从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式共38页
3.3从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册
m+n
mn
=
1
2
1
=.
-1
2
1
1
m+n=2,mn=-1.所以m
1
+n
=
探究一
求二次函数的零点
例1已知函数y=x2-x-2a.
(1)若a=1,求函数f(x)的零点;
(2)若y有零点,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1时,y=x2-x-2.
令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.
即函数y的零点为-1和2.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
车距为1.44个车身长,那么在交通繁忙时,应规定最高车
速为多少,才使此处的车流量最大?
知识点拨
从函数观点看一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫作一元二
次不等式.
2.三个“二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0
Δ=0
方程ax2+bx+c=0 有两个相异的实数 有两个相等的实数
提示 不存在.理由如下,结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x1>0的解集为R,则 > 0,
1 + 4 < 0,
从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式
从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式【知识梳理】 1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅3.(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解集不等式解集a <ba ＝ba >b(x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }{x |x <b 或x >a } (x －a )·(x －b )<0{x |a <x <b }∅{x |b <x <a }4.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【微点提醒】1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax 2＋bx ＋c>0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c>0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0. (2)不等式ax 2＋bx ＋c<0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c<0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 【真题体验】4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A.1 B.－14C.4D.－126.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.【考点聚焦】考点一 一元二次不等式的解法 角度1 不含参数的不等式【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集.角度2 含参数的不等式 命题点1 通过判别式分类讨论【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R).命题点2 通过根的大小分类讨论【例1－3】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】(2018·豫北豫南名校联考)不等式x2－3|x|＋2>0的解集是________.考点二一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三 一元二次不等式恒成立问题 角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A.0B.－2C.－52D.－3考点四 一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台D.180台【反思与感悟】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单. 【易错防范】1.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别. 2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2－x －6≤0}，则A ∩B 等于( ) A.(0，2) B.(0，3] C.[－2，3]D.[2，3]2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3]3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(0，＋∞) B.(－∞，0)∪(1，＋∞) C.(－1，0)D.(0，1)二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________.7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________.8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.10.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则( )A.a＋b－c的最小值为2B.a－b＋c的最小值为－4C.a＋b－c的最大值为4D.a－b＋c的最大值为6答案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )(3)不等式x2≤a的解集为[－a，a].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×【解析】 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.【教材衍化】2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]【答案】 C【解析】 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2].3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞【解析】 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.【真题体验】4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1.5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为()A.1B.－14C.4D.－12【答案】 B 【解析】 因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14. 6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.【答案】 [－4，0]【解析】 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 【考点聚焦】考点一 一元二次不等式的解法多维探究角度1 不含参数的不等式【例1－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集.【答案】见解析【解析】化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 角度2 含参数的不等式命题点1 通过判别式分类讨论【例1－2】 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R).【答案】见解析【解析】①当k ＝0时，不等式的解为x >0.②当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k； 若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解.③当k <0时，若Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时，不等式的解为x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k， 若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1，综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅；0<k <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；当－1<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1＋1－k 2k ，或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；k <－1时，不等式的解集为R.