第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题

第二章 曲面的表示与曲面论
第三节 曲面的
切平面和法线、 光滑曲面
1、 平面曲线的切线与法线
设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,
),(0
y x P 是其上一定点。

在该点的切线斜率为
)
,()
,()(00000y x F y x F x y y x ''-
='. 从而曲线过点),(000y x P 的
切线方程为
)
()
,()
,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,
即0
(,)()(,)()0x
y
F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为
(,)()(,)()0y
x
F x y x x F x y y y ''---=，(2)
例1、 求笛卡尔叶形线09)(23
3
=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.
解 xy y x y x F 9)(2),(3
3
-+=, y x F x 962
-=',x y F y
962
-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y
x F F , 得到
切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.
图(1)
2、 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线L 的方程为
)(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0
, )(),(),(0
t z z t y y t x x ===,
动点
L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0
. 动割线P P 0
的方程为
t
z z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-0
00,
当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0
的极限位
置l : 0
()()()
x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0
P 的切线.
其方向向量为 0
{(),(),()}x t y t z t τ'''= 。

过0P 且与切线垂直的平面叫做曲线L 在点0
P 的法平面,其方程为
... (4)
例2 求螺旋线t z t y t x ===,s i n 2,c o s 2 在点)4/,1,1(π的切线方程与法平面方程.
解 切向量为}1,1,1{-=τ ,切线
方程为 1
4
/1111π-=
-=--z y x ; 法
平面方
程为
0)4/()1()1(=-+-+--πz y x ,即 04/=+--πz y x .
图(2)螺旋线的切线与法平面
3
曲面的切平面与法线
设曲面S 的一般式方程为 0),,(=z y x F ，
),(y x z z =是由该方程确定
的隐函数，则z
x F F x z ''-=∂∂，z
y F F y z
'
'-=∂∂.设S z y x P ∈),,(0
,
令
)
,,(000z y x F A x '=,
)
,,(),,,(000000z y x F C z y x F B z y '='=,
则曲面S 在点P 的切平面方程的法向量可表为
... (5)
于是切平面π的方程为0)()()(0
=-+-+-z z C y y B x x A ;
法线方程为C
z z B y y A x
x 0
00
-=-=
-.
定理 设曲面S 的一般式方
程为 0),,(=z y x F ，S z y x P ∈),,(0
, {})0,0,0(,,≠=C B A n .设曲线L :)(),(),(t z z t y y t x x ===是曲面S 上过点P 的任意一条可微分曲线,)(),(),(0
t z z t y y t x x ===,
l 为L 在点P 的切线,则n l
⊥. 证明 因为S L ⊂,所以有0))(),(),((≡t z t y t x F .两边对t 求导,再取 0
t t =,得 0)()()(0
00='+'+'t z C t y B t x A … … ① 则)}(),(),({0
00t z t y t x '''=τ 为切线l 的
方向向量.①式表示τ
⊥n .
图(3)
由该定理可见:曲面S 在点P 的切平面π恰好是由S 上过点P 的所有曲线在P 点的切线所织成的平面(如图(3)所示).
例 3 求椭球面0632),,(2
2
2
=-++=z y x z y x F 在点)1,1,1(P 的切平面及法线方程.
解 }6,4,2{=n
, 切平面方程为632=++z y x ;
法线方程为
3
1
2111-=
-=-z y x .
图(4) 椭球面的切平面
4 求两个曲面的交线的切线方程
设曲面1
S ：0),,(=z y x F ，
2
S ：0),,(=z y x G .
曲线L 是1S 与2
S 的交线.000
(,,)P x y z L ∈.如图(5)所示.
n 2
n 1
P
L
图(5)
注意到1
S 、2S 在点P 的法
向量分别为)}(),(),({1
P F P F P F n
z
y
x
'''=
和 )}(),(),({2
P G P G P G n z
y
x
'''=
,由于L 过点P 的切线的方向向量τ 同
时垂直于1n 与2
n
,故可令2
1n n
⨯=τ,得
... (6)
简记为
⎭
⎬
⎫
⎩⎨
⎧∂∂∂∂∂∂==),(),(,),(),(,),(),(},,{y x G F x z G F z y G F n m l τ
,
于是切线方程为 n
z z m y y l x
x 0
00
-=-=
-.
例4求球面
50),,(222=-++=z y x z y x F
与锥面=),,(z y x G 2
2
2
0x y z +-=的交
线在点)5,4,3(P 处的切线与法平面方程. 解
{}z y x z y x gradF 2,2,2),,(= ,{}5,4,31
=n
;
{}z y x z y x gradG 2,2,2),,(-=,{}5,4,32
-=n
;
{}0,3,410
121-=⨯=
n n
τ.
切线方程是0
5
3443-=-=--z y x ,
即
⎩
⎨
⎧==-+-50
)4(4)3(3z y x ;
法平面方程是 0)4(3)3(4=-+--y x , 即034=-y x .
图(6)
球面与锥面交线的切线
例5、 设球面的双参数方程为 )cos ,sin sin ,sin cos (),(ϕϕθϕθθϕr r r f = ，
π)20π,0(≤≤≤≤θϕ。

求过点 )cos ,sin sin ,sin cos (0
00000ϕϕθϕθr r r P 的切平面方程。

提示 ： 因为 ),sin ,cos sin ,cos cos (1ϕϕθϕθϕτr r r f -=∂∂=
).0,sin cos ,sin sin (2ϕθϕθθ
τr r f -=∂∂= 所以, 法向量
)sin cos ,sin sin ,sin cos (2222221ϕϕϕθϕθττr r r n =⨯=
或 ).cos ,sin sin ,sin (cos ϕϕθϕθ=n
故过点0
P 的切平面方程为 ,0)cos (cos )sin sin (sin sin )sin cos (sin cos 0000000000=-+-+-ϕϕϕθϕθϕθϕθr z r y r x 整理得
.0cos sin sin sin cos 00000=-++r z y x ϕϕθϕθ
即 球面2222x y z r ++=在其上一点
000(,,)x y z 处的切平面方程为
2000x x y y z z r ++=。