教育最新K122018年秋高中数学 第三章 统计案例 阶段复习课 第3课 统计案例学案 新人教A版选修2-3
第三课 统计案例[核心速填] (建议用时4分钟)1．分析判断两个变量相关关系常用的方法(1)散点图法：把样本数据表示的点在直角坐标系中标出，得到散点图，由散点图的形状分析．(2)相关指数法：利用相关指数R 2进行检验，在确认具有相关关系后，再求线性回归方程．2．求线性回归方程的步骤(1)画散点图：从直观上观察两个变量是否线性相关． (2)计算：利用公式求回归方程的系数的值．b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.(3)写出方程：依据y ^＝a ^＋b ^x ，写出回归直线方程． 3．两种特殊可线性化回归模型的转化(1)将幂型函数y ＝ax m(a 为正的常数，x ，y 取正值)化为线性函数．如果将y ＝ax m两边同取以10为底的对数，则有lg y ＝m lg x ＋lg a ．令u ＝lg y ，v ＝lg x ，lg a ＝b ，代入上式，得u ＝mv ＋b ，其中m ，b 是常数．这是u ，v 的线性函数．如果以u 为纵坐标，v 为横坐标，则u ＝mv ＋b 的图象就是一直线．(2)将指数型函数y ＝ca x(a ＞0且a ≠1，c ＞0且为常数)化为线性函数．将y ＝ca x两边同取以10为底的对数，有lg y ＝x lg a ＋lg c ，令lg y ＝u ，lg a ＝k ，lg c ＝b ，得u ＝kx ＋b ，其中，k 和b 是常数，与幂型函数不同的是x 依然保持原来的，只是用y 的对数lg y 代替了y .4．在实际问题中常用的三个数值(1)当K 2＞6.635时，表示有99%的把握认为“事件A 与B 有关系”． (2)当K 2＞3.841时，表示有95%的把握认为“事件A 与B 有关系”． (3)当K 2≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的．[体系构建][题型探究]一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数r ，判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程．利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：(1)求b ^时，利用公式b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－i ＝1x 2i －n x －2，先求出x ＝1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )，y ＝1n (y 1＋y 2＋y 3＋…＋y n )．再由a ^＝y －b ^ x 求a ^的值，并写出回归直线方程．(2)回归直线一定经过样本点的中心(x －，y －)．(3)回归直线方程中的截距a ^和斜率b ^都是通过样本估计得来的，存在误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．(4)回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中的b ^表示x 每增加1个单位时预报变量y 的平均变化量，而a ^表示预报变量y 不随x 的变化而变化的部分．以下是某地收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(2)若线性相关，求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格.【导学号：95032252】[解] (1)数据对应的散点图如图所示．(2)由散点图知y 与x 具有线性相关关系．由表中数据知x －＝15∑i ＝15x i ＝109，y －＝15∑i ＝15y i ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝5i ＝1x i y i －5x －y －∑i ＝15x 2i －5x －2≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －≈1.814 2，故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(3)根据(2)，当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0.1962×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．1．已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y 与销售额x 之间的线性回归方程； (3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少．(参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.其中，∑i ＝15x i y i ＝112，∑i ＝15x 2i ＝200)[解] (1)散点图．(2)由已知数据计算得n ＝5，x －＝305＝6，y －＝175＝3.4，b ^＝112－5×6×3.4200－5×6×6＝0.5，a ^＝3.4－0.5×6＝0.4.则线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.(3)将x ＝10代入线性回归方程中得到y ^＝0.5×10＋0.4＝5.4(千万元)． 即估计该零售店的利润额约为5.4千万元．决实际问题的效果进行评价．一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的R 2(相关系数r )．对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题．在研究弹簧伸长长度y (cm)与拉力x (N)的关系时，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为y ＝0.18x ＋6.34，求R 2，并结合残差说明拟合效果.【导学号：95032253】[解] 列表求值如下：x －＝17.5，y －≈9.49，∑i ＝16x i y i ＝1 076.2，∑i ＝16x 2i ＝2 275，∑i ＝16(y i －y ^i )2＝0.017 4，∑i ＝16(y i－y －)2＝14.678 4.∴R 2＝1－0.017 414.678 4≈0.998 81，回归模型拟合效果较好．由表中数据可以看出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高．2．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ＝6.5， (1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y ^＝7x ＋17，且R 2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． [解] (1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋a ^.x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∴y ^＝6.5x ＋a ^经过(x －，y －)， ∴50＝6.5×5＋a ^，∴a ^＝17.5，∴y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(2)由(1)的线性模型得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋(－10)2＋(－6.5)2＋0.52＝155.∑i ＝15(y i －y －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.所以R 21＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y－2＝1－1551 000＝0.845.由于R 21＝0.845，R 2＝0.82知R 21>R 2， 所以(1)的线性模型拟合效果比较好．是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)判断40岁以上的人患胃病与生活规律是否有关.【导学号：95032254】[思路探究] (1)解决本题关键是首先弄清问题中的两个分类变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2列联表的结构特征．(2)利用2×2列联表计算K 2的观测值，再结合临界值表来分析相关性的大小． [解] (1)由已知可列2×2列联表如下：k ＝－280×460×220×320≈9.638.因为9.638>7.879，因此，我们在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为40岁以上的人患胃病和生活规律有关．3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查得到了如下的列联表：(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．(参考公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为50×0.6＝30.列联表补充如下：(2)因为k＝25×25×30×20≈8.333>6.635，所以，有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．。
