反常积分的审敛法
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
第8次课反常积分及其审敛法
第五章定积分及其应用本节主要内容：1、无穷区间上的有界函数的反常积分的审敛法2、有限区间上的无界函数的反常积分的审敛法一、回顾定积分定义与计算()()011,1lim ()d ()d lim ()(()[,],,.,()[,].,,,,[,],,.)niii ba nbi i ai f x f x x f x x f x f x f x dx x y f x a b f x a b a b a b λλξξ→=→=∆=∆=∑⎰∑⎰设函数在上有界按照分割、求和、取极限的做法得若此极限存在则称此极限值为函数在上的定积分记为即为、定积分其中称为被积函数称积分表达式叫做积分变量为积分区间为积分下限为积分上限几何定义：曲线：由()[],,.[,][,][,]()d (1),,.d (2)0()d ()()()()d ()(),,()d ()d ,babbbaaab c aaf x x a x b x S f x x f x f x k f xg x x k f x x g x x k a c b f x x f x x a b a b a b λλλ>===+=+≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰及轴围成的曲边梯形面积为存在定理：若上连续，或者在上只有有限个第一类间断点，则上的定积分存在可积2、在性质线性性质 其中为任意常数可加性 在 若则[][][]()d ,()0()d 0,(),()(),()d ()2()d ()d (), ()().(3),,.1(4),bcbab baabbaaf x x a b f x f x x a b a b f xg x a M f x x g x dxf x x f x xf x b m b f m a x +≥≥<≤≤≤-≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰保号性 在上如果则推上则推论在区间上的最大值论如果在区间估值定理与最小值， 设分别函数则是()[][][][]d ()(),, ()d ()()3)(5) ,, (),() (d (),()=().baba xa x Mb a f x a b a b f x x f b a f x a b F x f t t f x a b F x f x ξξ≤-=-='⎰⎰⎰定积分牛中值定理如果函数在上连续则在内至少有一个 使得、定积分与不定积分的关系原函数存在定理：若在上连续，则是在上的一个原函数.显然由此得[][]()(),(), ()d ()()()bba a F x f x ab f x a b f x x F x F b F a ==-⎰顿莱布尼茨公式：若是在上的一个原函数，在上连续，则()()()41()d ()()()2()[,](t)()[,](),(),()d ((t)(t))dt 2()d ()()()()du()bba a ba b b ba aaf x x F x F b F a f x a b x t a b f x x f u x v x u x v x v x x u βαϕϕαβϕαϕβϕϕ==-'='==='=⎰⎰⎰⎰⎰、定积分的计算牛顿莱布尼茨公式： 换元积分法：在上连续，单值，在上连续，又则分部积分法：- ，其中[]()()()0202(),(), ()[()()];0,() ().2(),()()()()();()aaa aa aT TA T T AA nT Ax v x a b f x dx f x f x dx f x f x dx f x dx f x f x T f x dx f x dx f x dx f x dx --+-+'=+-⎧⎪=⎨⎪⎩===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在上连续5、常用的定积分公式：1是奇函数2是偶函数3如果是以为周期的周期函数，则()()02202200220()().4cos sin 1;1331,2422cos sin .13421,2535()(sin )(cos );(sin )(sin 2T n n n f x dx n N xdx xdx n n n n n xdx xdx n n n n n f x f x dx f x dx xf x dx f x πππππππππ∈==--⎧∙∙∙∙∙⎪⎪-==⎨--⎪∙∙∙∙∙⎪-⎩==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在为正偶数为大于1的设函数[0，1]奇数上连续，正0).dx π⎰例1已知211,22()11,2x xe x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，计算212(1)f x dx -⎰.例2证明以下结论：（1）2200()(sin )(cos );f x f x dx f x dx ππ=⎰⎰设函数在[0，1]上连续，（2）2201331,2422cos sin 13421,253n n n n n n n xdx xdx n n n n n πππ--⎧∙∙∙∙∙⎪⎪-==⎨--⎪∙∙∙∙∙⎪-⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇数二、无穷区间上的有界函数的反常积分（无穷积分）1、定义1设函数f (x )在区间[a ,+∞)上连续,取b >a .