线性规划的实际应用
线性规划的应用
线性规划的应用1. 简介线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、投资组合、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并以一个实际案例来说明其具体应用。
2. 基本概念2.1 目标函数在线性规划中，我们需要最大化或最小化的目标称为目标函数。
目标函数通常是一个线性函数，表示决策变量的加权和。
2.2 约束条件约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
线性规划的约束条件通常是一组线性等式或不等式。
2.3 决策变量决策变量是我们要求解的问题中的未知数，它们的取值将影响目标函数的值。
3. 应用领域3.1 生产计划线性规划可以用于优化生产计划，以最大化产出或最小化成本。
例如，一个工厂需要决定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
我们可以将每种产品的利润作为目标函数，将生产数量的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.2 资源分配线性规划可以帮助我们合理分配有限资源，以达到最优效益。
例如，一个公司需要决定如何分配有限的人力资源和资金，以最大化销售额。
我们可以将销售额作为目标函数，将人力资源和资金的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.3 投资组合线性规划可以用于优化投资组合，以最大化收益或最小化风险。
例如，一个投资者需要决定如何分配资金到不同的投资标的，以最大化投资组合的收益。
我们可以将投资组合的收益作为目标函数，将资金分配的约束条件表示为线性等式或不等式。
3.4 运输问题线性规划可以解决运输问题，以最小化运输成本或最大化运输量。
例如，一个物流公司需要决定如何安排货物的运输路线和运输量，以最小化运输成本。
我们可以将运输成本作为目标函数，将货物的供应和需求、运输路线的约束条件表示为线性等式或不等式。
4. 案例分析假设某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划的应用与求解方法
线性规划的应用与求解方法线性规划是数学中一种重要的优化方法，被广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、工程学等。
它可以帮助我们在给定的约束条件下，找到最优解，使得目标函数取得最大值或最小值。
本文将介绍线性规划的应用领域以及常用的求解方法。
一、线性规划的应用领域1. 生产与资源分配线性规划可以帮助企业合理安排生产资源，优化生产效率。
例如，一个工厂需要决定如何分配有限的人力、物力和财力，以满足最大产出或最小成本的要求。
线性规划可以帮助企业找到最佳的资源分配方案，提高生产效率。
2. 项目排程与调度线性规划可以用于项目排程与调度问题，帮助规划员安排项目的开始时间、结束时间和资源分配。
例如，在建设一个大型工程项目时，需要考虑多个任务的依赖关系、资源限制和时间限制，线性规划可以帮助规划员合理安排项目进度，最大程度地利用资源。
3. 物流与运输线性规划可以用于优化物流与运输问题。
例如，一个配送中心需要决定如何将货物从不同供应商配送到不同的客户，以最小化运输成本。
线性规划可以帮助物流公司找到最佳的配送路线和运输方案，提高运输效率。
4. 投资与资产配置线性规划可以用于优化投资与资产配置问题。
例如，一个投资者希望在多个资产中进行配置，以最大化收益或最小化风险。
线性规划可以帮助投资者找到最佳的资产配置方案，提高投资收益率。
二、线性规划的求解方法1. 图形法图形法是线性规划最直观的求解方法之一。
它通过绘制目标函数和约束条件所对应的直线或曲线，找到使目标函数取得最大（小）值的交点。
但是，图形法只适用于二维线性规划问题，对于多维问题并不适用。
2. 单纯形法单纯形法是线性规划最常用的求解方法之一。
它通过迭代的方式，在可行域内搜索有效解。
单纯形法首先找到一个基础解，并在每一步中通过改进的方式找到更优的基础解，直到找到最优解为止。
单纯形法可以求解多维线性规划问题，并且具有较高的效率。
3. 对偶理论对偶理论是线性规划的重要理论基础。
它将线性规划问题转化为对偶问题，并通过对偶问题的求解来获得原问题的最优解。
线性规划在实际生活中的应用
应用一：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石8t 、B 种矿石8t,煤5t;生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t,B 种矿石8t,煤10t 。
每吨甲种产品的利润是500元，每吨乙种产品的利润是400元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过320t 、B 种矿石不超过400t 、煤不超过450t 。
甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t 利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+004501054008832048y x y x y x y x ，y x z 400500+=作出以上不等式组所表示的可行域。
作直线l：5x+4y=0，把直线l向右上方平移至1l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=500x+400y取最大值，解方程组⎩⎨⎧=+=+5080 2yxyx得M的坐标为（30，20）答：应生产甲产品30t、乙产品20t，能使利润总额最大。
应用二：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为22m与23m。