高中数学第3章统计案例阶段复习课第3课统计案例学案新人教A版选修23
高中数学第3章统计案例阶段复习课第3课统计案例学案新人教A版选修23第3课统计案例回归分析【例1】y x据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．x y u∑i＝18(x i－x)2∑i＝18(x i－x)(y i－y)∑i＝18(u i－u)2∑i＝18(u i－u)(y i－y)15.25 3.630.269 2 085.5－230.30.7877.049其中u i ＝1x i ，u ＝18 ∑i ＝18u i .(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx哪一个更适宜作为每册成本费y (元)与印刷数x (千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)(附：对于一组数据(ω1，v 1)(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其回归直线v ^＝a ^＋β^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(ωi －ω)(v i －v )∑i ＝1n(ωi －ω)2，α^＝v －β^ω.)[思路点拨] (1)借助散点图求解；(2)令u ＝1x―→建立y 关于u 的回归方程―→建立y 关于x 的回归方程；(3)建立利润函数f (x )，解f (x )≥78.840得x 的范围．[解] (1)由散点图判断，y ＝c ＋d x适宜作为每册成本费y (元)与印刷册数x (千册)的回归方程．(2)令u ＝1x，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18(u i －u )(y i －y)∑i ＝18(u i －u)2＝7.0490.787≈8.96， ∴c ^＝y －d ^·u ＝3.63－8.96×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， 从而y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x.(3)假设印刷x 千册，依题意：10x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1.22＋8.96x ·x ≥78.840.即8.78x ≥87.8，解得x ≥10，∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78 840元．求线性回归方程的基本步骤提醒：对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．1．在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：x (元) 14 16 18 20 22 y (件)1210753[解] x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5 x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，所以a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－1.15x ＋28.1， 列出残差表为y i －y ^i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 y i －y4.62.6－0.4－2.4－4.4所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3，∑i ＝15(y i －y )2＝53.2，R 2＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y)2≈0.994.所以R 2≈0.994，拟合效果较好.独立性检验【例2】 别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动 不喜欢户外运动总计 男性5 女性 10总计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35.(1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女员工各多少人；(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．下面的临界值表仅供参考：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：K 2＝2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35，所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计 男性 20 5 25 女性 10 15 25 总计302050(3)K 2的观测值k ＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．独立性检验的一般步骤1．提出假设H 0：Ⅰ和Ⅱ没有关系； 2．根据2×2列联表计算K 2的观测值；3．根据K 2的观测值与临界值的大小关系作统计推断．2．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断．[解] 建立性别与态度的2×2列联表如下：肯定 否定 总计 男生 22 88 110 女生 22 38 60 总计44126170根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为22110＝0.2，女生中作肯定态度的频率为2260≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．根据列联表中的数据得到K 2的观测值 k ＝170×(22×38－22×88)2110×60×44×126≈5.622>5.024.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系.独立性检验与统计的综合应用【例3将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2) 表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80] 频数30402010表疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85] 频数1025203015疱疹面积小 于70 mm 2疱疹面积不小 于70 mm 2合计注射药物A a ＝ b ＝ 注射药物B c ＝ d ＝合计n ＝[解] (1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p ＝C 12C 99198C 100200＝100199.(2)2×2列联表如下．疱疹面积小 于70 mm 2疱疹面积不小 于70 mm 2合计 注射药物A a ＝70 b ＝30 100 注射药物B c ＝35d ＝65100合计 10595n ＝2001．(改变问法)本例条件不变，改变问法：是否有99%的把握认为注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异？[解] 根据列联表中的数据得到K 2的观测值 k ＝200×(70×65－35×30)2100×100×105×95≈24.56.由于K 2＞6.635，所以有99%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．2．(改变问法)在本例(2)中完成如图所示的频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小．图Ⅰ 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ 注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图[解] 如图所示图Ⅰ 注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图。