如果极限dx x f ba b )(lim⎰+∞→存在,则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分,记作dx x f a )(⎰+∞,即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛. 如果上述极限不存在,函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义,此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地,可定义反常积分dx x f b)(⎰∞-和dx x f )(⎰+∞∞-.2、计算:如果F (x )是f (x )的原函数,则ba b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.即简记形式:)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a -==+∞→∞++∞⎰.类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰.例3（1）计算反常积分⎰+∞-0dt te pt(p 是常数,且p >0).（2）讨论反常积分dx x p a 1⎰+∞(a >0)的敛散性.3、无穷区间上的有界函数的反常积分的审敛法()[,)(0.)()0lim (),.1,0()1,0()p x a af x a a f x x f x l p l f x dx p l f x dx →+∞+∞+∞+∞>≥=>≤<+∞≤<≤+∞⎰⎰极设函数在区间上连续，且满足则有(1)当时，无穷限反常积分收敛； (限审敛法：2)当时，无穷限反常积分发散例4讨论下列反常积分的敛散性（1）1+∞⎰（2）32211xdx x+∞+⎰三、有限区间上的无界函数的反常积分（瑕积分）1、定义2设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,而在点a 的右邻域内无界.取ε>0,如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在,则称此极限为函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分,仍然记作dx x f ba )(⎰,即dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.如果上述极限不存在,就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点:如果函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界,那么点a 称为函数f (x )的瑕点,也称为无界定义2'设函数f (x )在区间(a ,b ]上连续,点a 为f (x )的瑕点.函数f (x )在(a ,b ]上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.类似地,函数f (x )在[a ,b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.在[a ,c )⋃(c ,b ](c 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f btct ta ct ba )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.2、反常积分的计算:如果F (x )为f (x )的原函数,则有bt at btat ba x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰)(lim )()(lim )(x Fb F t F b F ax at ++→→-=-=.简记形式:（1）当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax ba ba +→-==⎰;（2）b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x ba ba -==-→⎰.（3）当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx cx bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰.例5（1）计算反常积分⎰-adx xa 0221.（2）讨论反常积分⎰-ba q a x dx)(的敛散性.3、有限区间上的无界函数的反常积分的审敛法1.()(,]()0.lim ()(),0,0()1,0()p x babaf x a b f x x a f x l p l f x dx p l f x dx →+∞≥-=<<≤<+∞≥<≤+∞⎰⎰设函数在区间上连续，且满足则有（1）当极时，瑕积分收敛；（2）瑕限审敛法：当时，积分发散例6讨论下列反常积分的敛散性（1）31ln dxx⎰（2）1201()k <⎰椭圆积分（3）101dx x ⎰。