命题点2 通过根的大小分类讨论【例1－3】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R).【答案】见解析【解析】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a 或x ≤－1. ③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (2018·豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________.【答案】 (－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)【解析】 由题原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞).考点二 一元二次方程与一元二次不等式【例2】 已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________. 【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【规律方法】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.【训练2】 (2019·天津和平区一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞) 【答案】 C【解析】 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究 角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]【答案】 D【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0， 解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2].角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 【解析】 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 .角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)【答案】 C【解析】 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.【规律方法】 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3【答案】 C 【解析】 由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立， 则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立， 令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数. ∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52. 考点四 一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【答案】见解析【解析】(1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0， 解得x ≥3或x ≤－15， 又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10].(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.【规律方法】 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.【训练4】 已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台 【答案】 C【解析】 由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本， 即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解之得x ≥150或x ≤－200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.故选C.【反思与感悟】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【易错防范】1.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·合肥调研)已知集合A ＝{y |y ＝e x ，x ∈R}，B ＝{x ∈R|x 2－x －6≤0}，则A ∩B 等于( )A.(0，2)B.(0，3]C.[－2，3]D.[2，3] 【答案】 B【解析】 因为A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，故A ∩B ＝{x |0<x ≤3}. 2.不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 【答案】 C 【解析】 不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12≤x <1或1<x ≤3. 3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】 A 【解析】 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 4.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1，1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定 【答案】 C【解析】 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1，1]上为增函数.所以x ∈[－1，1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.5.(2019·淄博月考)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( )A.(－∞，－1)∪(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(1，＋∞)C.(－1，0)D.(0，1) 【答案】 C【解析】 由Δ＝[－(a ＋2)]2－4a ＝a 2＋4>0知，函数f (x )必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则f (－2)·f (－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1，此时不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0.二、填空题6.不等式2x 2－x <4的解集为________.【答案】 (－1，2)【解析】 由已知得2x 2－x <22，∴x 2－x <2即x 2－x －2<0，解得－1<x <2，故所求解集为 (－1，2).7.已知不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为{x |x <－12或x >2}，则m －n ＝________. 【答案】 －52【解析】 由已知得m <0且－12，2是方程mx 2＋nx －1m＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－n m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2＝－1m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－32(舍). ∴m －n ＝－1－32＝－52. 8.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x的解集用区间表示为________.【答案】 (－3，0)∪(3，＋∞)【解析】 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ).又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ， 解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).三、解答题9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 10.