(完整word版)数列专题错位相减求和

高一数学第七周周考 一、解答题 1．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111a b ==，327a b +=，5313a b +=．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）设n n n

a c

b =，求数列{}n

c 的前n 项和n S ． 2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15555==S a ，．

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）求数列{2}n n a ?的前n 项和为n T

3．已知数列{}n a 满足12a =，2*112(

)()n n n a a n N n ++=?∈ （1）求证:数列2n a n ??????

是等比数列，并求其通项公式； （2）设22

3log ()26n n a b n =-，求数列{ }n b 的前n 项和n T ； 4．已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 2

11-=.（12分） （1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2） 记n n n b a c ?=,求数列{}n c 的前n 项和n T

5．已知数列{a n }的前n 项和s n 满足S n =2n 2﹣13n （n ∈N *

）．

（1）求通项公式a n ；

（2）令c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 6．等差数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且3547a a a +=+．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求满足不等式32n n S a <-的n 的值．

(1)求证：{S n ＋1}是等比数列；

(2)求数列{na n }的前n 项和T n .

8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113a =

，(21)n n S n n a =- *()n N ∈. （1）求23,a a 的值；

（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.

9．已知为等差数列{}n a 的前项和，且.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和. 10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设21log n n b a +=，求数列11n n b b +??????

的前n 项之和.

11．已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为4-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()142

n n n b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和n S 12．已知数列

的各项均是正数，其前项和为，满足. （I ）求数列的通项公式；

（II ）设数列的前项和为，求证：.

13．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .

14．（本题满分12分）

已知公差不为零的等差数列}{n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列.

（Ⅰ）求通项公式n a ；

（Ⅱ）设n a n b 2=,求数列{}n b 的前n 项和n S .

n S n 35,a =39S =1

1{}n n a a +n n T

⑴ 求数列{}n a 的通项公式；

⑵ 令n n n b a =?３

*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和. 16．已知数列}{n a ，}{n b 满足21=a ，11=b ，且)2(1434114143111

1≥???

????++=++=----n b a b b a a n n n n n n .

（1）令n n n b a c +=，求数列}{n c 的通项公式；

（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式n S .

17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()

，∈n n S n *Ν均在二次函数()232f x x x =-的图象上．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设1

3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n Τ 18．已知公差不为零的等差数列{}n a ，若11a =，且125,,a a a 成等比数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2n n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .

19．已知数列{}n a 满足()*114442n n a a n n N a -==-

≥∈，，，令12

n n b a =-． （1）求证：数列{}n b 是等差数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式．

参考答案

1．（1）21n a n =-，1

2n n b -=．（2）123

62n n n S -+=-

【解析】

试题分析：（1）求等差与等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即根据条件列关于公

差与公比的方程组：2127,1413,d q d q ++=??++=?解得2q =，2d =，再代入通项公式即得21n a n =-，

12n n b -=．（2）因为1212n n n n a n c b --=

=，所以利用错位相减法求和，注意作差时，错项相减，最后一项的符号变化，中间等比项求和时注意项数，最后不要忘记除以1q -

试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q （0q >），

由题意得2127,1413,d q d q ++=??++=?解得2q =，或0q =（舍去），2d =．

∴21n a n =-，1

2n n b -=．

（2）由题意得1212n n n n a n c b --=

=，

所以123n

n S c c c c =++++…12135211222n n --=++++…，① 23111352321222222n n n n n S ---=+++++…，②

①-②得2112222112

2222n n n n S --=++++-...211112112()2222n n n --=++++- (23)

32n n +=-， 所以123

62n n n S -+=-

． 考点：错位相减法求和

2．（1）n a n =；（2）62)1(1-?+=+n n n T

【解析】

试题分析：（1）利用等差数列的通项公式，前n 项和公式，得到关于1,a d 的二元一次方程

组，解之，即可得到1,a d ，则数列}{n a 通项公式可求；

（2）由（1）可知{2}n n a ?的通项为2n n ?，则利用错位相减法即可求出其前n 项和n T

试题解析：（1）等差数列{a n }，15555==S a ，．

15105,541515=+==+=∴d a S d a a

n a d a n =∴==∴,1,11

（2）n T n n ?++?+?+?=232221232Λ

n T 2 n n n n ?+-?++?+?=+1322)1(22212Λ

62)1(2)42(22)222(2111132+?+-=?---=?-+++-=-++++n n n n n n n n n T Λ 62)1(1-?+=+n n n T

考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式,错位相减法

3．（1）22n n a n =?（2）2

2493 (8)2349400 (9)2

n n n n T n n n ?-≤??=?-+?≥?? 【解析】

试题分析：（1）由12a =，2*112()()n n n a a n N n

++=?∈，变形为1

222(1)n n a a n n +=?+，利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．（2）由326n b n =-，可得123b =-．当n ≤8时，n b ＜0，当n ≥9时，n b ＞0．对n 分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出