【配套K12】2017_2018版高中数学第三章统计案例章末复习课学案北师大版选修2_3
第三章统计案例学习目标 1.能通过相关系数判断两变量间的线性相关性.2.掌握建立线性回归模型的步骤.3.理解条件概率的定义及计算方法.4.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.5.掌握利用独立性检验解决一些实际问题．知识点一线性回归分析1．线性回归方程在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝____________＝____________，a＝____________.其中x ＝____________，y＝____________.2．相关系数(1)相关系数r的计算公式r＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2.(2)相关系数r的取值范围是________，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．(3)当r>0时，b________0，称两个变量正相关；当r<0时，b________0，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．知识点二独立性检验1．2×2列联表设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ______，且变量B取________时的数据；c表示变量A取 __________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取________，且变量B取________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．2．统计量χ2＝____________________.3．独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当χ2>2.706时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有________的把握判定变量A，B有关联．类型一线性回归分析例1 某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)据此估计2018年该城市人口总数．反思与感悟解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．(3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．跟踪训练1 在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．类型二 独立性检验思想与应用例2 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．反思与感悟 独立性检验问题的求解策略 χ2统计量法：通过公式 χ2＝n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d先计算统计量，再用以下结果对变量的独立性进行判断．(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．跟踪训练2 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？1．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b( )A．在(－1,0)内B．等于0C．在(0,1)内D．在[1，＋∞)内2．已知线性回归方程中斜率的估计值为1.23，回归方程过点(4,5)，则线性回归方程为( ) A．y＝1.23x＋0.08 B．y＝0.08x＋1.23C．y＝1.23x＋4 D．y＝1.23x＋53．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到χ2≈9.643，则以下说法正确的是( )A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：根据以上数据可得出( )A．种子是否经过处理与是否生病有关B．种子是否经过处理与是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关5．对于线性回归方程y＝bx＋a，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x＝________时，y的估计值是38.1．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确变量．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．答案精析知识梳理 知识点一1.∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x 2∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2y －b x 1n ∑ni ＝1x i 1n ∑ni ＝1y i2．(2)[－1,1] (3)> < 知识点二1．a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 2.n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d3．90% 95% 99% 题型探究例1 解 (1)散点图如图．(2)因为x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝5＋7＋8＋11＋195＝10，∑5i ＝1x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，∑5i ＝1x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以b ＝132－5×2×1030－5×22＝3.2， a ＝y －b x ＝3.6.所以线性回归方程为y ＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝8，则y ＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估计2018年该城市人口总数为292万人．跟踪训练1 解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，所以a ＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－1.15x ＋28.1. 例2 解 (1)列联表补充如下：(2)由χ2＝－228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 跟踪训练2 解 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．(2)2×2列联表如下：(3)χ2＝－212×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．当堂训练1．C 2.A 3.D 4.B5．y＝x＋14 24。
高中数学第3章统计案例章末复习课讲义新人教B版选修231016448
