随机信号经线性系统的特性分析
第3章 平稳随机信号通过线性系统
2013-7-25
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(3) 输出平均功率
N 0b Q RY 0 h 0 hu RX u du
0
N0 N h , 0 hu 0 u du 2 2 0, 其它
若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
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3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
x(t) h(t) y(t) = x(t)*h(t)
连续时不变线性系统
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
L[]
称作算子
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3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
时不变线性系统
连续时不变线性系统
离散时不变线性系统
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3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
x(t)
L[.]
y(t) = L[x(t)]
时不变线性系统
若输入信号x(t)时移C, 输出y(t)也只引时移C，即 y(t-C) = L[x(t-C)]
0
0
0
hv hu RX u v dudv 0
0
hv hu
N0 u v dudv 2
N0 N0 hu hv u v dvdu 0 hu h u du 0 0 2 2 N 0 bu b u N 0b 2 b 2bu N 0 b b be be du e e du e 0 2 0 0 2 4
随机信号分析实验报告
实验一 随机噪声的产生与性能测试一、实验内容1．产生满足均匀分布、高斯分布、指数分布、瑞利分布的随机数,长度为N=1024，并计算这些数的均值、方差、自相关函数、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度，画出时域、频域特性曲线; 2．编程分别确定当五个均匀分布过程和5个指数分布分别叠加时,结果是否是高斯分布; 3．采用幅度为2, 频率为25Hz 的正弦信号为原信号,在其中加入均值为2 ， 方差为0.04 的高斯噪声得到混合随机信号()X t ，编程求 0()()tY t X d ττ=⎰的均值、相关函数、协方差函数和方差，并与计算结果进行比较分析。
二、实验步骤 1.程序N=1024； fs=1000； n=0:N —1;signal=chi2rnd （2，1，N); ％rand(1,N)均匀分布 ,randn(1,N ）高斯分布，exprnd(2,1，N ）指数分布,raylrnd （2，1,N)瑞利分布，chi2rnd(2，1，N ）卡方分布 signal_mean=mean(signal ）； signal_var=var （signal ）；signal_corr=xcorr(signal,signal ，'unbiased ’)； signal_density=unifpdf(signal ，0，1); signal_power=fft(signal_corr); ％[s,w]=periodogram （signal); [k1,n1］=ksdensity(signal)；[k2,n2］=ksdensity （signal,’function ’，'cdf ’）; figure ；hist(signal)；title （’频数直方图’）; figure ；plot （signal)；title(’均匀分布随机信号曲线’）; f=n ＊fs/N ； ％频率序列 figure;plot(abs （signal_power)）; title('功率幅频’); figure;plot(angle （signal_power)）； title （'功率相频'); figure;plot （1:2047,signal_corr)； title （'自相关函数’）; figure;plot(n1，k1）；title('概率密度’）；figure；plot(n2,k2);title（'分布函数’)；结果（1）均匀分布(2）高斯分布（3）指数分布（4)瑞利分布（5）卡方分布2.程序N=1024；signal_1=rand(1,N);signal_2=rand(1，N）；signal_3=rand(1,N);signal_4=rand（1，N）;signal_5=rand(1,N)；signal=signal_1+signal_2+signal_3+signal_4+signal_5; [k1,n1］=ksdensity(signal）；figure(1）subplot(1，2，1）;hist(signal);title（'叠加均匀分布随机数直方图');subplot(1,2，2);plot（n1,k1）；title(’叠加均匀分布的概率密度'）；结果指数分布叠加均匀分布叠加结果：五个均匀分布过程和五个指数分布分别叠加时，结果是高斯分布。
随机过程通过线性系统
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
实验三 随机信号通过线性时不变系统
实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。
如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足： H [X (t )] = Y (t )在时域：若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为：()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望：∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率：⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域：输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσm m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求：1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率；2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率；4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
北京理工大学随机信号分析实验报告
