数值分析 高斯—勒让德积分公式
高斯-勒让德积分公式
高斯-勒让德积分公式
作为代数学的一部分内容，高斯-勒让德积分公式具有重要价值。
高斯-勒让德积分公式又称椭圆积分，是一种特殊的积分形式，由德国数学家高斯（Gauss）和法国数学家勒让德（Legendre）两人独立发现并推导得出。
高斯-勒让德积分公式的一般形式为∫(dx/√(a^2x^2-b^2c^2))，其中a、b、c都是常数，x是变量。
在现实中，我们会看到许多这样的公式出现在物理，工程和其他科学领域的计算中，比如椭圆轨道的面积计算，以及电学和磁学中的一些问题。
此外，高斯-勒让德积分公式还有一种等价的形式，即通常所说的椭圆积分，形式为∫(dx/√(1-k^2sin^2φ))，其中φ是角度，k是偏度参数，也是一个常数。
根据高斯-勒让德积分公式，我们可以推导出其他一些重要的积分公式和恒等式，这在数学研究和实际应用中具有重要的作用。
例如，可以通过积分变换将其转化为某些特殊函数的积分，进一步计算出所需的结果。
需要指出的是，不同的场合，高斯-勒让德积分公式需要配合相应的推导方式来求解。
在使用的过程中，需要具备一定的数学技巧和知识。
总的来说，高斯-勒让德积分公式以其独特的形式，为解决复杂问题提供了有效的工具，具有广泛的应用价值。
Gauss-Legendre积分公式
数值逼近实习题目二重积分的复化梯形公式专业信息与计算科学班级计算092学号3090811072学生薛藏朋指导教师秦新强2011 年一、实验目的1.利用Gauss-Legendre 公式计算积分2.比较计算误差与实际误差二、数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=++≈⎰∑-=),(),(12)(][)]()(2)([2)(''211b a f h a b f R b f x f a f h dx x f n b a n k k ηη 三、算法Step 1:输入等分数nStep2:输入积分上下限；Step3: 求出步长及对应个点;Step4: 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--=++≈⎰∑-=),(),(12)(][)]()(2)([2)(''211b a f h a b f R b f x f a f h dx x f n b a n k k ηη计算积分结果 Step5:将积分结果输出；四、程序#include<iostream>using namespace std;#include"math.h"#define N 10double f(double x){double z;z=cos(x);return(z);}int main(){int i, n,m;double X[N],A[N],F=0;cout<<"请输入代数精度n"<<endl;cin>>n;m=(n+1)/2;switch(m){case 1:X[1]=0;A[1]=2; break;case2:X[1]=0.5773502692;X[2]=-X[1];A[1]=A[2]=1;break ;case3:X[1]=0.77459666920;X[2]=-X[1];X[3]=0;A[1]=A[2] =0.5555555556;A[3]=0.8888888889;break;case4:X[1]=0.8611363116;X[2]=-X[1];X[3]=0.3399810436; X[4]=-X[3];A[1]=A[2]=0.3478548451;A[3]=A[4]=0.6521451549; break;case5:X[1]=0.9061798459;X[2]=-X[1];X[3]=0.5384693101 0;X[4]=-X[3];X[5]=0;A[1]=A[2]=0.2369268851;A[3]=A[4]=0.4786286705;A[5]=0.5688888889; break;case6:X[1]=0.9324695142;X[2]=-X[1];X[3]=0.6612093865 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.12386191816;X[6]=-X[5];A[1]=A[2]=0.1713244924;A[3]=A[4]=0.3607615730;A [5]=A[6]=0.4679139346; break;case7:X[1]=0.9491079123;X[2]=-X[1];X[3]=0.7415311856 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.40584515140;X[6]=-X[5];X[7]=0;A[1]=A[2]=0.1294849662;A[3]=A[4]=0.2797053915;A [5]=A[6]=0.3818300505;A[7]=0.4179591834; break;case8:X[1]=0.9602898565;X[2]=-X[1];X[3]=0.7966664774 ;X[4]=-X[3];X[5]=0.5255324099;X[6]=-X[5];X[7]=0.1 834346425;X[8]=-X[7];A[1]=A[2]=0.1012285363;A[3]=A[4]=0.22 23810345;A[5]=A[6]=0.3137066459;A[7]=A[8]=0.362 6837834; break;default:printf("error\n");}for(i=1;i<=m;i++){F=F+f(X[i])*A[i];}cout<<"具有"<<n<<"次精度的高斯—勒让德积分F(x)="<<F<<endl;return 0;}五、数值算例六、参考文献[1]秦新强，数值逼近，西安：西安理工大学印刷厂，2010.[2]秦新强，数值逼近学习指导，西安：西安理工大学印刷厂，2010.。
4.3高斯型求积公式
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式
n 1 1 Ak f ( xk ) 1 1 x f ( x )dx k =0 (2k 1) 为Tn 1的零点, xk cos 2n 2 1 1 Ak 1 1 x lk ( x )dx n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
高斯勒让德积分计算二重积分