高中数学第3章统计案例章末复习课讲义新人教B 版选修231016448[自我校对] ①回归分析 ②相互独立事件的概率 ③χ2公式 ④判断两变量的线性相关回归分析问题建立回归模型的步骤(1)确定研究对象，明确变量x ，y .(2)画出变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相关关系，则选用回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^)．(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)． (5)得出回归方程．另外，回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过回归直线方程的适用范围，否则没有实用价值．【例1】 假设一个人从出生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录： 年龄/周岁3456789身高/cm90.897.6104.2110.9115.7122.0128.5年龄/周岁10111213141516 身高/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.6173.0(2)求出这些数据的线性回归方程；(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？(4)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系．【精彩点拨】(1)作出散点图，确定两个变量是否线性相关；(2)求出a，b，写出线性回归方程；(3)回归系数即b的值，是一个单位变化量；(4)根据线性回归方程可找出其规律．【解】(1)数据的散点图如下：(2)用y表示身高，x表示年龄，因为x－＝114×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5，y－＝114×(90.8＋97.6＋…＋173.0)＝132，b^＝∑i＝114x i y i－14x－y－∑i＝114x2i－14x－2≈18 993－14×9.5×1321 491－14×9.52≈6.316，a^＝y－－b x－＝71.998，所以数据的线性回归方程为y＝6.316x＋71.998.(3)在该例中，回归系数6.316表示该人在一年中增加的高度．(4)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等．1．假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗Y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x 15.025.830.036.644.4Y 39.442.942.943.149.2(1)(2)求Y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗．【解】(1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y^＝b^x＋a^，x＝30.36，y＝43.5，∑i＝15x2i＝5 101.56，∑i＝15y2i＝9 511.43.x y＝1 320.66，y2＝1 892.25，x2＝921.729 6，∑i＝15x i y i＝6 746.76.由b^＝∑i＝15x i y i－5x y∑i＝15x2i－5x2≈0.29，a^＝y－b^x＝43.5－0.29×30.36≈34.70.故所求的线性回归方程为y^＝34.70＋0.29x.当x＝56.7时，y^＝34.70＋0.29×56.7＝51.143.估计成熟期有效穗约为51.143.独立性检验独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下，我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量χ2的含义，可以通过P (χ2>6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出χ2>6.635说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表．(2)根据公式χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2计算χ2的值．(3)比较χ2与临界值的大小关系并作统计推断．【例2】 在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？物理优秀 化学优秀 总分优秀 数学优秀 228 225 267 数学非优秀14315699【精彩点拨】 分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k 的值．由观测值分析，得出结论．【解】 (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：物理优秀 物理非优秀合计 数学优秀 228 132 360 数学非优秀 143 737 880 合计3718691 240n 11＝122122n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝371，n ＋2＝869，n ＝1 240. 代入公式χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2(n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2)，得χ21＝1 240×(228×737－132×143)2360×869×371×880≈270.114 3.(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：化学优秀 化学非优秀合计 数学优秀 225 135 360 数学非优秀 156 724 880 合计3818591 240n 11n 12n 21n 22n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝381，n ＋2＝859，n ＝1 240.代入公式，得χ22＝1 240×(225×724－135×156)2360×880×381×859≈240.611 2.(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：总分优秀 总分非优秀合计 数学优秀 267 93 360 数学非优秀 99 781 880 合计3668741 240n 11122122n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝366，n ＋2＝874，n ＝1 240.代入公式，得χ23＝1 240×(267×781－93×99)2360×880×366×874≈486．122 5.由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到χ2的统计量都大于临界值6.635，由此说明有99%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之．2．某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A 疾病”．经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A 疾病．请用所学知识分析该药品对预防A 疾病是否有效．【解】 将问题中的数据写成如下2×2列联表：患A 疾病不患A 疾病合计 服用该药品 5 100 105 不服用该药品18 400 418 合计23500523将上述数据代入公式χ2＝11221221n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2中，计算可得χ2≈0.041 4，因为0.041 4<3.841，故没有充分理由认为该保健药品对预防A 疾病有效.转化与化归思想在回归分析中的应用回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．【例3】 某商店各个时期的商品流通率Y (%)与对应商品零售额x (万元)资料如下：x 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 y64.643.22.8x 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 y2.52.42.32.22.1率Y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋b x.试根据上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．【解】 设u ＝1x，则y ＝a ＋bu ，得下表数据：u 0.105 3 0.087 0 0.074 1 0.064 5 0.057 1 y64.64 3.22.8u 0.051 3 0.046 5 0.042 6 0.039 2 0.036 4 y2.52.42.32.22.1y ^＝－0.187 5＋56.25 u .