切平面和法线
微分的几何意义和定义
微分的几何意义和定义微分是数学中的一个重要概念，其几何意义和定义是理解微分的关键。
微分的几何意义是刻画曲线、曲面等几何图形的某一点的局部性质。
在微分中，重要的概念是切线、法线和切平面。
以曲线为例，设函数 y=f(x) 在点 P 处有切线，该切线与 x 轴的交点为 A，则有：$f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta y\approx f'(x)\Delta x$其中，$y=f(x)$ 是曲线上的一点，$\Delta x$ 为极小增量，$\Delta y$ 是相应的函数值增量，$f'(x)$ 是函数$f(x)$ 在点 $x$ 处的导数。
上述式子表示函数在 $x$ 点处的微小变化对应于函数在 $x$ 点处的切线根据$x$ 增量 $\Delta x$ 产生的变化。
这个切线是定性地描述函数在 $x$ 点的局部性质的基础。
当 $\Delta x$ 趋近于 0 时，切线趋近于与曲线相切的状态。
2.微分的定义微分是函数的导数和自变量的微小变化量之积。
设 $y=f(x)$，在点 $x$ 处微分$dy$ 定义为：$dy=f'(x)dx$对于一元函数$f(x)$，微分的定义可以推广到多元函数 $z=f(x,y)$ 上。
在二元函数$z=f(x,y)$ 中，在点 $(x_0,y_0)$ 处，有：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$其中，$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 分别表示 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，$dx$ 和 $dy$ 分别表示自变量 $x$ 和 $y$ 的极小增量。
微分 $dz$ 可以视为函数在 $(x_0,y_0)$ 点处的平面的局部性质，即该点的切平面。
总的来说，微分是函数在某一点的局部性质的刻画。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。
设其方程为，且对应于点；不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。
该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。
记为G。
基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。
设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。
由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。
记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。
，y。
）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。
)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。
, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解 设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节 微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程 空间曲面的切平面和法线方程 小结 思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一， 故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在 同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
一,空间曲线的切线与法平面
基本情形
⎧ x = x ⎪ 对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨ y = ϕ ( x ) , ⎪z = ψ (x) ⎩ 故在 M ( x , y , z )处,
0 0 0
切向量：
T = (1,ϕ ( x0 ),ψ ′( x0 ) )
切线方程为
法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ϕ ′( x 0 ) ψ ′ ( x 0 ) 1
T
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
n⊥T d 事实上,由 F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] ≡ 0 ⇒ F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] = 0 dt 即 Fx ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy ⋅ψ ′( t0 ) + Fz ⋅ ω ′( t0 ) = 0
dz x − y = , dx y − z
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⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
= (1, 0,−1),
所求切线方程为 x − 1 = y + 2 = z − 1 , −1 1 0 法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
【分析】 为隐式情形 【解】 令 F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3,
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4,
第14章第5节曲面的切平面与法线
§14.5. 曲面的切平面与法线 在 M 0 点（设 M 0 点对应于参数 t t0 ）有
(Fx )M0 x(t0 ) (Fy )M0 y(t0 ) ( Fz )M0 z(t0 ) 0
上式说明法向量 n (( Fx ) M0 ,( Fy ) M0 ,( Fz ) M0 )与切向量
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 4 6
11
§14.5. 曲面的切平面与法线
4.曲面的夹角
两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两 个曲面在该点的夹角。
如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲 面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这 两曲面为正交曲面。
法线方程为
X x0 Y y0 Z z0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) fx fy 1
7
§14.5. 曲面的切平面与法线
3.若曲面方程为参数形式：
x x( u, v ), y y( u, v ), z z(u, v )
如果由方程组 x x( u, v ), y y( u, v ) 可以确定两个函数： u u( x, y), v v( x, y)
2 x,
2 y, 2z
即
x,
y, z
锥面 G( x, y, z ) x 2 y 2 tg2 z 2 0 的法线方向数为
x,
y , z tg 2
在两曲面交线上的任一点 ( x0 , y0 , z0 ) 处，两法向量的内积
2 2 2 ( x0 , y0 , z0 ) ( x0 , y0 , z0 tg2 ) x0 y0 z0 tg2
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Fz (1, 2 , 0 ) 1 e z (1, 2 , 0 ) 0,
切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0,
§5. 曲面的切平面与法线 证明
2 x,
球面 F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 2 0 的法线方向数为
2 y, 2z
即
x,
y, z
锥面 G( x, y, z ) x 2 y 2 tg2 z 2 0 的法线方向数为
x,
( Fy ) M 0
2 2 ( Fx )2 ( F ) ( F ) M0 y M0 z M0
( Fz ) M0
2 2 ( Fx )2 ( F ) ( F ) M0 y M0 z M0
§5. 曲面的切平面与法线
Hale Waihona Puke 若曲面方程为z f ( x, y )
容易把它化成刚才讨论过的情形：
X x0 Y y0 Z z0 D( y , z ) D( z , x ) D( x , y ) D ( u, v ) M D ( u, v ) M D ( u, v ) M
0 0
0
§5. 曲面的切平面与法线 例 1 求球面 x 2 y 2 z 2 14 在点 (1, 2, 3) 的切平面 及法线方程.
