广东省珠海市2020届高三上学期期末考试 数学(理)(含答案)
广东省珠海市2020届高三摸底考试数学理试题 Word版含解析
珠海市2019~2020学年度第一学期高三摸底测试理科数学时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}1B x x =>,则()B C A = ( )A. {}1x x >B. {}12x x <<C. {}2x x >D.{}2x x ≥【答案】D 【解析】 【分析】算出A 后可得()B C A .【详解】{}()21,|2023A x x x <==-+，故()[)2,B C A =+∞，故选D.【点睛】本题考查集合的补运算及求一元二次不等式的解，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，若复数z 满足31iz i-=+,则z =（ ） A. 12i + B. 3i +510【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法算出z 后可求其模. 【详解】()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-, 故5z B.【点睛】本题考查复数的除法及复数模的计算，属于基础题. 3.已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos()πθ-＝( )A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】D 【解析】 【分析】先根据角θ的终边过点（4，-3），求得cos θ的值，进而根据诱导公式求得cos （π-θ）=-cos θ求得答案．【详解】解：Q 角θ的终边过点（4，-3），4cos 5θ∴= ，()4cos cos 5πθθ∴-=-=-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了任意角三角函数定义及诱导公式的应用，属基础题． 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S S =,则115a a +=（ ） A. 0 B. 5C. 8D. 16【答案】A 【解析】 【分析】由510S S =可得6789100a a a a a ++++=，故可得80a =，再利用等差数列的性质可得11582a a a +=，故可得115a a +的值.【详解】由510S S =可得6789100a a a a a ++++=，故850a =， 所以80a =，所以115820a a a +==，故选A.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．5.我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为X (单位:分钟) ,按时间分下列四种情况统计：①030X ≤≤；②3060X <≤；③6090X <≤；④90X >，有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某-项的程序框图，其输出的结果是200,则平均每天做作业时间在[]0,60分钟内的学生的频率是( )A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】D 【解析】 【分析】流程图输出的S 的值是60X >的人数，故可得060X ≤≤的人数，据此可以计算在[]0,60分钟内的学生的频率.【详解】流程图输出的S 的值是60X >的人数，故60X >的人数为200， 故060X ≤≤的人数为800，所以所求的频率为0.8，故选D.【点睛】本题考查流程图的理解，注意根据选择结构和循环结构及各变量的变化判断流程图的作用，此类问题属于基础题.6.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且()()3 f x f x +=,则()2019f = ( ) A. 2019 B. 3C. 3-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性可得()()20190f f =，再根据奇偶性可得()00f =. 【详解】因为()()3 f x f x +=，故()f x 为周期函数， 而20193673=⨯，所以()()201900f f ==，故选D. 【点睛】本题考查函数的周期性和奇函数的性质，属于基础题. 7.“ln ln x y <”是“x y e e <”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】若ln ln x y <，则x y <，所以x y e e <，故“ln ln x y <”是“x y e e <”的充分条件，取2,1x y =-=-，则21e e --< ，但ln ln x y ，均无意义，故“ln ln x y <”是“x y e e <”的不必要条件，综上，“ln ln x y <”是“x y e e <”的充分非必要条件，故选A.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 8.已知43,,ln 4ln 3a b c e ===,则下列大小关系正确的是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用导数讨论()()ln xf x x e x =≥的单调性后可得,,a b c 的大小. 【详解】令()()ln x f x x e x =≥，则()2ln 1ln x f x x-'=，因为x e >，所以()0f x '>，所以()ln xf x x=为[),e +∞上的单调增函数， 又()()()4,3,a f b f c f e ===，因为34e <<，故a b c >>，故选D.【点睛】与对数有关的实数的大小比较，可根据它们具有的形式构建新函数，通过导数等工具判断出函数的单调性后可得实数的大小关系.9.已知边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o , 点E 满足BE EC =,则AE BD ⋅u u u r u u u r的值是（ ） A. 13- B. 12-C. 14-D. 16-【答案】C 【解析】 【分析】以,AB AD u u u r u u u r 为基底向量表示,AE BD u u u r u u u r后可计算AE BD ⋅u u u r u u u r的值.【详解】1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以()12AB AD AD AE B AB D ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u g u r u u u r221212AB AD AD AB ⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r 22111111122412⨯⨯⨯+⨯-=-=，故选C. 【点睛】向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．10.函数(),,00,2s ()()in x x e e f x x xππ-+=∈-U 的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x xe ef x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0xxx e e->+>，所以()0f x >，故排除D.又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．11.已知点()()1,0, 1,0M N -.若直线:l x y m +=上存在点P 使得PM PN ⊥,则实数m 的取值范围是( ) A. []1,1-B. ()1,1-C. ⎡⎣D.(【答案】C 【解析】 分析】先求出P 的轨迹，它是圆，再根据P 在直线l 上得到直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得实数m 的取值范围.【详解】设(),P x y ，则()()1,,1,PM x y PN x y =+=-u u u u r u u u r，因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=u u u u r u u u r即221x y +=， 因为P 在直线l 上，所以圆心()0,0O 到直线l的距离1d =≤即m ≤≤故选C.【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，如果2A π=，那么动点A 在以BC 为直径的圆上.12.将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上,则ϕ的取值范围是( ) A. (,]64ππB. (,]124ππC. ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求出()f x 的解析式，根据()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增可得124ππϕ≤≤，再根据最大的负零点的范围可得123ππϕ<<，故可得ϕ的取值范围.【详解】()()sin 22f x x ϕ=-， 令222x k πϕπ-=+，则,24k x k Z ππϕ=++∈. 故y 轴右侧的第一条对称轴为4x πϕ=+，左侧第一条对称轴为4x πϕ=-，所以434ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，所以124ππϕ≤≤. 令()0f x =，则22x k ϕπ-=，故,2k x k Z πϕ=+∈， 最大的负零点为2x πϕ=-，所以51262πϕππ-<-<-即123ππϕ<<， 综上，124ππϕ<≤，故选B.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响.三角函数图像问题中的参数的取值范围问题，常常需要结合图像的对称轴和对称中心来考虑. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,a b r r 不共线，23m a b =-u r r r ，3n a kb =+r r r ，如果m n u r r P ，则k =______．【答案】92-【解析】 【分析】由向量//m n u r r ，所以()233a b a kb λ-=+v vv v ，得到32λ=且3k λ=-，即可求解，得到答案。
2020届广东省珠海市高三上学期期末考试 数学(文)(解析版)
珠海市2019〜2020学年度第二学期普通高中学生学业质量监测髙三文科数学时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合A={4<|2x x }，B={-1,0,1,2,3},则=B A YA.{0,1,2}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i zi+=-121，则=||z A.25 B. 223 C. 210 D. 3 3.己知命题:p 任意4≥x ,都有2log 2≥x ;命题:q a>b,则有以a 2>b 2，则下列命题为真命题的是A. q p ∧B. )(q p -∧C.)()(q p -∧-D. q p ∨-)(4.某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取A. 10名学生B. 11名学生C. 12名学生D.无法确定5.已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b, c, B b A a sin sin = ,则ABC ∆—定为 A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次曰脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后 到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了 A. 24 里B. 6 里C. 18 里D. 12 里7.已知b a ,满足6,,3||,32||-===b a b a ,则a 在b 上的投影为 A. -2 B. -1 C. -3 D. 28.双曲线C: 0)>b >(12222a by a x =-的两条渐近线与圆1)2(22=+-y x 相切，则C 的离心率为A.332 B.3 C.2 D. 2 9.函数112)(2-+=xx f x在区间[-4,4]附近的图象大致形状是10.已知3.02.032.0,3.0,3.0log ===c b a ，则 A.a<b <cB.a<c<bC.c <a<bD.b <c<a11.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算C.两种方案一样D.无法确定12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1,1211>,ln )(x x x x x f ,若)()(n f m f =，则||m n -的取值范围是A. [e,3]B. ]3,2ln 24[-C. ]1,2ln 24[23--e D.]3,2ln 22[- 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2ln )(x x x f +=的图象在点（1，)1(f )处切线方程为 . 14.若32)15sin(0=+α，则=+)105cos(0α . 15.函数)32sin()(π+=x x f 在区间]4,0[π的最小值为 . 16.在半径为2的球内有一个内三棱锥P-ABC ，点P ，A,B,C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P-ABC 体积的最大值为.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题17.(本小题满分12分）已知正项等差数列{n a }满足20,94352=⋅=+a a a a ,等比数列{n b }的前n 项和n S 满足c S nn -=2,其中c 是常数.(1)求c 以及数列{n a }、{n b }的通项公式； (2)设n n n b a c =，求数列{n c }的前n 项和n T ；18.(本小题满分12分)为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示:(1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；(2)请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= ,其中d c b a n +++=.参考数据：19.(本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB∥CD，AB⊥ BC， AB=2BC=2CD=2, SAD ∆为正三角形，点M 为线段AB 的中点.(1)证明：SM ⊥ AD.(2)当时，求点B 到平面SAD 的距离. 20. (本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过A(0，-1)、)21,3(B 两点， (1)求椭圆C 的方程； (2)设直线)0(,21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，O 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大. 21.(本小题满分12分）已知函数]2,0[,sin )(π∈-=x x ax x f ，其中a 为常数.(1)若函数)(x f 在]2,0[π上是单调函数，求a 的取值范围；(2)当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤. (二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为：21)6sin(=-πθρ,曲线C 的参数方程为：ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x 为参数）.(1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23.(本小题满分10分） 已知|3||1|)(-+-=x x x f . (1)解关于x 的不等式4)(≤x f ;(2)若m m x f +2＞)(恒成立，求实数m 的取值范围.珠海市2019～2020学年度第一学期普通高中学业质量监测高三文科数学试题和答案时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则A B =IA ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2-- 【答案】C.解析： {}{}21,0,1,2,3A x x B =-<<=-，2.则A B =I {}1,0,1-. 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足121ii z-=+，则z = A 5B 32C 10D 3【答案】C.解析：()()1211213122i i i i z i -----===+，所以10||2z =. 3．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：b a >，则有22b a >．则下列命题为真命题的是A ．q p ∧B ．)(q p ⌝∧C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．q p ∨⌝)(【答案】B.解析：p 为真命题；命题q 是假命题，比如当b a >>0或者取=12a b =-，时，则22b a > 不成立.4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取A ．10名学生B ．11名学生C ．12名学生D ．无法确定 【答案】A. 解析：50016800n =男得10n =男.5．