所以所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x.当x ＝30时，y ＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.3．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x (单位：min)表示化学反应进行的时间，Y (单位：mg)表示未转化物质的质量．x /min 1 2 3 4 5 6Y /mg 39.8 32.225.4 20.3 16.2 13.3x(2)估计化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量(精确到0.1)．【解】 (1)在y ＝cd x两边取自然对数，令ln y ＝z ，ln c ＝a ，ln d ＝b ，则z ＝a ＋bx .由已知数据，得x i 1 2 3 4 5 6y i 39.832.225.420.316.213.3z i3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588由公式得a ≈3.905 5，b ≈－0.221 9，则线性回归方程为z ＝3.905 5－0.221 9x .而ln c ＝3.905 5，ln d ＝－0.221 9，故c ≈49.675，d ≈0.801，所以c ，d 的估计值分别为49.675,0.801. (2)当x ＝10时，由(1)所得公式可得y ≈5.4(mg)．1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解析】 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 【答案】 B2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量【解析】 A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，χ2＝52×(6×22－14×10)220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， χ2＝52×(4×20－16×12)220×32×16×36＝637360.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， χ2＝52×(8×24－12×8)220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， χ2＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量． 【答案】 D3．如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i －t )2∑ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －－b ^t .【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t ＝4， ∑7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑7i ＝1(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．4．某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y －)∑ni ＝1(t i －t )2，a ^＝y －－b ^t .【解】 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑7i ＝1(t i －t )(y i －y －)∑7i ＝1(t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．- 1 -。
[配套k12学习]2018北师大版高中数学必修三学案：第三章 章末复习课
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学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的________，是随机的，随着试验的不同而________；概率是多数次的试验中________的稳定值，是一个________，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此________的事件的和；(2)先求其________事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝m n求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．4．几何概型事件概率的计算关键是求得事件A所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．类型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？反思与感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？类型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．类型三古典概型与几何概型例3某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.313C.213D.113类型四 列举法与数形结合例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？反思与感悟事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．跟踪训练4设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．1．下列事件中，随机事件的个数为()①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．A．1 B．2 C．3 D．42．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件3．下列试验属于古典概型的有()①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．A．1个B．2个C．3个D．4个4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是()A.13B.14C.12D ．无法确定 5．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.14501．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．4．模拟方法问题中，由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A 发生的条件确定随机数应满足的关系式．答案精析知识梳理1．近似值 变化 频率 常数 2．(1)互斥 (2)对立 4．区域 整个区域 题型探究例1 解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017，0.02,0.018.(2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘，为保证其中有2 000个正品U 盘，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个U 盘．跟踪训练1 解 (1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心． (4)不一定．例2 解 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种． 因此基本事件的总个数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.跟踪训练2 解 (1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，则所有可能的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．用C 表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则C 表示“有放回地从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P (C )＝1－P (C )＝1－416＝34.