北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
随机信号通过线性系统分析
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] 则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
n
h(n) 1
2 j
l H (z)zn1dz
式中l表示包含 H (z)zn1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足 h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
mY (t) mX 0 h( )d
RXY (t1,t2 ) 0 h(u)RX (t2 t1 u)du 0 h(u)RX ( u)du RXY ( )
RY (t1,t2 ) 0 0 h(u)h(v)RX (t2 t1 v u)dudv
重点及其要求：
（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
2. 输出的均值 输出的均值。
随机过程通过线性系统
2
推论： 若X1(t) 和 X2(t)互不相关，则
RY ( ) RX 1 ( ) RX 2 ( ) 2m X 1 m X 2 h( ) h( )
h( )d H (0)
输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。 2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY ( t , t ) E[Y ( t )Y ( t )]
h( )h( ) E[ X ( t ) X ( t )]dd
h( ) h( ) R X ( )
3. 系统输入与输出之间的互相关函数:
RXY ( t , t ) E[ X ( t )Y ( t )] E[ X ( t )_ h( )X ( t )d ] E[ X ( t ) X ( t )]h( )d RX ( )]h( )d
GY ( ) G X 1 ( ) G X 2 ( ) 4m X 1 m X 2 ( ) H ( )
三、多个随机过程之和通过线性系统
X ( t ) X1 ( t )源自 X2 ( t )h( t )
Y( t ) Y 1(t ) Y 2(t )
设 X1(t) 和 X2(t)单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输 出Y(t)的特性为： 1．输出Y(t)的均值
mY E[Y (t )] mY 1 mY 2
h( )h( ) R X ( )dd RY ( )
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随机信号通过线性系统实验——随机信号通过低通滤波器班级：010913作者：葛楠（01091256）李丹（01091272）张卫康（01091220）一、摘要基于Matlab让产生的一个随机信号通过低通滤波器，并且分析随机信号的数学特征，当其通过低通滤波器后再次分析其数字特征，从而得出实验结论。
二、目的1.研究随机信号的线性叠加型。
2了解输入、输出信号的特性，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等。
3.掌握随机信号的检测及分析方法。
三、实验的特点和原理特点：完全基于Matlab仿真原理：（1）均值：即为数学期望，表示信号变化的中心趋势，是信号的直流分量。
（2）均方值：表示信号的强度，代表信号的平均能量。
（3）方差：反映了信号绕均值的波动程度。
（4）自相关函数：表示波形自身在不同时间的相似程度，其值越大表示相似性越高。
信号一般是相关的，即自相关函数不为零。
而噪声是随机的，基本上不相关，所以自相关理论上为零。
（5）频谱函数：从频域上分析信号在不同频率分量的大小，而信号的频谱和功率谱函数只是在数值上不同的，其图形相似。
四、实验的过程1.分别生成一个方波信号和一个高斯白噪声，将两者线性叠加，研究各信号的频域和时域特性。
设定采样频率Fs=44.1kHz，取的样本点数N=256，方波基频为1000Hz，加入SNR为10dB的高斯白噪声得到输入信号xi，间接获得白噪声xn。
123456x 10-3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81方波信号时域波形tx s(t )x 104方波信号频域波形fX S (f )x 10-3高斯白噪声信号时域波形tx n(t )x 104高斯白噪声信号频域波形fX N (f )2.将方波信号和高斯白噪声线性叠加，绘制叠加信号的特性曲线，包括均值、方差、均方值等。
x 10-3输入信号时域波形tx i(t )2.x 10-3输入信号的自相关函数τR x i(τ)3.x 104输入信号频域波形fXI(f)x 10-3输入信号均值tm(t)0123456x 10-3输入信号均方值tj (t )0123456x 10-3输入信号方差tc (t )3设计一个滤波器，输入信号通过滤波器会研究输出信号的方差、均方值、均值、自相关函数和功率谱密度。
滤波器的通带截止频率4000Hz ，阻带截止频率5000Hz ，通带最大衰减1dB ，阻带最小衰减35dB ，输入信号为方波与白噪声的合成，方波信号为1kHz ，白噪声具有各种频率分量。
通过低通滤波器后，方波的衰减会相对较小；白噪声的低频部分几乎没有衰减，而随着频率增大，衰减将越大，最后几乎衰减为0。
由于通过滤波器的频率分量大都频率较低，因此输出信号的时域波形将较输入信号较为平滑，但由于输出中仍存在低频噪声，输出信号将有一定的起伏，由以上仿真结果可以看出，经滤波后信号表面平滑了不少，但因仍存在低频噪声，尚不能完全复原初始信号。
x 10-3低通滤波后方波信号的自相关函数τR x o2(τ)x 1044输出信号功率谱密度0123456x 10-3-2-1.5-1-0.500.511.52输出信号波形tx o 1(t )x 10-3输出信号方差tC (t )x 10-30.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01输出信号均方值t J (t )x 10-3输出信号均值t M (t )x 104输出信号频谱f X O 1(f )五、实验的结论随机信号通过线性系统串行叠加之后产生了新的频率成分。
实验用方波信号加噪声作为随机输入信号，经过低通滤波器之后，输入信号高频分量产生较大衰减，由于是系统是线性的，故没有产生新的频率成分。
