2018年天津市部分区高考数学一模试卷(理科)
天津市部分区2018届高三数学下学期质量调查试题一 理(扫描版)
数学（理工类）参考答案一、选择题：1—4 B C B C 5—8 A D C D 二、填空题：9．),2(+∞ 10．160- 11．9212．12- 13．π41 14．c a b << 三、解答题：15．（本小题满分13分）解：（I ）1cos 2()3sin cos 2xf x x x +=+3sin 222x x =+)6x π=+.…………（4分）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==………………………（6分）（II ）())6f x x π=++23的单位长度，得到()+)6g x x π=.………………………………（7分）因为43x ππ-≤≤，且()+)6g x x π=在[,]46ππ-上为增函数，在[,]63ππ上为减函数，（9分）易知3(),()()42632g g g πππ-=-==因为3,22-<<所以min max 3(),()2g x g x =-=…………………（12分）所以函数()g x 的值域为3[2-.…………………………………（13分）16．（本小题满分13分）解：（I ）甲、乙两大学生不过关的概率均为111=224(1-)(1-)，……………………（1分）丙大学生不过关的概率为114=339(1-)(1-)，…………………………………（2分）所以甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率为114144936⨯⨯=.………………（3分）（II ）甲、乙两大学生过关的概率均为13=441-(13)44=……（4分）丙大学生过关的概率为45199-=或(11(133+-（5分）随机变量X 的取值为0,1,2,3，…………………………………………………（6分）（71524529=49144144144⨯=+，……………………345111=4924424⨯=+…………………………(3)44916P X ==⨯⨯=………………………………………………………（10分）随机变量X 的分布列为………………………………………………………（11分）期望12911529637012336144241614418EX =⨯+⨯+⨯+⨯==.………………（13分）17．（本小题满分13分）解：（I ）证明：取PD 的中点G ，连结EG ，GC ，则AD EG 21//……………（1分）F 为BC 的中点, ∴BC FC 21=, 底面ABCD 为菱形，∴CF EG //,…（2分）∴四边形EGCF 为平行四边形，∴GC EF //. ……………………（3分）⊄EF 平面PCD , ⊂GC 平面PCD ，∴//EF 平面PCD .………………（4分）（II ）⊥PO 平面ABCD ，且BD AC ⊥，则以O 为坐标原点可建立如图空间直角坐标系xyz O -，…（5分）︒=∠60BAD ,2=AB ，四边形ABCD 为菱形.∴ABD ∆为等边三角形，3=∴OA ,1=OB ，则)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,)0,0,3(-C ,)0,1,0(-D ,)3,0,0(P .)3,1,0(,)0,1,3(--=--=∴PD AD . ……………………（6分）设平面PAD 的法向量),,(1z y x n =， 110,0n AD n PD ⋅=⋅=，则0,0,y y⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令3=y ，则1,1-=-=z x ，∴1(1-=n 7分） PO ABCD ⊥平面.)0,1,.…………………(8分）121n n n n ⋅=⋅⋅PA D -为锐角9分）（III ）设M 为, 则存在实数λ使得(0B M B C λλ=≤∴⎧10分） )23,0,23(E , ∴可得)23,1,233(----=λλEM .41042++=λλ ,321=⋅n EM .…………………………（11分） 直线ME 与平面PAD55241045322=++⋅∴λλ,01282=-+∴λλ. 解得：41=λ，或21-（舍去）.（12分）BM 41=∴.21==，所以线段BM 的长为21. …………………………………………（13分）18．（本小题满分13分）解：（1）由212+++=n n n a a a 得数列{}n a 是等差数列，…………………（1分）设公差为d ,由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+1002910109411d a d a 解得2,11==d a …………………………（3分）所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ………………………………………（4分）（4）)12()1()21(1--+⋅=-n n b nn n ………………………………………（5分）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-1)21(n n 的前n 项和为n H ，设数列{})12()1(--n n的前n 和为n Cn n n n n n n H n H 2121)1(2122112121213212211121210⨯+-++⨯+⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=-- …………………………………（6分）得n n n n H 212121212121120⨯-++++=- n n n n n 22221211211+-=⨯---=， 1224-+-=∴n n n H ……………………………………………………（8分）当n 为偶数时n nn C n =⨯=-+++-+-=22)12(7531 ………（10分）当n 为奇数时n n n n C n -=--⨯-=--++-+-=)12(221)12(7531 （12分）所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--++-=--是奇数是偶数，n n n n n n T n n n ,42242211 .………………………………………（13分）B 点纵坐标为12， ………………（1分）得01)2x B =可得. ………………•3,(,0)3,OB OF c c ∴===∴=（()),F F ∴12,由椭圆定义得:24,a = ∴2,a =……………………………………………………………………（4分）∴22224,431,a b a c ==-=-=………………………………………………（5分）∴椭圆的方程为21x y +=24.……………………………………………………（6分）（II ）设直线AM 的方程为111=(+2)(0),(,)y k x k M x y ≠由2=(+2)412,1y k x x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222211114161640,k x k x k +++-= ()2222111164(14)(164)160k k k ∆=-+-=>恒成立.…………………………（7分）A 点的横坐标为-2，即A x =-2，由韦达定理得：A 11221122111628,,1414k k x x x k k -+=-∴=++代入直线AM 的方程得：11214=14k y k +， 21122112841414k k M k k -∴++(,).………………………………………………………（8分）MN 为直径的圆过椭圆的左顶点A ， 11,AN AM AN k k ∴⊥=-.………………………………………………………（9分）可设直线AN 的方程为11(2)y x k =-+,同理：211221128444k k N k k --++(,)……………………………………………………（10分）112211122221112211441445282841144k k k k k k k k k k k --++∴==-----++………………………………………（11分）又λ=21k k ，21112211554141k k k k k λ∴==-=---12k k ，55,2λ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭………（12分）2211215545,24123k k k ∴-<-<-∴<<-…………………………………………（13分）解得：11k k << ∴直线AM 的斜率1k的取值范围是1k <<（14分）20．（本小题满分14分）解：（I ）)(x f 定义域为),0(+∞，x a x f 1)(++='1分）当0≥a 时，0)(>'x f ，函数()f x 在)(0,+∞上单调递增，当1-≤a 时，0)(<'x f ，函数()f x 在)(0,+∞上单调递减，……………（2由0)(<'x f 得aa x 21+->………（3分） ),0(+∞上是增函数，当1-≤a 时，)(x f 在0时，)(x f 在)21,0(aa +-上是增函数，在4分）（II ）（i ）x e x x h ln 1)(+=,定义域为),0(+∞，)1ln 1(1)(--⋅='x xe x h x………（5分）设1ln 1)(--=x x x g ，011)(2<--='xx x g)(x g ∴在),0(+∞上是减函数，又因为0)1(=g ，1=∴x 0)(=x g 是唯一的根. 当)1,0(∈x 时，0)(,0)(>'>x h x g ，当),1(+∞∈x 时，0)(,0)(<'<x h x g )(x h ∴在)1,0(上单调递增，),1(+∞单调递减. …………………………（6分） 当210,120≤<≤<m m 即时，)(x h 在[]m m 2,上单调递增， me m m h x h 2max )2ln(1)2()(+==当1≥m 时，)(x h 在[]m m 2,上单调递减，memm h x h ln 1)()(max +== 当121<<m 时，)(x h 在[]1,m 上单调递增，在[]m 2,1上单调递减，eh x h 1)1()(max ==（8分）综上⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<≤<+=1,ln 1121,1210,)2ln(1)(2maxm e mm e m e m x f m m. …………………………（9分）)(ii 所证不等式221)()(-+<'⋅+e x h x x 等价于21)ln 1(1-+<--⋅+e x x x ex x ，…（10分）设01)(0,1)(>-='>∴--=xxe x x x e x φφ时，，)(x φ∴在),0(+∞上是增函数0)0()(=>∴φφx ，即1+>x e x ，∴时，0>x 110<+<x e x .……（11分） 设x x u x x x x u ln 2)(,ln 1)(--='--=，),0(2-∈e x 时，0)(>'x u ， 当),(2+∞∈-e x 时，0)(<'x u 221)()(--+=≤∴e e u x u 所以21)ln 1(1-+<--⋅+e x x x ex x 成立, ………………………（13分） 即221)()(,0-+<'⋅+>∀e x h x x x 成立. ………………………（14分）。
2018年天津市高三第一次校模拟考试数学(理)试题word版含答案