(2)无放回地从债券中任取2张，则所有可能的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．用D 表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则D 表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券”， 则P (D )＝1－P (D )＝1－212＝56.例3 解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.跟踪训练3 D [设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中 有22＋(x ＋2)2＝(13)2， 解得x ＝1或x ＝－5(舍去)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.] 例4 解 记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能结果可用树状图方式列出：如下图．每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.跟踪训练4 解 利用平面直角坐标系列举，如图所示．由此可知，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的倍数的情况有m ＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种)．故所求事件的概率m n ＝13.当堂训练1．C [①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.]2．B [根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．]3．A [古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.]4．C [共有4个事件“甲、乙同住房间A ，甲、乙同住房间B ，甲住A 乙住B ，甲住B 乙住A ”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是12.]5．C [三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.]。
高中数学第三章统计案例模块复习课课件北师大版选修2_3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
解(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
i xi yi 1 70 5. 1 2 74 6. 0 444 10 108 11. 0 3 80 6. 8 544 11 115 11. 8 4 78 7. 8 608. 4 12 123 12. 2 5 85 9. 0 765 13 130 12. 5 6 92 10. 2 938. 4 14 138 12. 8 7 90 10. 0 900 15 145 13. 0 8 95 12. 0 1 140
������ = ������-����������������� , ������)称为样本点的中心. ������ ������ =1
知识网络
要点梳理
(3)相关系数 当r>0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关 系.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 3.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类 变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个 分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数 列联表(称为2×2列联表)为
xi2 =161 125,
15
i=1
∑ ������������2 =1
628. 55, ∑ xi yi =16 076. 8.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题一 回归分析 【例1】 蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地年平均 使用氮肥量x kg与每单位面积蔬菜年平均产量y t之间的关系有如 下数据:
教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版必修3教学案：复习课(二)-统计-含解析
复习课(二) 统计抽样方法高考对抽样方法的考查主要是基础题，难度不大．系统抽样和分层抽样是考查的热点，考查形式以填空题为主．[考点精要]1．简单随机抽样(1)特征：①一个一个不放回的抽取．②每个个体被抽到可能性相等．(2)常用方法：①抽签法．②随机数表法．2．系统抽样(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．3.分层抽样(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．[典例](1)(山东高考改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________．(2)(江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为______．[解析] (1)抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939，落入区间[451,750]的有459,489，…，729共10人，即做B 卷的有10人．(2)设应从高二年级抽取x 名学生，则x 50＝310，∴x ＝15.(3)该地区中小学生人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取高中生近视眼人数为2 000×2%×50%＝20. [答案] (1)10 (2)15 (3)200,20 [类题通法](1)系统抽样中，易无视抽取的样本数也就是分段的段数，当Nn 不是整数时，注意剔除．(2)分层抽样中，易无视每层抽取的个体的比例是相同的．[题组训练]1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为________．解析：根据系统抽样的特点可知，分段间隔为1 00040＝25.答案：252．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．解析：抽样比为40150＋150＋400＋300＝4100.因此丙专业应抽取4100×400＝16(人)．答案：163．(北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为______.类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计4 300解析：设该样本中老年教师人数为x ，则有x 900＝3201 600，故x ＝180.答案：180高考对各种统计图表的考查主要是基础题，频率分布条形图和直方图是考查的热点，但也要注意关注茎叶图。
2018年秋高中数学 第三章 统计案例 阶段复习课 第3课 统计案例学案 新人教A版选修2-3