已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，sin sin a A b B =，则ABC ∆一定为A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】A.解析：由sin sin B a A b =结合正弦定理得，22a b =,从而a b =.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了A ．24里B ．6里C ．18里D ．12里【答案】C.解析：设第六天走了a 里，则第五天走了2a 里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路程之和为：6(12)37812a -=－，解得6a =，可知218a a +=. 7．已知b a ρρ，满足32=a ρ，3=b ρ，6a b ⋅=-r r ,则a ρ在b r 上的投影为A ．2-B ．1-C ．3-D ．2 【答案】A.解析：a ρ在b ρ上的投影为236cos -=-=⋅=bb a a ρρρρθ.8．双曲线C：22221(0,0)x yaba b-=>>的两条渐近线与圆22(2)1x y-+=相切，则C的离心率为A．233B．3C．2D．2【答案】A.分析：数形结合可得，3tan303ba==o，2221231()133c a b bea a a+===+=+=，所以选A.9．函数22()11xf xx=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是A B C D【答案】B.解析：22()11xf xx=-+过点()10，，可排除选项A，D.又()20f<，排除C.10．已知30.20.3log0.3,0.3,0.2a b c===，则A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．b c a<<【答案】B.解析：3log0.30a=<，由幂函数0.2y x=为()0,+∞上的增函数可知0.20.200.2.3>又由指数函数0.2xy=为R上的增函数可知0.30.200.2.20>>，所以a c b<<.11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A．采用第一种方案划算B．采用第二种方案划算C．两种方案一样D．无法确定【答案】B.解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价：mnnmnm≥+=+2603030；第二种方案的均价：mnnmmnnm≤+=+2200200400.所以无论油价如何变化，第二种都更划算．本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜时多加油，价格高时少加油.12．已知函数ln ,1()11,12x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若()()f m f n =，则n m -的取值范围是A ．[],3eB ．[]42ln 2,3-C ．3242ln 2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦－D ．[]22ln 2,3- 【答案】C.解析：法一：不妨设()()f m f n t ==，由题意可知，函数()y f x =的图象与直线y t =有两个交点，其中302t <≤，由()f m t =，即112m t +=，解得22m t =-， 由()f n t =，即ln n t =，解得tn e =，记()22tg t n m e t =-=-+，其中302t <≤，()2tg t e '=-， ∴当0ln 2t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当3ln 22t <≤时，()0g t '>，函数()g t 单调递增.所以函数()g t 的最小值为：ln 2(ln 2)e 2ln 2242ln 2g =-+=-；而0(0)e 23g =+=，323()e 132g =->，∴3242ln 2()e 1g t -≤≤-，即3242ln 2e 1n m -≤-≤-.法二：数形结合，如图可将直线平移与曲线相切，利用导数求得切线，可得n m -最小值，而n m -最大值为0y =（取得到）或32y =（取不到）时.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数2ln )(x x x f +=的图象在点()1,(1)f 处切线方程为 ．【答案】32y x =-.解析：x xx f 21)(+='，则3)1(='f ，又1)1(=f ，则切线方程为23-=x y14．若32)15sin(=+οα，则=+)105cos(οα___________．【答案】23-.解析：32)15sin()9015cos()105cos(-=+-=++=+οοοοααα. 15．函数π()sin(2)3f x x =+在区间[0,]4π的最小值为___________．【答案】12.解析：0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（），可知()f x 的最小值 为5π1()sin 62f x ⎛⎫==⎪⎝⎭. 16．在半径为2的球内有一个内三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P ABC -体积的最大值为_________．【答案】934. 解析：如图：233332CD =⨯⨯=. 在OCD ∆中，221OD OC CD =-=.三棱锥P ABC -体积的最大时，最长的高为3OD OP +=.113933333224P ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题17．（本小题满分12分）已知正项等差数列{}n a 满足259a a +=，3420a a =g ，等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S c =-，其中c 是常数． （1）求c 以及数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）Q 数列{}n a 为正项等差数列，∴公差0d >， 25349a a a a +=+=Q ，又3420a a =g ，34a ∴=，45a =，可得1d =，即可得1n a n =+；2n n S c =-⋯Q ① 当1n =时，12b c =-，当2n …时，112n n S c --=-⋯② ①-②即可得12n n b -=，2n …，又{}n b Q 为等比数列， 01212b c ∴===-，即可得1c =，12n n b -∴=，*n N ∈；（2）由题意得1(1)2n n c n -=+，0112232(1)2n n T n -=++⋯++g g g ，⋯③ 112222(1)2n n n T n n -=+⋯+++g g g ，⋯④ ③-④可得：11212(12)2222(1)22(1)2212n n nn n n T n n n ----=+++⋯+-+=+-+=--g g g ．2n n T n ∴=g ．18．（本小题满分12分）为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 40岁以下 600 40岁以上 800 1000 总计1200（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k …0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828解：（1）40.05240.09640.071040.031440.01187.76⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝ 该款手机的平均使用时间为7.76年. （2）愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计40岁以下 400 600 1000 40岁以上 800 200 1000 总计12008002000()222000400200600800333.310.828120080010001000K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形，点M 为线段AB 的中点．（1）证明SM AD ⊥；（2）当1SM =时，求点B 到平面SAD 的距离．解：（1）取AD 的中点P ，连接SP 、MP ，由题意可知：1AM DM ==∴MP AD ⊥.Q SAD ∆为正三角形 SP AD ∴⊥.又Q SP MP P =I ，SP ，MP ⊂面SMP ， AD ∴⊥面SMP . SM ∈Q 面SMP ， SM AD ∴⊥.（2）由题意可知DM AB ⊥，且1AM DM ==，2AD ∴=，且1AM =， 2SA ∴=.又1SM AM ==Q ，SM AM ∴⊥.由（1）知SM AD ∴⊥，且AD AM A I ＝，AD AM ∈，面ABCD ，SM ∴⊥面ABCD ，三棱锥S ABD －的体积为1133S ABD ABD V S SM ==－， 设点B 到平面SAD 的距离为h ，则11313323B SAD SAD V S h h ===－， 得233h =. 20．（本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过(0,1)A -、1(3,)2B 两点，（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1:,(0)2l y x m m =+≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，求当m 取何值时，OPQ ∆的面积最大． 解：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221x y m n+=，代入()0,1A -、13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点得 ()222222221011321m n m n ⎧-+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩ 解得21n =，24m =得椭圆:C 2214x y +=. （2）将直线1:,(0)2l y x m m =+>代入2214x y +=得：221442x x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. 整理得：222220x mx m ++-=. ()()2222422840m m m ∆=--=->得22m -<<. 由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =－.()()22221212124442284x x x x x x m m m -=+-=--=-242121222OPQ S m x x m m m m ∆=-=-=-+. 由二次函数可知当21m =即1m =时，OPQ ∆的面积的最大．21．（本小题满分12分）已知函数()sin f x ax x =-，[0,]2x π∈，其中a 为常数． （1）若函数()f x 在[0,]2π上是单调函数，求a 的取值范围； （2）当1a ≤时，证明：31()6f x x ≤． 解：（1）求导得()cos f x a x '=-，[0,]2x π∈， ①当()f x 在[0,]2π上为单调递减函数时，即()cos 0f x a x '=-„恒成立， 又cos [0x ∈Q ，1]，(cos )0min a x ∴=„．②当()f x 在[0,]2π上为单调递增函数时，即()cos 0f x a x '=-…恒成立， 又cos [0x ∈Q ，1]，(cos )1max a x ∴=…；综上所述：()f x 在[0,]2π上为单调递减函数时，0a „； ()f x 在[0,]2π上为单调递增函数时，1a …． （2）证明：要证31()6f x x „，只需证31sin 06ax x x --„恒成立， 令31()sin 6g x ax x x =--，[0,]2x π∈，则21()cos 2g x a x x '=--， 令21()cos 2h x a x x =--，[0,]2x π∈，则()sin h x x x '=-. 易证当[0,]2x π∈时，sin x x „. ()0h x '∴<，即()h x 在[0,]2π上递减， ()(0)10h x h a ∴=-剟，即()0g x '„，()g x ∴在[0,]2π上递减， ()(0)0g x g ∴=„即31sin 06ax x x --„，命题得证． （二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=，曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． （1）写出直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解：（1）Q 直线l 的极坐标方程为：1sin()62πρθ-=， 311(sin cos )222ρθθ∴-=， ∴311222y x -=，310x y ∴-+=． （2）根据曲线C 的参数方程为：22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）． 得：22(2)4x y -+=. 它表示一个以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：32d =， ∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值37222+=． 23．（本小题满分10分）已知()13f x x x =-+-．（1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若2()f x m m >+恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）当3x ≥时，不等式()4f x ≤化为244x -≤，得4x ≤即34x ≤≤当13x <<时，不等式()4f x ≤化为24≤，成立，即13x <<当1x ≤时，不等式()4f x ≤化为424x -≤，得0x ≥即01x ≤≤综上所述：所求不等式的解集为{}|04x x ≤≤.（2）()13132f x x x x x =-+-≥--+=若()2f x m m >+恒成立，则22m m >+. 解得21m -≤≤.{}|21m m -≤≤。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020届广东省珠海市高三上学期期末考试 数学(文)(解析版)
珠海市2019〜2020学年度第二学期普通高中学生学业质量监测髙三文科数学时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合A={4<|2x x }，B={-1,0,1,2,3},则=B A A.{0,1,2}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i zi+=-121，则=||z A.25 B. 223 C.210 D. 33.己知命题:p 任意4≥x ,都有2log 2≥x ;命题:q a>b,则有以a 2>b 2，则下列命题为真命题的是A. q p ∧B. )(q p -∧C.)()(q p -∧-D.qp ∨-)(4.某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生.为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取A. 10名学生B. 11名学生C. 12名学生D.无法确定5.已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b, c, B b A a sin sin = ,则ABC ∆—定为 A.等腰三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次曰脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后 到达目的地.”问此人第5天和第6天共走了A. 24 里B. 6 里C. 18 里D. 12 里7.已知b a ,满足6,,3||,32||-===b a b a ,则a 在b 上的投影为 A. -2B. -1C. -3D. 28.双曲线C: 0)>b >(12222a by a x =-的两条渐近线与圆1)2(22=+-y x 相切，则C 的离心率为A.332 B.3 C.2 D. 29.函数112)(2-+=x x f x在区间[-4,4]附近的图象大致形状是10.已知3.02.032.0,3.0,3.0log ===c b a ，则A.a<b <cB.a<c<bC.c <a<bD.b <c<a11.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算C.两种方案一样D.无法确定12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+=1,1211>,ln )(x x x x x f ,若)()(n f m f =，则||m n -的取值范围是A. [e,3]B. ]3,2ln 24[-C. ]1,2ln 24[23--e D.]3,2ln 22[-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2ln )(x x x f +=的图象在点（1，)1(f )处切线方程为 .14.若32)15sin(0=+α，则=+)105cos(0α .15.函数32sin()(π+=x x f 在区间4,0[π的最小值为 .16.在半径为2的球内有一个内三棱锥P-ABC ，点P ，A,B,C 都在球面上，且ABC ∆是边长为3的等边三角形，那么三棱锥P-ABC 体积的最大值为.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题17.(本小题满分12分）已知正项等差数列{n a }满足20,94352=⋅=+a a a a ,等比数列{n b }的前n 项和n S 满足c S nn -=2,其中c 是常数.(1)求c 以及数列{n a }、{n b }的通项公式；(2)设n n n b a c =，求数列{n c }的前n 项和n T ； 18.