中科大历年考研数学真题

.
001
4. 0 1 1 =
.
111
5. 设 V 是由 A1 = 1 1
1 , A2 = 2
−1
1
1 , A3 = 3
−2
1
1 生成的 R2×2 −3
的子空间，则 dimV =
.
6. 已知实线性空间 V 中的向量 α1, α2, α3, α4 线性无关，则向量组 {α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1}
16
2.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
17
2.3 中科大 2011 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
18
2.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
19
2.5 中科大 2013 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
.
6.
设 n > 2, 则 det =
a1 + b1
a1 + b2 ...
a2 + b1
a2 + b2 ...
··· ···
an + b1
an + b2 ...
等于
.
a1 + bn
a2 + bn
···
an
+
bn
0
7. 设 n > 1, 矩阵 A = −1
0 −1
... ...
0
a0 a1 ...
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
k!
k=0
1.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–2–
1.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题线性代数与解 析几何
一. 填空题
1. 二次曲线 x2 − 4xy + y2 + 10x − 10y + 21 = 0 的类型是
，通过转轴去掉其
交叉项的转角角度是
(只需填写一个角度即可)
4
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
6
1.5 中科大 2013 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
8
1.6 中科大 2014 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
9
1.7 中科大 2015 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
V = Im A ⊕ Ker A 的充分必要条件是 B 可逆。
6. 已知 R2 的线性变换 A 把 (1,0) 映射到 (0,1)，把 (0，1) 映射到 (2,1), 并且把圆
C : x2 + y2 = 1 映射成椭圆 E, 求：
(1)E 的方程；
(2)E 的长轴所在直线的方程；
(3)E 的面积。
化成的标准正交基是
.
10. 定义所有 n 阶实线性空间构成的实线性空间 V 上的对称双线性函数为 f (X, Y ) =
tr(XT Y ), X, Y ∈ V, 二次型为 Q(X) = f (X, X). 则 Q(X) 的正负惯性指数分别
为
.
二. 解答题
1. 求如下线性方程组的通解:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 =
21
2.6 中科大 2014 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
ຫໍສະໝຸດ Baidu
23
2.7 中科大 2015 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
25
2.8 中科大 2016 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
26
2.9 中科大 2017 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
27
2.10 中科大 2018 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
29
2.11 中科大 2020 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
30
第 1 章 线性代数与解析几何
1.1 中科大 2009 年研究生入学考试试题线性代数与解 析几何
则向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 的秩等于
.
5. 在 3 维实向量空间 R3 中，设 α1 = (−1, 1, 1)T , α2 = (1, −1, 0)T , α3 = (1, 0, −1)T , β =
(−4, 3, 4)T , 则 beta在基 α1, α2, α3 下的坐标是
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
7. 设数域 F 上有限维空间 V 上线性变换 A 和 B 满足 A B = aBA (a ∈ F, a ̸= 1),
且 A 是可逆线性变换，证明:
(1)B 为幂零矩阵 (即存在正整数 n,Bn = 0).
(2)A 和 B 有一个公共特征向量
1.3 中科大 2011 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
Schmidt 正交化和单位化，得到 β1, β2, β3, 则 β3=
.
10. 已知实二次型 Q(x, y, z) = ax2 + y2 + z2 + xy + yz + zx 正定，则实数 a 的取值范
围是
.
二. 解答题
1. 设点 A(1, 1, −1), B(−1, 1, 1), C(1, 1, 1) 求 ∆ABC 的外接圆的方程.
an−2
, 则 A 的特征多项式是
.
−1
an−1
λ−1
λ
λ2 − 1
8. λ− 矩阵 3λ − 1 λ2 + 2λ 3λ2 − 1 的 Smith 标准型是
.
