数学教案：运用公式法――完全平方公式
因式分解运用公式法(完全平方公式)
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
《完全平方公式》教案
《完全平方公式》教案
一、教学目标
1. 知识与技能：掌握完全平方公式的推导过程和结构特点，能够运用完全平方公式进行整式的乘法运算。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，提高学生的数学思维能力和运算能力。
3. 情感态度价值观：培养学生的数学兴趣，增强学生的自信心。
二、教学重难点
1. 教学重点：完全平方公式的推导过程和结构特点。
2. 教学难点：运用完全平方公式进行整式的乘法运算。
三、教学方法
讲授法、演示法、练习法
四、教学过程
1. 导入：复习平方差公式，通过计算(a+b)(a-b)=a^2-b^2，引出今天的课题《完全平方公式》。
2. 知识讲解：讲解完全平方公式的推导过程和结构特点。
(1) 推导过程：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(2) 结构特点：左边是两个相同的二项式相乘，右边是一个三项式，其中两项是左边两项的平方和，第三项是左边两项的积的2 倍。
3. 练习环节：学生进行练习，教师进行个别指导。
4. 课堂总结：老师对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
5. 布置作业：让学生在课后完成一些练习题，以巩固所学的知识。
五、教学反思
通过本次教学，学生对完全平方公式的推导过程和结构特点有了更深入的理解，能够运用完全平方公式进行整式的乘法运算。
在教学过程中，学生的积极性和参与度较高，通过练习和指导，让他们更加主动地去思考和表达自己的观点。
不足之处是，由于时间限制，有些学生在练习过程中还需要更多的指导和练习，需要在今后的教学中加以改进。
运用公式法――全平方公式
公式法教学设计（二）――完全平方公式教学设计思想：利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.教学目标知识与技能：1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．过程与方法：3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法情感态度价值观：4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式.难点：灵活运用完全平方公式分解因式.关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”教学用具多媒体或小黑板课时安排1课时教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2(2)16m4－n4.解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式.请写出完全平方公式.完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2.这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.问：具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1.答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2.(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.(3)是完全平方式.25x4=(5x2)2，1=12，10x2=2·5x2·1，所以25x4－10x2+1=(5x－1)2.(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.请同学们用箭头表示完全平方公式中的a ，b 与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：a 2+2ab+b 2=(a+b)2.9x 2+6xy+y 2=(3x)2+2·(3y)·y+y 2=(3x+y)2.a 2+2ab+b 2=(a+b)2其中a=3x ，b=y ，2ab=2·(3x)·y.例1 把下列各式分解因式； （1）t 2＋22t ＋121； （2）m 2＋mn n 412-（1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍.所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?解：（1）t 2＋22t ＋121=t 2＋2×11t ＋112=（t ＋11）2；（2）m 2＋mn n 412-=m 2－2·m ·2n 21n 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =（m －21n ）2例2 把下列各式分解因式：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4;（3）9m 2－6m ＋1－4n 2解：（1）ax2＋2a2x＋a3=a（x2＋2ax＋a2）=a（x＋a）2；（2）（x＋y）2－4（x＋y）＋4=（x＋y）2－2·（x＋y）·2＋22=（x＋y－2）2（3）9m2－6m＋1－4n2=（3m）2－2·3m·1＋1－（2n）2=（3m－1）2－（2n）2=（3m＋2n－1）（3m－2n－1）注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正三、课堂练习(投影)1.填空：(1)x2－10x+（）2=（）2；(2)9x2+（）+4y2=（）2；(3)1－（）+m2/9=（）2.2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式.(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4.3.把下列各式分解因式：(1)a2－24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2－ab+b2.答案：1.(1)25，(x－5) 2；(2)12xy，(3x+2y) 2；(3)2m/3，（1－m3）2.2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.(4)是完全平方式，9m 2+12m+4=(3m+2) 2.(5)是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－a2）2.3.(1)(a －12) 2；(2)(2ab+1) 2；(3)(13x+3y) 2；(4)（12a －b ）2.四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=(a －b) 2.五、作业把下列各式分解因式：1.(1)a 2+8a+16；(2)1－4t+4t 2；(3)m 2－14m+49； (4)y 2+y+1/4.2.(1)25m 2－80m+64； (2)4a 2+36a+81；(3)4p 2－20pq+25q 2； (4)16－8xy+x2y 2；(5)a2b 2－4ab+4； (6)25a 4－40a2b 2+16b 4.3.(1)m 2n －2mn+1； (2)7am+1－14am+7am －1；4.(1)41 x 2－4x ； (2)a 5+a 4+41a 3.答案：1.(1)(a+4)2；(2)(1－2t)2；(3)(m －7) 2；(4)（y+12）2.2.(1)(5m －8) 2； (2)(2a+9) 2；(3)(2p －5q) 2；(4)(4－xy) 2；(5)(ab －2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.3.(1)(mn －1) 2； (2)7am －1(a －1) 2.4.(1) 41x(x+4)(x －4)； (2)14a 3 (2a+1) 2.六、板书设计。