解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)12x 2－ax >a 2(a ∈R).【答案】见解析【解析】(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}.(2)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. 当a >0时，－a 4<a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，－a 4>a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)【答案】 D 【解析】 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1).12.(2019·保定一中调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】 A【解析】 因为f(x)在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)在R 上是增函数，结合题意得－4t>2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m<0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝16－8m2<0⇒m ∈(－∞，－2).13.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－2]【解析】 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 14.(2019·济南一中质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 【新高考创新预测】15.(试题创新)若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( )A.a ＋b －c 的最小值为2B.a －b ＋c 的最小值为－4C.a ＋b －c 的最大值为4D.a －b ＋c 的最大值为6【答案】 A【解析】 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.。
从函数观点看一元二次不等式(课件)(苏教版2019必修第一册)
又二次函数
y＝2x2＋7x＋3
的图象开口向上，所以原不等式的解集为
x
|
x
1 2
或x
3
.
(2)原不等式可化为
2x
9 2
2
=0，所以原不等式的解集为
x
|
x
9 4
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二
次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
式与相应函数、方程的联系
方程的联系
当堂检测
知识回顾 一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a? 0)．(2)ax2＋bx＋c=0(a? 0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a? 0)．(4)ax2＋bx＋c=0(a? 0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合， 称为这个一元二次不等式的解集
有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba
的步骤 得等的集
y＞0
不式解
y＜0
{x|x＜x1_或 x＞x2} {x|x1＜x＜x2}
xx≠－2ba
∅
Δ＜0 没有 实数根
R ∅
当堂检测
三、一元二次不等式 1.不等式 x2－y2>0 是一元二次不等式吗？ 2.类比“方程 x2＝1 的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”． 不等式 x2>1 的解集及其含义是什么？ 3.若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？
从函数的观念看一元二次方程与一元二次不等式(原卷版)
【考点梳理】考点一：一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，a ，b ，c 均为常数考点二：一元二次函数的零点二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点． 考点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅【题型归纳】题型一：一元二次不等式的解法1．（2023·高一）不等式()273x x +≥-的解集为（ ） A ．(]1,3,2⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2,3⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,3⎡--⎤⎢⎥⎣⎦2．（2023秋·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式： (1)2450x x -++<(2)20252x x ≤-+(3)2690x x -+≤(4)290x -≤3．（2023·江苏·高一专题练习）重新考查不等式2510 4.80x x -+<.这个不等式的左边可分解因式为( 1.2)(54)x x --.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1） 1.20540x x -<⎧⎨->⎩和（2） 1.20540x x ->⎧⎨-<⎩的两个解集的并集不等式组（1）的解为0.8x 1.2<<，不等式组（2）无解，从而不等式2510 4.80x x -+<的解集为{|0.8 1.2}x x <<. 试用上述方法解下面的不等式：(1)(23)(1)0x x -+>；(2)(1)(2)0x x -+≥；(3)103x x -<+；(4)1204xx -≤+.题型二：由一元二次不等式来确定参数的范围4．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则a b +=（ ） A ．3B ．5C ．1-D ．3-5．（2023·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{23}xx -<<∣，且对于[]1,5x ∀∈，不等式220bx amx c ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(,43⎤-∞⎦B ．(),43∞-C ．[)13,+∞D ．(),13-∞6．（2023·江苏·高一专题练习）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（ ）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥题型三：一元二次不等式恒成立问题7．（2023·全国·高一专题练习）设集合}{210A x ax ax =++≥满足R A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,48．（2023·全国·高一专题练习）若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(10,2]-C ．(,2)[2,)-∞-+∞D ．(,2)-∞-9．（2023秋·江苏淮安·高一江苏省淮安中学校考期末）“10k -<<”是“关于x 的不等式22(2)0kx kx k +-+<恒成立”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四：一元二次不等式在某个区间成立问题10．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥m 取值范围是（ ） A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤11．（2023·江苏·高一专题练习）命题“[1,2],20ax x x∀∈+≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．1a ≥-B ．2a ≥-C ．3a ≥-D ．4a ≥-12．（2022秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）对任意的[1,1]x ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+-<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a ≥B ．3a >C ．3a ≤D ．3a <题型五：一元二次不等式在某个区间有解问题13．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）若命题“0(0,)x ∀∈+∞，使得20030x ax a +++≥”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）)(1,)+∞41)(,)3+∞15．