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（FFTLL）是一种有效的用于快速求解非线性和复杂问题的工程数学方法。
有着持续发展的历史，它被广泛应用于解决各种复杂问题，在工程上取得了巨大的成功。
一、FFTLL的历史
反常积分极限审敛法（FFTLL）最初由1960年代的S.U.N.E.T.公司开发。
它被认为是最早应用于快速求解复杂问题的方法之一。
此方法依靠积分来解决复杂系统和分析，使积分理论可以应用于工程设计和操作。
在此方法完成之前，快速求解复杂问题的能力基本上依赖于分析和研究者的计算能力。
二、FFTLL的工作原理
反常积分极限审敛法（FFTLL）所采用的基本原理是“逆特征转换”，这是一种用于复杂系统的仿真的数学技术。
在这种方法中，采样的系统被模拟出来，并从系统的控制前提进行分析，比如函数，极限和求解问题。
该方法用于求解复杂问题，尤其是非线性系统，使用简单的算法，通过反运算来求解问题。
三、FFTLL的应用
FFTLL由于其计算简单及计算效率高的特点，已经被广泛应用于各种领域上，如机械设计、精密加工、控制系统、飞行器设计、太空探索等领域。
此外，它的应用也不断拓展，其中最有趣的应用是在惯性导航系统中，它可以被普遍应用于求解非线性控制系统相关问题。
四、FFTLL的优缺点
FFTLL技术被认为是求解一些复杂问题最有效的方法之一，它可以快速准确的求解一些复杂的问题。
另一方面，它也有一些优点，比如操作简单，程序实用，计算效率高，是一种经济高效的解决方法。
而FFTLL存在的一个缺点就是由于其反特征转换的机制，它往往只能进行有限数量的反复积分来模拟系统，这在一定程度上会限制它的模拟精度。
反常积分审敛法-精品文档
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
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f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
反常积分审敛法
反常积分审敛法
反常积分审敛法是一种研究微分方程未知函数的求解方法，它通过将未知函数一次积分拆分成一系列已知函数的求积数来求解这些未知函数，从而实现未知函数的求解。
反常积分审敛法是一种重要的求解微分方程未知函数的经典方法，是近代数学家们普遍采用的重要解析方法。
二、基本原理
反常积分审敛法以未知函数为准绳，以不变量的积分为目的，将相关的微分方程的一次积分拆分为一系列未知函数的求积数，从而将未知函数求解的原问题转化为反常积分审敛法的求解问题，即估计其积分常数，从而得到未知数。
三、过程步骤
反常积分审敛法的求解过程由以下几步构成：
（1）确定求解方程的形式。
将微分方程按照一般的习惯和规则统一化，常用的形式为普通微分方程和关联微分方程，常用的积分参数为时间t、位置x和其他形式的变量；
（2）写出相关的微分方程，根据其中的量确定求解的未知函数；
（3）确定积分常数的估值法，通常采用隐式函数定理方法；
（4）运用反常积分审敛法计算出未知积分常数，得到未知函数的解；
（5）验证此解是否正确，如果不正确，可重新根据估值法计算，直到未知函数的解得到正确验证。
四、应用实例
反常积分审敛法在实际问题中应用广泛，如在简谐振荡问题中，使用反常积分审敛法可以得出简谐振荡器的解析解；在光学干涉中，可以用反常积分审敛法求出空间干涉图；在流体动力学等研究中，可以使用反常积分审敛法计算粘性系数；在抛物线和椭圆等圆周率的研究中，可以使用反常积分审敛法求出对应的参数。
五、结论
反常积分审敛法是一种重要的求解复杂微分方程未知函数的解
析方法，它采用一次积分拆分的方式，将未知函数的求解问题转化成求函数积分常数的问题，解决了微分方程求解的一类重要问题，具有重要的实际意义。
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
10_1_2 反常积分的审敛法 高等数学 微积分 考研数学
1) 若存在常数 M 0 , p 1, 使对充分大的 x有
则
f (x) f ( x)d x收敛;
M xp
a
2) 若存在常数 N 0, p 1, 使对充分大的 x有
f (x)
N xp
则 f ( x) d x发散 . a
Page 5
例1. 判别反常积分 sin 2 x d x 的敛散性 .
证：令( x)
1 2
[
f
(x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
（f x）d x 收敛 , ( x) d x 也收敛 ,
a
a
而
f ( x) 2( x) f ( x)
f (x)d x 2
( x) d x
a
a
a
可见反常积分 f ( x) d x 收敛 . a
f (x) d x
a
证: f ( x) 0 , F ( x) 在[a, )上单调递增有上界,
根据极限收敛准则知
x
lim F ( x) lim f (t) d t
x
x a
存在 , 即反常积分 f ( x) d x 收敛 . a
Page 2
定理2 . (比较审敛原理) 设 f ( x) C [a , ) ,且对充
证: (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
0
0
xsex
s
xs1ex d x
0
0
s (s)
注意到:
(1)
ex d x
0
1
n N ,有
(n 1) n (n) n (n 1)(n 1)
n!(1) n!