(本小题满分12分)为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示:(1)根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；(2)请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关.参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= ,其中d c b a n +++=.参考数据：19.(本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB∥CD，AB⊥ BC ，AB=2BC=2CD=2, SAD ∆为正三角形，点M 为线段AB 的中点.(1)证明：SM⊥ AD.(2)当时，求点B 到平面SAD 的距离. 20. (本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C 过A(0，-1)、21,3(B 两点，(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线)0(,21:≠+=m m x y l 与椭圆C 交于P ，O 两点，求当所取何值时，OPQ ∆的面积最大.21.(本小题满分12分）已知函数2,0[,sin )(π∈-=x x ax x f ，其中a 为常数.(1)若函数)(x f 在]2,0[π上是单调函数，求a 的取值范围；(2)当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤. (二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为：21)6sin(=-πθρ,曲线C 的参数方程为：ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x 为参数）.(1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.23.(本小题满分10分） 已知|3||1|)(-+-=x x x f .(1)解关于x 的不等式4)(≤x f ;(2)若m m x f +2＞)(恒成立，求实数m 的取值范围.珠海市2019～2020学年度第一学期普通高中学业质量监测高三文科数学试题和答案时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合，则{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，A B =A ．B ．C ．D ．{}0,1,2{}0,1{}1,0,1-{}2,1,0,1,2--【答案】C.2．已知i 是虚数单位，复数满足，则z 121ii z-=+z =A B C D3．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是p 4x ≥2log 2x ≥q b a >22b a >A ．B ．C ．D ．q p ∧)(q p ⌝∧)()(q p ⌝∧⌝q p ∨⌝)(【答案】B.解析：为真命题；命题是假命题，比如当或者取时，则 不成立.p q b a >>0=12a b =-，22b a >4．某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生．为了了解学生的身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取A ．10名学生 B ．11名学生 C ．12名学生 D ．无法确定5．已知的内角的对边分别为，，则一定为ABC ∆A B C ，，a b c ，，sin sin a A b B =ABC ∆A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A.解析：由结合正弦定理得，,从而.sin sin B a A b =22a b =a b =6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了A ．24里B ．6里C ．18里D ．12里【答案】C.解析：设第六天走了里，则第五天走了里，…，依次下去，构成一个等比数列.所有路程之和为：a 2a 7．已知满足，，,则在上的投影为b a ，32=a3=b 6a b ⋅=- a b A ． B ．C ．D ．22-1-3-【答案】A.8．双曲线：的两条渐近线与圆相切，则的离心率为C 22221(0,0)x y a b a b-=>>22(2)1x y -+=C A B C ． D 2【答案】A.9．函数在区间附近的图象大致形状是22()11xf x x=-+[4,4]-AB C D【答案】B.10．已知，则30.20.3log 0.3,0.3,0.2a b c ===A ． B ．C ．D ．a b c <<a c b <<c a b <<b c a<<【答案】B.解析：，由幂函数为上的增函数可知3log 0.30a =<0.2y x=()0,+∞0.20.200.2.3>又由指数函数为上的增函数可知，所以.0.2xy =R 0.30.200.2.20>>a c b <<11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A ．采用第一种方案划算B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样D ．无法确定所以无论油价如何变化，第二种都更划算．本题可以从以下角度思考：第一种方案是无论价格多少都加固定升数；而第二种相当于价格便宜时多加油，价格高时少加油.12．已知函数，若，则的取值范围是ln ,1()11,12x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩()()f m f n =n m -A ． B ． C ． D ．[],3e []42ln 2,3-3242ln 2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦－[]22ln 2,3-由，即，解得，()f n t =ln n t =tn e =二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数的图象在点处切线方程为．2ln )(x x x f +=()1,(1)f 【答案】.32y x =-14．若，则___________．32)15sin(=+ α=+)105cos( α15．函数在区间的最小值为___________．π()sin(23f x x =+[0,]4π16．在半径为的球内有一个内三棱锥，点都在球面上，且是边长为的等2P ABC -,,,P A B C ABC ∆3边三角形，那么三棱锥体积的最大值为_________．P ABC -三棱锥体积的最大时，最长的高为.P ABC -3OD OP +=三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．（本小题满分12分）已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是{}n a 259a a +=3420a a = {}n b n n S 2n n S c =-c 常数．（1）求以及数列、的通项公式；c {}n a {}n b （2）设，求数列的前项和．n n n c a b ={}n c n n T解：（1）数列为正项等差数列，公差，{}n a ∴0d >，又，25349a a a a +=+= 3420a a = ，，可得，即可得；34a ∴=45a =1d =1n a n =+①2n n S c =-⋯ 当时，，1n =12b c =-当时，②2n 112n n S c --=-⋯①②即可得，，又为等比数列，-12n n b -=2n {}n b ，即可得，，；01212b c ∴===-1c =12n n b -∴=*n N ∈（2）由题意得，1(1)2n n c n -=+，③0112232(1)2n n T n -=++⋯++ ⋯，④112222(1)2n n n T n n -=+⋯+++ ⋯．2n n T n ∴= 18．（本小题满分12分）为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：愿意购买该款手不愿意购买该款手总计机机40岁以下60040岁以上8001000总计1200（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．参考公式：，其中．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++参考数据：20()P K k 0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828解：（1）40.05240.09640.071040.031440.01187.76⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝该款手机的平均使用时间为7.76年.（2）可知有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，S ABCD -ABCD //AB CD AB BC ⊥，为正三角形，点为线段的中点．222AB BC CD ===SAD ∆M AB （1）证明；SM AD ⊥（2）当时，求点到平面的距离．1SM =B SAD解：（1）取的中点，连接、，AD P SPMP 由题意可知：1AM DM ==.∴MP AD⊥为正三角形SAD ∆.SP AD ∴⊥又，，面，SP MP P = SP MP ⊂SMP 面.AD ∴⊥SMP 面，SM ∈ SMP .SM AD ∴⊥（2）由题意可知，且，DM AB ⊥1AM DM ==设点到平面的距离为，B SAD h20．（本小题满分12分）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过、两点，C (0,1)A -1)2B （1）求椭圆的方程；C （2）设直线与椭圆交于，两点，求当取何值时，的面积最大．1:,(0)2l y x m m =+≠C P Q m OPQ ∆整理得：.222220x mx m ++-=由韦达定理得，.122x x m +=-21222x x m =－21．（本小题满分12分）已知函数，，其中为常数．()sin f x ax x =-[0,]2x π∈a （1）若函数在上是单调函数，求的取值范围；()f x [0,2πa （2）当时，证明：．1a ≤31()6f x x ≤又，，．cos [0x ∈ 1](cos )0min a x ∴=又，，；cos [0x ∈ 1](cos )1max a x ∴=（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，直线的极坐标方程为：x l ，曲线的参数方程为：为参数）．1sin()62πρθ-=C 22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩（1）写出直线的直角坐标方程；l （2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．C l（2）根据曲线的参数方程为：为参数）．C 22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩得：.22(2)4x y -+=它表示一个以为圆心，以2为半径的圆，(2,0)23．（本小题满分10分）已知．()13f x x x =-+-（1）解关于的不等式；x ()4f x ≤（2）若恒成立，求实数的取值范围．2()f x m m >+m 解：（1）当时，不等式化为，得即3x ≥()4f x ≤244x -≤4x ≤34x ≤≤当时，不等式化为，成立，即13x <<()4f x ≤24≤13x <<当时，不等式化为，得即1x ≤()4f x ≤424x -≤0x ≥01x ≤≤综上所述：所求不等式的解集为.{}|04x x ≤≤若恒成立，则. ()2f x m m >+22m m >+解得.21m -≤≤{}|21m m -≤≤。
广东省珠海市2020届高三三模数学(理)试题与答案
珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题绝密★启用前珠海市2019～2020学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题时间：120分钟 满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．已知全集{1,2,3,4}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,则()U C A B =I（ ）A. {1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 2．设i 是虚数单位，则复数43ii-=（ ） A ．34i -+ B ．34i - C ．34i + D ．34i --3．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x a =+-，则(1)f -=（ ）A ．3B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1 4．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ）A ．43 B ．83C ．4D ．85．将函数x x x f sin cos )(+=的图象向右平移43π个单位长度，得到函数)(g x 的图象，则函数)(g x 的解析式为（ ） A．()g x x = B．()g x x = C．()g x x =D．()g x x =6．已知在ABC ∆中，4AB =，3BC =，5AC =，14AD DC =u u u r u u u r ，则BD BC =u u u u r u u u rg （ ）A ．59 B ．49 C ．516 D ．536 7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分 数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s 1，s 2，2222珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题s 3，则它们的大小关系为（ ）A ．s 1＞s 2＞s 3B ．s 1＞s 3＞s 2C ．s 3＞s 1＞s 2D ．s 3＞s 2＞s 18．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβP ，l α⊂，m β⊂，则l m P B ．若αβP ，m αP ，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m P D ．若αβ⊥，l αP ，m βP ，则l m ⊥ 9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的图表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．204810．甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（ ） A ．210种B ．252种C ．343种D ．336种11．已知椭圆223:11616x y C +=，M 为椭圆C 上的一个动点，以M 为圆心，2为半径作圆M ，OP ，OQ 为圆M 的两条切线，P ，Q 为切点，则POQ ∠的取值范围是（ ）A ．[]32ππ， B ．[]42ππ， C ．[]62ππ， D ．2[]33ππ，珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题12.设函数1()12x e f x t nx x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是( )A．(1,)⋃+∞⎪⎪⎩⎭ B ．[1,)3e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭ C．[1,)3e ⎫⎪⋃+∞⎬⎪⎪⎩⎭D ．[1,)+∞ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且12a =，1065S =，则2020a = ． 14．现有三张卡片，每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个，且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海”．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 ．15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点(2)P m m ，(0)m ≠，则双曲线的离心率为 . 16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，若6=+c b ，2cos 2sin3sin sin CB C B C B ++=+，则ABC ∆面积的最大值为 ． 三、解答题：共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22~23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足*21()n n S a n N =-∈，（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若数列{}n b 满足|15|n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项的和n T . 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，AC BD O =I ，2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点． (1)求证：//OM 平面PBC ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PBD ； (3)求二面角A PB C --的余弦值．19．