华师大版八年级数学上册【说课稿】 12.5.4 公式法——完全平方公式
12.5.4 公式法——完全平方公式下面我将从教材分析、教法、学法、教学过程四方面来说明。
一、教材分析：（一）地位与作用：分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。
运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为学生以后分解二次三项式奠定了一定的基础。
（二）教学目标课时教学目标对课堂教学起着导向作用、激励作用和标准作用，研究教材的一个重要内容是为了制定明确、具体、可行的教学目标。
根据大纲和教材的要求，结合目标分类理论和学生实际，制定目标如下：1、知识目标⑴能记住完全平方公式；⑵能辨认完全平方式；⑶能灵活运用完全平方公式进行因式分解。
２、能力目标⑴提高学生的运算能力；⑵培养学生的观察分析能力；⑶渗透换元与整体的思想。
３、情感目标培养科学的质疑精神与积极地将新旧知识进行关联的倾向，以及学习数学的兴趣。
（三）教学的重点和难点本节课的重点是灵活运用完全平方公式分解因式，特别是对完全平方式的判断，对学生的观察分析能力有较高的要求，本节课的难点是整体、换元思想的掌握。
换元与整体的思想是数学中的一个重要思想方法，要启发学生注意不断总结规律和积累解体经验。
二、说教法（一）本节课采用的教学方法主要是启发诱导法和练习法，并辅以讲解法、分析法，采用这一教法是基于以下的考虑：认知心理学家奥苏伯尔的研究表明，有意义的学习的发生必须满足下列条件：第一，学习者认知结构中同化新材料的适当知识基础，也就是具有必要的起点能力；第二，学习者还应具有积极地将新旧知识关联的倾向。
初中数学完全平方公式教案范文
初中数学完全平方公式教案范文一、教学目标1.理解完全平方公式的含义和作用；2.掌握完全平方公式的求值方法；3.运用完全平方公式解决实际问题；4.培养学生对数学问题的分析和解决能力。
二、教学重点1.理解完全平方的概念；2.掌握完全平方公式的应用；3.运用完全平方公式解决实际问题。
三、教学难点1.运用完全平方公式解决实际问题。
四、教学过程1.导入新课教师出示一个边长为x的正方形，并称其面积为A。
请学生以最简洁的方式表示出A的面积。
引导学生发现正方形的面积可以用x^2来表示，即A=x^2、然后教师出示一个边长为(a+b)的正方形，并告诉学生这个正方形的面积为多少。
引导学生用(x+y)^2中的x和y代替a和b，推测出(a+b)^2可以表示成什么样的式子。
教师引导学生发现(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，并告诉学生这个公式叫做完全平方公式。
2.讲授完全平方公式的应用教师通过具体的例子讲解完全平方公式的运用，如求(3+4)^2，学生将该式子应用完全平方公式计算出结果，并进行验证。
教师再给学生提供一些类似的练习题，巩固他们对完全平方公式的运用。
3.解决实际问题教师给学生提供一些实际问题，如求一个长方形的面积，已知长和宽之和为x，宽为y。
学生根据题目中的条件，利用完全平方公式来求解。
4.拓展思考教师引导学生思考完全平方公式的推广和拓展，如(a-b)^2的展开式、(a+b)(a-b)的展开式等。
然后给学生提供相应的练习题，让学生运用所学知识解答。
五、课堂小结教师对本节课的内容进行总结，并提醒学生复习完全平方公式的应用方法和注意事项。
六、课后作业1.完成课堂练习题；2.准备下节课的知识预习。
七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解完全平方公式的含义和作用，能够运用完全平方公式解决实际问题。
同时，通过课堂实践和思考，学生的数学思维和解决问题的能力得到了培养和提高。
在今后的教学中，可以进一步拓展与完全平方公式相关的知识，丰富教学内容，提高学生的综合应用能力。
公式法完全平方公式
公式法（2） 完全平方公式学习目标：1、 知识与技能：领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2、 过程与方法：经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3、 情感、态度与价值观：培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．教学重点与难点重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．预习导学学一学：阅读教材P65-66说一说：完全平方公式：2222ab b)(a b a ++=+学一学：计算下列各式：（1）（m －4n ）2； （2）（m+4n ）2；（3）（a+b ）2； （4）（a －b ）2．议一议：怎样把下列多项式分解因式：（1）m 2－8mn+16n 2 （2）m 2+8mn+16n 2；（3）a 2+2ab+b 2； （4）a 2－2ab+b 2．【归纳总结】完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2．多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）； a 2±ab+b 2=（a ±b ）2．在运用公式因式分解时，要注意：（1）每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、•次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；（2）•在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；（3）当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，•然后再运用公式分解． 2222)(b ab a b a +-=-填一填：因式分解=+-3632a a 。
【课堂展示】P65-66例题8把1224+-x x 因式分解22222222224)1()1()]1)(1[()1(112)(12-+=-+=-=+⋅⋅-=+--x x x x x x x x x合作探究互动探究一：如果x 2+axy+16y 2是完全平方，求a 的值．【思路点拨】根据完全平方式的定义，解此题时应分两种情况，即两数和的平方或者两数差的平方，由此相应求出a 的值。
初中完全平方公式教案
初中完全平方公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握完全平方公式的推导过程和应用。
2. 培养学生运用完全平方公式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和积极性。
