曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一类特殊图形，它是由一个或多个曲线旋转、平移、拉伸、变形等操作形成的。
在数学中，曲面是非常重要的研究对象，它不仅在几何学、拓扑学、微积分等数学领域中有广泛应用，还在物理学、工程学、计算机图形学等应用领域中得到了广泛的应用。
对于曲面的研究，其中一个重要的问题是如何确定曲面上任意一点的切平面和法线方程。
本文将介绍曲面的切平面方程和法线方程公式，以及如何应用这些公式解决实际问题。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面是指与曲面在某一点相切的平面。
在数学上，我们可以通过求出曲面在该点的切向量来确定该点的切平面。
切向量是指曲面在该点的切线方向的向量，它与曲面在该点的法向量垂直。
设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是曲面上任意一点(x,y,z)的函数，点P(x0,y0,z0)是曲面上的一个点，它的切向量为：grad F(x0,y0,z0) =(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))其中Fx、Fy、Fz分别表示F对x、y、z的偏导数。
因为切向量与切平面垂直，所以曲面在点P的切平面的法向量为：n = (Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)) 假设切平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C是切平面的法向量的三个分量，D是一个常数。
由于点P在切平面上，所以有：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0将切平面的法向量代入上式得：Fx(x0,y0,z0)x0 + Fy(x0,y0,z0)y0 + Fz(x0,y0,z0)z0 + D = 0因此，切平面的方程为：Fx(x0,y0,z0)x + Fy(x0,y0,z0)y + Fz(x0,y0,z0)z + D = 0 其中D=-Fx(x0,y0,z0)x0 - Fy(x0,y0,z0)y0 -Fz(x0,y0,z0)z0。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。
设其方程为，且对应于点；不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。
该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。
记为G。
基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。
高等数学：9-3空间曲面的切平面与法线
Fz ( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
令 T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切向量 T n 由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量
T
点 M 的切向量为
M T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) x x0 y y0 z z0 切线方程为 (t0 ) (t0 ) (t0 ) 下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
的平面上 , 从而切平面存在 .
曲面 在点 M 的法向量:
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
n
(1, 2, 3 )
(2 , 4 , 6)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2( x 1) 4( y 2) 6( z 3) 0 即
法线方程
x 1 y 2 z 3 2 1 3
(0,0,0)在法线上， 可见法线经过原点，即球心。
例2 求曲面z = f ( x, y) = x 2 + y 2 + 1在点（1, 2, 6）处的切平 面及法线方程．
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。
设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。
由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。
记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。
，y。
）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。
)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。
, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。
多元微分学应用曲面的切平面与法线
则 n T , 由 M 于 曲 线 是 曲 面 上 通 过 的 任 意 一 条 M n 曲 线 ， 它 们 在 的 切 线 都 与 同 一 向 量 垂 直 ， 故 M M 曲 面 上 通 过 的 一 切 曲 线 在 点 的 切 线 都 在 同 一 M 平 面 上 ， 这 个 平 面 称 为 曲 面 在 点 的 切 平 面 .
小结
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
3 x y z 16 相 切 ， 求 .
2 2 2
3 x y 3 z 16 0 如 果 平 面 与 椭 球 面
思考题解答
x ,y ,z ), 设切点 ( 0 0 0
n { 6 x , 2 y , 2 z }, 0 0 0
{ F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z ) 令n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
切平面方程为
F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 F ( x , y , z )( z z ) 0 z 0 0 0 0
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx fy
2 x 2 y
cos
fy
,
其中
f f ( x , y ) x x 0 0
f f ( x ,y ) y y 0 0
2 2 ( 2 , 1 , 4 ) z x y 1 例 3求 旋 转 抛 物 面 在 点
处 的 切 平 面 及 法 线 方 程 .
1、曲 线 x
线 平行 于平 面 x 2 y z 4. 三 、求 球面 x 2 y2 z2 6与 抛 物面 z x2 y2 的 交 线 在 ( 1 ,1 , 2 ) 处 的 切 线 方 程 .
曲面的切平面方程和法线方程公式
曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维对象，它可以用数学公式来表示。
在研究曲面的性质时，我们需要了解曲面的切平面方程和法线方程。
本文将详细介绍这两个公式的含义和应用。
一、曲面的切平面方程曲面的切平面方程是指曲面上某一点处的切平面的方程。
切平面是指与曲面在该点处相切的平面。
在三维空间中，一个平面可以用一个法向量来表示。
因此，曲面的切平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C是平面的法向量的三个分量，D是平面的截距。
为了求出切平面的方程，我们需要先求出曲面在该点处的法向量。
曲面的法向量可以通过求取曲面的梯度来得到。
梯度是一个向量，它指向函数在某一点处的最大增加方向。
对于曲面f(x,y,z)，它的梯度可以表示为：grad f = (fx, fy, fz)其中，fx、fy、fz分别表示曲面在x、y、z三个方向上的偏导数。
因此，曲面在某一点处的法向量可以表示为：n = (fx, fy, fz)然后，我们可以将该向量作为平面的法向量，求出切平面的方程。
例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的切平面方程可以表示为：2x(x-1) + 2y(y-1) - 2z = 0二、曲面的法线方程曲面的法线方程是指曲面上某一点处的法线的方程。
法线是指与曲面在该点处垂直的向量。
在三维空间中，一个向量可以用一个点和一个方向来表示。
因此，曲面的法线方程可以表示为：r = r0 + tn其中，r0是曲面上的一点，n是曲面在该点处的法向量，t是一个实数，r是曲面上的一条直线。
曲面的法线方程可以用于求取曲面上的切线。
通过将t取为0，我们可以得到曲面上与该点处切平面相切的一条直线。
例如，对于曲面f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2，在点(1,1,0)处的法线方程可以表示为：r = (1,1,0) + t(2,2,0)通过令t=0，我们可以得到曲面在该点处的切线方程：x = 1 + 2ty = 1 + 2tz = 0三、曲面的应用曲面的切平面方程和法线方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
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曲面的切平面与法线方程
令狐采学
设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且
，过点任意引一条位于曲面Σ
上的曲线Γ。
设其方程为，且对应于点；
不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有
及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：
1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为
.
法线方程为
.
2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为
.
过X0的法线方程为
.
注：方法2实际上是方法1中取的情形.
3、若曲面∑由参数方程
x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)
给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为
和
三、答疑解惑
问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？
注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.
Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);
Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).
它们在点X0处的切向量分别为
当时，得∑在点X0处的法向量为
则∑在点X0处的法向量为
.
四、典型例题
例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.
解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为
，
即x + 2y + 3z = 6.
所求法线方程为，
即.
例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.
解设切点为. 曲面，因此.
则曲面在处的法向量为.
曲面在点X0处的切平面方程为
又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此
解得切点坐标为，
所求切平面方程为
，
即.
例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.
解点对应曲面上的点其中
.
则曲面在点处的法向量为
.
所求曲面在点X0处的切平面方程为
即.
所求的法线方程为
即.
例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.
解过直线的平面方程可设为
，
即，
其法向量为.
记，则
设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.
且有
由(1)、(3)解得
,
代入(2)得
.
解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.
则所求切平面方程为
，
或.
即 6x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5.
例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.
证明，
.
故曲面上点处的法向量为.
则过曲面上点的切平面方程为
，
整理后得
.
注意到，从上述方程得切平面方程为
.
可知其必定过原点.。