经滤波器六、参考资料[1]马文平、李兵兵、田红心、朱晓明，随机信号分析与应用，2006，北京：科学出版社[2]楼顺天、姚若玉、沈俊霞，Matlab 7.x 程序设计语言（第二版），2007，西安：西安电子科技大学出版社[3]吴大正、张永瑞、王松林、郭宝龙，信号与线性系统分析（第4版），2005，北京：高等教育出版社七、附件 程序clc%*************** 生成输入信号 *****%Fs=44100;N=256;n=0:N-1;t=n/Fs;f=1000;xs=square(2*pi*f*t);xi=awgn(xs,10,'measured');xn=xi-xs;%***************** 时域波形 *************%figure(1);plot(t,xs,'k-');title('方波信号时域波形');xlabel('t'),ylabel('x_s(t)');hold on;grid on;figure(2);plot(t,xn,'b-');title('高斯白噪声信号时域波形');xlabel('t'),ylabel('x_n(t)');hold on;grid on;figure(3)plot(t,xi,'r-');title('输入信号时域波形');xlabel('t'),ylabel('x_i(t)');hold on;grid on;%***************** 频域波形 *************%XS=fft(xs);a1=abs(XS);b1=(0:length(XS)-1)'*44100/length(XS);figure(4);plot(b1(1:length(b1)/2),a1(1:length(b1)/2),'k-'); title('方波信号频域波形');xlabel('f'),ylabel('XS(f)');hold on;grid on;XN=fft(xn);a2=abs(XN);b2=(0:length(XN)-1)'*44100/length(XN);figure(5);plot(b2(1:length(b2)/2),a2(1:length(b2)/2),'b-'); title('高斯白噪声信号频域波形');xlabel('f'),ylabel('XN(f)');hold on;grid on;XI=fft(xi);a3=abs(XI);b3=(0:length(XI)-1)'*44100/length(XI);figure(6);plot(b3(1:length(b3)/2),a2(1:length(b3)/2),'r-'); title('输入信号频域波形');xlabel('f'),ylabel('XI(f)');hold on;grid on;%***************输入信号均值 *****%figure(7);m=mean(xi);plot(t,m,'r-');title('输入信号均值');xlabel('t'),ylabel('m(t)');hold on;grid on;%***************输入信号均方值 *****%figure(8);j=xi.*xi/numel(xi);plot(t,j);title('输入信号均方值');xlabel('t'),ylabel('j(t)');hold on;grid on;%***************输入信号方差 *****%figure(9);c=cov(xi);plot(t,c,'r-');title('输入信号方差');xlabel('t'),ylabel('c(t)');hold on;grid on;%***************输入信号自相关函数 *****%Rxi=xcorr(xi,xi);tau=(-length(xi)+1:length(xi)-1)/Fs;figure(10);plot(tau,Rxi,'-r')title('输入信号的自相关函数');xlabel('\tau'),ylabel('R_x_i(\tau)');grid on;hold on;%*************** 输入信号功率谱密度 *****%R=fft(Rxi);cm=abs(R);fl=(0:length(R)-1)'*44100/length(R);figure(11);plot(fl(1:length(fl)/2),cm(1:length(fl)/2));title('输入信号的功率谱');hold on;grid on;%*************** 低通滤波器 *****%Fs=44100;N=256;wp=4000/22050;ws=5000/22050;Rp=1;As=35;[n,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,As);[B,A]=butter(n,Wn);freqz(B,A,512,44100);%*************** 输出信号信号波形 *****%xo1=filter(B,A,xi);figure(12);plot(t,xo1,'-b');title('输出信号波形')xlabel('t'),ylabel('xo1(t)');hold on;grid on;%****************** 输出信号频谱 ******************%XO1=fft(xo1);A=abs(XO1);B=(0:length(XO1)-1)'*44100/length(XO1);figure(13);plot(B(1:length(B)/2),A(1:length(B)/2));title('输出信号频谱');xlabel('f'),ylabel('XO1(f)');hold on;grid on;%***************输出信号均值 *****%figure(14);M=mean(xo1);plot(t,M,'r-');title('输出信号均值');xlabel('t'),ylabel('M(t)');hold on;grid on;%***************输出信号均方值 *****%figure(15);J=xo1.*xo1/numel(xo1);plot(t,J);title('输出信号均方值');xlabel('t'),ylabel('J(t)');hold on;grid on;%***************输出信号方差 *****%figure(16);C=cov(xo1);plot(t,C,'r-');title('输出信号方差');xlabel('t'),ylabel('C(t)');hold on;grid on;%****************** 输出信号自相关函数 ******************% %xcorrRxo1=xcorr(xo1,xo1);tau=(-length(xo1)+1:length(xo1)-1)/Fs;figure(17);plot(tau,Rxo1,'-k')title('低通滤波后方波信号的自相关函数');xlabel('\tau'),ylabel('R_x_o2(\tau)');grid on;hold on;%****************** 输出信号功率谱密度 ************%R=fft(Rxo1);cm=abs(R);fl=(0:length(R)-1)'*44100/length(R);figure(18)plot(fl(1:length(fl)/2),cm(1:length(fl)/2));title('输出信号功率谱密度')grid on;hold on;（注：素材和资料部分来自网络，供参考。