Page 20
(2) 当s 0时, (s) .
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第11章 反常积分§11. 1 反常积分的概念一 基本内容一、无穷限反常积分定义 1 设函数()f x 在[, )a +∞上有定义，且在任意区间[, ]a u 上可积，如果lim()d uau f x x→+∞⎰存在，则称此极限为()f x 在[, )a +∞上的反常积分，亦称为()f x 在[,)a +∞上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作 ()d af x x+∞⎰．ie ()d lim()d uaau f x x f x x+∞→+∞=⎰⎰:，此时并称 ()d af x x+∞⎰收敛．如果极限不存在，则称 ()d af x x+∞⎰发散．同理可定义 ()d lim()d bbuu f x x f x x-∞→-∞=⎰⎰， ()d ()d ()d a af x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，几何解释如图．()d af x x+∞⎰收敛是指图中阴影区域的 面积存在．二、瑕积分定义 2 设函数()f x 在(, ]a b 上有定义，且在点a 的任一右邻域内无界，而在[, ](, ]u b a b ⊂上有界可积，如果 lim ()d buu a f x x+→⎰存在，则称此极限为无界函数()f x 在上(, ]a b 的反常积分，记作 ()d baf x x⎰，ie ()d lim ()d bbauu af x x f x x+→=⎰⎰:，并称 ()d baf x x⎰收敛，否则称其发散．其中a 称为瑕点．无界函数的反常积分亦称为瑕积分．同理可得b 为瑕点时，()d lim ()d buaau bf x x f x x-→=⎰⎰．当()f x 的瑕点(, )c a b ∈，则定义()d ()d ()d bcbaacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d u bauu cu cf x x f x x -+→→=+⎰⎰．若, a b 都是()f x 的瑕点，则定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d c uucu au bf x x f x x+-→→=+⎰⎰．二 习题解答１ 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值 (1)2d x xe x+∞-⎰；解：由于2201d (1)2ux u xe x e --=--⎰，21limd 2ux u xe x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(2)2d x xe x+∞--∞⎰；解：由于22 01d (1)2x u uxe x e -=--⎰21limd 2x ux xe x -→-∞=-⎰而2220d d d 0x x x xe x xe x xe x +∞+∞----∞-∞=+=⎰⎰⎰所以该反常积分收敛，且收敛于0．(3)0x +∞⎰；解：由于21ux ⎛⎫= ⎝⎰，lim 212u →+∞⎛⎫= ⎝．所以该反常积分收敛，且收敛于2．(4) 2 11d (1)x x x +∞+⎰；解：由于22 111111d d (1)1uu x x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰11111ln 1ln ln 2ux u x x u u ++⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭．211limd 1ln 2(1)uu x x x →+∞=-+⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于1ln 2-．(5) 2 1d 445x x x +∞-∞++⎰；解：由于 22 0 0111d d(21)4452(21)1u u x x x x x =+++++⎰⎰011arctan(21)arctan(21)228|u x u π=+=+-2 01lim d 445488u u x x x πππ→+∞=-=++⎰，022 111d d(21)4452(21)1uu x x x x x =+++++⎰⎰011arctan(21)arctan(21)282|u x u π=+=-+02 1lim d 44584u u x x x ππ→-∞=+++⎰所以该反常积分收敛，且收敛于2π．(6)1sin d x e x x+∞-⎰；解：由于 11sin d [1(sin cos )]2ux ue x x e u u --=-+⎰，11lim sin d 2ux u e x x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(7) sin d x e x x+∞-∞⎰；解：由于 01sin d [1(sin cos )]2uxu e x x e u u =-+⎰，1limsin d ux u e x x →+∞=∞⎰．