2018年天津市高三第一次校模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6 B ．13 C ．32D2.设变量x ，y 满足约束条件4,4,2,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤-⎩则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．-5C ．-6D ．-83.命题p ：||1x <，命题q ：260x x +-<，则p ⌝是q ⌝成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件4.在100展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的项有（ ） A ．16项 B ．17项 C.24项 D ．50项5.若1ln 2a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b << C.c a b << D ．b a c <<6.将标号为1、2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内，每一个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C.360 D ．7207.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ） ABD8.如图，梯形ABCD 中，AB CD ，2AB =，4CD =，BC AD ==,E 和F 分别为AD 与BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．59(,)420-- B ．511(,)44-- C.111(,)44- D ．91(,)204--第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知集合U R =，集合{||3||3|3}A x R x x =∈+-->241{|,(0,)}t t B x R x t t-+=∈=∈+∞，则集合()U BC A = ．10.执行如图所示的程序框图，则输出b 的结果是 ．11.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ．12.已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是3cm ．13.设a 与b 均为正数，且33122x y +=++，则2x y +的最小值为 ． 14.设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使得对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 的型增函数”，已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2017的型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()sin cos()6f x x x π=+-，x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）设ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =且2()6b af A π=-，求角C 的大小.16.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数分分布列与期望.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，22PA AB AD BC ====，BAD θ∠=，E 是棱PD 的中点.（Ⅰ）若60θ=︒，求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求θ的值，使二面角P CD A --的平面角最小.18. 已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1312231(1)21212121n nn n b b b b a +=-----++++，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}n c （*n N ∈）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线1C ：24x y =的焦点F 也是椭圆2C ：22221y x a b+=（0a b >>）的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为. （Ⅰ）求2C 的方程（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC ，BD 同向. （1）若||||AC BD =求直线l 的斜率；（2）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.20. 已知函数2()2xx f x e x -=+，()2ln g x x ax =-（a R ∈） （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：当[0,1)b ∈时，函数2()x e bx bh x x--=（0x >）有最小值.记()h x 的最小值为()b ϕ，求()b ϕ的值域；（Ⅲ）若()g x 存在两个不同的零点1x ，2x （12x x <），求a 的取值范围，并比较122'()3x x g +与0的大小.2018年天津市高三第一次校模拟考试数学（理）试题答案一、选择题1-5:ADBBA 6-8:BCD二、填空题9.3[2,]2-10.2 11.16312.1213.3+14.2017 (,6-∞）三、解答题15.解：1 ()sin cos sin sin62f x x x x x xπ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭1cos26x x xπ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.3xπ⎛⎫-⎪⎝⎭）所以()f x（Ⅱ）解：因为26b af Aπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由（Ⅰ）和正弦定理，得2sin B A=.又2B A=，所以2sin2A A=，即22sin cosA A A=，而A是三角形的内角，所以sin0A≠，故cos A A=，tan A=，所以6Aπ=，23B Aπ==，2C A Bππ=--=16.（Ⅰ）解：采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.因此它的概率P是：11113322111155551225C CC CPC C C C=⋅+⋅=.（Ⅱ）解：设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0,1,2.23253(0)10C P C ξ===；1123253(1)5C C P C ξ⋅===；22251(2)10C P C ξ===. ξ的分布列为：012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=17.解：当60θ=︒时，∵AD BC ，22ABAD BC ===. ∴CD AD ⊥.又PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥. ∴CD ⊥平面PAD . 又AE ⊂平面PAD ， ∴CD AE ⊥.又PA AD =，E 是棱PD 的中点， ∴PD AE ⊥. ∴AE ⊥平面PCD .（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，(2sin ,2cos ,0)B θθ，(2sin ,2cos 1,0)C θθ+，(0,2,0)D .∴(0,2,2)DP =-、(2sin ,2cos 1,0)DC θθ=-.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则220(2sin )(2cos 1)0n DPy z x y n DC θθ⎧⊥-+=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⊥⎩⎪⎩ 取1y =，得2cos 1(,1,1)2sin n θθ-=.又易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =. 设二面角P CD A --的平面角为α， 则cos 2cos m n m nα⋅==⋅要使α最小，则cos α最大，即2cos 102sin θθ-=，∴1cos 2θ=，得3πθ=18.解：（Ⅰ）设此等比数列为1a ，1a q ，21a q ，31a q ，…，其中10a ≠，0q ≠. 由题意知：2311128a q a q a q ++=，①321112(2)a q a q a q +=+.②②7⨯-①得3211161560a q a q a q -+=， 即22520q q -+=，解得2q =或12q =. ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =，2q =，∴2n n a =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知112n n a =（*n N ∈）， 由1312231(1)221212121n n n nb b b b +=-+-+-++++（*n N ∈）， 得311212311(1)221212121n n n n b b b b ---=-+-+-++++（2n ≥）， 故1111(1)2221n n n n n b +--=-+，即1(1)(1)2n n n b =-+（2n ≥）， 当1n =时，1121b a =+，132b =，∴3,21(1)(1).2n n nb ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩*1,2,.n n n N =≥∈；（Ⅲ）∵2n n n c b λ=+，∴当3n ≥时，12(1)(1)2n n n n c λ=+-+，111112(1)(1)2n n n n c λ----=+-+， 依据题意，有1132(1)(2)02n n n n n c c λ---=+-+>，即12(1)322n nn λ-->-+，①当n 为大于或等于4的偶数时，有12322n n λ->-+恒成立，又1212213312222n n n n ---=-++随n 增大而增大， 则当且仅当4n =时，1min212833522n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，故λ的取值范围为12835λ>-； ②当n 为大于或等于3的奇数时，有12322n nλ-<+恒成立，且仅当3n =时，1min 23231922n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，故λ的取值范围为3219λ<；又当2n =时，由212153(2)(2)042n n c c c c λλ--=-=+-+>，得8λ<，综上可得，所求λ的取值范围是12832|3519λλ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 19.解：（1）由抛物线1C ：24x y =的焦点(0,1)F ，所以221a b -=，又由1C 与2C的公共弦长为，得公共点坐标3()2，所以229614a b+=，解得29a =，28b =得2C ：22198x y +=（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y由AC BD =，得1234x x x x -=-，所以2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-① 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-②由221,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2(98)16640k x kx ++-=，3421698k x x k -+=+，3426498x x k -=+③将②③代入①，解得k =由24x y =，'2xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为21124x x y x =-所以1(,0)2x M ，1(,1)2xFM =-，11(,1)FA x y =- 2211111024x x FM FA y ⋅=-+=+>，显然FM ，FA 不会同向共线，因此AFM ∠是锐角，从而FMD ∠是钝角，所以直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角线 20.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0(2)(2)x x xx x e x e x e f x x x -+--==≥++， 当且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)-+∞单调递增，（Ⅱ）2243(2)(2)(2)(2)'()x x x x e x x b x e x bh x x x -++-++==32(2)()2xx x e b x x-+++=由（Ⅰ）知，2()2xx f x b e b x -+=++单调递增， 对任意[0,1)b ∈，(0)10f b b +=-+<，(2)0f b b +=≥ 因此，存在唯一(0,2]t ∈，使得'()()0h t f t b =+=.