高斯勒让德积分计算二重积分高斯勒让德积分（Gauss-Legendre quadrature）是一种常用的数值积分方法，可以用于高效地计算各类函数的定积分。
它利用勒让德多项式的零点和系数的特殊性质，将定积分转换为一个带有权重的求和，从而可以使用数值积分公式直接计算出定积分的近似值。
在此基础上，本文将介绍如何利用高斯勒让德积分计算二重积分。
二重积分是指对二元函数在给定的区域上进行积分。
通常，可以利用二重积分的可积性质与区域的简单性质，将其转换成一维积分的形式，从而可以用高斯勒让德积分来近似计算它。
接下来，我们给出一个基于高斯勒让德积分的二重积分计算方法的详细步骤。
首先，将二重积分变形为一维积分。
假设要计算的二重积分为：$\iint_D f(x,y) dx dy$其中，$D$为积分域。
我们可以通过提取$x$或者$y$的因子，将这个二重积分化成一维积分的形式。
例如：$\iint_D f(x,y) dx dy = \int_a^b\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) dy dx$或者：$\iint_D f(x,y) dx dy = \int_c^d\int_{p(y)}^{q(y)} f(x,y) dx dy$这里，$g(x)$、$h(x)$、$p(y)$、$q(y)$分别是确定积分域$D$的上下限函数。
通过这种变形方式，我们可以将二重积分转化为一维积分的形式，从而可以采用高斯勒让德积分进行计算。
接下来，我们需要确定高斯勒让德积分的积分节点和权重。
对于$n$次高斯勒让德积分，我们需要求解勒让德多项式的$n$个不同的零点$x_1,x_2,\cdots,x_n$，并计算对应的高斯勒让德积分公式中的$n$个权重$\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n$。
这里，我们给出计算这些节点和权重的一些常用方法。
（1）使用已知的节点和权重表格。
在实际计算中，经常会使用已知的高斯勒让德积分节点和权重表格。
复合三点高斯勒让德公式推导
复合三点高斯勒让德公式推导### 一、定义1. 复合三点高斯勒让德公式(Composite Three Point Gauss-Legendre Formula)是计算定积分的数值积分方法，它通过在积分区间上选择三点，利用高斯勒让德积分公式(Gauss-Legendre Integration Formula)来计算积分值。
2. 差商法(Difference Quotient Method)又称三点差商，也是计算定积分的一种常用数值积分方法，它是由复合三点高斯勒让德公式演变而来，将复合三点高斯勒让德公式积分间隔一致化和插值方程系数表示以及拓展到任意区间，得到一种差商法积分公式。
### 二、推导1. 由于复合三点高斯勒让德公式是在[−1,1]上选取三点 ×1 ,×2 ,×3 时采用的数值积分公式，对应积分区间就是[a,b]，那么可以选取如下三个等比分割点：x1 = a + (b-a) /3x2 = a + 2(b-a) /3x3 = b2. 由于可以将复合三点高斯勒让德公式相应的通过变量变换将[−1,1]变换为[a,b]：x = x(t) = a + t/3(b - a)3. 根据上面的步骤，将 x1 ,x2 ,x3代入到该变换中，得到对应的t1 ,t2 ,t3 ：t1 = 3x1 - a - b = 0t2 = 3x2 - a - b = 3t3 = 3x3 - a - b = 64. 同时将积分函数 f(x) 代入到上面的变换中，得到如下：f(x) = f[x(t)] = f(a + t(b - a)/3)5. 将上面的 f(x) 进行展开，得到：f[x(t)] = f(a) + (b-a)f_1(t/3) + (b-a)^2f_2(t/3) + (b-a)^3f_3(t/3)6. 将上面的 f[x(t)] 代入高斯勒让德积分公式，因此：I = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f_1(t1/3) + 2f_1(t2/3) + 4f_1(t3/3)]7. 对 I 进行重新排列，得到：I = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f(x1) + 2f(x2) + f(x3)]### 三、结论以上就是复合三点高斯勒让德公式的推导过程以及结果，即：复合三点高斯勒让德公式：$$I = \frac{b - a}{3}[f(a) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)]$$其中：$$x_1 = a + \frac{b−a}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ x_2 = a + \frac{2(b−a)}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ x_3 = b $$。
matlab两点高斯勒让德求积公式
matlab两点高斯勒让德求积公式一、引言数值积分是数值计算中的一种常见问题，它可以用来近似计算函数的定积分。
在实际应用中，我们常常需要求解具有多个参数的复杂函数的积分，而解析方法往往难以求得精确解。
在这种情况下，高斯勒让德求积公式是一种常用的数值积分方法，能够有效地进行积分计算。
本文将介绍如何使用M AT LA B实现两点高斯勒让德求积公式。
二、高斯勒让德求积公式概述高斯勒让德求积公式是一种利用多项式的节点和权重来进行数值积分的方法。
该方法的基本思想是，通过选择合适的节点和权重，将被积函数转化为多项式的线性组合，从而实现对积分值的近似计算。
三、两点高斯勒让德求积公式的推导两点高斯勒让德求积公式是高斯勒让德求积公式的一个特例。
它的推导过程如下：首先，我们通过变量替换，将积分区间由[-1,1]变换为[a,b]。
然后，利用勒让德多项式的正交性质，可以得到两个方程：$$\i nt_a^b P_0(x)dx=b w_0$$$$\i nt_a^b P_1(x)dx=b w_1$$其中，$P_0(x)$和$P_1(x)$分别是勒让德多项式的零次和一次多项式，$w_0$和$w_1$分别是权重。