二、教学内容：1. 完全平方公式的推导。
2. 完全平方公式的应用。
3. 完全平方公式的拓展。
三、教学重点与难点：1. 完全平方公式的推导过程。
2. 完全平方公式的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：利用多媒体展示一个正方形，让学生观察并思考如何求得这个正方形的面积。
引导学生回顾平方公式，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解：a) 完全平方公式的推导：通过示例，讲解完全平方公式的推导过程，让学生理解并掌握完全平方公式的来源。
例如：(a+b)² = a² + 2ab + b²b) 完全平方公式的应用：讲解如何运用完全平方公式解决实际问题，例如：求解完全平方方程、估算无理数的大小等。
c) 完全平方公式的拓展：介绍完全平方公式的拓展知识，如：完全平方数、完全平方根等。
3. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用完全平方公式解决问题，巩固所学知识。
4. 总结与反思：让学生总结本节课所学的内容，反思自己在学习过程中的优点和不足，为今后的学习做好准备。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对完全平方公式的掌握程度。
3. 单元测试：通过单元测试，了解学生在段时间内对完全平方公式的运用能力。
六、教学策略：1. 采用直观演示法，让学生通过观察、实践，理解完全平方公式的推导过程。
2. 运用实例讲解法，让学生学会如何运用完全平方公式解决实际问题。
3. 设计多样化的练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力。
4. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识。
5. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在课堂上都能有所收获。
人教版八年级数学上册《第三单元_课时3_运用公式法分解因式—完全平方公式》学历案
第十四章整式的乘法与因式分解《第三单元课时3 运用公式法分解因式—完全平方公式》学历案【学习主题】第三单元课时3 运用公式法分解因式—完全平方公式【学习课时】1课时【课标要求】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）. 【学习目标】1.知道完全平方式的概念，并会用完全平方公式分解因式.2.会综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.【评价任务】【资源与建议】1.整式乘法与因式分解是方向相反的变形.教科书依次介绍了三个最基本的公式，并结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解.对于公式法，要求学生理解每个公式的意义，掌握每个公式的特点，并能熟练运用公式将多项式进行因式分解，但是直接用公式不要超过两次，用公式中的字母表示多项式时不要超过两项.运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式，为此，教科书在得出用式子表述的公式后，又分别给出对公式的语言表述，并给出了公式名称，这样便于理解公式的意义，使用时也比较方便.为了使学生掌握并运用完全平方公式进行因式分解的基本思路和方法，教材在引出公式后，结合例题对公式做了示范性分析说明. 对于如何运用公式分解因式，首先进行观察，判断要分解的多项式是否符合某个公式的特点，其次，用箭头把所要分解的多项式的各项与相应的公式中的各项分别对应，认清所要分解的多项式中的各项如何用公式中的项分别表示，把这个多项式变为完全符合完全平方公式的形式，再进行因式分解.2.本主题的学习流程：类比整式乘法的逆向变形，探究乘法公式—完全平方公式的逆向变形→完全平方公式，因式分解→典型例题→思维与方法提升，综合应用.3.重点：利用完全平方公式分解因式.难点：综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式. 一、学习准备1.回顾提公因式法、平方差公式分解因式等知识，举例说明.2.通过预习，你提出了哪些问题？二、学习新知活动一 回顾探究（指向目标1）我们知道，对于完全平方公式2_____________a b +=（），2_____________a b -=（），从左到右是多项式的乘法，那么从右到左，则是将一个多项式写成两个多项式的乘积的形式.这样，我们可以利用完全平方公式2___________=_a b +（），2___________=_a b -（）将形如完全平方公式的多项式分解因式.思考：具有什么结构特征的多项式可以用完全平方公式分解因式呢？活动二 典型例题（指向目标1）例1 分解因式：（1）221025m mn n -+； （2）2244x y xy ---；（3）21025a b a b ---+（）（）.活动三 思维提升（指向目标1、2） 例2 分解因式： （1）2232ax a x a ++； （2）42242a a b b -+；（3）222224x y x y +-（）； （4）22248416x x x x -+-+（）（）.例3 若a b ，为有理数，22=2a b M +， N ab =，比较M 和N 的大小.活动四 总结归纳回顾本节课的内容，总结梳理本节知识重点： 1.本节课学习了哪些主要内容？2.具有什么结构特征的多项式可以用完全平方公式分解因式呢？3.在运用公式进行因式分解时，我们应当注意什么？【达标检测】1.（检测目标1）判断下列各式是否为完全平方式，如果是，将其分解因式；如果不是，说明理由.（1）2224x xy y ++； （2）2244x xy y +-； （3）221x x ++；（4）239x x -+； （5）24129x x -+； （6）2114x x -+；（7）21681x x -+； （8）22x y +； （9）221124a ab b -+；（10）2244x y xy +-； （11）222ab a b -++； （12）2269a b ab -+.2.（检测目标1、2）把下列各式分解因式：（1）21236a a -+； （2）2212122x xy y -+； （3）229124x xy y ++；（4）222a ab b -+-；（5）22363x xy y ++； （6）42210020p p q q -+；（7）269a b a b ---+（）（）； （8）221449x y x y z z +-++（）（）；（9）4221x x ++； （10）22344xy x y y --.3.（检测目标1）把下列各式分解因式：（1）42816t t -+； （2）222164x x -+（）.4.（检测目标3）求值：（1）已知222450a b a b ++++=，求a b ，的值；（2）已知214x m x --+（）是完全平方式，求m 的值；（3）若3m n +=，求222426m mn n ++-的值；（4）求248x x -+的最小值；（5）求2610x x --+的最大值.【学后反思】1.本节课学习的知识要点是：2.我的达标情况：3.自己需要求助的困惑或分享自己如何学会的经验：。
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数学教案：运用公式法――完全平方公
