导数的应用问题常见类型及解法

(2)已知 a 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增, 试用 a 表示出 b 的取值范围.
【解析】(1)由已知得 f '(x) ax2 2bx 1,令 f '(x) 0 ,
得 ax2 2bx 1 0 , f (x) 要取得极值,方程 ax2 2bx 1 0 必须有解,
又 ( 2)( 2) 0,即 2( ) 4 0.
解
α + αβ
β
= -2 a2
代入可得
a

6.
于是 6.
三、极值（或最值）问题
【理论阐释】
1．函数的极值：
导数是解决函数极值问题最有效的工具。对于可导函数 f (x) ，当 f (x) 0 有实数根 x0 ，且导函数 f (x) 的函数值在 x0 两侧的值异号 时，则 f (x) 在 x x0 处有极值。函数极值只反映函数在某点附近值
递增，则在该区间上有 f (x) 0 恒成立（但不恒等于 0）；若 f (x) 在某
区间上单调递减，则在该区间上有 f (x) 0 恒成立（但不恒等于 0）．
【典例导悟】
【例 1】（2009 安徽高考）
已知函数 f (x) x 2 a(2 ln x), (a 0) ，讨论 f (x) 的单调性. x
(3)求解不等式 f (x) 0 求得其解集,再根据解集写出单调递减区间;
注意：①单调区间不以“并集”出现。②单调区间应在“定义域”内。 2.求参数范围问题
已知可导函数在 M 上单调，求参数范围的问题可转化为求使
f (x) 0 （或 0 ）在 M 上恒成立来解决即：若 f (x) 在某区间上单调
【【答答案案】】((, 0, 0) )
二、单调性问题
【理论阐释】
用导数研究函数的单调性问题体现在两个方面： 1.判断可导函数的单调性、求单调区间
函数 f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义 也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b) 划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 该类问题包括两种情况：已知函数的解析式求极值（最值）；已
知函数的极值（最值）求参数范围。
【典例导悟】
【例 1】(2009 山东高考)已知函数 f (x) 1 ax3 bx2 x 3 , 3
其中 a 0
(1)当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值?
当 x 3或 0 x 3时，f '(x) 0; 当 3 x 0或x 3时，f '(x) 0. 从而 f (x)在(, 3), (0,3)单调增加，在（ 3，0），（3， ） 单3)调单增调加增，加在，（在（ 3，03），0， ）（ ，3（，3，）单）调减少.
所以切线方程为 y 1 2(x 1) ，即 2x y 1 0 ,选 A.
【例 2】（2009 福建高考）若曲线 f (x) ax3 ln x 存
在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 取值范围是_______.
【【解解析析】】由由题题意意可可知知函函数数f (fx)(x)ax3ax3lnxl的n x定的义定域义为域为 ((00,,))，，ff''(''(xx) )23a23xxa22xx22 1x1x ，1x1x又，因又为因曲为线曲线 f ((xx))aaxx33lnlnxx存存在在垂垂直直于于y 轴y的轴切的线切，线，
的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必
小于极大值。f (x0 ) 0 仅是函数 f (x) 在点 x0 处有极值的必要条件， 点 x0 是 f (x) 的极值点，当且仅当在 x0 的左右 f (x) 的符号产生变化。
（1）极值的概念：函数 f (x) 在点 x0 附近有定义，且若对 x0 附 近的所有点都有 f (x) f (x0 ) （或 f (x) f (x0 ) ），则称 f (x0 ) 为函数的一个极大（小）值，称 x0 为极大（小）值点．
导数的应用问题 常见类型及解法
导数的应用问题主要是利用导数研究函数的问题， 其中函数是载体，导数是工具。该类问题的常见类型 有：切线问题、单调性问题、极值（或最值）问题、 恒成立问题、比较大小及证明不等式问题、零点问题 以及以上各个问题的综合等。
一、切线问题
【理论阐释】
由导数的几何意义可知，可导函数 f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处切 线的斜率 k f (x0 ) ，从而可由点斜式求出曲线在点 P 处的切线方程。