解上述方程组，即可求得两个节点和对应的权重：$$x_0=\f ra c{1}{2}(b+a-(b-a)\sq rt{\f r ac{1}{3}})$$$$x_1=\f ra c{1}{2}(b+a+(b-a)\sq rt{\f r ac{1}{3}})$$$$w_0=w_1=1$$四、M A T L A B实现在M AT LA B中，我们可以使用以下代码实现两点高斯勒让德求积：f u nc ti on re su lt=ga u ss_l eg en dr e_2po i nt(f,a,b)x0=0.5*(b+a-(b-a)*sq rt(1/3));x1=0.5*(b+a+(b-a)*sq rt(1/3));w0=1;w1=1;r e su lt=(b-a)*(w0*f(x0)+w1*f(x1));e n d上述代码定义了一个名为`g au ss_l eg end r e_2p oi nt`的函数，该函数接受一个函数句柄`f`，表示被积函数，以及积分区间的上下界`a`和`b`。
常用十个勒让德展开公式
常用十个勒让德展开公式1. 勒让德展开公式的概念勒让德展开公式是数学分析中常用的展开方法之一。
它是指将一个函数展开成一系列勒让德多项式的线性组合的过程。
2. 勒让德多项式的定义勒让德多项式是一类特殊的正交多项式，在物理学和工程学中有广泛应用。
勒让德多项式满足勒让德微分方程，其系数具有一定的递推关系。
3. 常用的十个勒让德展开公式以下是常用的十个勒让德展开公式：- 勒让德多项式展开恒等式\[(1-x^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)\]- 勒让德函数的勾股定理\[P_n^2(x) = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1} (1-x^2)^{-1/2} P_n(x) P_n(x) dx\]- 勒让德函数的正交归一性\[\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{nm} \]- 勒让德函数的递推关系\[(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\]- 勒让德函数的递推关系（化简形式）\[P_{n+1}(x) = \frac{(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)}{n+1}\]- 勒让德函数的导数公式\[P_n'(x) = n\left(P_{n-1}(x) - xP_n(x)\right)\]- 勒让德函数的微分方程\[(1-x^2)P_n''(x) - 2xP_n'(x) + n(n+1)P_n(x) = 0\]- 勒让德函数的极值性质P_n(x) \text{在} x = \pm 1 \text{处取到极值，且} |P_n(x)| \leq 1- 勒让德多项式的反转公式(x^2 - 1) P_n'(x) = n(xP_n(x) - P_{n-1}(x))- 勒让德多项式的幂和\frac{d}{dx} \left(\frac{P_{n+1}(x)}{(2n+1)(x^2-1)}\right) =P_n(x)- 勒让德多项式的复合公式P_n(uv) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P_k(u)P_{n-k}(v)4. 总结上述是常用的十个勒让德展开公式，它们在数学分析、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
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高斯—勒让德积分公式摘要：高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。
然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
T he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.关键字：…积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLABKeyword:Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言：众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。
微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。
所以，微分与积分互为逆运算。
】实际上，积分还可以分为两部分。
第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。
而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。
高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。
通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。
1.现有的方法和理论高斯勒让德求积公式在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数，区间为，则得公式{我们知道勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式．若取的零点做节点构造求积公式令它对准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取的两个零点构造求积公式令它对都准确成立，有—．由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式．三点高斯－勒让德求积公式的形式是．如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．…12~34(公式(4.5.9)的余项由得，这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及得．当时，有．它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换:可将化为［－１，１］，这时．