λ+1
λ2
λ2 + 1
9. 用 Gram-Schmit 正交化方法是将 R3(标准内积) 的基 (1, 1, 1)T , (−1, 0, −1)T , (−1, 2, 3)T
4. A 和 B 是两个不同的方阵，满足 A3 = B3, AB2 = B2A，问 A2 + B2 是否可逆，说
明理由。
5. α1, · · · , αn 是 V 的基，对任意 c1, · · · , cn, 存在唯一的向量 α，使得 (α, αi) = ci. 6. 3 阶方阵 A 的特征值分别为 λ1 = λ2 = 9, λ3 = −9 和 λ1 与 λ2 分别对应的特征向量
–4–
1.3 中科大 2011 年研究生入学考试试题线性代数与解 析几何
一. 填空题 (每小题 5 分)
1. 两个平面 z = x + 2y 和 z = −2x − y 的夹角等于
.
2. 点 (0,2,1) 到平面 2x − 3y + 6z + 1 的距离等于
.
3. 二次曲面 xy+−z1 2 = 1 的曲面类型是
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
10
1.8 中科大 2016 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
12
1.9 中科大 2017 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
13
1.10 中科大 2020 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
15
2.数学分析
16
2.1 中科大 2009 年研究生入学考试试题数学分析 . . . . . . . . . .
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–6–
1.4 中科大 2012 年研究生入学考试试题线性代数与解 析几何
一. 填空题 (每题 5 分)
1. 在 R3 中，直线 x = y = z 与平面 z = x − y 的夹角的余弦值等于
2. 在 R3 中, 方程 xy − yz + zx = 1 所表示的二次曲面类型为
−2
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 5 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5
=
0
1.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–3–
2.
设空间上有直线 l1
:
x−1 3
=
y 1
=
z 0
和 l2 √
: (x, y, z) = (3 + 2t, t, 3t − 3). 设平面 π 与
2. 求线性方程组的通解：
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 =
−2
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 5 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5
=
0
3. 设 n 阶复方阵 A 的特征值全体为 λ1, · · · , λn, f (x) 是一个复系数多项式. 求证 f (A)
.
3. 在 R4 中, 设三点 A, B, C 的坐标分别为 A(1, 0, 1, 0), B(0, 1, 0, 1), C(1, 1, 1, 1), 则
∆ABC 的面积等于
.
4. 满足 f (−1) = 0, f (1) = 4, f (2) = 3, f (3) = 16 的次数最小的一元多项式 f (x) =
0
1. A = ...
··· ...
a1 ...
,a2k
=
0, aak−1
=
1(k
=
1, 2, · · ·
, n), 求
A 的 Jordan 标准
a2n · · · 0 型
2. 直线 l1, l2: (1) 证明：两直线异面；
(2) 求两直线的公垂线。
3. 向量 α1, α2 线性无关，α3, α4 线性无关，且 α1 正交与 α3, α4, α2 正交与 α3, α4, 证 明：这四个向量线性无关。
的特征值全体为 f (λ1), · · · , f (λn).
1.3 中科大 2011 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何
–5–
4.
设 α1, · · ·
, αn 是欧式空间 V
的任意 n 个向量,n ≥ 1, G =
(α1, α1)
(α2, α1) ...
(α1, α2)
(α2, α2) ...
1 2 −1 5. 证明：酉矩阵的特征值模长为 1。
6. 设 V 是 n 维欧氏空间，(?,?) 为其内积，V ∗ 为其对偶空间。证明：
(1) 对于每个给定的 α ∈ V , 映射 fα : V → R, β → (α, β) 是 V ∗ 中的一个元素.
(2) 映射 f : V → V ∗, α → fα 是 n 维线性空间 V 到 V ∗ 的同构映射.
中科大数学专业考研真题
数学分析 线性代数与解析几何
目录
1 线性代数与解析几何
1
1.1 中科大 2009 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
1
1.2 中科大 2010 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
2
1.3 中科大 2011 年研究生入学考试试题线性代数与解析几何 . . .
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
角化。 8. A 是复方阵，定义 eA = ∑ +∞ Ak ，证明：det(eA) = etr(A)
的秩等于
.
00a
0 0 a2
7. 已知实方阵 A = 1 1 0 与 B = 0 1 0 相似，则 a=
.
100
11 1 8. 1 λ λ2 的初等因子组是
1 λ2 λ4
100 .
9. 对 R4 中的向量 α1 = (1, 0, 1, 0), α2 = (0, −1, 1, −1), α3 = (1, 1, 1, 1) 作 Gram-