当(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 递减，当(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 递增.所以()h x 有最小值2()()2t te bt b e b h t t t ϕ--===+. 而2(1)()'02(2)t t e e t t t +=>++，所以()2te h t t =+在(0,2]上递增.所以(0)()(2)h h t h <≤，即()h a 的值域为21(]24e ，（Ⅲ）定义域为(0,)+∞，22'()ax g x a x x-=-= 当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上递增，舍.当0a >时，()g x 在2(0,)a 上递增，在2(,)a+∞上递减， 0x +→，()g x →-∞，x →+∞，()g x →-∞， 所以min 2()()0g x g a =>，20a e<<. 设4()()()F x g x g x a =--，822'()22044()a F x a a x x x x a a=+-=-≥-- 所以()F x 在(0,)4a 上递增，2()()0F x F a <=，即4()()g x g x a<- 所以2114()()()g x g x g x a=<-， 又122x x a <<，所以2x ，142x a a ->且在2(,)a+∞上递减 所以214x x a <-，即124x x a +>，12223x x a+>. 所以122'()03x x g 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2018年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)
2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为R ，集合A ＝{x|0<x <2}，B ＝{x|x ≥1}，则A ∩(∁R B)＝（ ） A.{x|0<x ≤1} B.{x|0<x <1}C.{x|1≤x <2}D.{x|0<x <2}2. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0 ，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（ ）A.6B.19C.21D.453. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A.1B.2C.3D.44. 设x ∈R ，则“|x −12|<12”是“x 3<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知a =log 2 e ，b =ln 2，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b6. 将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A.在区间[3π4, 5π4]上单调递增 B.在区间[3π4, π]上单调递减 C.在区间[5π4, 3π2]上单调递增 D.在区间[3π2, 2π]上单调递减7. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( ) A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 29=1 D.x 29−y 23=18. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →⋅BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. i 是虚数单位，复数6+7i1+2i =________．10. 在(x −2√x )5的展开式中，x 2的系数为________．11. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M−EFGH 的体积为________．12. 已知圆x 2+y 2−2x =0的圆心为C ，直线{x =−1+√22ty =3−√22t，（t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．13. 已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a+18b 的最小值为________．14. 已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0 ．若关于x 的方程f(x)＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos (B −π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a =2，c =3，求b 和sin (2A −B)的值．16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． (i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；(ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．17. 如图，AD // BC 且AD =2BC ，AD ⊥CD ，EG // AD 且EG =AD ，CD // FG 且CD =2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA =DC =DG =2．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN // 平面CDE ；（2）求二面角E −BC −F 的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60∘，求线段DP 的长．18. 设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)， ①求T n ； ②证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．19. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB|⋅|AB|=6√2． （1）求椭圆的方程；（2）设直线l:y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值．20. 已知函数f(x)=a x ，g(x)=log a x ，其中a >1． (1)求函数ℎ(x)=f(x)−x ln a 的单调区间；(2)若曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)）处的切线与曲线y =g(x)在点（x 2, g(x 2)）处的切线平行，证明x 1+g(x2)=−2lnln a；ln a(3)证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．参考答案与试题解析2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据补集、交集的定义即可求出．【解答】∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x<1}，∴A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．2.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z＝3x+5y的最大值．【解答】由变量x，y满足约束条件{x+y≤5 2x−y≤4−x+y≤1y≥0，得如图所示的可行域，由{x+y=5−x+y=1解得A(2, 3)．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，3.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题主要考查循环结构的程序框图．【解答】解：运行程序，Ni=10是整数，T=1，i=3；N i =203不是整数，i=4；Ni=5是整数，T=2，i=5，退出循环．输出T的值为2．故选B．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由|x−12|<12可得−12<x−12<12，解得0<x<1；由x3<1，解得x<1；故“|x−12|<12”是“x3<1”的充分不必要条件，故选A．5.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：因为1=log22<log2e<log24=2，所以1<a<2；因为0<ln2<ln e=1，所以0<b<1；因为log1213=log23>log2e，所以c>a．所以c>a>b．故选D．6.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．【解答】解：将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度， 得到的函数为：y =sin 2x ，增区间满足：−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ， 减区间满足：π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ，k ∈Z ，∴ 增区间为[−π4+kπ, π4+kπ]，k ∈Z ， 减区间为[π4+kπ, 3π4+kπ]，k ∈Z ，∴ 将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度， 所得图象对应的函数在区间[3π4, 5π4]上单调递增．故选A ． 7.【答案】 C【考点】双曲线的渐近线 双曲线的离心率 双曲线的标准方程【解析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可． 【解答】解：由题意可得图象如图，可得CD 是双曲线的一条渐近线, y =ba x ，即bx −ay =0，F(c, 0)，因为AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， FE ⊥CD ，ACDB 是梯形， F 是AB 的中点，EF =d 1+d 22=3，EF =bc √a 2+b2=b ， 所以b =3，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为2， 可得c a =2， 可得：a 2+b 2a 2=4，解得a =√3．则双曲线的方程为：x 23−y 29=1．故选C ． 8.【答案】 A【考点】二次函数在闭区间上的最值 平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴， 过点B 做BN ⊥x 轴，过点B 做BM ⊥y 轴，∵ AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1， ∴ AN =AB cos 60∘=12，BN =AB sin 60∘=√32， ∴ DN =1+12=32， ∴ BM =32，∴ CM =MB tan 30∘=√32， ∴ DC =DM +MC =√3，∴ A(1, 0)，B(32, √32)，C(0, √3)， 设E(0, m)，∴ AE →=(−1, m)，BE →=(−32, m −√32)，0≤m ≤√3，∴ AE →⋅BE →=32+m 2−√32m =(m −√34)2+32−316=(m −√34)2+2116，当m =√34时，取得最小值为2116． 故选A ．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.【答案】 4−i 【考点】 复数的运算 【解析】根据复数的运算法则计算即可． 【解答】解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i 5=4−i ，故答案为：4−i 10. 【答案】5 【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求． 