对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．复化Gauss-Legendre求积公式将被积区间m等分, 记, 作变换在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式, 累加即得复化Gauss-Legendre求积公式>不妨设则有:Gauss点个数时,Gauss点个数时,总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:1. 分割区间, 记录区间端点值；2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.）针对Gauss点个数和的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss() 如下:function [ ] = compgauss(a, b, n)% Composite Gauss Integration% Equation Type: n=2, n=3% Coded by 2010-05-25% Divide Interval% Calculate% Sum Resultsformat longf = @(x) exp(x).*sin(x);—h=(b-a)/n;xk=zeros(n+1,1);xk(1,1)=a;xk(n+1,1)=b;fk1=zeros(n,1);fk2=zeros(n,1);for i=1:n-1xk(i+1,1)=a+h*i;endfor j=1:n{fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+...f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3)));endfor r=1:nfk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+...(8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+...(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5)); endmysum1=h*sum(fk1)/2;mysum2=h*sum(fk2)/2;、disp('Result of 2 Nodes:')disp(mysum1);disp('Result of 3 Nodes:')disp(mysum2);end龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较#include <>#include <>》#include <>#define Precision1# define e 2.#define MAXRepeat 10double function (double x){double s;s=1/x;return s;}'double Romberg(double a,double b,double f(double x)){int m,n,k;double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;h=b-a;y[0]=h*(f(a)+f(b))/;fx);3.数值实验用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算$xdx x cos 202⎰=I π.解：先将区间]2,0[π化为]1,1[-，由（1）dtba t ab f a b dx x f ba)22(2)(11++--=⎰⎰-.（1）有 dtt t )1(4cos )1()4(2311++=I ⎰-ππ.根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得467402.0)(30≈≈I ∑=k k k x f A .（ 准确值 467401.0=I ）|用2,3n =的高斯-勒让德公式计算积分31sin .x e xdx ⎰解：31sin .x I e xdx =⎰[1,3],x ∈令2t x =-，则[1,1]t ∈-用2n =的高斯—勒让德公式计算积分0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)10.9484I f f f ≈⨯-++⨯≈用3n =的高斯—勒让德公式计算积分0.3478548[(0.8611363)(0.8611363)]0.6521452[(0.3399810)(0.3399810)]10.95014I f f f f ≈⨯-++⨯-+≈{用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分xx d 11⎰+，计算过程保留4位小数．解 ：高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令212+=u x ，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，x x d 11⎰+＝uud 2232111⎰-+＝)21861.02321861.023(9347.0[21++-⨯ )]20340.0232340.023(1652.0++-⨯+9218.1]5445.21652.06423.29347.0[21=⨯+⨯=（2. 总结高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。
因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。
《参考文献》[1]《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社2008 6 17[2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿·科学出版社2010 7 10[3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社2009 7 23[4] 复化两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期。