式
1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；
2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.
3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，运用公式法。
重点：运用完全平方式分解因式.
难点：灵活运用完全平方公式公解因式.
教学过程设计
1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?
答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4.
解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)
(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).
问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式.
请写出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.
问：具备什么特征的多项是完全平方式?
答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?
(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以
25x －10x +1=(5x－1) .
(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.
请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式为：
其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍.所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.
解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2 把1－ m+ 分解因式.
问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?
答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“”是的平方，第二项“－ m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1－ m+ =1－2·1· +2=2.
解法2 先提出，则
1－ m+ = (16－8m+m2)
= (42－2·4·m+m2)
= (4－m)2.
1.填空：
(1)x2－10x+2=2；
(2)9x2++4y2=2；
(3)1－+m2/9=2.
2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多
项式改变为完全平方式.
(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；
(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.
3.把下列各式分解因式：
(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；
(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.
答案：
1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，
2.
2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.
(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.
(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.
(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式，1－a+a2/4=2.
3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；
(3)(13x+3y) 2； (4)2.
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：
1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.
2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项
的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.
把下列各式分解因式：
1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；
(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.
2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；
(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；
(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.
3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；
4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.
答案：
1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；
(3)(m－7) 2； (4)2.
2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；
(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；
(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.
3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.
4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.
1.利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积
极思考问题，从中培养学生的思维品质.
2.本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法.在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点.例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法.
[数学教案：运用公式法。