【解答】解：(x −2√x )5的二项展开式的通项为:T r+1=C 5r⋅x 5−r ⋅2x)r =(−12)r⋅C 5r ⋅x10−3r 2．由10−3r 2=2，得r =2．∴ x 2的系数为(−12)2⋅C 52=52．故答案为：52． 11. 【答案】112【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意知，四棱锥M −EFGH 为正四棱锥，正方形EFGH 的边长为√(12)2+(12)2=√22，四棱锥M −EFGH 的高为12，所以四棱锥M −EFGH 的体积为13×(√22)2×12=112．故答案为：112． 12. 【答案】12【考点】直线与圆的位置关系参数方程与普通方程的互化【解析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离， 计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求出△ABC 的面积． 【解答】解：圆x 2+y 2−2x =0化为标准方程是(x −1)2+y 2=1，圆心为C(1, 0)，半径r =1； 直线{x =−1+√22t y =3−√22t 化为普通方程是x +y −2=0，则圆心C 到该直线的距离为d =2=√22， 弦长|AB|=2√r 2−d 2=2√1−12=2×√22=√2，∴ △ABC 的面积为S =12⋅|AB|⋅d =12×√2×√22=12．故答案为：12． 13.【答案】14【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值． 【解答】解：由题知a −3b =−6，因为2a >0，8b >0，所以2a +18≥2×√2a +18=2×√2a−3b =14．当且仅当2a =18b ，即a =−3b ，a =−3，b =1时取等号．故答案为：14． 14.【答案】 (4, 8) 【考点】分段函数的应用 【解析】分别讨论当x ≤0和x >0时，利用参数分离法进行求解即可． 【解答】当x ≤0时，由f(x)＝ax 得x 2+2ax +a ＝ax ， 得x 2+ax +a ＝0， 得a(x +1)＝−x 2， 得a =−x 2x+1，设g(x)=−x 2x+1，则g′(x)=−2x(x+1)−x 2(x+1)2=−x 2+2x(x+1)2，由g′(x)>0得−2<x <−1或−1<x <0，此时递增，由g′(x)<0得x <−2，此时递减，即当x ＝−2时，g(x)取得极小值为g(−2)＝4， 当x >0时，由f(x)＝ax 得−x 2+2ax −2a ＝ax ， 得x 2−ax +2a ＝0，得a(x −2)＝x 2，当x ＝2时，方程不成立， 当x ≠2时，a =x 2x−2 设ℎ(x)=x 2x−2，则ℎ′(x)=2x(x−2)−x 2(x−2)2=x 2−4x (x−2)2，由ℎ′(x)>0得x >4，此时递增，由ℎ′(x)<0得0<x <2或2<x <4，此时递减，即当x ＝4时，ℎ(x)取得极小值为ℎ(4)＝8， 要使f(x)＝ax 恰有2个互异的实数解， 则由图象知4<a <8，三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 【答案】解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得asin A =bsin B ， 得b sin A =a sin B ， 又b sin A =a cos (B −π6)． ∴ a sin B =a cos (B −π6)，即sin B =cos (B −π6) =cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sin B ，∴ tan B =√3，又B ∈(0, π)，∴ B =π3．(2)在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3， 由余弦定理得b =√a 2+c 2−2ac cos B =√7， 由b sin A =a cos (B −π6)， 得sin A =√3√7， ∵ a <c ， ∴ cos A =√7，∴ sin 2A =2sin A cos A =4√37， cos 2A =2cos 2A −1=17，∴ sin (2A −B)=sin 2A cos B −cos 2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 【考点】两角和与差的余弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）由正弦定理得b sin A =a sin B ，与b sin A =a cos (B −π6)．由此能求出B ．（2）由余弦定理得b =√7，由b sin A =a cos (B −π6)，得sin A =√3√7，cos A =√7，由此能求出sin (2A −B)．【解答】解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得asin A =bsin B ， 得b sin A =a sin B ， 又b sin A =a cos (B −π6)． ∴ a sin B =a cos (B −π6)，即sin B=cos(B−π6)=cos B cos π6+sin B sinπ6=√32cos B+12sin B，∴tan B=√3，又B∈(0, π)，∴B=π3．(2)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a2+c2−2ac cos B=√7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=√3√7，∵a<c，∴cos A=√7，∴sin2A=2sin A cos A=4√37，cos2A=2cos2A−1=17，∴sin(2A−B)=sin2A cos B−cos2A sin B=4√37×12−17×√32=3√314．16.【答案】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A发生的概率为67．【考点】互斥事件的概率加法公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列分层抽样方法【解析】(1)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；(2)若(I)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；(II)利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：(1)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．(2)(i)随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=0)=C33C73=135，P(X=1)=C41C32C73=1235，P(X=2)=C42C31C73=1835，P(X=3)=C43C73=435，所以随机变量的分布列为：E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127；(ii)设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以事件A 发生的概率为67．17. 【答案】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(2, 0, 2)，F(0, 1, 2)，G(0, 0, 2)，M (0,32,1)，N(1, 0, 2)．（1）证明：依题意DC →=(0,2,0)，DE →=(2,0,2)． 设n 0→=(x,y,z)为平面CDE 的法向量，则{n 0→⋅DE →=0，n 0→⋅DC →=0，即{2y =0，2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0→=(1,0,−1)， 又MN →=(1,−32,1)，可得MN →⋅n 0→=0，又因为直线MN ⊄平面CDE ， 所以MN // 平面CDE ．（2）解：依题意，可得BC →=(−1,0,0)，BE →=(1,−2,2)，CF →=(0,−1,2)． 设n →=(x,y,z)为平面BCE 的法向量， 则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即{−x =0，x −2y +2z =0，不妨令z =1，可得n →=(0,1,1)． 设m →=(x,y,z)为平面BCF 的法向量，则{m →⋅BC →=0，m →⋅CF →=0，即{−x =0，−y +2z =0，不妨令z =1，可得m →=(0,2,1)． 因此有cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=3√1010，于是sin ⟨m →,n →⟩=√1010． 所以，二面角E −BC −F 的正弦值为√1010．（3）解：设线段DP 的长为ℎ(ℎ∈[0, 2])，则点P 的坐标为(0, 0, ℎ)， 可得BP →=(−1,−2,ℎ)．易知，DC →=(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos ⟨BP →,DC →⟩|=|BP →⋅DC →||BP →||DC →|=√ℎ2+5．由题意，可得√ℎ2+5=sin 60∘=√32，解得ℎ=√33∈[0, 2]．所以，线段DP 的长为√33． 【考点】直线与平面所成的角 直线与平面平行 【解析】 此题暂无解析 【解答】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA →，DC →，DG →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 2, 0)，E(2, 0, 2)，F(0, 1, 2)，G(0, 0, 2)，M (0,32,1)，N(1, 0, 2)．（1）证明：依题意DC →=(0,2,0)，DE →=(2,0,2)．设n 0→=(x,y,z)为平面CDE 的法向量，则{n 0→⋅DE →=0，n 0→⋅DC →=0，即{2y =0，2x +2z =0，不妨令z =−1，可得n 0→=(1,0,−1)， 又MN →=(1,−32,1)，可得MN →⋅n 0→=0， 又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN // 平面CDE ．（2）解：依题意，可得BC →=(−1,0,0)，BE →=(1,−2,2)，CF →=(0,−1,2)． 设n →=(x,y,z)为平面BCE 的法向量， 则{n →⋅BC →=0，n →⋅BE →=0，即{−x =0，x −2y +2z =0，不妨令z =1，可得n →=(0,1,1)． 设m →=(x,y,z)为平面BCF 的法向量， 则{m →⋅BC →=0，m →⋅CF →=0，即{−x =0，−y +2z =0，不妨令z =1，可得m →=(0,2,1)． 因此有cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=3√1010，于是sin ⟨m →,n →⟩=√1010． 所以，二面角E −BC −F 的正弦值为√1010．（3）解：设线段DP 的长为ℎ(ℎ∈[0, 2])，则点P 的坐标为(0, 0, ℎ)， 可得BP →=(−1,−2,ℎ)．易知，DC →=(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos ⟨BP →,DC →⟩|=|BP →⋅DC →||BP →||DC →|=√ℎ2+5．由题意，可得2=sin 60∘=√32，解得ℎ=√33∈[0, 2]．所以，线段DP 的长为√33． 18. 【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵ q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴ b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2kn k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0． ∵ q >0，可得q =2． 故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4， 由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16， ∴ b 1=d =1． 