（本小题满分12分）M ODCBAP珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题已知曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3． (1)求曲线E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线0l 交曲线E 于P ，Q 两点，交圆22:(1)1F x y -+=于A ，B 两点， P ，A 在x 轴上方，过点P ，Q 分别作曲线E 的切线1l ，2l ，12l l M =I ，求PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数2()(1)xf x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当2≤k 时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k]上的最大值)(k g 的表达式，并求)(k g 的最大值．21．（本小题满分12分）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii）若1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题（二）选考题请考生在第22~23题中任选一题作答． 如果多做，那么按照所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中，直线l 过点()2,3P，且倾斜角6=πα．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为=4sin ρθ．(1)求圆C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与圆C 交于A B ，两点，求PA PB +的值．23．(本小题满分10分)已知函数()1f x x =-．（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥．珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题绝密★启用前珠海市2019～2020学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题时间：120分钟 满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．1．已知全集{1,2,3,4}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,则()U C A B =I（ ）A. {1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 2．设i 是虚数单位，则复数43ii-=（ ） A ．34i -+ B ．34i - C ．34i + D ．34i --3．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x a =+-，则(1)f -=（ ） A ．3B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣14．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ）A ．43C ．4D ．85．将函数x x x f sin cos )(+=的图象向右平移43π个单位长度，得到函数)(g x 的图象，则函数)(g x 的解析式为（ ） A ．x cos 2C ．x sin 2D ．x sin2-6．已知在ABC ∆中，4=AB ，3=BC ，5=AC ，14AD DC =u u u r u u u r ，则BD BC =u u u u r u u u rg （ ）B ．49 C ．516 D ．536 7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分 数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s 1，s 2，s 3， 则它们的大小关系为（ ）22222))珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题A ．s 1＞s 2＞s 3B ．s 1＞s 3＞s 2C ．s 3＞s 1＞s 2D ．s 3＞s 2＞s 18．已知两条直线l ，m ，两个平面α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβP ，l α⊂，m β⊂，则l m P B ．若αβP ，m αP ，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m PD ．若αβ⊥，l αP ，m βP ，则l m ⊥9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．204810．甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（ ） A ．210种B ．252种C ．343种D ．336种11．已知椭圆223:11616x y C +=，M 为椭圆C 上的一个动点，以M 为圆心，2为半径作圆珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题M ，OP ，OQ 为圆M 的两条切线，P ，Q 为切点，则POQ ∠的取值范围是（ ）A ．[]32ππ， B ．[]42ππ， C ．[]62ππ，12.设函数1()12x e f x t nx x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是( )A．(1,)⋃+∞⎪⎪⎩⎭B ．[1,)3e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C．[1,)23e ⎫⎪⋃+∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭D ．[1,)+∞二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且12a =，1065S =，则2020a = ． 2021 14．现有三张卡片每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海“．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 ．深圳15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点(2)P m m ，(0)m ≠，则双曲线的离心率为或16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，6=+c b ，且若2cos 2sin3sin sin CB C B C B ++=+，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22~23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足*21()n n S a n N =-∈，（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ，（2）若数列{}n b 满足|15|n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项的和为n T . 解：（1）由21n n S a =-得：1121S a =-，即11a =，…………………1分珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-,两式相减得: 1122n n n a a a ++=-,即12n n a a +=，即数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ………2分则12n n a -=， ……………………………………………………………………3分则122112nn n S -==--， …………………………………………………………5分 （2）由（1）知：|216|nn b =-，则162(14)216(4)n n n n b n ⎧-≤≤=⎨->⎩， …………6分则当14n ≤≤时，12(162)(162)(162)nn T =-+-++-L122(12)16(222)1612n nn n -=-+++=--L11622n n +=-+， ……………………………………………8分当4n >时，124567(162)(162)(162)(216)(216)(216)(216)n n T =-+-++-+-+-+-++-L L 1242(222)16n T n =++++-L12(12)234162166612n n n n +-=⨯+-=-+-，…………………………………………11分则111622(14)21666(4)n n n n n T n n ++⎧-+≤≤=⎨-+>⎩． …………………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，AC BD O =I ，2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点． (1)求证：//OM 平面PBC ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PBD ； (3)求二面角A PB C --的余弦值．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O=I∴O 为BD 中点……………………………………1分M ODCBAP珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题∵M 为PD 中点∴//OM PB ，OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC …………2分 ∴//OM 平面PBC ……………………………3分 (2)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O =I ∴O 为AC ，BD 中点 ∵PB PD =，PA PC =∴PO AC ⊥，PO BD ⊥，AC BD O =I ………………………4分 ∴PO ⊥平面ABCD ∴AD PO ⊥又AD BD ⊥，BD PO O =I∴AD ⊥平面ABD ，AD ⊂平面PAD ………………………5分 ∴平面PAD ⊥平面PBD ………………………6分(3)解：以DA ，DB 分别为x 轴，y 轴，过D 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系∵2AD BD ==，AD BD ⊥∴BC BD ⊥，2BC =，AB CD ==∵PB PD ⊥，PB PD =∴PB PD ==1PO =∵2AD =，AD BD ⊥，1DO =∴AO OC ==珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题∴(2,0,0)A ，(0,1,1)P ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C -………………………8分(2,1,1)PA =--uu r ，(0,1,1)PB =-uu r ，(2,1,1)PC =--uu u r设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为111(,,1)n x y =-r ， 222(,,1)n x y =-r则1n r ，2n r夹角的补角θ就是二面角A PB C --的平面角由1111121010n PA x y n PB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩r uu r r uu r 和2222210210n PB y n PC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩r uu r r uu u r 解得：1111x y =-⎧⎨=-⎩和221x y =⎧⎨=-⎩………………………10分 ∴1(1,1,1)n =---r ， 2(0,1,1)n =--r∴12cos 3||||n n n n θ⋅=-==-⋅r r r u r ………………………11分∴二面角A PB C --的余弦值为．…………………12分 19．（本小题满分12分）已知曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3． (1)求曲线E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线0l 交曲线E 于P ，Q 二点，交圆22:(1)1F x y -+=于A ，B 二点， P ，A 在x 轴上方，过点P ，Q 分别作曲线E 的切线1l ，2l ，12l l M =I ，求PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围．解：(1)因为曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3 所以曲线E 上的点到(10)F ，的距离和它到直线:1l x =-的距离相等…………………2分 故曲线E 是(10)F ，为焦点，:1l x =-为准线的抛物线 故2:4E y x =………………………4分 (2)由题设知：0k ≠ 则0:(1)l y k x =-珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题设11()P x y ，，22()Q x y ， ∵P ，A 在x 轴上方∴10x >，20x >，10y >，20y <0l 与E 方程联立消得2440y y k--=*“”L L 则1y ，2y 是“*”的二根则121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩且“*”的216160k ∆=+>………………………6分 由 2:4E y x =得0y >时y =y '=0y <时y =-y '=112x x y y ='==，222x x y y ='== 故211112:()4y l y y x y -=-222222:()4y l y y x y -=-1l ，2l 联立消y 得1x =-，同时带入1l ，2l 方程相加得2y k=………………………8分 ∴2(1,)M k-2(1,)M k -到0:0l kx y k --=的距离||d k =………………………9分211||||14y PA PF x =-==珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题222||||14y QB QF x =-==………………………10分11||||22PAM QBM S S PA d QB d ∆∆⋅=⋅ 2222122111||||()464k PA QB d y y d k+=⋅⋅== 2111k=+>………………………11分 ∴PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围是(1,)+∞．………………………12分 20．（本小题满分12分）已知函数2()(1)xf x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当2≤k 时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k]上的最大值)(k g 的表达式，并求)(k g 的最大值． 解：（1）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，………………………………………………1分 当0≤k 时02<-x ke ，令0)('>x f 得;0>x 令0)('<x f 得;0<x 故()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，……………………………………………3分 当20≤<k 时，令0)('=x f 得,0=x 或02ln≥=kx ， 当20<<k 时02ln>k ，当0)('>x f 时k x 2ln >或0<x ；当0)('>x f 时kx 2ln 0<<；()f x 的单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,2ln),0,k （；减区间为），（k 2ln 0.………………………5分 当2=k 时02ln=k，当0>x 时0)('>x f ；当0<x 时0)('>x f ；()f x 的单调递增区间为),+∞∞-（；…………………………………………………………………………………6分 （2）当21<≤k 时由（1）知，()f x 的单调递增区间为为⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,2ln ),0,k （；减区间为珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题），（k2ln 0.令2()ln [12]g k k k k =-∈，，，211()21102k g k k k ⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减，故2()(1)ln 210ln g k g k k=-<⇒<≤，…………………………7分 所以当∈x [0，k]时函数()f x 单调减区间为），（k 2ln 0，单调增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛k k ,2ln ； 故函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+)1)(1(--=ke k k对于[12]k ∀∈，，011,0)1(>-≥-≥-e e k k k ，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．……………………………………………………………9分当2=k 时由（1）知；()f x 的单调递增区间为),+∞∞-（；所以当∈x [0，k]时函数()f x 单调递增，故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．