（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7)7题型六：一元二次不等式的实际应用问题16．（2023·江苏·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（ ）A ．20≤x ≤30B ．20≤x ≤45C ．15≤x ≤30D ．15≤x ≤4517．（2021秋·江苏苏州·高一江苏省黄埭中学校考阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是（ ）A ．1530x ≤≤B ．1225x ≤≤C ．1030x ≤≤D ．2030x ≤≤保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是（ ）A ．{}|3t t ≥B ．{}5|3t t ≤≤C ．{|35}t t <<D ．{}|5t t ≤题型七：含参数的一元二次不等式的解法19．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）解关于x 的不等式：210ax x a -+-≤（其中0a ≤）. 20．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数2(,R)y x bx c b c =++∈，且0y ≤的解集为[]1,2-. (1)求,b c ；(2)解关于x 的不等式2(2)2(1)(0)m x x x m m -->--≥21．（2023·江苏·高一假期作业）（1）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<；（2）已知关于x 的不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【双基达标】一、单选题25．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）当0x m ≤≤时，函数223y x x =-+有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m ≥-B ．12m ≤≤C ．02m ≤≤D ．2m ≤26．（2023·江苏·高一专题）“31m -<<”是“不等式()()21110m x m x -+--<对任意的x ∈R 恒成立”的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是()(),12,-∞-+∞，则不等式20bx ax c +-≤的解集是（ ）A ．[]1,2-B ．][(),12,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．][(),21,∞∞--⋃+【高分突破】一、单选题30．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知一元二次方程210x mx -+=的两根都在(0,2)内，则实数m 的取值A ．13t -≤≤B ．31t -≤≤C ．1t ≤-或3t ≥D ．3t或1t ≥32．（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）设m 为实数，2(1)1y m x mx m =+-+-，若不等式0y >的的取值范围为（ ）34．（2022秋·高一单元测试）已知二次函数24y x x =-，一次函数y kx =，点()1,A a y 为二次函数图象上的动点，点二、多选题35．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为36．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法正确的是（ ）A ．0a >37．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（ ）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <38．（2022秋·江苏扬州·高一校考期中）已知0b >,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式32330ax x abx b +--≤恒成立.则（ ）三、填空题四、解答题44．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）已知关于x 的不等式2220ax x a --<的解集为。
第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
第4节从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0).(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒]1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |<a (a >0)的解集为(－a ，a ).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形.3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为∅.(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C3.(必修5P80A2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________. 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞4.(2018·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为( ) A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 答案 B5.(2019·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )。
用函数观点看一元二次方程与一元二次不等式
如图，一条抛物线与x轴相交于A、B 两点，其顶点P在折线C－D－E上移 动，若点C、D、E的坐标分别为 （－1，4）、（3，4）、（3，1）， 点B的横坐标的最小值为1，则点A的 横坐标的最大值为（ ）
当点B的横坐标最小值为1时，抛物线顶点 应取（-1，4）。
• 已知抛物线y=2（x-3）（x+1）， 当y＞0时对应的x的范围是（ ） • A．x＞3 B．x＜-1 • C．x＜-1，或x＞3 • D．-1＜x＜3
5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的 一部分，其对称轴为直线x=1， 若其与x轴一交点为B（3，0）， 则由图象可知，不等式ax2+bx+c ＞0的解集是
• 6、如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次 函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3图像上。 • （1）求m的值和二次函数的解析式。（2）请直 接写出使y2> y1时，自变量x的取值范围。（3） 说出所求的抛物线y1=ax2+bx-3可由抛物线y=x2 如何平移得到？
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图 所示，有下列5个结论： ①abc＜0 ②b＜a+c ③4a+2b+c＞0 ④2c＜ 3b ⑤a+b＞m（am+b），（m≠1的实数） 其中正确的结论的有（ ）
用函数观点看一元二次方程与 一元二次不等式
观察函数图像，求方程的解、不等 式的解集。
• （1）、方程ax2+bx+c=0的解 是 ； • （2）、不等式ax2+bx+c>0的解集 是 ； • （3）、不等式ax2+bx+c<0的解集 是 ；
从函数观点看一元二次方程
答案 不是,二次函数的零点是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.
课前预学
课堂导学
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)当函数
值取零时自变量 x 的值,即二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐
标,也称为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
轴的交点的横坐标.
课堂导学
课前预学
解析
1
1
(1)由 3x -2x-1=0 解得 x1=1,x2=- ,所以函数 y=3x -2x-1 的零点为 1 和- .
2
2
3
3
(2)①当 a=0 时,y=-x-1,由-x-1=0 得 x=-1,所以函数的零点为-1.
②当 a≠0 时,由 ax -x-a-1=0 得(ax-a-1)(x+1)=0,解得 x1=
所以二次函数的解析式为 y=-x2+x+2.
(2)由(1)得 y=- x-
1 2 9
+ ,
2
4
9
5
4
4
所以结合图象可知当 1-k> ,即 k<- 时,方程 ax2+bx+c=1-k 无实根.
课前预学
课堂导学
任务 1: 二次函数的零点
已知 ax2+bx+c=0.
