数列求通项与求和总结(精)
数列求和与求通项公式方法总结
数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。
首先，我们来讨论数列的求和问题。
数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。
数列求和的方法主要有以下几种。
1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。
这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。
2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。
这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。
4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。
这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。
其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。
数列求通项公式的方法主要有以下几种。
1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
数列求和及求通项方法总结
数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1312--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1kn n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项②形如kn n a n ++=1，可裂项成)(1n k n ka n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。
例：已知数列122-+=n a nn ，求前n 项和n S5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。
二、方法剖析1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n s a a n n n例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+则)1(12f a a =- )2(23f a a =-所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k nk f a a例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a nn =+ ......累加则)1()......2()1(12312-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n nn ，其中{}的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1(11-+=-++p ba p pb a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p b a n 。
数列的通项与求和例题和知识点总结
数列的通项与求和例题和知识点总结一、数列的通项在数列中，通项公式是指第 n 项 an 与项数 n 之间的关系式。
（一）等差数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
其通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中a1 为首项，d 为公差。
例如：数列 2，5，8，11，14，是一个首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3 的等差数列，其通项公式为 an ＝ 2 ＋（n 1)×3 ＝ 3n 1 。
（二）等比数列的通项公式若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
其通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，q 为公比。
例如：数列 2，4，8，16，32，是一个首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2 的等比数列，其通项公式为 an ＝ 2×2^（n 1) ＝ 2^n 。
（三）常见的求通项公式的方法1、观察法通过对数列前几项的观察，找出规律，从而推测出通项公式。
例如：数列 1，3，5，7，9，很容易观察出其通项公式为 an ＝ 2n1 。
2、累加法当数列的递推关系为 an an 1 ＝ f(n) 时，可用累加法求通项公式。
例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an an 1 ＝ n ，求 an 。
因为 an an 1 ＝ n ，所以a2 a1 ＝ 2a3 a2 ＝ 3an an 1 ＝ n将上述式子相加得：an a1 ＝ 2 ＋ 3 ＋＋ n所以 an ＝ a1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n ＝ 1 ＋（2 ＋ 3 ＋＋ n) ＝ 1 ＋ n(n＋ 1)／2 。
3、累乘法当数列的递推关系为 an ／ an 1 ＝ f(n) 时，可用累乘法求通项公式。
例如：已知数列｛an} 满足 a1 ＝ 1，an ／ an 1 ＝ n ，求 an 。
因为 an ／ an 1 ＝ n ，所以a2 ／ a1 ＝ 2a3 ／ a2 ＝ 3an ／ an 1 ＝ n将上述式子相乘得：an ／ a1 ＝ 2×3××n所以 an ＝ a1×2×3××n ＝ n! 。
数列求通项与求和重难点梳理
数列求通项与求和重难点梳理山东省淄博市博山区实验中学 张健发表于《教学考试》一、求数列的通项1.已知数列是等差、等比数列，直接套用公式求通项【例1】已知各项为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意n N +∈均有246n n S S +=+成立.求等比数列{}n a 的通项n a .【解析】（Ⅰ）由已知，得31424646S S S S =+⎧⎨=+⎩，，①②②-①，得424a a =，所以2424a q a ==， 又因为等比数列{}n a 各项为正数，所以2q =. 又由①，得311(12)4612a a -=+-，所以12a =. 所以=2n n a .2.已知数列的递推公式求通项（1）公式法：“从右向左”利用公式11 1 2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，. 【例2】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--，且211a =，求数列{}n a 的通项n a .【解析】因为2122232(21)S a a a =+=-⨯-，又因为211a =，所以15a =.当2n ≥时，由3(1)n n S na n n =--，①得11(1)3(1)(2)n n S n a n n --=----，②①-②，得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=----+--，得1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-，即16n n a a --=.所以数列{}n a 是以5首项，6为公差的等差数列.所以16(1)61n a a n n =+-=-.（2）衍生法：用递推公式与其衍生形式相减或相除.【例3】已知数列{}n a 满足：1n n a a n +-=，若数列{}n b 满足：14b =，3122331313131n n n b b b b a =++++++++ ，求数列{}n b 的通项公式. 【解析】由122313131n n n b b b a =++++++ ，① 得11212131313131n n n n n b b b b a +++=++++++++ ，② ②－①，得11131n n n n b a a n +++=-=+，即11(31)n n b n ++=+. 