故b n =n ．所以数列{a n }的通项公式为a n =2n−1，数列{b n }的通项公式为b n =n ． （2）①解：由(1)，有S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2kn k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2．②证明：因为(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1， 所以∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2．19. 【答案】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2=59，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ． 由已知可得，|FB|=a ，|AB|=√2b ．由|FB|⋅|AB|=6√2，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2）设点P 的坐标为(x 1, y 1)，点Q 的坐标为(x 2, y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ|sin ∠AOQ =y 1−y 2． 又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB，且∠OAB =π4，故|AQ|=√2y 2．由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．由方程组{y =kx,x 29+y 24=1，消去x ，可得y 1=√9k 2+4，易知直线AB 的方程为x +y −2=0，由方程组{y =kx,x +y −2=0，消去x ，可得y 2=2k k+1．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得56k 2−50k +11=0，解得k =12或k =1128． 所以k 的值为12或1128． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2=59，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ． 由已知可得，|FB|=a ，|AB|=√2b ．由|FB|⋅|AB|=6√2，可得ab =6，从而a =3，b =2． 所以椭圆的方程为x 29+y 24=1．（2）设点P 的坐标为(x 1, y 1)，点Q 的坐标为(x 2, y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，故|PQ|sin ∠AOQ =y 1−y 2．又因为|AQ|=y 2sin ∠OAB ，且∠OAB =π4，故|AQ|=√2y 2．由|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．由方程组{y =kx,x 29+y 24=1，消去x ，可得y 1=√9k 2+4，易知直线AB 的方程为x +y −2=0，由方程组{y =kx,x +y −2=0，消去x ，可得y 2=2k k+1．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=3√9k 2+4，两边平方，整理得56k 2−50k +11=0，解得k =12或k =1128． 所以k 的值为12或1128．20.【答案】(1)解：由已知，ℎ(x)=a x −x ln a ，有ℎ′(x)=a x ln a −ln a ， 令ℎ′(x)=0，解得x =0．由a >1，可知当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：(0, +∞)；(2)证明：由f ′(x)=a x ln a ，可得曲线y =f(x)在点（x 1, f(x 1)）处的切线的斜率为a x 1ln a ． 由g ′(x)=1x ln a，可得曲线y =g(x)在点（x 2, g(x 2)）处的切线的斜率为1x 2ln a．∵ 这两条切线平行，故有a x 1ln a =1x 2ln a，即x 2a x 1(ln a)2=1，两边取以a 为底数的对数，得log a x 2+x 1+2log a ln a =0， ∴ x 1+g(x 2)=−2lnln a ln a；(3)证明：曲线y =f(x)在点(x 1,a x 1)处的切线l 1:y −a x 1=a x 1ln a(x −x 1)， 曲线y =g(x)在点(x 2, log a x 2)处的切线l 2:y −log a x 2=1x2ln a(x −x 2)．要证明当a ≥e 1e时，存在直线l ，使l 是曲线y =f(x)的切线，也是曲线y =g(x)的切线， 只需证明当a ≥e 1e 时，存在x 1∈(−∞, +∞)，x 2∈(0, +∞)使得l 1与l 2重合， 即只需证明当a ≥e 1e 时，方程组{a x 1ln a =1x2ln a①，a x 1−x 1a x 1ln a =log a x 2−1ln a②.由①得x 2=1a x 1(ln a)2，代入②得： a x 1−x 1a x 1ln a +x 1+1ln a+2lnln a ln a=0③.因此，只需证明当a ≥e 1e时，关于x 1 的方程③存在实数解．设函数u(x)=a x −xa x ln a +x +1ln a+2lnln a ln a，即要证明当a ≥e 1e 时，函数y =u(x)存在零点．u′(x)=1−(ln a)2xa x ，可知x ∈(−∞, 0)时，u′(x)>0；x ∈(0, +∞)时，u′(x)单调递减. 又u′(0)=1>0，u′(1(ln a)2)=1−a1(ln a)2<0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u′(x 0)=0，即1−(ln a)2x 0a x 0=0． 由此可得，u(x)在(−∞, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0)．∵a≥e1e，故lnln a≥−1，∴u(x0)=a x0−x0a x0ln a+x0+1ln a +2lnln aln a=1x0(ln a)2+x0+2lnln aln a≥2+2lnln aln a≥0．下面证明存在实数t，使得u(t)<0，由(1)可得a x≥1+x ln a，当x>1ln a时，有u(x)≤(1+x ln a)(1−x ln a)+x+1ln a +2lnln aln a=−(ln a)2x2+x+1+1ln a+2lnln aln a．∴存在实数t，使得u(t)<0．因此，当a≥e 1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，使得u(x1)=0．∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性对数的运算性质【解析】（1）把f(x)的解析式代入函数ℎ(x)=f(x)−x ln a，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；（2）分别求出函数y=f(x)在点（x1, f(x1)）处与y=g(x)在点（x2, g(x2)）处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；（3）分别求出曲线y=f(x)在点(x1,a x1)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2, log a x2)处的切线方程，把问题转化为证明当a≥e 1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，x2∈(0, +∞)使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥e1e时，方程a x1−x1a x1ln a+x1+1ln a +2lnln aln a=0存在实数解．然后利用导数证明即可．【解答】(1)解：由已知，ℎ(x)=a x−x ln a，有ℎ′(x)=a x ln a−ln a，令ℎ′(x)=0，解得x=0．由a>1，可知当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：(0, +∞)；(2)证明：由f′(x)=a x ln a，可得曲线y=f(x)在点（x1, f(x1)）处的切线的斜率为a x1ln a．由g′(x)=1x ln a ，可得曲线y=g(x)在点（x2, g(x2)）处的切线的斜率为1x2ln a．∵这两条切线平行，故有a x1ln a=1x2ln a，即x2a x1(ln a)2=1，两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logaln a=0，∴x1+g(x2)=−2lnln aln a；(3)证明：曲线y=f(x)在点(x1,a x1)处的切线l1:y−a x1=a x1ln a(x−x1)，曲线y=g(x)在点(x2, log a x2)处的切线l2:y−log a x2=1x2ln a(x−x2)．要证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当a≥e1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，x2∈(0, +∞)使得l1与l2重合，即只需证明当a≥e1e时，方程组{a x1ln a=1x2ln a①，a x1−x1a x1ln a=logax2−1ln a②.由①得x2=1a x1(ln a)2，代入②得：a x1−x1a x1ln a+x1+1ln a+2lnln aln a=0③.因此，只需证明当a≥e1e时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u(x)=a x−xa x ln a+x+1ln a+2lnln aln a，即要证明当a≥e1e时，函数y=u(x)存在零点．u′(x)=1−(ln a)2xa x，可知x∈(−∞, 0)时，u′(x)>0；x∈(0, +∞)时，u′(x)单调递减.又u′(0)=1>0，u′(1(ln a)2)=1−a1(ln a)2<0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u′(x0)=0，即1−(ln a)2x0a x0=0．由此可得，u(x)在(−∞, x0)上单调递增，在(x0, +∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0)．∵a≥e1e，故lnln a≥−1，∴u(x0)=a x0−x0a x0ln a+x0+1ln a+2lnln aln a=1x0(ln a)2+x0+2lnln aln a≥2+2lnln aln a≥0．下面证明存在实数t，使得u(t)<0，由(1)可得a x≥1+x ln a，当x>1ln a时，有u(x)≤(1+x ln a)(1−x ln a)+x+1ln a+2lnln aln a=−(ln a)2x2+x+1+1ln a+2lnln aln a．∴存在实数t，使得u(t)<0．因此，当a≥e1e时，存在x1∈(−∞, +∞)，使得u(x1)=0．∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．。
(完整版)2018年高考天津卷理科数学真题及答案,推荐文档
理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分．
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（Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理 a b ，可得 bsin A asin B ，
sin A sin B
又由 bsin A a cos(B π) ，得 a sin B a cos(B π) ，即 sin B cos(B π) ，可得
处的切线平行，证明
x1
g
(
x2
)
2
ln ln ln a
a
；
1
（III）证明当 a ee 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y f (x) 的切线，
也是曲线 y g(x) 的切线.