设函数在某区间内可导，则 f (x) 0 f (x) 在该区间上单调递增；
f (x) 0 f (x) 在该区间上单调递减． 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
用导数法确定函数的单调性时的步骤是： (1)求出函数的导函数
(2)求解不等式 f (x) 0 求得其解集,再根据解集写出单调递增区间;
【解析】（1）当 a b 3时， f (x) (x3 3x2 3x 3)ex ，
故 f '(x) (x3 3x2 3x 3)ex (3x2 6x 3)ex f '(x)eexx((xx333399xx2)) 3x 3)ex (3x2 6x 3)ex x(x 3)(x 3)ex
切线问题包括求切线的方程及求参数取值。对于这些问题，一要把握 住切点的 “三重身份”：①切点在曲线上，②切点在切线上，③
k f (x0 ) ；二要注意所给点是否在曲线上。
【典例导悟】
【例 1】（2009 安徽高考）已知函数 f (x) 在 R 上满足 f (x) 2 f (2 x) x2 8x 8，则曲线 y f (x) 在 点 (1, f (1)) 处的切线方程是 （ ） （A） y 2x 1 （B） y x （C） y 3x 2 （D） y 2x 3
2
2
2
上单调递减, 在 ( a a2 8 , ) 上单调递增. 2
【例 2】（2009 海南·宁夏高考）已知函数
f (x) (x3 3x2 ax b)ex
（1）如 a b 3，求 f (x) 的单调区间； （2）若 f (x) 在 (,), (2, ) 单调增加， 在 (, 2), ( , ) 单调减少，证明： ＞6.
(2) f '(x) (x3 3x2 ax b)ex (3x2 6x a)ex ex[x3 (a 6x a)ex ex[x3 (a 6)x b a].
由条件得： f '(2) 0,即23 2(a 6) b a 0,故b 4 a, 从而 f '(x) ex[x3 (a 6)x 4 2a].
（2）求函数极值的一般步骤：
①求导数 f (x) ；②求方程 f (x) 0 的根；③检验 f (x) 在方
程 f (x) 0 的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），
则 f (x) 在这个根处取得极大（小）值．口诀：左负右正为极小，
左正右负为极大。
2．函数的最值：
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f (x) 在闭
所以以方方程程2323aaxx2
211 xx
0在0在(0(,0+,∞)上)上有有实实数数解解，Q，aQa21x3
1 2(xx3(0x),0a),
有实实数数解解，，QQ aa 32321x1x1x1x333333((xx00)0)0,,)),,aa aa00..00..
区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。 在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式
y f (x) ,并注明其定义域，当 f (x) 0 在定义域内只有一个解时， 则此点即为函数 f (x) 的最值点。求函数的最值的步骤为①求函数 f (x) 在区间[a,b] 上的极值；②将极值与区间端点函数值 f (a), f (b)
【解析】选 A.由 f (x) 2 f (2 x) x2 8x 8 得 f (2 x) 2 f (x) (2 x)2 8(2 x) 8 ， 即 2 f (x) f (2 x) x2 4x 4 ，
∴ f (x) x2
∴ ff /(x) 2x ，∴切点为 (1,1), k 2，
x2 0 极小值
(x2,x1) ＋
增函数
x1 0 极大值
所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.
综上,当 a, b 满足 b2 a 时, f (x) 取得极值.
(x1,+∞) －
减函数
(2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '(x) ax2 2bx 1 0
当 a 0 时, x 1﹤ x2
x
(-∞,x1)
f’(x)
＋
f (x)
增函数
x1 0 极大值
(x1,x2) －
减函数
x2 0 极小值
所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.
(x2,+∞) ＋
增函数
当 a 0时, x2﹤x 1
x
(-∞,x2)
f’(x)
－
f (x)
减函数
设方程 g(x) 0 有两个不同的实根 x1 a
a2 8 , 2
x2 a
a2 2

8
,
0

x1

x2
.
x f (x)
(0, x1)
+