2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案

一、直角三角形的边角关系

1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据

正切的定义求出CD 的长，得到答案．

试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=

，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC=

，∴CD=

=，

∴BC=

．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为

海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

2．如图，反比例函数() 0k y k x

≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=?. (1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tanC 的值.

【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2. 【解析】

【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数

()0k

y k x

≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；

（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C

tan 即可.

【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上， ∴a =2，∴

A (1，2)，

把A (1，2)代入 k

y x

= 得2k =， ∵反比例函数()0k

y k x

≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、两点关于原点O 中心对称，

∴()1

2B --，；（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，

∵

90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，∴C ABH ∠∠=，

∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=，

∴AD 2

2OD 1

tanC tan AOD =∠=

==.

【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.

3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2＝2CD?OE；

（3）若

314

cos,

BAD BE

∠==，求OE的长．

【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35

．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：

连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=AC?CD．

∴BC2=2CD?OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．

考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数

4．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）

参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.62492 1.4142

．

【答案】塔高AB 约为32.99米. 【解析】【分析】

过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论．【详解】

解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．

由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．

设AB = x ，则 AH = x – 3．

在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451AB

AEB EB

∠=?==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AH

ADH HD

∠=．即得 3

tan3215

x x -?=+．解得 15tan323

32.991tan32x ??+=

≈-?

．

∴ 塔高AB 约为32.99米．【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

5．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A 处与E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A 点的仰角为45°，条幅底端E 点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD 为12米，求条幅AE 的长度．(结果保留根号)

【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】【分析】

在Rt ACF V 中求AF 的长, 在Rt CEF V 中求EF 的长,即可求解. 【详解】

过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形

12CF DB ∴==

在Rt ACF V 中，45ACF ∠=?

tan 1AF

ACF CF

∴∠=

= 12AF ∴= 在Rt CEF V 中，30ECF ∠=? tan EF

ECF CF

∴∠= 3

123

EF ∴

43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+

【点睛】

本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.

6．如图，已知，在O e 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且??AC BD

=. （1）求证：AB CD =；

（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；

（3）如图，在（2）的条件下，点P 在?CG

上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ?的面积为2，求O e 的半径的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O e 10. 【解析】【分析】

(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；

（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明

AOJ DOQ ???得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；

（3）如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使

HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，求出22FL =HM n =，则有

22LK KG ==

，2

222

FK FL LK n =+=，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，

KG HF

FK HM

=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 10．【详解】

解：（1）证明：∵??AC BD =，∴????AC CB

BD CB +=+， ∴??AB CD =，

∴AB CD =.

（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，

∴90AJO DQO ∠=∠=?，11

AJ AB CD DQ ===，又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ???， ∴OJ OQ =，

又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥， ∴EO 平分AED ∠.

（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=?，

由（2）知，1

452

AEF AED ∠=

∠=?，如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，

∵FG 为直径，∴90H ∠=?，1

MFG S MG FH ?=??=， ∵2MG =，∴2FH =，

在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ， ∴45HFL HLF ∠=∠=?，45KLG HLF ∠=∠=?， ∵FG 为直径，∴90K ∠=?，

∴9045KGL KLG KLG ∠=?-∠=?=∠，∴LK KG =，

在Rt FHL ?中，222FL FH HL =+

，22FL =，设HM n =，2HL MG ==，

∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==，在Rt LGK ?中，222LG LK KG =+，22

LK KG n ==

，2

22FK FL LK n =+=+

， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1

452

AEF AED ∠=

∠=?， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=?，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=?， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，

∴KG HF

FK HM

=，∴22

22222

n n

n =

，4n =， ∴6HG HM MG =+=，

在Rt HFG ?中，222FG FH HG =+，210FG =，10FO =. 即O e 的半径的长为10. 【点睛】

考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．

7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，连接BD ，将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′（B ′与B 重合），且点D ′刚好落在BC 的延长上，A ′D ′与CD 相交于点E ．（1）求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分（如图1中阴影部分A ′B ′CE ）的面积；

（2）将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得△AA ′B ′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）45

；（2）详见解析；（3）使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0

秒、

32 秒、95

- ．【解析】【分析】

（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''

=A B CE A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′；（2）分类讨论，当0≤x ≤

115时和当11

＜x ≤4时，分别列出函数表达式；（3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】

解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，

根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝

'''''

=A B CE A D CD ∴

682

=CE ∴CE ＝3

cm ，

∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝86345

22222

?-?÷=（cm 2）；（2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝3

（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32

， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当

115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝4

（8﹣2x ） ∴()2

14y 8223x =

?-＝83x 2﹣643x +1283．（3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；

②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245

， ∵AN 2+A ′N 2＝36，

∴（6﹣

245）2+（2x +18

）2＝36，解得：x ＝

6695-，x ＝669

--（舍去）； ③如图2，当AB ′＝AA ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝24

， ∵AB 2+BB ′2＝AN 2+A ′N 2 ∴36+4x 2＝（6﹣245）2+（2x +18

）2 解得：x ＝

．综上所述，使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有：0秒、

32秒、669-．

【点睛】

本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．

8．阅读下面材料：

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝AD c ，sin C ＝AD

，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即

sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c a

C A

=，sin sin a b A B

=，所以sin sin sin a b c

A B C ==．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元