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参考答案：
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 5 分，满分 40
分．
（1）B
（2）C
（3）B
（4）A
所以，随机变量 X 的分布列为
.
.
X0 1 2 3
P
1 35
12 35
18 35
4 35
随机变量
X
的数学期望
E(X
)
0
1 35
1
12 35
2
18 35
3
4 35
12 7
．
（ii）解：设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，
睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的
祝各位考生考试顺利！ 第I卷
注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 P(A B) P(A) P(B) . 如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB) P(A)P(B) . 棱柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱
天津市耀华中学2018届高考数学一模试卷理科含解析
2018年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．23．已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．154．设a=log412，b=log515，c=log618，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a5．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知关于x的不等式（ab＞1）的解集为空集，则的最小值为（）A．B．2 C． D．48．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上AM的最大值是（）一动点，则DCA．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．16．一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别 A B C数量 4 3 2同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q 两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a2=2，S5=15，数列{b n}满足：b1=，b n+1=b n（n∈N+），记数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的通项公式b n及前n项和公式T n；（3）记集合M={n|≥λ，n∈N+}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值范围．20．设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn≤（n=1，2．…）．2018年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，1）将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣1=1．即z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．。
2018年天津市部分区高考数学一模试卷
2018年天津市部分区高考数学一模试卷数学（理工类）第Ⅰ卷1．设集合A={﹣1，1，2}，B={a +1，a 2﹣2}，若A ∩B={﹣1，2}，则a 的值为（ ） A ．﹣2或﹣1 B ．0或1 C ．﹣2或1 D ．0或﹣22、若变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数22z x y =+的最大值等于A ．9B ．36C ．41D ．813、已知非零向量,m n ，满足143,cos ,3m n m n == ，若()n m n ⊥+，则实数t 的值为 A ．94-B ．94C ．4-D ．4 4、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．98 B ．99 C ．100 D ．1015、如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π6、已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，111sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为A ．2B ．32 C ．3 D ．27、函数()1()cos (f x x x x xππ=--≤≤且0x ≠）的图象可能为8、已知函数()21(,f x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln g x x =的图象上，存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞第Ⅱ卷二．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．!) 9．已知集合{}|22A x R x =∈-≤，{}|22,B y R y x x A =∈=-+∈，则集合A B ⋂=10．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为11．由曲线2y x =与3y x =所围成的封闭图形的面积是________12．在以O 为极点的极坐标系中，曲线θρcos 2=和直线a =θρcos 相交于,A B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为_________13．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=⋅AF AB ，则BF AE ⋅ 的值是14．已知定义在R 上的函数1(1)1()1(1)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x b f x c ++=有三个不等的实数解，设2m b c =+，则m 的取值范围是_________三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分12分）已知函数()sin()cos 16f x x x π=-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]122x ππ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值.某校高三年级准备矩形一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如下表所示：（1）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（2）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X 为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分13分）如图，五面体PABCD 中，CD ⊥平面,PAD ABCD 为直角梯形， 1,,22BCD PD BC CD AD AP PD π∠====⊥. （1）若E 为AP 的中点，求证：//BE 平面PCD ； （2）求二面角P AB C --的余弦值；（3）若点Q 在线段PA 上，且BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，求CQ 的长.已知正项数列{}n a 满足211111142(2,)n n nn n n n a a a n n N a a a a ++--++-+=-≥∈，且611a =，前9项和为81.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}lg n b 的前n 项和为lg(21)n +，记12n nn n a b c +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b . （1）求椭圆C 的离心率； （2）若点3(3,)2M 在椭圆C 上，不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，与直线OM 相较于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB ∆面积的最大值.已知函数()21ln ()2f x x ax x a R =-+-∈.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，求证：124()2()13ln 2f x f x -≤+.天津市部分区2018年高三质量调查试卷（一）数 学（理工类）一、选择题： C C C B A A D B 二、填空题9．{}20≤≤∈x R x 10．516- 11．11212． 3213．2 14．01m m =≤-或三、解答题:（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()sin()cos 1=(sin coscos sin )cos 1666=-+-+f x x x x x x πππ，..............2分231313sin cos cos 1=sin 2cos 222444=-+-+x x x x x ， 1313=(cos sin 2sin cos 2)=sin(2)2664264-+-+x x x πππ.............................4分 所以周期22T ππ==. .......................................................................................................6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知13()sin(2)264=-+f x x π，因为]2,12[ππ∈x ，所以52[0,]66-∈x ππ，...................................................................8分 所以sin(2)[0,1]6-∈x π，.................................................................................................10分故当3π=x 时，函数()f x 的最大值为45；当12π=x 时，函数()f x 的最小值为43. .......................................................................................................................................13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为210C ，选出2人中不属于同一班级的方法数为111143332C C C C ⋅+⋅ …………………4分设2名学生不属于同一班级的事件为A所以111143332102C C C C 11()C 15P A ⋅+⋅==. ………………………………………………6分 （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,337310C 7657(0)C 109824P X ⨯⨯====⨯⨯； 2173310C C 676321(1)C 2109840P X ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯；1273310C C 6737(2)C 109840P X ⨯⨯====⨯⨯； 33310C 61(3)C 1098120P X ====⨯⨯. ………………………………10分 所以X 的分布列为所以721719()012324404012010=⨯+⨯+⨯+⨯=E X ……………………………………13分 (17)（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连接CF EF , ∵F E ,分别是PA ，PD 的中点， ∴AD EF //且AD EF 21=；…………………………1分 ∵AD BC 21=，AD BC //， ∴BC EF //且BC EF =； ∴CF BE //． …………………………3分 又⊄BE 平面PCD ，⊂CF 平面PCD ， ∴//BE 平面PCD ．…………………………4分X0 1 2 3 P7242140 7401120（Ⅱ）（方法一） 以P 为坐标原点，PA PD ,所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则(0,0,0),(0,3,0),(1,0,0)P A D ,13(1,0,1),(,,1),22C B 13(0,3,0),(,,1),(1,3,0)22PA AB AD ==-=- .……………………………6分设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z n =，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 从而30,130.22y x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令2x =，得(2,0,1)-n =. …………………………7分同理可求平面ABD 的一个法向量为(3,3,0)m =. …………………………8分615cos ,5512⋅===⨯n m n m n m . 平面ABD 和平面ABC 为同一个平面，所以二面角C AB P --的余弦值为155． …………………………10分 （方法二） 以D 为坐标原点，DC DA ,所在直线分别为x 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1BC =，则13(,,0),(2,0,0),(0,0,0)22P A D ,(0,0,1),(1,0,1),C B33(,,0),(1,0,1),22PA AB =-=- ……………………6分设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z n =，则00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，33022x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，令3y =，得1x z ==，即(1,3,1)n =. …………………………7分易求平面ABC 的一个法向量为(0,1,0)m =. …………………………8分315cos ,55⋅===n m n m n m . 