用A种规格金属板每张可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板每张可造甲、乙两种产品各6个，问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？（30，20）解答：设A 、B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0055654563y x y x y x目标函数y x z 32+=作出以上不等式组所表示的可行域，如下图所示。
作直线0l ：032=+y x ，把直线向右上方平移至l 的位置时，直线经过可行域上的点M 时，与原点距离最小，此时y x z 32+=取最小值。
解方程组⎩⎨⎧=+=+45635565y x y x 得M 点的坐标为（5，5）此时255352min =⨯+⨯=z答：两种金属板各取5张时，用料面积最省。
线性规划运用举例
线性规划运用举例线性规划是一种经济学和数学领域中的数学优化技术，其主要目的是将某些目标函数在满足一定的约束条件下最大或最小化。
线性规划在现代经济学、决策科学、制造业和生产管理等领域都有广泛的应用。
下面将举例说明线性规划在实际生产和管理中的应用。
1. 生产计划方案优化生产计划方案优化是一个很复杂的问题。
企业的目标是尽可能地减少生产和仓储成本，同时保证所生产的产品能满足市场需求。
线性规划可以帮助企业找到一个最优的计划方案，使得成本最小化，并能够满足市场需求。
例如，生产一种食品有两个不同的发酵温度可以选择。
这个决策需要考虑到提高产量的同时也要保证产品质量。
通过将这个问题转化为线性规划问题，可以确定最佳的温度条件，以最小化生产成本并且保证产品质量。
2. 资源分配问题企业在日常运营中需要管理各种资源，如员工，机器等。
为了确保资源的有效利用，企业需要通过资源分配来确保生产能力最优化。
线性规划可以帮助企业分配资源，使得资源利用更加高效，成本更加低廉和运营更加有效。
例如，在生产线上，可以通过线性规划算法来优化设备的分配和维护计划，使得设备的维护和使用更加平滑，减少因设备故障造成的损失和停机时间。
3. 市场销售策略线性规划也可以帮助企业确定最优的市场营销策略。
在一个竞争激烈的市场中，企业需要考虑产品的定价，销售渠道和营销推广策略等因素。
通过将这些因素转化为线性规划问题，企业可以找到最优的市场营销策略。
例如，在销售一种产品时，企业可以通过确定最优价格来最大化销售收入。
总之，线性规划在生产和管理中的应用非常广泛。
通过线性规划算法可以解决非常复杂的问题，帮助企业做出最优的决策，从而实现成本最小化和收益最大化。
线性规划应用案例
市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。
在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。
对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。
在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。
湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。
REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。
在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。
BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。
宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。
表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。
而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。
应当推荐何种广告媒体选择计划呢？案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。
专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。
市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
高中线性规划
高中线性规划引言概述：高中线性规划是数学中的一个重要概念，它是一种用于解决最优化问题的数学方法。
线性规划可以应用于各种实际情况，如资源分配、生产计划和投资决策等。
本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解决方法和实际应用。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划中的目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式。
它通常表示为一系列变量的线性组合。
1.2 约束条件：线性规划中的约束条件是限制变量取值范围的条件。
这些条件可以是等式或不等式，用于限制解的可行域。
1.3 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
线性规划的目标是找到一个最优可行解，使目标函数达到最小值或最大值。
二、线性规划的解决方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来求解最优解。
最优解通常出现在可行域的顶点上。
2.2 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法是一种高效且广泛使用的线性规划求解算法。
2.3 整数规划：当问题要求变量取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，它在求解过程中限制变量取值为整数。
三、线性规划的实际应用3.1 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如生产线上的机器分配、员工排班和原材料采购等。
通过合理安排资源的使用，可以最大化效益并降低成本。
