公式法(完全平方公式)
因式分解运用公式法(完全平方公式)
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
公式法(2)
4.3公式法（二）
温故知新
完全平方公式：
(1) (a+b)2=a2+2ab+b2 2 2 2 (2) (a-b) =a -2ab+b
现在我们把完全平方公式反过来， 就可以用来分解因式了，即：
完全平方和：a2+2ab+b2=(a+b)2
完全平方差：a2-
2ab+b =(a-b)
2
2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 积的两倍，等于这两数和（或者差） 的平方． 形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式. 完全平方式都能完全平方公式进行分解因式！
2 解:(1)x2-14x+49 解:(m+n) -6(m+n)+9 2 2 2 =x -2×7x+7 =(m+n) -2×3(m+n)+32 =(x-7)2 =[(m+n)-3]2 =(m+n-3)2 解:(3)3ax2+6axy+3ay2 2-4y2+4xy 2 2 解 :( 4)-x =3a(x +2xy+y ) =-[x2-2x×2y+(2y)2] =3a(x+y)2 =-(x-2y)2 解:(5)(x+y)2-4xy 若多项式中有 完全平方式中的 =x2+2xy+y2-4xy 公因式，应先 “首”和“尾”， 2 2 =x -2xy+y 可以是数字、字 提取公因式， 4.巩固练习：课本 p102 母，也可以是单 然后再进一步 =(x-y)2 项式或多项式。 分解因式。
用平方差公式或完全平方公式等进行分解 因式的方法叫做公式法。
完全平方式的特点：
公式法之完全平方公式
公式法之完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的重要工具，它的形式可以表示为：\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，\(a\)和\(b\)都是实数。
完全平方公式的应用很广泛，特别是在解二次方程和因式分解中起着重要的作用。
下面我们将详细介绍完全平方公式的推导和应用。
一、完全平方公式的推导：假设我们要解方程\(x^2+6x+9=0\)。
这个方程左边的三个项\(x^2\)、\(6x\)和\(9\)构成了一个完全平方，可以写成\[(x+3)^2=0\]。
通过观察可以发现，\(x+3\)是一个完全平方的形式。
现在我们来验证一下。
将\((x+3)\)展开进行乘法运算，得到的结果为\[x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9\]。
可以看出，它们的确是相等的。
由此我们可以得到，当一个二次方程 \(x^2 + bx + c = 0\) 可以写成 \((x + \frac{b}{2})^2 = 0\) 的形式时，就可以应用完全平方公式来求解它。
进一步来推导完全平方公式的一般形式。
我们假设一个一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\neq 0\)。
首先，我们将方程两边同时除以 \(a\)，得到：\[x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]。
然后，我们观察到 \(\frac{b}{a}x\) 这一项和 \(\frac{c}{a}\) 是关于 \(x\) 的一个完全平方，即：\[(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0\]。
整理一下，得到：\[(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}\]。
再将等式两边同时开方，我们可以得到：\[x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]。
因式分解——完全平方公式
14.3.2公式法（完全平方公式）一、内容及内容解析1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。
2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14.3.2公式法的内容。
主要是利用完全平方公式进行因式分解。
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。
因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。
完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。
二、目标及目标解析1.目标：（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
2.目标解析：达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。
达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。
从而培养学生的观察和联想能力。
再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。
三、教学问题诊断分析在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因式分解。
这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。
在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。
另外，平方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
八年级上册数学公式法
八年级上册数学公式法
1.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
公式：$a^2 + b^2 = c^2$
其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。
2.平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
用于计算两个数的平方差。
3.完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和$(a-b)^2 = a^2 -
2ab + b^2$
用于计算一个数的平方，加上或减去两倍的该数与另一数的乘积，再加或减另一数的平方。
4.二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (其中$a
\geq 0, b \geq 0$)
用于计算两个非负数的平方根的乘积。
5.二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (其
中 $a \geq 0, b > 0$)
用于计算一个非负数的平方根除以另一个非负数的平方根。
6.分式的乘法法则：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
用于计算两个分式的乘积。
7.分式的除法法则：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times
\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