问题 1:当 a<0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根与二次函数 y=ax2+bx+c 的图
2022
必修第一册
第二章
2.2
第10讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修
第10讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式知识点一二次函数的零点1．一般地，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当函数值取零时自变量x 的值，即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标，也称为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点．2．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x 轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x 的值，也是函数相应的方程的实数根．知识点二一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系当a >0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点之间的关系如表所示：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两个相异的实数根x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a有一个零点x ＝－b 2a无零点知识点三一元二次不等式及解法1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的解法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系考点一：求二次函数的零点例1(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________；(2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________．【总结】变式求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．考点二：函数的零点个数的判断与证明例2若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．【总结】变式（1）求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．（2）求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．考点三：二次函数零点的分布探究例3(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．【总结】变式已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R).(1)若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围．考点四：不含参数的一元二次不等式的解法例4解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0.【总结】变式（1）不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是()A ．{x |x <－1}B |xC |－1<x D |x <－1或x （2）解不等式：－2<x 2－3x ≤10.考点五：含参数的一元二次不等式的解法例5(1)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(2)已知关于x 的不等式(m 2＋4m －5)x 2－4(m －1)x ＋3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【总结】变式已知函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R)，且y ≤0的解集为[－1，2].(1)求函数y 的解析式；(2)解关于x 的不等式m (x 2－x －2)>2(x －m －1)(m ≥0).考点六：一元二次不等式解集逆向应用例6(多选)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为x |－12<x <2，则下列结论正确的是()C．c>0D．a＋b＋c>0【总结】变式若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()1．函数y＝x2－4x＋3的零点为()A．(1，0)B．(1，3)C．1和3D．(1，0)和(3，0)2．函数y＝x2－2x＋2的零点个数是()C．2D．33．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的________条件．4．讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．5．不等式x(x－9)＜x－21的解集为()A．(3，7)B．(－∞，3)∪(7，＋∞)C．(－7，－3)D．(－∞，－7)∪(－3，＋∞)6．已知a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是()A．{x|x＞5a或x＜－a}B．{x|x＜5a或x＞－a}C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}7．(多选)关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列正确的是() A．a＜0B．关于x的不等式bx＋c＞0的解集为(－∞，－6)C．a＋b＋c＞0D．关于x的不等式cx2－bx＋a＞08．写出一个解集为(－2，3)的一元二次不等式________．9．已知y＝(x－a)(x－2).(1)当a＝1时，求不等式y＞0的解集；(2)解关于x的不等式y＜0.1．若x 1，x 2是二次函数y ＝x 2－5x ＋6的两个零点，则1x 1＋1x 2的值为()A ．－12B ．－13C ．－16D ．562．函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋a 的零点个数为()A ．1B ．2C ．1或2D ．03．关于x 的函数y ＝x 2－2ax －8a 2(a >0)的两个零点为x 1,x 2，且x 2－x 1＝15，则a ＝()A ．52B ．72C ．154D ．1524．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是()A |x B |－13≤xC ．∅D |x 5．若一元二次不等式kx 2－2x ＋k ＜0的解集为{x |x ≠m }，则m ＋k 的值为()A ．－1B ．0C ．－2D ．26．已知函数y ＝x 2－6x ＋5－m 的两个零点都大于2，则实数m 的取值范围是()A ．[－4，－3)B ．(－4，－3]C ．(－4，－3)D ．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)7．(多选)若关于x 的一元二次方程(x －2)·(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中正确的是()A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－14C．当m>0时，2<x1<x2<3D．当m>0时，x1<2<3<x28．若一元二次不等式kx2－2x＋k＜0的解集为{x|x≠m}，则m＋k的值为()A．－1B．0C．－2D．29．(多选)函数y＝(x－2)(x－4)－1有两个零点x1，x2，且x1＜x2，下列关于x1，x2的关系中错误的有() A．x1＜2且2＜x2＜4B．x1＞2且x2＞4C．x1＜2且x2＞4D．2＜x1＜4且x2＞410．函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为________．11．求下列函数的零点．(1)y＝x－2x－3；(2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2).12．已知函数y＝ax2＋bx＋1有两个零点x1，x2，则“|a|≥1”是“|x1|＋|x2|≤2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件13．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是()A．函数一定有两个零点B．a>0时，函数一定有两个零点C．a<0时，函数一定有两个零点D．函数的零点个数是1或214．一元二次不等式x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)的解集中有3个整数，则实数a的取值范围为________．15．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是________________．16．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.17．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>12，求实数a的取值范围．18．已知二次函数y＝x2－4x＋2k.(1)若二次函数y＝x2－4x＋2k有零点，求实数k的取值范围；(2)如果k是满足(1)的最大整数，且二次函数y＝x2－4x＋2k的零点是二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的一个零点，求m的值及二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的另一个零点．。