综上所述：函数()f x 在[0，k ]上的最大值为2()(1),[1,2]k g k k k e k k =--∈…10分2()(1)2k g k k k e k '=+--，由于210,2k k k e e +->≥>， 22()(1)222222(1)(1)0k g k k k e kk k k k k '∴=+-->+--=+-≥对[1,2]k ∀∈恒成立.()在[1,2]g k ∴上为增函数.2max ()(2)24g k g e ∴==-……………………12分22．（本小题满分12分）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii）若1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈ 解（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,则()232355A A 1A 10P A ==,……………………2分 ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110…………………3分 （2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,()()211k P p ξ∴==-,()()2111kP k p ξ=+=--,()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦,…………………4分若()()12E E ξξ=,则()11kk k k p =+--,则()11kp k-=, 111kp k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,∴p 关于k 的函数关系式为()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ,且2k ≥）………………6分（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得()11k p k<-, 1p =-Q,1kk ∴<,1ln 3k k ∴>,……………………8分 设()1ln 3f x x x =-（0x >）,珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 则()113f x x '=-,令()0f x '=,则13x =,……………………10分∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,41.33333≈, 4ln 43∴>, 又ln5 1.6094≈,51.66673≈, 5ln 53∴<, ∴k 的最大值为4 ……………………12分（二）选考题：共10分． 请考生在第22~23题中任选一题作答． 如果多做，那么按照所做的第一题计分．22．在平面直角坐标内，直线l 过点()2,3P ，且倾斜角6=πα以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为=4sin ρθ． (1)求圆C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与圆C 交于A B ，两点，求PA PB +的值．解：（1）由=4sin ρθ得2=4sin ρρθ，…………………2分 从而有224x y y +=即：()2224x y +-=…………………4分（2）由题意设直线l 的参数方程为3cos 62sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即：22122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩…………………5分珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题代入圆的方程得2213422t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………7分整理得：250t ++=12t t +=-125t t =由120t t +<且120t t >…………………9分可知()1212PA PB t t t t +=+=-+=10分23．已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥. 解：（1）由()(1)4f x f x ++≥得14x x -+≥当1x >时，得214x -≥即：52x ≥；…………………2分 当01x ≤≤时，得14≥即：32x ≤-；…………………4分（2）由1()()f x f x -+=111x x++-…………………5分 由绝对值不等式得1111x x x x++-≥+…………………7分 又因为1,x x同号，所以11x x x x +=+…………………8分 由基本不等式得：12x x+≥…………………9分 所以1()()2f x f x-+≥…………………10分珠海市2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题。
广东省珠海市2022届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
广东省珠海市2022届高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}12A x =-<<，[)0,4B =，则A B ⋃=（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,4-C ．()0,4D ．()1,42．若复数2i2iz +=-，则z =（ ）A ．1B ．3CD ．53．设3log a π=，2log 3b =，0.30.2c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．数列{}n a 满足11a =，a 22=且()21nn n a a +=+-，n *∈N ，则该数列的前40项之和为（ ） A ．170-B ．80C ．60D ．2305．已知()f x 是定义域在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-．当()0,1x ∈时，()21x f x =+，则()2log 3f =（ ） A ．73-B ．73C ．4D ．4-6．在ABC 中，AB =4ABC π∠=，3BC =，AD 为BC 边上的高；O 为AD 上靠近点A 的三等分点，且AO AB AC λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ-=（ ） A ．12B ．16C ．19D ．137．双曲线2222:1x y C a b-=的右支上一点M 关于原点O 的对称点为点N ，F 为双曲线的右焦点，若MO OF =，3FMN π∠=，则双曲线C 的离心率e 为（ ）AB C 1D 18．已知()()()212()12e 1e x x f x x a x a --=-+++恰有三个不同的零点，则实数a 的范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,1-C ．()0,eD ．()1,0-二、多选题9．以下结论正确的是（ ）A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1B ．在检验A 与B 是否有关的过程中，根据数据算得2K 的值，2K 越小，认为“A 与B 有关”的把握越小C ．随机变量()~,X B n p ，若()30E X =，()20D X =，则45n =D ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好10．关于函数()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 B ．()y f x =的图象关于直线38x π=-对称 C ．()y f x =的表达式可以改写为()2cos 24f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 在,4m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为2⎡⎤-⎣⎦，则m 的取值范围是,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知O 为坐标原点，M 为平面上一动点，且满足1OM =．若M 的轨迹为曲线C ，点P 在直线:230l x y +-=上，过点P 作曲线C 的两条切线，A 、B 是切点．下列结论中错误的为（ ）A ．曲线C 上不存在到直线l 的距离为1的点B ．切线长PAC ．直线l 上存在点P ，使50APB ∠=︒D ．四边形PAOB 面积的最小值为112．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，各棱长均为2，3ABC π∠=，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥1A ABC -外接球的表面积为283π B ．异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为12C ．当点M 在棱1BB 上运动时，1MD MA +最小值为D ．N 是平面ABCD 上一动点，若N 到直线1AA 与BC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线三、填空题13．非负实数x ，y 满足260xy x y --=，则2x y +的最小值为______．14．若函数()ln af x x x=+在1x =处的切线与直线210x y +-=垂直，则=a ______．15．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若5人去接种新冠疫苗，恰有3人接种同一种疫苗的概率为______． 四、双空题16．在数列{}n a 中，给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，则21a a -=______；设函数()()()8sin cos g x x x x ππ=+-且()()()29118g a g a g a ++⋅⋅⋅+=，则5a =______．五、解答题17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若215n T >，求n 的最小值．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且)cos a bC C =+．(1)求B ；(2)已知BC =D 为边AB 上的一点，若1BD =，2ACD π∠=，求AC 的长．19．为建设粤港澳大湾区教育高地，办人民满意的教育，深入推进基础教育课堂教学改革，某高中为了提升教育质量，探索了一种课堂教学改进项目．某研究机构为了解实施新项目后的教学效果，通过随机抽样调查了该校某年级100位学生，对这些学生的课堂测试成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)若这些学生课堂测试成绩的分数X 近似地服从正态分布()100N μ，，其中μ近似为样本平均数x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示），求()6494P X <≤； (2)为做进一步了解，研究机构采用分层抽样的方法从课堂测试成绩位于分组[)50,60，[)60,70，[)80,90的学生中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到分数位于[)80,90的人数ξ的分布列和数学期望．附参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=；()220.9545P X μσμσ-<≤+=；()330.9973P X μσμσ-<≤+=．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，P 在平面ABCD 的投影为边AD 的中点O ，3ABC π∠=，4BC =，1AB =，3PO =．(1)求证：AB ⊥平面POC ；(2)在线段PB 上，是否存在一点E ，使得平面POC 与平面EOC 的夹角的余弦值为E 的位置，若不存在，说明理由． 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为4，左顶点A 到上顶点B 的距离为F 为右焦点．(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （不同于A ，B 两点），且直线BM BN ⊥时，求F 在l 上的射影H 的轨迹方程．22．已知函数()()e sin 2xf x k x =-在区间π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在极值点α．(1)求实数k 的取值范围；(2)求证：在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的β，使()1f β=，并比较β与2α的大小．参考答案：1．B 【解析】 【分析】按照集合交并补的定义计算即可. 【详解】利用数轴可得()1,4A B =-，故选：B ． 2．A 【解析】 【分析】利用复数的模运算律求解. 【详解】2i 12iz +===-， 故选：A ． 3．B 【解析】 【分析】由对数函数、指数性质结合中间值31,2比较可得．【详解】3331log 2ππ<<<<，即312a <<，223log 3log 2b b =>⇒>，而0.300.20.21c c =<⇒<，所以b a c >>， 故选：B ． 4．C【分析】由()21nn n a a +=+-知，分奇数项和偶数项两种情况考虑，接下来可以相邻奇偶项并项求和，也可以奇数项和偶数项分组求和. 【详解】法一：由()21nn n a a +=+-，n *∈N 得2221k k a a +=+，21211k k a a +-=-，所以2122212123k k k k a a a a a a ++-+=+=⋅⋅⋅=+=，所以数列{}n a 的前40项和为()122060a a +=．法二：也可以分奇数项和偶数项分别求和，奇数项成公差为1-的等差数列，偶数项成公差为1的等差数列，所以前40项中奇数项有20项， 其和为()120192012a ⨯+⋅-，偶数项有20项，其和为220192012a ⨯+⋅，故前40项和为()122060a a +=.故选： C ． 5．A 【解析】 【分析】首先得到函数的周期性，再根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解：由()()11f x f x =+-得()()2f x f x +=，所以()f x 是周期为2的周期函数，且()f x 是定义域在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭24log 322447log log 21333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A ． 6．C 【解析】 【分析】首先求出线段,AD DC 的长，然后用向量,AB AC 表示向量AO ，在Rt △ABD 中，1AD BD ==，所以2DC =，所以()11113333AO AD AB BD AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭()11121213333399AB AC AB AB AC AB AC ⎡⎤⎡⎤=+-=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以29λ=，1199μλμ=⇒-=，故选：C ． 7．D 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性及平面几何知识，可得MFN △为直角三角形，且MF c =，NF =，再根据双曲线的定义可求解.【详解】设F '为双曲线左焦点，连接MF '，NF '，12OF MN =，由平面几何知识可知MF NF ⊥，根据对称性，四边形MFNF '为矩形，在Rt MFN 中，2MN F F c '==，所以MF c =，NF =，根据双曲线的定义可知2e 1c MF MF c a a --=⇒==='.故选:D ． 8．D 【解析】 【分析】由已知方程()0f x =有三个不同的根，即方程10e =x x --或11ex x a -=+有三个不同根，利用导数分析函数()1e x g x x -=-与()1x x h x e -=的性质，由此确定实数a 的范围.【详解】由()()()()21212e 1e0x x f x x a x a --=-+++=，得()()2111e e e x x x a x x ----=-，即()()11e1e0x x x x a --⎡⎤--+=⎣⎦．令()1ex g x x -=-，则()11ex g x -'=-，令()11e0x g x -'=-=可得1x =，当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，当()1,+∈∞x 时，()0g x '<，∴ ()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以()()g 10x g ≤=，即()1e 0x g x x -=-=仅有唯一的解1x =．依题意，方程()11e 0x x a --+=有两个不同的解，即1y a =+与1e x x y -=有两个不同的交点，令()1e x x h x -=，则()11e x xh x --'=，易得()h x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调速减，()()11h x h ≤=，画出()h x 的草图观察图象可得01110a a <+<⇒-<<， 故选：D ． 9．ABD 【解析】 【分析】A 选项，当相关系数r 的绝对值越接近1时，两个随机变量线性相关性越强；B 选项，2K 越大，越能认为两个变量有关，进而判断B 正确；C 选项，利用二项分布的数学期望与方差公式得到13p =，进而求出90n =，D 选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好. 