§5. 曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) 0
过曲面上点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 任作一条在曲面上的曲线 l ， 设其方程为
x x(t ),
显然有
y y(t ), z z(t )
F ( x(t ), y(t ), z(t )) 0
n
M
T
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
设 , , 分别为曲面在 M 0 点的法线与 x , y , z 轴正向之 间的夹角，那末在 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 点的法线方向余弦为
cos cos cos ( Fx ) M0
2 2 ( Fx )2 ( F ) ( F ) M0 y M0 z M0
2( x 1) 4( y 1) 6( z 1) 0,
法线方程为
x 2 y 3z 0,
x 1 y 1 z 1 . 2 4 6
§5. 曲面的切平面与法线
例 4 求曲面 z e 2 xy 3 在点 (1,2,0) 处的切
z
平面及法线方程. z 解 令 F ( x, y, z ) z e 2 xy 3,
F ( x, y, z ) 0
则该曲面在 M 0 点的切平面方程为
(Fx )M0 ( X x0 ) (Fy )M0 (Y y0 ) (Fz )M0 ( Z z0 ) 0
过 M 0 点的法线方程为
X x0 Y y0 Z z0 ( Fx )M0 ( Fy )M0 ( Fz )M0
§5. 曲面的切平面与法线 在 M 0 点（设 M 0 点对应于参数 t t0 ）有
(Fx )M0 x(t0 ) (Fy )M0 y(t0 ) (Fz )M0 z(t0 ) 0
上式说明法向量n (( Fx ) M0 ,( Fy ) M0 ,( Fz ) M0 )与切向量
x ' t , y ' t , z ' t 正交。
法 向 量n {2 x0 ,4 y0 ,2 z0 }
切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 2z0 ( z z0 ) 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 2 z 0 , 1 1 2
2 x0 4 y0 z0 .
2 x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0 . 2 1 0
§5. 曲面的切平面与法线
例5 求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1的切平面，使其与平面 x y 2z 0 平行. 解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
y , z tg 2
在两曲面交线上的任一点 ( x0 , y0 , z0 ) 处，两法向量的内积
2 2 2 ( x0 , y0 , z0 ) ( x0 , y0 , z0 tg2 ) x0 y0 z0 tg2
因 ( x0 , y0 , z0 ) 在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥 面正交。
§5. 曲面的切平面与法线 于是曲面在 M 0 点的切平面方程为
D( y , z ) D( z , x ) D( x , y ) ( X x0 ) (Y y0 ) ( Z z0 ) 0 D ( u, v ) M D( u, v ) M D( u, v ) M
0 0 0
法线方程
0 0 0
由于 l 的任意性，可见曲面上过 M 0 的任一条曲线 在 该点的切线都与 n 正交，因此这些切线应在同一平面 上，这个平面称为曲面在 M 0 点的切平面，而 n 就是 切平面的法向量。 从而曲面在 M 0 点的切平面方程为
(Fx )M0 ( X x0 ) (Fy )M0 (Y y0 ) (Fz )M0 ( Z z0 ) 0
§5. 曲面的切平面与法线
过 M 0 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 M 0 点的 法线，其方程为
X x0 Y y0 Z z0 ( Fx )M0 ( Fy )M0 ( Fz )M0
该法线的一组方向数为：
(F )
x M0
, ( Fy ) M0 , ( Fz ) M0
§5. 曲面的切平面与法线 综上所述若曲面方程为
解
则
设
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 14
Fx 2 x, Fy 2 y, Fz 2z Fx (1,2,3) 2, Fy (1,2,3) 4, Fz (1,2,3) 6
所以在点 (1, 2, 3) 处 球面的切平面方程为
2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0
§5. 曲面的切平面与法线
因为 ( x0 , y0 , z0 )是曲面上的切点， 2 , 满足方程 x0 11
所求切点为 切平面方程
2 1 8 11 , 22 , 11 ,
11 x y 2z 2
§5. 曲面的切平面与法线
§5. 曲面的切平面与法线
在上式两端对 t 求导，得
(Fx ) x(t ) (Fy ) y(t ) (Fz )z(t ) 0
§5. 曲面的切平面与法线
n
M
T
曲线在M0的切向量为 x ' t0 , y ' t0 , z ' t0 , 法向量为 Fx
x0 , y0 , z0 , Fy x0 , y0 , z0 , Fz x0 , y0 , z0
F ( x, y, z ) f ( x, y ) z 0
于是曲面在 ( x0 , y0 , z0 ) （这里z0 f ( x0 , y0 ) ）点的切平面 方程为
f x( x0 , y0 )( X x0 ) f y( x0 , y0 )(Y y0 ) ( Z z0 ) 0
z z x z y u x u y u z z x z y v x v y v
解方程组，得
z D( y, z ) D(u, v ) x D( x , y ) z D( z , x ) , D(u, v ) y D(u, v ) D( x , y ) D(u, v )
代入方程 z z( u, v ) ，得
z z( u( x, y ), v( x, y ) )
于是可以将 z 看成 x , y 的函数，从而可以将问题化为 刚才已经讨论过的情形。 因此需分别计算 z 对 x , y 的偏导数。
§5. 曲面的切平面与法线 将 z z( u( x, y), v( x, y ) ) 分别对 u, v 求导，注意到 x , y 为 的函数按隐函数求导法则有 u, v
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 4 6
§5. 曲面的切平面与法线 曲面的夹角 两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲 面在该点的夹角。 如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在 该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲 面为正交曲面。
2 2 2 2 例 2 证明对任意常数 , ，球面 x y z 与锥 2 2 2 2 面 x y =tg z 是正交的。
§5. 曲面的切平面与法线
例3
求 椭球面 x 2 y 3z 6
2 2 2
在点 (1,1,1) 处的切平面及法线方程 .
解
F ( x, y, z ) x 2 2 y 2 3z 2 6,
n (1,1,1) {2 x, 4 y, 6 z} (1,1,1)
切平面方程为
{2,4,6},
法线方程为
X x0 Y y0 Z z0 f x ( x0 , y0 ) f y( x0 , y0 ) 1
§5. 曲面的切平面与法线 若曲面方程为参数形式：
x x(u, v ), y y(u, v ), z z(u, v )