用于计算一个分式除以另一个分式。
因式分解(公式法-完全平方公式)
1.阅读P169的思考，掌握能运用完全平方公式 分解因式的多项式有什么特点；
2. 模仿例题完成P170练习1和2。
完全平方和--公式
完全平方差--公式
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
因式分解的完全平方公式—需要满足的条件： 从项数看： 都是有3项 从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
否
否
x 4x 4 y
2
2
2
2
否
是
a表示2y， ( 2 y 3 x) 2 b表示3x a表示(a+b)， 2 (a b 1) b表示1
4 y 12 xy 9 x
2
(a b) 2(a b) 1
是
按照完全平方式填空:
2 2
2xy 1 x _______ y 2 2 12ab 2 4a 9b _______ 2 2 4xy 3 x ______ 4 y
[ x 2 x (2y ) (2y ) ]
2 2
( x 2 y) 2
(3) 3ax2＋6axy＋3ay2
原式 3a( x 2 2xy y 2 ) 解：
3a(x y)2
(4) (2 x y) 6(2 x y) 9
2
原式 (2 x y) 2 2 (2x y) 3 32 解：
另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
填一填:
多项式
x 6x 9
2
是否是 完全平方式
a、b 各表示什么 a表示x， b表示3
表示（a+b）2 或（a－b）2
新人教版八年级数学上4.3.2 公式法---完全平方公式
2、分解因式 （1）a2+8a+16
解:原式=(a+4)2 （2）-1-a2+2a
解:原式=-(1+a2-2a)=-(1-a)2
（3）xy-8xy2+16xy3 解:原式=xy(1-8y+16y2)=xy(1-4y)2
（4）(a+2b)2-6(a2+2ab)+9a2 解:原式=(a+2b-3a)2=［2(b-a)］2
a2-2ab+b2=(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1. 必须是三项式（或可以看成三项的）
2. 有两个同号的平方项 3. 有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中
央。
六、作业
1、课堂练习 119页第1-2题
2、课外作业 119页复习巩固第3题、第5题
解： ∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0
∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0 (a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)=0 即
(a-b)2+(b-c)2=0 ∴ a-b=0，b-c=0 ∴ a=b=c 所以 △ABC是等边三角形
四、结
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
温馨提示： 从整体看，(x2+y2)2-4x2y2符合
平方差公式的特点，可先用平方差公式分解 ，然后再用完全平方式进行分解。 解：(x2+y2)2-4x2y2
=[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)-2xy] =(x+y)2(x-y)2
3.3公式法(2)完全平方公式
2
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
2
2
拓展新知 例2: 分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
把下列各式因式分解
(1)9 x 4 y (3x 2 y)(3x 2 y)
2 2
(2) 9x 4 y (2 y 3x)(2 y 3x)
2 2
(3)9 x 12xy 4 y (3x 2 y)
2 2
2
(4) 9x 12xy 4 y (3x 2 y)2
2
2
3)
4 2 (a+b) -10(a+b) +25
课后检测：
【用简便方法运算】
(1)2006 6
2 2 2 2 2
(2)13 2 13 3 9 (3)11 39 6613
课后检测：
已知a+b=7，a2+b2=29，求 （a-b）2 值。
课后检测：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2-c2-2bc的值的正负 解： a2-b2-c2-2bc=a2-(b+c)2 =(a-b-c)(a+b+c) a-b-c＜0,a+b+c﹥0 ∴ (a-b-c)(a+b+c) ＜0
课堂练习
3、下列各式中，不能用完全平方公式分 解的是（ C ） A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2 4、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10xy)2,那么k的值是（ B ） A、20 B、-20 C、10 D、-10
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(a-b)2=a2-2ab+b2. a2-2ab+b2=(a-b)2 形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式。
完全平方式的结构特点: (1)该多项式有三项; (2)头平方、尾平方需正号;
(3)第三项必须为2倍头尾, 符号可正可负.
1、P170练习1 2、判断下列各式是否为完全平方式
一提二套
随堂训练
1.课本P170练习第2题(5)、(6)小题.
P171练习第3题(4)、(6)小题. 2.将下列各式分解因式 (1) a4-2a2b2+b4
； (2)
x (x+6)+9
(2) （x2+y2)2-4x2y2
3.(1)已知9x2+mx+16是完全平方式,则m=__;
(2)已知4x2-12xy+m是完全平方式,则m=__.
(1) x2-6x+9; （对） （2）1+4a2
（错） （对）
（错） (3) 25a2+5a+1； （4）4y2-12xy+9x2
例题选讲 例５.分解因式：
(1) 16x2+24x+9; (2) –x2+4xy–4y2.
随堂训练 课本P170第2题(1)-(4)小题.
例题选讲 例６.分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; 分解因式的步骤： (1)有公因式的先提公因式; (2) 观察各个因式能否用公式法 (平方差、完全平方公式)分解。 (2) (a+b)2-12(a+b)+36.
回顾反思
完全平方式的结构特点:
(1)该多项式有三项; (2)头平方、尾平方需同号;
(3)第三项必须为2倍头尾, 符号可正可负.
分解因式的步骤： 一提二套
业
《基础小练习》P101-102 《全品》课时五十三
◆创新应用:
1、已知(a+2b)2-2a-4b+1=0，求(a+2b)2012的值.
2、若x2+y2+4x-10x+29=0，求x,y的值。
分解因式：
(1) 3x3-3x; (2) –81a4+b4; (3) 25a(x+y)2-a(x-y)2
分解因式的步骤：
一提二套
15.5.2 因式分解
公式法2
知识探究 你能将多项式a2+2ab+b2 与a2-2ab+b2分解因式吗？ 这两个多项式有什么特点？ (a+b)2=a2+2ab+b2, a2+2ab+b2=(a+b)2