所以二面角C AB P --的余弦值为155． …………………………10分 （Ⅲ）（方法一）建系同(II)（方法一），设(0,,0),Q x 由(II)知平面ABCD 的一个法向量为(3,3,0)m =，13(,,1)22BQ x =--- ；…………………………11分 若BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，则233sin 65323()42BQ x BQ x π⋅-==⨯+-m m解得33=x ，所以3(0,,0),3Q 3(1,,1),3CQ =-- 213CQ =.…………………13分 （方法二）建系同(II)（方法二），设33(,,0)22AQ AP λλλ==- ,则33(1,,1),22BQ BA AQ λλ=+=-- 33(2,,1),22CQ CA AQ λλ=+=--由(II)知平面ABCD 的一个法向量为(0,1,0)m =.…………………………11分若BQ 与平面ABCD 所成的角为6π，则2232sin 6331()122BQ BQ λπλλ⋅==-++m m（）.解得23λ=，则3(1,,1)3CQ =- ，从而222321||1()(1)33CQ =++-=………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由241121111-=+-++--+n n nn n n n a a a a a a a ，得112212124-+-+-=+n n n n n a a a a a ，整理得n n n a a a 211=+-+，所以{}n a 为等差数列，……………2分 由116=a ，前9项和为81，得12-=n a n ；……………4分 当1=n 时，3lg lg 1=b ，即31=b ；当2≥n 时，)12lg(lg lg lg 21+=+++n b b b n …………………………………①，)12lg(lg lg lg 121-=+++-n b b b n …………………………………②①②，得21lg lg(21)lg(21)lg 21n n b n n n +=+--=-， 所以1212-+=n n b n （n ≥2） 31=b 满足n b ，所以1212-+=n n b n ……………7分 （Ⅱ）112122+++=⋅=n n n n n n b a c ……………8分2341357212222n n n T ++=++++ ，又1233572122222n nn T +=++++ ， ……………9分 以上两式作差，得23132222122222n n n n T ++=++++- . 所以21111131112132122()1222222212n n n n n n n T -++-++=++++-=+-- ,因此，152522n n n T ++=-.………………………………13分 （19）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意,得b c a 33=-，…………………………………1分 则221()3a cb -=，结合222b ac =-，得2221()()3a c a c -=-， 即22230c ac a -+=，……………………………………………………2分 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =. 所以椭圆C 的离心率为12.………………………………………………4分 -（Ⅱ）由(Ⅰ)得2a c =，则223b c =.将3(3,)2M 代入椭圆方程2222+143x y c c =，解得1c =.所以椭圆方程为22+143x y =.………………………………………………6分 易得直线OM 的方程为12y x =. 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在. 设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，与22+143x y =联立消y 得 222(34)84120k x kmx m +++-=,所以222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->.设1122(,),(,)A x y B x y ,则122834kmx x k +=-+,212241234m x x k -=+.……………………8分 由121226()234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243(,)3434km mN k k -++, 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =-. ……………10分 所以248(12)0m ∆=->，得1212m -<<,且0m ≠，221212123131()()422AB x x x x x x =+-=+-222131241239()412239396m m m -=-⨯=-++.又原点O 到直线l 的距离213m d =， ………………………………12分所以222239312(1122)6613ABO m S m m m -⨯=-=⨯△ 22312362m m -+≤⋅=. 当且仅当2212,6m m m -==±时等号成立，符合1212m -<<,且0m ≠. 所以B OA △面积的最大值为3. ………………………………14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，21()ln 2f x x x x =-+-，1()1f x x x'=-+-， 则1(1)2f =，(1)1f '=-， 所以所求切线方程为1(1)2y x -=--，即2230x y +-=. （Ⅱ）由21()ln 2f x x ax x =-+-，得211()x ax f x x a x x -+'=-+-=-.令2()1g x x ax =-+，则()()g x f x x'=-. ①当240a ∆=-<，即22a -<<时，()0g x >恒成立，则()()0g x f x x'=-<， 所以()f x 在(0,)+∞上是减函数.②当240a ∆=-=，即2a =±时，22()21(1)0g x x x x =±+=±≥，则()()0g x f x x'=-≤，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数. ③当240a ∆=->，即2a <-或2a >.(i)当2a <-时，2()1g x x ax =-+是开口向上且过点()0,1的抛物线，对称轴方程为(1)22a a x =<-，则()0g x >恒成立，从而()()0g x f x x'=-<，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数.(ii)当2a >时，2()1g x x ax =-+是开口向上且过点()0,1的抛物线，对称轴方程为(1)22a ax =>，则函数()g x 有两个零点22121244,()22a a a a x x x x --+-==<显然，列表如下：x 1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' -+-()f x减函数 极小值 增函数 极大值 减函数综上，当2a ≤时，()f x 的减区间是(0,)+∞；当2a >时，()f x 的增区间是2244(,)22a a a a --+-，减区间是24(0,)2a a --，24(,)2a a +-+∞.（Ⅲ）根据（Ⅱ），当2a >时,()f x 有两个极值点1212,()x x x x <， 则12,x x 是方程2()10g x x ax =-+=的两个根，从而2211221,1ax x ax x =+=+.由韦达定理，得12121,x x x x a =+=. 又20a ->，所以1201x x <<<.2212111222114()2()4(ln )2(ln )22f x f x x ax x x ax x -=-+---+-22111222244ln 22ln x ax x x ax x =-+-+-+ 222211122224(1)4ln 2(1)2ln x x x x x x =-++-+-++ 222122122ln2x x x x =-++ 22222223ln 2x x x =-++. 令22(1)t x t =>，2()3ln 2(1)h t t t t t=-++>， 则2223(1)(2)()1t t h t t t t--'=--+=-. 当12t <<时，()0h t '>；当2t >时，()0h t '<， 则()h t 在(1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数， 从而max ()(2)3ln 21h t h ==+， 于是124()2()13ln 2f x f x -≤+.。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学试题及详解
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （）(A){01}x x <≤(B){01}x x << (C){12}x x ≤<(D){02}x x <<1．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A B x =<<R ，故选B ．(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩则目标函数35z x y =+的最大值为（）(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D)452．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=-+=⎧⎨⎩，可得点A 的坐标为()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为max 35325321z x y =+=⨯+⨯=，故选C ．(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)43．【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20N =，2i =，0T =， 20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =，故选B ．(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 4．【答案】A【解析】绝对值不等式111110122222x x x -<⇔-<-<⇔<<， 由311x x <⇔<，据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件．故选A ．(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） (A) a b c >> (B) b a c >>(C)c b a >>(D)c a b >>5．【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln 20,1log e b ==∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减(C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减6．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（）(A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D)22193x y -= 7．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()(),00F c c >，则A B x x c ==， 由22221c y a b -=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率为2c e a ==，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．(8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为（） (A)2116 (B) 32 (C) 2516(D) 38．【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点E 在CD 上，则()01DE DC λλ=≤≤，设(),E x y ，则：32x y λ⎛⎫⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即32x y λ⎧⎪=⎨=⎪⎪⎪⎩，据此可得32E λ⎫⎪⎪⎝⎭，且331222AE λ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，3322BE λ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，由数量积的坐标运算法则可得：33312222AE BE λλ⎛⎛⎫⋅=-+⨯+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 整理可得：()()23422014AE BE λλλ⋅=-+≤≤，结合二次函数的性质可知，当14λ=时，AE BE ⋅取得最小值2116，故选A ．第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津市部分区2018届高三质量调查(一)数学(理)试卷(扫描版)
因为 ，
且 在 上为增函数，在 上为减函数，（9分）
易知
因为 所以 …………………（12分）
所以函数 的值域为 .…………………………………（13分）
16．（本小题满分13分）
解：（I）甲、乙两大学生不过关的概率均为 ，……………………（1分）
丙大学生不过关的概率为 ，…………………………………（2分）
又 ， .
又 , , .
, 平面 的法向量 .…………………(8分）
易知 为锐角
二面角 的余弦值为 . …………………………（9分）
（III）设 为 ，因点 在 上,则存在实数 使得 .
