简单的线性规划问题.ppt

（1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解；
（4）5、答：作出答案。
12
例题6 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规示 ：格的小钢板的块数如下表所
杯能获利最大？ 解：将已知数据列为下表：
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则 目标函数为：z =0.7x +1.2y
9x 4 y 3600原
34xx

料
5y 2000 10y 30奶00粉(g)
x 0
咖啡(g)
y 0
糖(g)
利 润(元)
每配制1杯饮料消耗的原料
x 10
可行域上的点M时，截距2z最大，即 -2
Z最大。
12
y
解方程组
10
18x 15y 66
8
4x y 10
6
得M的坐标为（2，2） 所以
4
M
2
zmax x 0.5y 2 0.5 2 3 -5
5
0 4x+y=10 18x+15y=66
x 10
答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够 -2
例8、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。 对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格 （以班级为单位）
硬件建设 教师年薪
学 班级学生数 配备教师数 万元
万元
段
初中
45
2
26／班
2／人
高中
40
3
54／班
2／人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若
根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600
一件乙产品获利3万元，采用那种生产
y 0 安排利润最大？
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y2 x z
3
3
y
x2y 8
4
3
它表示斜率为

2 3
的直
线系，z与这条直线的
x4
M
截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过区域上的点M时，截距最大，
即z最大。
二、基本概念
题
x+3y≥27, x≥0
:
y≥0
标目函数: z=x+y (x,y N)
约束条件:
{ 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0,
y 15
调整优解法
y≥0
目标函数:z=(xx,y+y N) 10
8
画可行域 x+y
=0
6
4
B(3,9)
C(4,8)
A(3.6,7.8)
作出直线L:x+y=0，2
y y

0.06 0.06

174xx174
y y

6 6

x

0

x

0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
1、找
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
2、画
它表示斜率为
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做
这个问题的最优解。
解:按甲、乙两种产品分别生产x、y件，目标函数为Z,那么：
约束条件为
x 2y

x y

4 3
x 0
y 0
作出上述约束条件所表示的
可行域如下：

8 目标函数为 z x 4 y
1z
这将是z 斜 x率为4变y形1为，随zy变 化 4的x平 4
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，在可行域内打出网格线，
将直线x+y=11.4继续向上平移， 经 过 可 行 域 内 的 整 点 B(3,9) 和 C(4,8) 且 和 原 点 距 离 最 近 的 直 线 是 x+y=12，它们是最优解.
例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产 这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮，能够产生最大的利润？
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条
件。
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为
它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解
4
3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成的
集合叫做可行域。
元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中
班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以 20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
而由于资金限制，26x＋54y＋2×y2x＋2×3y≤1200
另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。
把上面四个不等式合在一起，
x＋2y 8 x 2 y 8

4x 4y

16 12


x y

4 3
x 0
x 0
y 0
y 0
2
将上述不等式组表示成平面上的区域

x x y x

2y 4 3 0

8
甲、乙两种产品分别生产x、y件
若生产一件甲产品获利2万元，生产
规格类型 钢板类型
A规格
B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是
经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张
数最少。
分 析
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，
2x+y≥15,
钢板总张数为Z则,
问
x+2y≥18,
3
y
由图可以看出，当直 30 线Z＝7.2x＋10.8y经过
可行域上的点M时，截
距最大，即Z最大。
20
M
易求得M（20，10），则
Zmax＝ 7.2x＋10.8y ＝252 o
20
源自文库30
40 x
故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最
多，为252万元。
巩固练习一
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g．已知每天原料 的使用限额为奶粉3600g ，咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮 料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料 的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少
7 x 7 y 5
14x 7 y 6

x

1 7
得M点的坐标为：


y

4 7
所以zmin＝28x＋21y＝16
5、答
由此可知，每天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为16元。
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数；
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg
A
0.105
B
0.105
蛋白质/kg
0.07 0.14
脂肪／kg
0.14 0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z， 那么
0.105x＋0.10 y 0.075 7x 7 y 5
00..0174
x＋0.14 x 0.07
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。
y
容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmin＝3
故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。
M x
o
例7 在上一节例4（P85）中，若生产1车皮甲种肥料，产生的 利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元， 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？
甲种饮料 x 乙种饮料 y
9
4
4
5
33
1.2
0.7
1.2
原 料限 额 3600 2000 3000
解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
9x 4 y 3600
34xx

解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
4 x＋y 10
18x＋15y

x

0

66 ,
x,
y
N
y 0
x
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：
把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为 －2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
0 2 4 6 8 12 18
平移L找交点及交点坐标
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x
27
x+3y=27
当直线L经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8) 直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
4 3
纵截
3 28
距随z变化的一组平行 6/7 y 直线
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
3.3.2简单的线性规划问 题
y
o
x
新课探究
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配 件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计 算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
解：按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条 件可得二元一次不等式组
得到
20 x＋y 30 30

x＋2y

40

x

0
20
y 0
o
20
30
40 x
设收取的学费总额为Z万元，则目标函数
Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y。
Z＝7.2x＋10.8y变形为 y 2 x 5z
它表示斜率为

2
3 54
的直线系，Z与这条直线的截距有关。
行直线系， z 4
4 是
直线在Y轴上的
y
x2y 8
x4
截距，当 z 最大时，z取得最大
4 值。所以直线
y1x
N
4
M
y 3 与可行域相交且在Y轴上的截距
最大时，目标函数取得最大值。
由图可见，当 直线 z x 4y
o
4
8
x
经过可行域上的N点时
大，即 z 最大。
z 4
最
y1x 4
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润
Z万元。
12
y
目标函数为：z x 0.5y
10
可行域如图。
8
把z=x+0.5y变形为 y 2x 2z
得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z, 随z变化的一族平行直线。
6
4
M
2
由图可以看出，当直线y=-2x+2z-经5 过
5
0 4x+y=10 18x+15y=66
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12
作出一组平行直线t = x+y，
78
2x+y=15
x
18
27
x+2y=18 x+3y=27
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
二、例题
例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少 提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质， 0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物， 0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物 B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食 要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B 多少kg？
解方程组

x
y3 2y
8
得N点的坐标为（2，3）。
所以 zmax 2 4 3 14
一、线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下， 如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务
产生最大利润，最大利润为3万元。
练习：P91 T2
小结：
线性规划求最优整数解的一般方法:
1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域内的
整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点 坐标即为最优整解．
2.调整优解法：即先求非整数条件下的最优解，
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小） 的整点值，最后筛选出整点最优解．