3.2 生产计划：线性规划可以应用于生产计划中，如确定产品的生产数量和生产时间。
通过最优化生产计划，可以提高生产效率和产品质量。
3.3 投资决策：线性规划可以帮助进行投资决策，如确定投资的资金分配和投资组合。
通过最优化投资决策，可以实现最大化回报和降低风险。
四、线性规划的局限性和发展方向4.1 非线性问题：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题。
对于非线性问题，需要采用其他数学方法进行求解。
4.2 多目标优化：线性规划只能处理单一目标的优化问题。
对于多目标优化问题，需要引入多目标规划方法进行求解。
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线性规划的实际应用摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 关键词：研究性学习；线性规划，教学改革随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。
我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。
主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。
也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。
一． 线性规划问题在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。
例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg 00600070和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090少？才能满足生产需求，且所花费用最小？设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则006000700090321,,x x x Zs.t⎩⎨⎧=++=++89.07.06.010321321x x x x x x)3,2,1,0(16108321=≥++=j x x x x Z j 例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但A 每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克CB 乙产品需要种原料为3千克。
每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元，C 工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C 生产多少，能使的总利润最大？设生产甲，乙两种产品分别为千克，利润总额为元，则21,x x Z s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,15325.43212121x x x x x x2143x x Z +=二． 线性规划问题的模型1．概念对于求取一组变量使之既满足线性约束条件，又使具有线),,3,2,1(n j x j ⋅⋅⋅=性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。
2．模型或max()1(min)2211nn x c x c x c Z +⋅⋅⋅++=s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅⋅⋅≥=≤+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥=≤+⋅⋅⋅++≥=≤+⋅⋅⋅++0,,),()2(),(),(2122112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称之为线性规划问题的数学模型。
其中（1）称为线性目标函数，（2）称为线性约束条件。
式中，称为目标函数，称为决策变量，称为价值系数Z ),,3,2,1(n j x j ⋅⋅⋅=),,2,1(n j c j ⋅⋅⋅=或目标函数系数，称为资源系数或约束右端常数，),,2,1(m i b i ⋅⋅⋅=),,2,1,,,2,1(n j m i a ij ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=称为技术系数或约束系数，，，均为常数。
上述式子还可缩写为：ij a j c i b或max(∑==nj j j x c Z 1min)⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=≤∑=n j x m i b x a t s j nj ij ij ,2,10,2,1),(.1三． 线性规划问题的求解1．图解法在平面直角坐标系中，直线可以用二元一次方程来表示，点l 0=++C By Ax ),(o o y x p 在直线上的充要条件是；若不在直线上，则或l 0=++C By Ax o o p 000>++C By Ax ，二者必居其一。
000<++C By Ax 直线将平面分为两个半平面和，位于同:l 0=++C By Ax 0>++C By Ax 0<++C By Ax 一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。
另外有如下结论：（1）若，则表示直线 右侧的半平面，0>A 0>++C By Ax :l 0=++C By Ax 示直线 左侧的半平面。
0<++C By Ax :l 0=++C By Ax （2）若，则表示直线 上方的半平面，0>B 0>++C By Ax :l 0=++C By Ax 示直线 下方的半平面。
0<++C By Ax :l 0=++C By Ax例1-1中，设取浓度为，00600070千克，总费用为，则Z s.t ⎪⎩⎪⎨⎧=+-++≥+-≥8)](10[9.07.06.00)(100,y x y x y x y x6y -8x -160y)](x -16[1010y 8x Z =+++=即令.6y 8x Z -160+=6y 8x Z /+=要求的最小值，也就是求的最大值。
