3曲面的切平面与法线

曲面的切平面与法线

设有光滑曲面0

),,(:=Σz y x F 通过其上定点),,(000z y x M 任意引一条光滑曲线],[),(),(),(:βα∈===Γt t z z t y y t x x )(),(),(000t z t y t x ′′′对应点M ,

0t t =则Γ在M 的切向量为：)}

(),(),({000t z t y t x T ′′′=

切线方程

()()()

00

0000t z z z t y y y t x x x ′−=

′−=′−Γ

T

M

设且不全为0，

证明:由于∑上过点M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 此平面称为∑在该点的切平面.下面证明：

)(),(),(:t z z t y y t x x ===Γ在∑上.故

))(),(),((=t z t y t x F 两边在0t t =处求导,得

()()()()()()0

,,,,,,000000000000=′+′+′t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x 令：

)},(),(),({000t z t y t x T ′′′= ()()()}

,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x = 有：n

T

⊥

曲面∑在点M 的法向量()()()}

,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =

()()()()()()0

,,,,,,000000000000=−+−+−z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 过M 点且垂直于切平面的称为曲面∑在点M 的法线.法线方程：

()()()

0000

00000000,,,,,,z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x −=

−=−切平面方程：

142

2

2

=++z y x 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.

解:令

14),,(2

22−++=z y x z y x F 法向量：)3,2,1()3,2,1(}2,2,2{z y x n =

故球面在点(1,2,3)处的切平面方程：

()()03624)1(2=−+−+−z y x 即0

1432=−++z y x 法线方程：

3

3

2211−=−=−z y x 例.求球面}

6,4,2{=