第三课 统计案例[核心速填] (建议用时4分钟)1．分析判断两个变量相关关系常用的方法(1)散点图法：把样本数据表示的点在直角坐标系中标出，得到散点图，由散点图的形状分析．(2)相关指数法：利用相关指数R 2进行检验，在确认具有相关关系后，再求线性回归方程．2．求线性回归方程的步骤(1)画散点图：从直观上观察两个变量是否线性相关． (2)计算：利用公式求回归方程的系数的值．b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.(3)写出方程：依据y ^＝a ^＋b ^x ，写出回归直线方程． 3．两种特殊可线性化回归模型的转化(1)将幂型函数y ＝ax m(a 为正的常数，x ，y 取正值)化为线性函数．如果将y ＝ax m两边同取以10为底的对数，则有lg y ＝m lg x ＋lg a ．令u ＝lg y ，v ＝lg x ，lg a ＝b ，代入上式，得u ＝mv ＋b ，其中m ，b 是常数．这是u ，v 的线性函数．如果以u 为纵坐标，v 为横坐标，则u ＝mv ＋b 的图象就是一直线．(2)将指数型函数y ＝ca x(a ＞0且a ≠1，c ＞0且为常数)化为线性函数．将y ＝ca x两边同取以10为底的对数，有lg y ＝x lg a ＋lg c ，令lg y ＝u ，lg a ＝k ，lg c ＝b ，得u ＝kx ＋b ，其中，k 和b 是常数，与幂型函数不同的是x 依然保持原来的，只是用y 的对数lg y 代替了y .4．在实际问题中常用的三个数值(1)当K 2＞6.635时，表示有99%的把握认为“事件A 与B 有关系”． (2)当K 2＞3.841时，表示有95%的把握认为“事件A 与B 有关系”． (3)当K 2≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的．[体系构建][题型探究]一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数r ，判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程．利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：(1)求b ^时，利用公式b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－ni ＝1x 2i －n x －2，先求出x ＝1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )，y ＝1n (y 1＋y 2＋y 3＋…＋y n )．再由a ^＝y －b ^ x 求a ^的值，并写出回归直线方程．(2)回归直线一定经过样本点的中心(x －，y －)．(3)回归直线方程中的截距a ^和斜率b ^都是通过样本估计得来的，存在误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．(4)回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中的b ^表示x 每增加1个单位时预报变量y 的平均变化量，而a ^表示预报变量y 不随x 的变化而变化的部分．以下是某地收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(2)若线性相关，求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格.【导学号：95032252】[解] (1)数据对应的散点图如图所示．(2)由散点图知y 与x 具有线性相关关系．由表中数据知x －＝15∑i ＝15x i ＝109，y －＝15∑i ＝15y i ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝5i ＝1x i y i －5x －y －∑i ＝15x 2i －5x －2≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －≈1.814 2，故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(3)根据(2)，当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^＝0.1962×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．1．已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：(2)根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y 与销售额x 之间的线性回归方程； (3)若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少．(参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.其中，∑i ＝15x i y i ＝112，∑i ＝15x 2i ＝200)[解] (1)散点图．(2)由已知数据计算得n ＝5，x －＝305＝6，y －＝175＝3.4，b ^＝112－5×6×3.4200－5×6×6＝0.5，a ^＝3.4－0.5×6＝0.4.则线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.(3)将x ＝10代入线性回归方程中得到y ^＝0.5×10＋0.4＝5.4(千万元)． 即估计该零售店的利润额约为5.4千万元．决实际问题的效果进行评价．一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的R 2(相关系数r )．对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题．在研究弹簧伸长长度y (cm)与拉力x (N)的关系时，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为y ＝0.18x ＋6.34，求R 2，并结合残差说明拟合效果.【导学号：95032253】[解] 列表求值如下：x －＝17.5，y －≈9.49，∑i ＝16x i y i ＝1 076.2，∑i ＝16x 2i ＝2 275，∑i ＝16(y i －y ^i )2＝0.017 4，∑i ＝16(y i－y －)2＝14.678 4.∴R 2＝1－0.017 414.678 4≈0.998 81，回归模型拟合效果较好．由表中数据可以看出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高．2．关于x 与y 有以下数据：已知x 与y 线性相关，由最小二乘法得b ＝6.5， (1)求y 与x 的线性回归方程；(2)现有第二个线性模型：y ^＝7x ＋17，且R 2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由． [解] (1)依题意设y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋a ^.x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∴y ^＝6.5x ＋a ^经过(x －，y －)， ∴50＝6.5×5＋a ^，∴a ^＝17.5，∴y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(2)由(1)的线性模型得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋(－10)2＋(－6.5)2＋0.52＝155.∑i ＝15(y i －y －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.所以R 21＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y－2＝1－1551 000＝0.845.由于R 21＝0.845，R 2＝0.82知R 21>R 2， 所以(1)的线性模型拟合效果比较好．是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)判断40岁以上的人患胃病与生活规律是否有关.【导学号：95032254】[思路探究] (1)解决本题关键是首先弄清问题中的两个分类变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2列联表的结构特征．(2)利用2×2列联表计算K 2的观测值，再结合临界值表来分析相关性的大小． [解] (1)由已知可列2×2列联表如下：k ＝－280×460×220×320≈9.638.因为9.638>7.879，因此，我们在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为40岁以上的人患胃病和生活规律有关．3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查得到了如下的列联表：(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．(参考公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d)[解](1)依题意可知喜爱打篮球的学生的人数为50×0.6＝30.列联表补充如下：(2)因为k＝25×25×30×20≈8.333>6.635，所以，有99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．。