【详解】对于A ，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，所以A 选项正确；对于B ，2K 越小，认为“A 与B 有关”的把握越小，故B 选项正确； 对于C ，若()~,X B n p ，若()30E X np ==，()()120D X np p =-=，所以2021303p -==，所以13p =，90n =，故C 选项错误；对于D ，在残差图中，残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，说明模型的拟合效果越好，故D 选项正确； 故选：ABD 10．BD 【解析】 【分析】对于A ，由平移规则可判断；对于B ，代入检验可判断；对于C ，利用诱导公式可判断；对于D ，根据值域建立不等式后可判断. 【详解】对于A ，由函数2sin 2y x =的图象向左平移8π个单位可得到函数()y f x =的图象，所以A 选项错误；对于B ，当38x π=-时，242x ππ+=-，所以B 选项正确； 对于C ，()2sin 22cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；对于D ，由,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得2,2444x m πππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在的值域为⎡⎤⎣⎦，得52244m πππ≤+≤，解得82m ππ≤≤，所以D 选项正确．故选：BD 11．AD 【解析】 【分析】先求M 的轨迹方程为圆22:1C x y +=，再判断圆与直线的位置关系结合切线长与勾股定理可求解. 【详解】设(),M x y ，则2221OM x y =+=，即M 的轨迹方程为圆22:1C x y +=，对于A ，圆心O 到直线230x y +-=的距离1d =>，故圆上的点到直线的距离为1⎤⎥⎦，显然11⎤∈+⎥⎦，故曲线C 上存在到直线l 的距离为1的点，A 选项错误；对于B ，PAPO d ≥=PO 最小时PA 最小，此时PA =所以B 选项正确；对于C ，当PO =11sin 2APO PO ∠==>，此时6APO π∠>， 所以23APB APO π∠=∠>，所以直线l 上存在点P ，使50APB ∠=︒，C 选项正确；对于D ，四边形PAOB 面积1212S PA PA =⨯⨯=≥，所以D 选项错误．综上所述，故选：AD ． 12．ACD 【解析】 【分析】对于A ，先求出外接圆半径r ，再借助2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求外接球半径；对于B ，先通过平行转化异面直线所成的角，再借助余弦定理求解；对于C ，借助平面展开图求最小值；对于D ，利用抛物线定义判断. 【详解】对于A ，由题可知ABC 是边长为2的等边三角形，则外接圆半径r =由22713R =+=得外接球表面积为22843R ππ=，所以A 选项正确．对于B ，连接1DC ，因为11AB DC ∥，所以1BC D ∠即为异面直线1AB 与1BC 所成角，由题可知11BC C D ==BD = 222111112cos BD BC DC BC DC BC D =+-⋅∠，所以11cos 4BC D ∠=，所以B 选项错误．对于C ，分别将四边形11AA B B 与11DD BB 沿着棱1B B 展开得到四边形11AA D D ，1MD MA +的最小值即为1AD =，所以C 选项正确．对于D ，N 到直线1AA 与直线BC 的距离相等，又1NA AA ⊥，NA 即为N 到直线1AA 的距离，即N 到点A 与直线BC 的距离相等，根据抛物线的定义，所以D 选项正确． 故选：ACD. 13．0 【解析】 【分析】当0x y ==时，20x y +=；当x ，0y >时，由3112x y+=结合基本不等式得出最值. 【详解】当0x y ==时，20x y +=；当x ，0y >时，由260xy x y --=得3112x y +=，所以()316224422y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭62y x x y =时，等号成立）．所以2x y +的最小值为0． 故答案为：0 14．1- 【解析】 【分析】求出导函数，(1)f '为切线斜率，由直线垂直得斜率乘积为1-可得参数值． 【详解】 ()2x a f x x -'=，()11f a '=-，由()11112a a ⎛⎫-⋅-=-⇒=- ⎪⎝⎭． 故答案为：1-．15．4081【解析】 【分析】计算出5人去接种新冠疫苗的不同结果数，以及恰有3人接种同一种疫苗的不同结果数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意，每位接种者等可能地从3种任选一种接种， 由分步乘法计算原理知，共有53243=不同的结果，恰有3人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有35C 种结果，这个小团体有3种疫苗可选，另外两人各有2种疫苗可选，故共有325C 32120⨯⨯=种，故恰有三人接种同一种疫苗共有120种不同结果， 由古典概型概率计算公式得：1204024381P ==． 故答案为：4081. 16． 2 14【解析】 【分析】空1：求导利用函数零点定义即可求得空2：利用引入辅助角公式对()g x 化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理求得 【详解】空1：因为()()21cos 2n n f x x a x a +'=-++有唯一的零点，()f x '为偶函数，则()00f '=，可得12n n a a +-=，n *∈N ，数列{}n a 为等差数列．所以212a a -=，又因为()1118sin cos 882444g x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()8h t t t π=，则()h t 为奇函数，因为()0h t '>，所以()h t 在R 上单增． 由题意得()()()1292220g a g a g a -+-+⋅⋅⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<⋅⋅⋅<，则129111444a a a -<-<⋅⋅⋅<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1928374651111111112444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2、1417．(1)21n a n =- (2)7 【解析】 【分析】（1）根据题给的等式求解出数列的首项和公差，再写出通项公式即可；（2）根据数列{}n a 的通项公式求解数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而求解其前n 项和n T ,最后根据不等式的知识求解n 的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，首项为1a ，则36191271693681a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． （2）()()1211111212322123n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由题得()232315n n >+，解得6n >，因为n *∈N ，所以n 的最小值是7．18．(1)6B π=(2)AC =【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；（2）由余弦定理求得CD ，再用正弦定理计算． (1)∴)cos a bC C =+，∴)sin sin cos A BC C =+，即sin cos cos sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，所以cos sin sin B C B C =，因为sin 0C >，所以cos B B =，所以tan B = 因为()0,B π∈，所以6B π=．(2)因为BC =1BD =，6B π∠=，根据余弦定理得2222cos 112217CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，∴CD = ∴2BDC A π∠=+∠，∴sin sin cos 2BDC A A π⎛⎫∠=+∠= ⎪⎝⎭．在BDC 中，由正弦定理知，sin sin BC CD BDC B =∠∠，2=∴cos A =∴tan CD A AC ==，∴AC = 19．(1)0.8186 (2)分布列见解析；65【解析】 【分析】（1）先按照直方图平均数的定义求出平均数，然后按照正态分布的规律计算即可； （2）按照抽样的人数关系，计算出ξ 的可能取值，对于ξ每一个取值，用组合的方法算出其概率即可. (1)根据频率分布直方图得：()550.01650.02750.045850.02950.0051074x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，由题意知()~74,100X N ，()()0.68270.9545264940.81862P X P X μδμδ+-<≤+=<≤==；(2)由于[)50,60，[)60,70和[)80,90的频率之比为：1:2:2，故抽取的10人中[)50,60，[)60,70和[)80,90分别为：2人，4人，4人， 随机变量ξ的取值可以为0、1、2、3，()36310106C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()12643103210C C P C ξ===，()343101330C P C ξ===，ξ的分布列为：∴()1131601236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．(1)证明见解析(2)存在；点E 为线段BP 上靠近点P 的三等分点 【解析】 【分析】（1）欲证明AB ⊥ 平面POC ，需证明AB 垂直与平面POC 内两条相交的直线，分析其中的几何关系即可证明；（2）要建立空间坐标系，用空间向量的方法来计算.(1)在OCD 中，由余弦定理可得：2222?··cos 14212cos33OC CD OD CD OD CDA π=+-∠=+-⨯⨯⨯=，OC =∴222OC CD OD +=，CD OC ⊥， 由题易知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PO CD ⊥， ∴OCPO O =，∴C D ⊥平面POC ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴//AB CD ，∴AB ⊥平面POC ． (2)取BC 的中点F ，连接OF ，则OF ，OP ，OC 两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：则)B，()0,0,3P，()C ，()3,2,0OB =，()OC =-，()2,3BP =--，设()(),2,301BE BP λλλλ==--<<， ()3,22,3OE OB BE λλ=+=-，易知平面POC 的一个法向量为()0,1,0m =， 设平面OCE 的法向量为(),,n x yz =， 则()()3032230OC n x OE n x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，令2z =-得30,,21n λλ-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，由题得cos ,m n ==，解得23λ=， 所以当点E 为线段BP 上靠近点P 的三等分点时，满足题意；故答案为：证明见解析，存在，点E 为线段BP 上靠近点P 的三等分点. 21．(1)2214x y +=(2)223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意可得24a =，225a b +=，可求出,a b ，再由222a b c =+可求得c ，从而可求出椭圆C 的方程和离心率；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程消去y ，整理后利用根与系数的关系，结合1BM BN k k ⋅=-，可求出m 的值，从而可得直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，求出,M N 的坐标，结合1BM BN k k ⋅=-可求出t 的值，得F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，从而可求出射影H 的轨迹方程 (1)由题意可得：24a =，225a b +=，222a b c =+， 可得2a =，c =1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a ==(2)当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程2214x y +=，得：()()222418410k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩． 因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为1-，所以1BM BN k k ⋅=-，所以()()()22121212111BM BNk x x k m x x m k k x x +-++-⋅==-．将()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩代入，整理化简得：()()1530m m -+=， 所以1m =或35m =-．由直线:l y kx m =+，当1m =时，直线l 经过()0,1，与B 点重合，舍去， 当35m =-时，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，则M t ⎛ ⎝，,N t ⎛ ⎝， 因为1BM BNk k ⋅=-1⎛ =- ⎪⎝⎭，解得0=t ，舍去． 综上所述，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆， 其30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)F，所以圆心310⎫-⎪⎪⎝⎭，半径5r =所以圆的方程为223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即为点H 的轨迹方程． 22．(1)12k >(2)证明见解析；2βα< 【解析】 【分析】（1）求导后构造函数，研究其值域进而求出实数k 的取值范围；（2）结合第一问先得到()()e sin 21x h x k x =--在()0,α上递减，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，从而证明出存在唯一的π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0h β=．再证明出()()20h h αβ>=，由函数单调性得到2βα<.(1)函数()()e sin 2xf x k x =-在区间π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在极值点α，则()f x '在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点α，且在零点α两边符号相反，由题意()e e 2cos 2cos 22cos 2x xf x k x x k x ⎛⎫'=-=⋅-⎪⎝⎭，π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()e cos 2xg x x =，π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2e cos 22sin 20cos 2x x x g x x+'=>在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以()g x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，且()01g =，()012f k =-，且当π4x →时，()g x ∞→+，()f x '→+∞，可知21k >，即12k >． (2)要证在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的β使()1f β=， 只需证()()e sin 21xh x k x =--在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点β，则()()e 2cos 2xh k x x '=-．由（1）可知，()h x 在()0,α上递减，在,4πα⎛⎫⎪⎝⎭上递增，又因为,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()e 2cos 20xh x k x '=->，即()h x 在,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增，综上，()h x 在()0,α上递减，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，而()()00h h α=>，π2πe 102h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点，故存在唯一的π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0h β=．由（1）知()e 2cos 21k αα=>，∴()()()222e sin 41e e sin 21h k αααααα=--=--，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2e e sin 21ααϕαα=--，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，答案第16页，共16页 ()()()()()22e e sin 22cos 2e 2e sin 22cos 2ααααϕααααα'⎡⎤=-+=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()()()2e sin 22cos 2t αααα=--，则()()()2e cos 22sin 20t αααα'⎡⎤=-+>⎣⎦在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，所以()t α在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()()00t t α>=，则()0ϕα'>，()()00ϕαϕ>=， 所以()20h α>，即有()()20h h αβ>=，()h x 在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 则22παβα<<<，所以2βα<． 【点睛】导函数研究函数零点问题，要先研究函数的单调性，通常情况下要对要研究的函数进行变形，另外特别注意一些特殊点，往往是解题的突破口.。