,
可得 .……………………（10分）
, 可得 .
, .…………………………（11分）
直线 与平面 所成角的正弦值为
点的横坐标为 ，即 ，由韦达定理得：
代入直线 的方程得： ，
.………………………………………………………（8分）
为直径的圆过椭圆的左顶点 ，
.………………………………………………………（9分）
可设直线 的方程为 ,
同理： ……………………………………………………（10分）
………………………………………（11分）
四边形 为平行四边形， . ……………………（3分）
平面 , 平面 ， 平面 .………………（4分）
（II） 平面 ，且 ，则以O为坐标原点可建立如图空间直角坐标系 ，…（5分）
, ，四边形 为菱形. 为等边三角形，
, ，则 , , , , .
. ……………………（6分）
设平面 的法向量 ， ，则
令 ，则 ， .……………………（7分）
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∴ ＝ ，
∴集合 ＝ ．
2.设变量 、 满足约束条件，则目标函数 ＝ 的最大值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【解答】
作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由 ＝ 得 ＝ ，
平移直线 ＝ ，
可得 ，解得 ＝ ，
则双曲线的渐近线方程为： ＝ ．
5.设等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【答案】
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 、 、
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由根据题意，由奇函数的性质分析可得 ＝ ，可得 值，进而得到函数的解析式，令 ＝ ，则 为偶函数且在 时为减函数，又由 ＝ ＝ ＝ ， ＝ （）＝ （)， ＝ ＝ ，进而得到答案．
则 ＝ ，且 ，
直线 ， 分别与 ＝ 的图象交点有四个．
∴ ， ，
解得：．
的取值范围是．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.
若复数（________为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数________的取值范围为________．
【答案】
, ,
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
＝ ＝ （），
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
∴随机变量 的分布列为：
数学期望 ．
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，对角线 与 的交点为 ， 平面 ， ， 分别为 ， 的中点， ＝ ， ， ＝ ．
Ⅰ 求证：直线 平面 ；
Ⅱ 求二面角 的余弦值；
Ⅲ 已知点 在棱 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为，求线段 的长．
【解析】
Ⅰ 甲过关的概率 ，乙过关的概率 ，丙过关的概率 ，由此能求出甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率．
Ⅱ 记 为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则 的可能取值为 ， ， ， ，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 ．
【解答】
（1）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，
每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．
甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．
∴甲过关的概率 ，
乙过关的概率 ，
丙过关的概率 ，
∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：
（）．
（2）记 为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则 的可能取值为 ， ， ， ，
【解答】
模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出 ＝ 的值，
可得 ＝
4.已知双曲线 的一个焦点与抛物线 ＝ 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
【答案】
C
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
利用抛物线的焦点坐标，得到 的方程，求解即可．
【解答】
双曲线 的一个焦点与抛物线 ＝ 的焦点相同，
【答案】
, , , , , , , , , , ,
【考点】
球的体积和表面积
球内接多面体
【解析】
由题意，三棱锥 扩充为长方体，其对角线长为，可得三棱锥外接球的半径为，即可求出三棱锥外接球的表面积．
【解答】
由题意，三棱锥 扩充为长方体，其对角线长为，
∴三棱锥外接球的半径为：，
∴三棱锥外接球的表面积为 ．
Ⅰ 求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；
Ⅱ 记 为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量 的分布列和数学期望．
【答案】
（1）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，
每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．
甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．
∴甲过关的概率 ，
乙过关的概率 ，
丙过关的概率 ，
∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：
（）．
（2）记 为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则 的可能取值为 ， ， ， ，
＝ ＝ （），
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
∴随机变量 的分布列为：
数学期望 ．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
函数________ ________ 在________内满足________ ________ ＝-________ ________ ，当________ 时，________ ________ ＝-________ ________ ________ ，记________＝ ________ ，________），________＝________ ________ ，则________，________，________从小到大依次为________．
∴ , ， , ， , ， ，
(）, , ，
设平面 的法向量 ，
则，取 ＝ ，得 ,, ，
平面 的法向量 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ．
∴二面角 的余弦值为．
Ⅲ ∵点 在棱 上，设 ＝ ， ，∴ , ，
∵ , , ，∴ , ，
平面 的法向量 ,, ，
∵直线 与平面 所成角的正弦值为，
∴，
解得 ．
∴线段 的长为．
【答案】
, , , , ,
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
【解析】
曲线 的直角坐标方程为 ＝ ，是圆心为 ，半径 ＝ 的圆，曲线 的直角坐标方程为 ＝ ，求出圆心为 到曲线 的距离 ，曲线 上的点与曲线 上的点的最小距离 ＝ ．
【解答】
∵曲线 的参数方程为（ 为参数），
∴曲线 的直角坐标方程为 ＝ ，是圆心为 ，半径 ＝ 的圆，
， ，
故当 时，函数 取得最小值为•（）；
当 时，函的周期性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
Ⅰ 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数 的最小正周期．
Ⅱ 根据函数 ＝ 的图象变换规律求得 的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得函数 ＝ 在 的值域．
【答案】
证明： Ⅰ 取 的中点 ，连接 、 ，
∵ 是 的中位线，
∴ 且 ，
在菱形 中， 且 ＝ ，又 为 的中点，
∴ 且 ＝
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
又 面 ， 面 ，
∴ 面 ．
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，
∵底面 为菱形，对角线 与 的交点为 ，
平面 ，
， 分别为 ， 的中点， ＝ ， ， ＝ ．
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
用，表示出，利用基本不等式得出 的最小值即可．
【解答】
∵点 是 内一点，满足，∴ 是 的重心，
∴ ，
∴ ，
∵ • ＝ ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ．
∴ ．
8.已知函数 ，若关于 的函数 ＝ 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
A.
B.
C. ,
D. ,]
【答案】
D
【考点】
Ⅲ 由直线 与平面 所成角的正弦值为，利用向量法能求出线段 的长．
∴曲线 ＝ 与 ＝ 所围成的封闭图形的面积为：
．
故答案为：．
在直角坐标系中，曲线________ 的参数方程为（ 为参数），以该直角坐标系的原点为极点，________轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线________ 的极坐标方程为 ＝ ，则曲线________ 上的点与曲线________ 上的点的最小距离为________．
【解答】
根据题意，函数 为 内的奇函数，且当 时， ＝ ，
则有 ＝ ＝ ，即 ＝ ，
则 ＝ ， ，
令 ＝ ，
有 ＝ ＝ ＝ ， 为偶函数，
当 时， ＝ ＝ ， ＝ ，函数 为减函数，
则 为偶函数且在 时为减函数，
＝ ＝ ＝ ， ＝ （）＝ （)， ＝ ＝ ，
又由 ，则 ；
则 ， ， 从小到大依次为 、 、 ；
因为 ＝
所以展开式中常数项是
曲线________＝ ________ 与________＝________ 所围成的封闭图形的面积为________．
【答案】
, , , ,
【考点】
微积分基本定理
定积分
【解析】
由题意画出图形，联立方程组求出两曲线交点的横坐标，然后求定积分得答案．
【解答】
如图，
联立，解得 ＝ ， ＝（1）
【解答】
若 ，则 ，即 ，则 成立，即必要性成立，
若 ，则 ，即 ，则 成立，即充分性成立，
则“ ”是“ ”的充要条件，
6.在平面四边形 中， ＝ ， ， ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
【解析】
过点 作 交 于点 ，再作 交 于点 ，在 中，可将各边用含 和 的代数式表达出来，根据 ＝ 列出三角函数式代入求解．
【解答】
（1）函数 ＝