所以该反常积分发散． (8)1x +∞⎰．解：由于 1ln(u x u =+⎰，1lim u u x →+∞=+∞⎰．所以该反常积分发散．2 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) 1d ()b p a x x a -⎰； 解：由于x a =为瑕点，而11 ()1()11d 11()ln()ln()1p p b p u b a u a p x p px a b a u a p --⎧---≠⎪=--⎨-⎪---=⎩⎰，1 ()11lim d 1()1pb p u u a b a p x p x a p +-→⎧-<⎪=-⎨-⎪∞≥⎩⎰，所以1p <时，该瑕积分收敛，且值为1()1pb a p ---；所以1p ≥时，该瑕积分发散．(2) 12 01d 1x x -⎰；解：由于1x =为瑕点，而u2011d [ln(1)ln(1)]12x u u x =+---⎰，u2011lim d 1u x x -→=∞-⎰．所以该瑕积分发散．(3)2x⎰；解：由于1x =为瑕点，而2(1uux x ==⎰⎰，1lim 2uu x -→=⎰．同理21lim 2uu x +→=⎰，所以该瑕积分收敛，且值为4．(4)1x ⎰；解：由于1x =为瑕点，而1u x =⎰，1lim 1uu x -→=⎰所以该瑕积分收敛，且值为1． (5)1ln d x x⎰；解：由于0x =为瑕点，而1ln d 1ln ux x u u u=-+-⎰，1lim ln d 1uu x x +→=-⎰．所以该瑕积分收敛，且值为1-． (6)x ⎰；解：令2sin x t =，则cos d x t t t=⎰⎰222 02sin d (1cos2)d 2t t t t πππ==-=⎰⎰，所以该瑕积分收敛，且值为2π．(7)1x⎰；解：令2sin x t =，则12 0x tπ=⎰⎰2 02d t ππ==⎰．所以该瑕积分收敛，且值为π．(8) 1 01d (ln )p x x x ⎰． 解：由于0x =，1为瑕点，又11(ln )111d (ln )ln ln 1p p x C p px x x x C p -⎧+≠⎪-=⎨⎪+=⎩⎰，而1p =时，1limlnln x x -→=∞，1p <时，101lim (ln )1p x x p +-→=∞-1p >时，111lim (ln )1p x x p --→=∞-所以p R ∀∈，瑕积分 101d (ln )px x x ⎰发散．3 举例说明：瑕积分 ()d ba f x x⎰收敛时， 2 ()d baf x x⎰不一定收敛．解：例如x ⎰收敛于2π，但 1 0d 1x x x -⎰发散．4 举例说明：积分()d af x x+∞⎰收敛，且()f x 在[,)a +∞上连续时，不一定有lim ()0x f x →+∞=．解：例如 +4 1sin d x x x∞⎰．因令x =+ +4 111sin d 4x x x t ∞∞=⎰⎰．所以 +4 1sin d x x x∞⎰收敛，且4()sin f x x x =在[,)a +∞上连续，但lim ()x f x →+∞不存在．5 证明：若 ()d af x x+∞⎰收敛，且lim ()x f x A→+∞=存在，则0A =． 证：假设0A ≠，不妨设0A >，因lim ()x f x A→+∞=，所以0M ∃>，()2Ax M f x ∍>⇒>“”．于是()d ()2uMAf x x u M >-⎰，从而lim()d uMu f x x →+∞=∞⎰．此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾，故0A =．6 证明：若()f x 在[,)a +∞上可导，且()d af x x+∞⎰与()d af x x+∞'⎰都收敛，则lim ()0x f x →+∞=．证：因为()d ()()u af x x f u f a '=-⎰，所以由()d af x x+∞'⎰都收敛知lim ()x f x →+∞存在，故由上一题知lim ()0x f x →+∞=．§11. 2 无穷限积分的性质与收敛判别一 基本内容一、无穷限积分的性质 由无穷限积分的定义知()d af x x+∞⎰收敛lim()d uau f x x→+∞⇔⎰存在；由极限的柯西收敛准则知lim()d uau f x x→+∞⎰存在0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．定理1()d af x x+∞⎰收敛0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．性质1 若 1 ()d ,af x x +∞⎰ 2 ()d af x x+∞⎰都收敛，则12,k k ∀，[] 1111()()d ak f x k f x x +∞+⎰也收敛，且[] 11111122 ()()d ()d ()d a aak f x k f x x k f x x k f x x+∞+∞+∞+=+⎰⎰⎰．