所以411( 31)2n n n b n n =⎧=⎨-+≥⎩，（），． 【评注】有的递推公式n 取不同的值，其长度不变，是“无弹性”的，如例2；有的递推公式n 取不同的值，其长度改变，是“有弹性”的，如例3.（3）累加法：若()11n n a a a a f n +=⎧⎪⎨=+⎪⎩， 则1211()+()n n n a a a a a a -=+-+-….（4）累乘法：若()11n na a a f n a +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 则2111n n n a a a a a a -=⨯⨯⨯…. （5）化归法：若数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，求其通项n a 时一般要采取“迂回战术”， 即构造（题目中常常已构造好）一个与数列{}n a 有关的等差数或等比数列{}n b ，使()n n b f a =，先求n b ，再解出n a .【例4】已知数列{}n a 中，111 1,33?n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩，为奇数，为偶数，证明数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求2n a . 【解析】设232n nb a =-，则1213131(1)2326b a a =-=+-=-. 因为2(1)(21)112233223322n n n n n n a a b b a a ++++--==-- 21213(21)3232n n a n a +⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦=- []22133(2)(21)3232n n a n n a -⋅++-=- 2211132332n n a a -==-. 所以数列23{}2n a -是以16-为首项，13为公比的等比数列. 所以123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭. 二、求数列的前n 项和 1. “从左向右”利用公式11 1 2-=⎧=⎨-≥⎩，，n nn S n a S S n . 【例5】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--，且211a =，数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---，得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=-，即131n n S S n n --=-.所以数列{}n S n是以3为公差的等差数列. 又因为2226822S a -==， 所以83(2)32n S n n n =+-=+，即232n S n n =+. 【评注】例2和例5的已知条件一样，求解时用的都是公式11 1 2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，，值得注意的是，前者是“逆用”公式，后者是“正用”公式.2.倒序相加法：如果数列{}n a 首末两端等“距离”的两项的和相等时常可用此法.比如，等差数列的前n 项公式就是用此法推导的. 121 n n n S a a a a -=++++…，①121 n n n S a a a a -=+++…，②①+②，得12112()()()n n n n S a a a a a a -=+++++…1()n n a a =+，所以12()n n S n a a =+，即1()2n n n a a S +=. 3.错位相减法：数列{}n a 的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的常可用此法.4.裂项相消法：如果将数列{}n a 的每一项分解后求和就可以消去诸多项而剩余有限项时常可用此法.【例6】（1）数列{}n a 满足：1(1)n a n n =+，则数列{}n a 的10项和9S =___________. （2）数列{}n a 满足：21(1)(1)n n n a n n +=-+，则数列{}n a 的10项和9S =___________. 【解析】（1） 因为111(1)1n a n n n n ==-++， 所以10S =11111(1)()()223910-+-+⋅⋅⋅+-1911010=-=. （2） 因为2111(1)(1)()(1)1n n n n a n n n n +=-=-+++， 所以10S =11111(1)()()223910--+++⋅⋅⋅++1911010=-+=-. 【评注】“裂项”只是一种手段，“相消”才是的目，因此，“裂项”时思路要开阔，不拘一格.5.分组转化法：若数列{}n a 是由若干个等差数列、等比数列或可求和的数列组成时可用此法．【例7】设(35)2n n c n =+-，求数列{}nc 的前n 项和nT . 【解析】因为132n n n c c +-=-，所以1n =时，2110c c -=>，即12c c <； 2n ≥时，10n n c c +-<，即1n n c c +>.所以1234n c c c c c <>>>>>…….又因为16c =，27c =，36c =，41c =，512c =-，…，所以数列{}n c 的前4项为正，从第5项开始往后各项都为负.①当4n ≤时，211212313||||||222n n n n n n T c c c c c c ++=+++=+++=-+……； ②当5n ≥时，12||||||n n T c c c =+++…12345n c c c c c c =+++--…121234()2()n c c c c c c c =-+++++++…2131340(22)2n n n ++=--+ 213132382n n n ++=-++. 所以2121313224231323852n n n n n n S n n n ++⎧+-+≤⎪⎪=⎨+⎪-++≥⎪⎩，，. 【例8】设11()? 21 (2)n n n n a n n n -⎧⋅⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，奇，偶为数为数，求数列{}n a 的n 项和n S . 【解析】（1）当n 为偶数时，022111[1()3()(1)()]222n n S n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 1111111[()()()]224462n n +-+-+⋅⋅⋅+-+. 设0221111()3()(1)()222n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，① 则2241111()1()3()(1)()2222n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，② ①-②，得：024********()2[()()()](1)()422222n n T n -=⋅+++⋅⋅⋅+--⋅， 11()314212(1)()14214n n n T n -=+⋅--⋅-， 得：2012201()992n n n T +=-⋅. 所以，2012201()9924(2)n n n n S n +=-⋅++. （2）当n 为奇数时， 1n +为偶数11n n n S S a ++=-1201232111[()]9924(3)(1)(3)n n n n n n +++=-⋅+-+++ 120123211()9924(1)n n n n ++-=-⋅++. 综上，12012201()? 9924(2)20123211()? 9924(1)n n n n n n n S n n n n ++⎧-⋅+⎪+⎪=⎨+-⎪-⋅+⎪+⎩，是偶，是奇数数. 【评注】例7和例8主体上采用的都是“分组转化法”，具体环节上，例7采用的是直接套用等差、等比数列前n 项和公式的方法，例8采用的是“错位相减法”、“裂项相消法”.。
数列的通项公式与求和公式总结
数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。
以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。