Z /Z ①式表示的公共区域为线段，如图（1AB 0经过点时，在轴上的截距最大，又的坐标为，所以的最大值为30。
即B y B )5,0(/Z 5,0==y x 时，为最大，故。
/Z 13030160=-=Z 注：此题中原有三个未知量，在约束条件下，推出了第三个量的表达式，从而可用图解发法求解。
例1-2中，设生产甲，乙两种产品分别为x,y 利润总额为元，则Z s.t ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,15325.43y x y x y xy x Z 43+=求的最大值，如图（2）所示，Z 当直线：向右上方移动，经过可行域上0l 043=+y x 的点，此时直线距离原点最远，取得最大值。
由 得点的坐标为M Z ⎩⎨=+1532y x M ，代入得, .)3,3(y x Z 43+=21Z max =从图解法来看,它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于含有三个或三个以上的求解,用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢?下面我们以例1-2为例,介绍单纯形法的求解方法.2.单纯形法目标函数 max2143x x Z +=线性约束条件s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,1532923212121x x x x x x 先将其标准化,就是把约束条件中的不等式增加新的变量,转化为等式.如下:s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+0,,,,1532923543215214231x x x x x x x x x x x x 则目标函数为:. 其中,把称为松弛变量.列如下5432100043max x x x x x Z ⋅+⋅+⋅++=543,,x x x 表:显然，第一行中的值最小，故选进基，将第一行乘以0加到第二行，再将第一行乘jx b1x 以-选进基，先将第三行乘以后，然后分别在乘以加到第二行，乘以加到第四行，2x 32-4-乘以0加到第一行，得到下表：3 4 0 0 0B c B x j c j x b / bj x 1x 2x 3x 4x 5x 33 1 0 1 0 0 第一行 1x 0 3 0 0 4/31 0 第二行 4x 430 1 /30 0 第三行 2x 2-第四行Z -21-3/1-最终是将第四行中所对应的系数全部变为0，而引进的松弛变量所对应的系21,x x 543,,x x x 数化为非正数，就找到了最优解。
所以最优解为,3,321==x x ， 0,3,0543===x x x .21max =Z 四． 线性规划的简单应用 1．物资调运问题（产销平衡）运输问题一般是某种物资有个产地，产量分别为个单位；有个销地n i A ),,2,1(n i ⋅⋅⋅=i a m ，销量分别为个单位，与之间的单位运价为，问应如何安排运输j B ),,2,1(m j ⋅⋅⋅=j b i A j B ij c 的方案，才能使总运费最低？[例] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t,750t ，A 、B 、C 三地的需要该产品得数量分别为200t,450t,400t ，甲地运往A 、B 、C 三地的费运分别为6元/t, 3元/t,5元/t ，乙地运往A 、B 、C 三地费运分别为5元/t,9元/t,6元/t ，问怎样调运，才能使总运费最低？分析：销地 产地 单位运费到A 到B 到C 资源限额甲 6 3 5 300t 乙5 96 750t 销量(需要量) 200t 450t 400t解法一（图解法）：设甲地生产的某种产品运往 A 、B 、C 三地数量分别为t ，t, t, x y )300(y x --则乙地生产的产品运往A 、B 、C 三地数量分别为t, t,)200(x -)450(y -t,据题意得：)]300(400[(y x ---⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤300045002000y x y x则 ，715052+-=y x Z 即 。
)7150(5152Z x y -+=由图（3）可知：当最大时，最小。
即过点（0，300）时，。
Z -7150Z 5650min =Z注：我们要理顺题目中的各量之间的关系，设出未知数，列出约束条件，找到目标函数，如果是三个未知量用图解法是无法求解，因此在此题中我们只设产品运往A 、B 、两地的数量分别为t ，t ，然后利用，表示出运往C 地的量，再用图解法进行求解。
x y x y 解法二（最小元素法）：从上表中看到，甲、乙运往A 、B 、C 三地的费运中，甲运往B 的费运最少，以3为顶点的矩形只有两个，如下：③ ③3+59+6 5+93+6<>所以3为全优元素，而B 地的需求量为450吨，故将甲生产的300t 全部运往B 地，然后将表中的第一行元素划掉，如下：甲 6 3 5乙 5 9 6则剩余的全部由乙地运往A 、B 、C 三地，即由乙运往A 地200 t ，运往B 地150 t ，运往C 地400 t ，总费运为=5650。
4006150920053003⨯+⨯+⨯+⨯=Z 如果甲生产的产品运往B 之后有剩余，而且也满足B 地的需求量，我们应将B 所在的列的元素全部划掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次类推。
2．合理下料问题下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料切割成给定尺寸的几种毛坯，问题是在零件毛坯数量给定的条件下，如何割才能使废料最少？[例] 某工厂有一批长为2.5m 的条形钢材，要截成60cm 和42cm 的两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率。