性质2 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则b a ∀>， ()d af x x+∞⎰与 ()d bf x x+∞⎰同收同发，且()d ()d ()d b aabf x x f x x f x x+∞+∞=+⎰⎰⎰．性质3 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则()d af x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛，且()d ()d aaf x x f x x+∞+∞≤⎰⎰．定义1 如果 ()d af x x+∞⎰收敛，则 ()d af x x+∞⎰称绝对收敛．二、比较判别法比较判别法仅应用于绝对收敛的判别． 由于()()d uaF u f x x=⎰单调上升，所以，()d af x x+∞⎰收敛()()d ua F u f x x⇔=⎰有上界．定理2 若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，且,()()x a f x g x ∀>≤，则 ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛；而 ()d af x x+∞⎰发散()d ag x x+∞⇒⎰发散．推论 (比较判别法的极限形式)若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，, ()0x a g x ∀>>，且()lim()x f x cg x →+∞=， 则(1) 0c <<+∞ ()d af x x+∞⇒⎰与 ()d ag x x+∞⎰同收同发； (2) 0c =时， ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛； (3) c =+∞时， ()d ag x x+∞⎰发散()d af x x+∞⇒⎰发散．当选用 11d p x x +∞⎰为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法．定理3 (柯西判别法) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，则1(1) ()p f x x ≤，且1p >时， ()d a f x x+∞⎰收敛； 1(2) ()p f x x ≥，且1p ≤时， ()d a f x x+∞⎰发散．定理'3(柯西判别法的极限形式) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，且lim ()p x x f x λ→+∞=，则(1) 0λ≤<+∞，且1p >时， ()d af x x +∞⎰收敛； (2) 0λ<≤+∞，且1p ≤时， ()d af x x+∞⎰发散．三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法 此法是对一般无穷限积分的敛散性判别． 定理4 (狄立克雷判别法) 若,()()d uau a F u f x x∀>=⎰有界，()g x 在[,)a +∞上单调，且lim ()0x g x →+∞=，则()()a f x g x dx +∞⎰收敛．定理 5 (阿贝尔判别法) 若()d af x x+∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则()()d af xg x x+∞⎰收敛．二 习题解答1 设()f x 与()g x 是定义在[,)a +∞上的函数，u a ∀>，()f x 与()g x 在[,]a u 上可积，证明：若2 ()d af x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，则 ()()d af xg x x+∞⎰与 2 [()()]d af xg x x+∞+⎰亦收敛．证：(1) 因为t R ∀∈，()2()()0tf x g x -≥，从而()2()()d 0a tf x g x x +∞+≥⎰， 即222()d 2()()d ()d 0aaat f x x t f x g x x g x x +∞+∞+∞-+≥⎰⎰⎰．故由判别式为负得()2222()()d 4()d ()d 0aaaf xg x x f x x g x x +∞+∞+∞-≤⎰⎰⎰．即()222()()d ()d ()d aaaf xg x xf x xg x x+∞+∞+∞≤⎰⎰⎰．而 2()d a f x x+∞⎰，2()d ag x x+∞⎰收敛，所以 ()()d a f x g x x+∞⎰收敛．又2 [()()]d af xg x x+∞+⎰2()d af x x +∞=⎰2()()d af xg x x +∞+⎰2()d ag x x+∞+⎰，所以2 [()()]d af xg x x+∞+⎰收敛．证：(2) 因为 2 ()d af x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，。