等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。
求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。
等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。
求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。
求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。
这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。
在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。
数列的通项与求和计算方法总结
数列的通项与求和计算方法总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列的通项与求和计算方法总结第一章 数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
(完整版)数列通项公式及其求和公式
一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题： 已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =， 将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列； 当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式 解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列 例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
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数列求和方法等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+L ．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L ．由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502⨯+==．二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求222222222222123101102938101++++++++L 的和． 分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．解：设222222222222123101102938101S =++++++++L 则222222222222109811012938101S =++++++++L ． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=L ，． 小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 三、裂项相消法如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.例3 已知222112(1)(21)6n n n n +++=++L ， 求 22222222235721()11212312n n n*+++++∈++++++N L L 的和． 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和.解：22221216112(1)(1)(21)6n n n a n n n n n n ++===++++++Q L ，11161223(1)111116122311611ln .1n S n n n n n n ⎡⎤∴=+++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=+L L小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法. 四、错位相减法源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法.例4 求2335(21)nx x x n x ++++-L 的和．解：当1x ≠时，21122(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x-+--=+----；当1x =时，2n S n =．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. 五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例5 求数列11111246248162n n ++L ，，，，，L 的前n 项和n S ． 分析：此数列的通项公式是1122n n a n +=+，而数列{2}n 是一个等差数列，数列112n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等比数列，故采用分组求和法求解． 解：23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++⎛⎫=+++++++++=++-⎪⎝⎭L L ． 小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.求通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n na 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解：22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--Q 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －32．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =g g g（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：132ni i T =<∑解：（I ）21114122333a S a ==-⨯+，解得：12a = ()2111144122333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++⇒+=+所以数列{}2n n a +是公比为4的等比数列所以：()111224n n n a a -+=+⨯得：42n nn a =- （其中n 为正整数）（II ）()()()1114124122242221213333333n n n n n n n n S a +++=-⨯+=--⨯+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪----⎝⎭所以： 1113113221212ni n i T +=⎛⎫=⨯-< ⎪--⎝⎭∑ 三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L所以3 1.nn a n =+-评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231nn n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
例5已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++L L L因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nn n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232*********()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+L ，即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。