 的中点，所以E （0，1，1）． 则AB =（1，0，–2），DE =（1，1，1），所以||||||||5cos AB DE AB DE AB DE =⋅⋅==<>，因此，直线AB 与DE ． （2）因为点F 在BC 上，14BF BC =，BC =（–1，2，0）． 所以111(,,0)442BF BC ==-． 又20,0DB =（,）， 故71(,,0)42DF DB BF =+=．设1111()x y z =，，n 为平面DEF 的一个法向量，则1100,DE DF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即111110710,42x y z x y +⎧+=⎪+=⎪⎨⎩， 取12x =，得1–7y =，15z =，所以1(275)n =-，，． 设2222()x y z =，，n 为平面DEC 的一个法向量，又DC =（1，2，0）， 则2200,DE DC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=，n n 即22222020,x y z x y ++=+=⎧⎨⎩，取22x =，得2–1y =，2–1z =，所以2(211)n =--，，．故2112|||||||co |s θ⋅===⋅n n n n ．所以s n i θ==23．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）113111133C C 1C C 3p =⋅=，113211133C C 2C C 3q =⋅=，11113121211111*********C C C C 1270(1)C C C C 3927p p q p q p q =⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+=，1111111133222112211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C q p q p q =⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--11216=9327q -+=．（2）当2n ≥时，1111312111111111113333C C C C 120(1)C C C C 39n n n n n n n p p q p q p q ------=⋅⋅+⋅⋅+⋅--=+，①111111113322211211111111111133333333C C C C C C C C ()(1)C C C C C C C C n n n n n q p q p q ----=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅--112=93n q --+，②2⨯+①②，得()1111124121222399333n n n n n n n p q p q q p q -----+=+-+=++． 从而1112(211)3n n n n p q p q ---+-+=，又111312p q -+=，所以11112()1()3331n nn n p q -+++==，*n ∈N ．③由②，有1313()595n n q q --=--，又135115q -=， 所以1113()1595n n q -=-+，*n ∈N ．由③，有13111()210111()()33925n n n n n p q =+=-+-+［］，*n ∈N ． 故311111()()109235n n n n p q --=--+，*n ∈N ． n X 的概率分布则*1()0(1)121(),3n n n n n n E X p q q p n =⨯--+⨯+⨯=+∈N ．。