【高三】广东省珠海市届高三上学期期末数学文试题(WORD版,含答案)
【高三】广东省珠海市届高三上学期期末数学文试题（WORD版，含答案）试卷说明：珠海市第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.1、设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2，4}，B＝{2，3，4}，则＝（）A、{2， 4} B、{1，3} C、{1，2，3，4} D、2、若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A、1 B、2 C、1或2D、－13、执行如右图所示的程序框图，则输出的i＝（）A、5B、6C、7D、84、学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[0，0）（单位：元）的同学有人，其频率分布直方图如右图所示，则[40，50）（单位：元）C、1：：2 D、2：：17、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A、108 B、180C、72D、1448、等比数列共有奇数项，所有奇数项和，所有偶数项和，末项是19，则首项A、1 B、2 C、3 D、49、已知，则10、对定义域为D的函数，若存在距离为d的两条平行直线l1：y=kx+m1和l2：y=kx+m2，使得当x∈D时，kx+m1≤f（x）≤kx+m2称函数f（x）在D）有一个宽度为d的通道。
有下列函数①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=+1。
其中在[1，+∞）宽度为1的函数满足线性约束条件，则目标函数的最大值为．在点处的切线方程为．定义在上的函数满足，则．中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：则圆截直线所得弦长为 15．（几何证明选讲选做题）如右图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，，则 . 三、解答本题共有个小题，已知（1）求的值；时，的最值．17.（本小题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：组别候车时间人数一 2二6三4四2五1（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，四边形为矩形，若，，.求证：//平面；(2)求证：面；(3)求三棱锥的体积.（本小题满分14分）已知数列的各项都是正数，且对任意都有，其中为数列的前项和.（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数．（1）求的极值点；（2）对任意的，记在上的最小值为，求的最小值．21．（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，为原点.（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；（2）如图2，直线与椭圆相交于两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．珠海市第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.1-5：BBBCC 6-10：CBCDA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.11. 12.．14．15．三、解答本题共有个小题，.......................................1分 (2)分............................................................4分 (6)分(2) ， (8)分 (10)分 (11)分，……………………………………………12分17.解：（1）min．--------3分， --------4分人． --------6分，第四组乘客编号为．从6人中任选两人有包含以下基本事件：，，，，， ------------10分． --------12分四边形为矩形，……………………………1分平面，平面//平面………………………………3分（2）证明：在中，，，满足，所以，即…………………5分又因为四边形为矩形，所以又，所以又因为，所以.................................7分又因为四边形为菱形，所以又，所以...............................................................9分（3）解：过作于，由第（1）问已证..............................10分............11分由题设知 (12)分………………………13分三棱锥的体积是…………………………………14分19、解：（1）令，则，即，所以或或又因为数列的各项都是正数，所以…………………………………2分令，则，即，解得或或又因为数列的各项都是正数，所以.................................4分（2）由得化简得到 (7)分由得化简得到，即当，所以………………………………9分所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列…………………………………10分（3）因为对任意的，都有恒成立，即有化简得………………………………………12分当为奇数时，恒成立，，即当为偶数时，恒成立，，即………………………………………………………14分20. 解：（1）………（1分）由解得：……（2分）当或时，……（3分）当时，……（4分）所以，有两个极值点：是极大值点，；……（5分）是极小值点，。
2020年高考数学(理)大题分解专题01 三角函数与解三角形(含答案)
已知向量(sin cos ,2cos )x x x =+m ，sin co,s )s in (x x x =-n ，()1f x =⋅+m n ． （1）求()f x 的解析式，并求函数()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的值域．【肢解1】在已知条件下求出，函数()f x 的解析式.【肢解2】在“肢解1”的基础上，完成问题：函数()f x 的单调增区间. 【肢解3】在已知条件下，求()f x 在[0,]2π上的值域.【解析】（1）22()sin cos 2sin cos 1sin 2cos21)14f x x x x x x x x π=-++=-+=-+．（3分）令222242k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得88k x k π3ππ-≤≤π+，k ∈Z ． 故函数()f x 的单调增区间为[,]88k k π3ππ-π+，k ∈Z ．（6分）（2）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤，从而sin(2)14x π≤-≤，（8分）大题肢解一三角函数的图象及其性质所以0)114x π-+≤，所以()f x 在[0,]2π上的值域为1]．（12分）此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为si (n )y A x B ωϕ++=的形式，再结合正弦函数sin y x =的性质研究其相关性质．（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略：①对函数sin y x =，sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为x ωϕ±.②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【拓展1】已知向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，x ∈R ，已知函数()()f x =⋅+a a b . 求()f x 的最值与最小正周期；【解析】由向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，所以()sin cos ,2cos x x x +=+a b ， 所以()()()2sin sin cos 2cos f x x x x x =⋅+=++a a b ()111sin 2cos 2122x x =+++32224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又[]sin 2-1,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()f x的最大值是322+，最小值是322-，()f x 的最小正周期是22T π==π. 【拓展2】已知函数23()cos cos 2f x x x x =++，当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域.【解析】由题得1cos 23()2sin(2)22226x f x x x +π=++=++， ∵[,]63x ππ∈-， ∴2[,]666x ππ5π+∈-， ∴1sin(2)126x π-≤+≤， ∴函数()y f x =的值域为3[,3]2.（2019年河北省存瑞中学高三上一质检）已知向量)1cos ,,,cos2,2x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R a b ,设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解析】由已知可得：变式训练一()11·cos cos2cos2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭a b ,（3分）（1）()f x 的最小正周期2π2T π==；（5分） （2）由3222,262k x k k ππππ+≤-≤π+∈Z ,可得5,36k x k k πππ+≤≤π+∈Z , ()f x ∴的单调递减区间为()5,36k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（7分）（3）0,2x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,（10分）()f x ∴的最大值为1,最小值为12-．（12分）在锐角ABC △中，角,,AB C 的对边分别为,,a b c ，已知ππsin 2)cos()44B B B =+-. （1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC △的面积为2，求ABC △的周长．【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理求解即可.大题肢解二解三角形【解析】（1）因为在锐角ABC △中，ππsin 2)cos()44B B B =+-，所以ππsin 2cos()sin()44B B B =++，所以sin 22B B =，（3分） 因为cos20B ≠，所以tan 2B =因为π02B <<， 所以π6B =.（6分） （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212cos a c ac B =+-，所以221a c =+，（8分）因为ABC △的面积为2，所以1πsin 26ac =，即ac = 所以227a c +=，（10分）所以22()7(2a c +=+=+，所以2a c +=+所以3a b c ++=+ABC △的周长为3（12分）（1）利用正、余弦定理求边和角的方法：①根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．②选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.③在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． （2）求三角形面积的方法：①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【拓展1】已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ca bA B A C +=--sin sin sin sin , （1）求角C 的大小; （2）若3=c ,求b a +的取值范围. 【答案】（1）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin ,则ca ba b a c +=--.⇒ab c b a =-+222,所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3π=C , （2）由ab c b a =-+222 且3=c ,⇒ab ab b a =--+92)(2, ⇒22)2(339)(b a ab b a +≤=-+, ⇒36)(2≤+b a 所以6≤+b a ,又3=>+c b a ,所以b a +的取值范围是]6,3(.【拓展2】在ABC ∆中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，cos cos 2A aC b c=-+. （1）求角A 的大小；（2）若2,bc =ABC ∆的周长为3，求a 的值.【答案】（1）23A π=（2）a =【解析】（1）因为cos cos 2A aC b c=-+ 由正弦定理得cos sin cos 2sin sin A A C B C=-+ sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ++=sin()2cos sin 0A C A B ++=sin 2cos sin 0B A B +=,(0,)B π∈, 1cos 2A =-,(0,)A π∈,23A π=（2）由余弦定理得2222222cos 2a b c bc Aa b c =+-⇒=++因为周长3a b c ++=，又222a b c =+-（），所以2232a a =+-（），所以a =【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查了逻辑推理能力，考查了方程思想，属于中档题．（百校联盟2019-2020学年高三上学期10月尖子生联考数学理科试题）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .且cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若ABC △的面积为ABC ∆周长的最小值.【解析】（1）cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，且A B C ++=π，()1cos 2cos cos 2A C C C A ⎫∴-+=-⋅⎪⎪⎝⎭，（2分）sin sin cos A C C A ∴⋅=，0C <<π，且0A <<π，sin 0,sin C A A ∴>∴=，3A π∴=.（6分） 变式训练二（2）由1sin 2S bc A ==，得8bc =.（8分） 又222a b c bc =+-，28a bc ∴≥=，（当且仅当b c =时取等号），（10分） ()2224b c a ∴+=+，l a b c a a ∴=++=+≥，l ∴≥=ABC∴△周长的最小值为.（12分）已知函数πππ()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x =-+--∈R .（1）求函数的最小正周期及在区间π2π[,]123上的值域；（2）在ABC△中，ABC △的面积.【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理及三角形的面积公式求解即可.()f x ()f x 5AB =大题肢解三三角函数与解三角形的综合问题【解析】（1）∵πππ()cos(2)2sin()cos()344f x x x x =-+--1πcos 22sin(2)222x x x =++-12cos 2cos 2x x x =+-12cos 22x x =- πsin(2)6x =-.（3分）的最小正周期为2ππ2T ==；∵π2π[,]123x ∈， ∴π7π2[0,]66x -∈，（4分） ∴max ππππ()()sin(2)sin 13362f x f ==⨯-==，min 2π2ππ7π1()()sin(2)sin 33662f x f ==⨯-==-, ∴在区间π2π[,]123（6分）（2π1sin(2)62A -=，即π6A =，（7分） 由余弦定理得2725(0b b b =+-⇒--=，∴b =b =（10分）)(x f ∴()f x∴ABC △（12分）此类问题是将三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，其间只需熟练掌握三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.【拓展1】已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12C c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若sin 2sin B A =，求,a b 的值.【解析】（1）1cos 22()221sin 2212sin 223x f x x x x x π⎛⎫-+ ⎪π⎛⎫⎝⎭=-=+=+- ⎪⎝⎭，所以22T π==π.（4分） （2）因为12sin 1sin 0233C f C C ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=⇒-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0C <<π，所以3C π=.（5分） 因为222222cos 3c a b ab C a b ab =+-⇒=+-①，因为sin sin a b A B=，sin 2sin B A =，所以2b a =②，联立方程①②得：1,2a b ==.（12分）[广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末数学（理)]已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正变式训练三弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.1．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c ，且22sin 30C C -++=．（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC △sin A B ，求sin A 及c 的值．【解析】（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴=，sinA C ∴=，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．2．（2019·沙雅县第二中学押题卷）已知点)P，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅.（1）求函数()f x 的解析式及最小正周期;（2）若A 为ABC △的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆ABC △的周长. 【解析】（1）.()3,1OP =，()3cos ,1sin QP x x =-.∴()f x OP QP =⋅)3cos 1sin x x =-+-42sin 3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π.（2）.因为()4f A =，所以sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0A <<π，所以23A π=，因为1sin 2ABC S bc A ∆=12sin 234bc π==，所以3bc =，根据余弦定理22222cos3a b c b π=+-2()29b c bc bc =+-+=，所以b c +=即三角形的周长为3+3．（四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学试题）锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin C c B +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC △的周长的取值范围．【解析】（1cos sin C c B +=，cos sin sin B C C B A +=， 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入整理得sin sin sin C B B C =，又由(0,)C ∈π，则sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =又因为(0,)B ∈π，所以3B π=. （2）因为3b B π==,且由正弦定理，可得2sin sin sin a b cA B C====， 即2sin ,2sin a A c C ==，所以周长22(sin sin )2(sin sin())3L a b c a c A C A A π=++=+=+=+-32(sin ))26A A A π=+=+，即)6L A π=+又因ABC △为锐角三角形，且23A C π+=， 所以203202A A ππ⎧<-<⎪⎪⎨π⎪<<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，则有sin()6A π+∈ 即(3L ∈， 即ABC △的周长取值范围为(3+.4．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学试题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC △的面积21tan 6S b A =. （1）证明：3cos b c A =；（2）若a c ==，求tanA .【解析】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==得3sin tan c A b A = ． 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又因为0A π＜＜，所以0sinA ≠ ， 因此3b ccosA =．（2）由（1）得3cos b c A A ==，所以2230bccosA cos A =由余弦定理得2222a b c bccosA =+-，所以22845530cos A cos A -=+，解得21cos 5A =因此24sin 5A =，即2tan 4A = 由（1）得cos 0A ＞，所以tan 0A ＞ ， 故tan 2A =．5．（黑龙江省大庆市2019-2020学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+.（1）求角A 的大小；（2）若cos 7B =，a =ABC △的面积S 的值. 【解析】（1）∵由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， ∴有sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=， 则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222b c a bb c a c R R R R⋅+⋅=⋅+⋅， 即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-， 又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =， 由()0,A ∈π，得3A π=； （2）由（1）知，3A π=，则sin 2A =，1cos 2A =，∵cos B =，()0,B ∈π，∴1sin 7B ==， ∴()1113sin sin 272714C A B =+=+⨯=，由正弦定理得，13sin 13sin a C c A===，∴111sin 132272S ac B ==⨯⨯=. 6．（河南省郑州市第一中学2019届高三高考适应性考试数学试题）在ABC △中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，已知3a =，cos cos cos sin cos B A C B C b+=.（1）若c =，求sin A ；（2）若AB 边上的中线长为2，求ABC △的面积.【解析】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C b+=，由正弦定理，得cos cos cos sin cos B A C B C +=，所以cos()cos cos sin cos A C A C B C -++=.所以sin sin cos A C A C =.又因为sin 0A ≠，所以tan C =因为(0,)C ∈π，所以3C π=.又因为sin sin a c A C =，所以3sin A =，所以3sin 4A =. （2）设AB 边上的中线为CD ，则2CD CA CB =+，所以22224()2cos CD CA CB b a ab C =+=++，即23793b b =++，23280b b +-=. 解得4b =或7b =-（舍去）.所以11sin 4322ABC S ab C ∆==⨯⨯=.7．（河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测试卷数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC △的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==. 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.8．（重庆市2019届高三高考全真模拟考试数学试题）已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，sin cos (sin )0A C B B -+=．（1）求角C ；（2）若b =c =AB 边上的高长．【解析】（1）()sin cos sin 0A C B B -=，()()sin cos sin 0B C C B B ∴+-=， ()cos sin 0B C C ∴=，tan C ∴=3C π∴=．（2）由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，可得：210a -=，可得：a =，由等面积可得：11sin 22S ab C ch ==，可得：h =． 9．[惠州市2020届高三第三次调研考试数学（理）]【答案】（1）在ABC ∆中，因为2BC =，π3ABC ∠=，1sin 22ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠=，所以22AB =，解得3AB =． 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，因为0AC >，所以AC =（2）设ACD α∠=，则ππ33ACB ACD α∠=∠+=+． 在Rt ACD ∆中，因为AD =sin AD AC α==． 在ABC ∆中，ππ3BAC ACB ABC α∠=-∠-∠=-， 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即2πsin()3α=-， 所以2sin()sin 3παα-=，所以12(cos sin )sin 22ααα-=，2sin αα=，所以tan α=，即tan ACD ∠=。
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珠海市2019〜2020学年度第一学期普通高中学生学业质量监测
高三理科数学
时间：120分钟满分150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项
是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合」={0>lg|xx}，5 = {04|2xx},则BA
A. (1,2) B. (1,2] C. (0,2] D. ),1(
2.复数iziz21,1,其中i为虚数单位，则21zz的虚部
A. 1 B. -1 C. i D. i
3.已知函数Rcbcbxxxf,,)(2,则“0
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一个几何体是由若干个边长为1的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，
且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何体的表面积为
A.13 B.28 C.38 D.46
5.已知{na}是各项都为正数的等比数列，nS是它的前n项和，若18,684SS，则
12S
A.24 B.30 C.42 D.48
6.如图，若在矩形ABCD中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为
A. 21 B. 2
C. 22 D. 221
7.已知椭圆：0)>b>(12222abyax的右焦点为F，离心率22，过点F的直线l交
椭圆于A,B两点，若AB中点为(1，1)，则直线l的斜率为
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A.2 B.-2 C. 21 D. 21
8.如果执行如右图所示的程序框图，则输出的数S不可能是
A.0.4
B.0.5
C.0.75
D.0.9
9.已知0,>z0,>y,0,>x,且11zy9x，则zyx的最小值为
A.8 B.9 C.12 D.16
10.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、
中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两
鱼 互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示
1)1(),(22yxyxA
或01)1(42222xyxyx，设点Ayx),(，则yxz2的最大值与最小
值之差是
A. 52 B. 522 C. 532 D. 542
11.已为自然对数的底数，定义在R上的函数)(xf满足x＜2e)()('xfxf，其中)('xf为)(xf的
导函数，若24)2(ef,则x2xe>)(xf的解集为
A. (-∞,l) B. (1，+∞) C. (-∞,2) D. (2,+ ∞)
12.已知球O的半径为2，A,B是球面上的两点，且32AB，若点P是球面上任意一点，则
PBPA
的取值范围是
A. [-1,3] B. [-2,6] C. [0,1] D. [0,3]
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量),1(),2,2(),2,1(mcba,若)(∥bac,则m= .
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14.已知],0(x,关于x的方程0)3sin(2kx有两个不同的实数解，则实数k的取值范围
为 .
15.已知nxx)1(的展开式中所有项的系数和为64,则其展开式中的常数项为 .
16.已知1F、2F分别为双曲线C: 0)>b>(12222abyax的左、右焦点，过1F作直线l与圆
222
ayx
相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若||||411PFTF，则双曲线C的离
心率为 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题题，每个
试题考生都必须作答.第22〜23题为选考题，考生根据要求作答.
(一）必考题：共60分
17. (12分）已知A，B，C是的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，
)sinsin,sin(sin),,(BCABncbam
且nm.
(1)求角A的大小；
(2)若2a,求ABC面积的最大值.
18.(12分）如图，矩形ABCD中，AB = 2, AD = 4,E为BC的中点，现将BAE与CDE折起，使
得平面BAE及平面CDE都与平面DAE垂直.
(1)求证：BC∥平面DAE；
(2)求二面角A-BE-C的余弦值.
19.(12分）已知F为抛物线C：0)>(22ppxy的焦点，过F垂直于x轴的直线被C截得的弦长为
4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点（m,0)，且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB,若点F在以为AB直径的圆内，求m的
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取值范围.
20.(12分）某游戏棋盘上标有第0、1、2、…、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进
行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第
100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为nP.
(1)当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望；
(2)证明：)981)((2111nPPPPnnnn
(3)若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个
游戏是否公平.
21. (12分)已知函数Raxaxxf,1ln)(.
(1)若对),1[x，不等式0>1)(xxf恒成立，求a的取值范围；
(2)在(1)的条件下，设函数xxfxg)()(，试判断)(xg在区间[l，e2]上是否存在极值 (e为自然对
数的底数）.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.
(二）选考题：共10分.请考生在第22〜23题中任选一题作答.如果多做，那么按照所做的 第一题
计分.
22. (10 分）在平面直角坐标系xOy中,曲线(sin4cos4:1yxC为参数). 将曲线C1上的所有点的
横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的21后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系，直线l的极坐标方程为3)3sin(.
(1)求曲线C与直线l的坐标方程.
(2)已知)0,32(M，设直线l与曲线C2交于不同的A，B两点，求||||MBMA的值.
23. (10 分）设函数)0(|4|||)(axaxxf.
(1)当1a时，求不等式＜x)(xf的解集；
(2)若axf41)(恒成立，求a的取值范围.
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