试题解析：（1）12a =Q ，2*11

2(1)()n n a a n N n

+=+?∈ 1222(1)n n a a n n +∴=?+，*n N ∈2{}n a n

∴为等比数列 121222221

n n n n n a a a n n -∴

=?=∴=? （2）2223log ()263log 226326n n

n a b n n =-=-=-Q ，123b ∴=- 当8n ≤时，3260n b n =-<,当9n ≥时, 3260n b n =->。

设数列{}n b 的前n 项和为n S ,则

当8n ≤时，

121212()()()()n n n n n T b b b b b b b b b S =++???+=-+-+???-=-++???=- 所以，2

1()(23326)493222

n n b b n n n n T +?-+--=-=-= 当9n ≥时

128912891289888

()()()()()()2n n

n n n n T b b b b b b b b b b b b b b b S S S S S =++???++???=-+-+???-++???+=-++???+++???+=-+-=-

所以，

2118()()8(23326)34940022002222

n n b b n b b n n n n T +?+?-+-?-+=-?=+= 综上，2

2493 (8)2349400 (9)2

n n n n T n n n ?-≤??=?-+?≥?? 考点：等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式

4．（1）.12)5(5-=-+=n d n a a n ，.3211n n n q b b =

=- （2）2(21)3n n n n n c a b -==，12(1)3n n

n T +=- 【解析】解：（Ⅰ）∵35,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差d>0， ∴a 3=5，a 5=9，公差.23

535=--=a a d ∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ………………3分 又当n=1时，有b 1=S 1=1－.3

2,2111=∴b b 当).2(31),(21,2111≥=∴-=

-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列，.31,321==

q b ∴.3

211n n n q b b ==- …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2(21)3n n n n n c a b -== 所以12(1)3n n

n T +=- …………12分 5．（1）a n =4n ﹣15（2）T n =﹣7﹣

【解析】解：（1）①当n=1时，a 1=S 1=﹣11，

②当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣13n ﹣[2（n ﹣1）2﹣13（n ﹣1）]=4n ﹣15，

n=1时，也适合上式．

∴a n =4n ﹣15．

（2）c n ===?（4n ﹣15），

∴T n =

+++…+?（4n ﹣15），①

=+

+…++

② ①﹣②，得：T n =﹣+4（++…+）﹣（4n ﹣15）?（）n+1

=﹣+4?﹣（4n ﹣15）?（）n+1

=﹣﹣

，

∴T n =﹣7﹣． 【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

6．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2，3，4

【解析】

试题分析：（Ⅰ）已知1a ，要求等差数列的通项公式，可先求得公差d ，可把已知条件3547a a a +=+用d 表示出来，然后写出通项公式；（Ⅱ）由等差数列前n 项和公式写出n S ，再解不等式32n n S a <-即可．

试题解析：

（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ．

因为3547a a a +=+，所以112637a d a d +=++．

因为11a =，所以36d =，即2d =，

所以1(1)21n a a n d n =+-=-．

（Ⅱ）因为11a =，21n a n =-，所以2

12n n a a S n n +==，

所以23(21)2n n <--，所以2650n n -+<，

解得15n <<，所以n 的值为2,3,4．

考点：等差数列的通项公式与前n 项和公式．

7．（1）见解析

（2）T n ＝()21312

n n -?+ 【解析】解：(1)证明：∵S n －1＋1，a n ，S n ＋1成等差数列，

∴2a n ＝S n ＋S n －1＋2(n ≥2)．

∴2(S n －S n －1)＝S n ＋S n －1＋2，即S n ＝3S n －1＋2，

∴S n ＋1＝3(S n －1＋1)(n ≥2)．

∴{S n ＋1}是首项为S 1＋1＝3，公比为3的等比数列．

(2)由(1)可知S n ＋1＝3n ，∴S n ＝3n －1.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －1.

又a 1＝2，∴a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．na n ＝2n ·3n －1

∴T n ＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n －1)×3n －2＋2n ×3n －1，①

3T n ＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n －1)×3n －1＋2n ×3n ，②

由①－②得，

－2T n ＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－2n ×3n ＝()

21313n --－2n ×3n ＝3n －1－2n ×3n

， ∴T n ＝()21312

n n -?+. 8．（1）21,15a =3135

a =（2）通项为1(21)(21)n a n n =-+证明：①当1n =时，由条件知等式成立，②假设当n k =（1k ≥且*k N ∈）等式成立，即：1(21)(21)k a k k =

-+ 那么当1n k =+时，(21)21

k k k S k k a k =-==+，11(1)(21)k k S k k a ++=++，由1k k S S +-得 11(21)(23)

k a k k +=++由①②可知，命题对一切*n N ∈都成立

【解析】

试题分析：⑴∵(21)n n S n n a =-，且113

a = ∴当2n =时，21222(221)S a a a =+=?-，解得：2113515

a ==?； 当3n =时，312333(231)S a a a a =++=?-，解得：3115735

a ==? ⑵由⑴可以猜想{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n =

-+ 用数学归纳法证明如下：

①当1n =时，由条件知等式成立；

②假设当n k =（1k ≥且*k N ∈）等式成立，即：1(21)(21)

k a k k =

-+ 那么当1n k =+时，由条件(21)n n S n n a =-有： 1(21)(21)(21)(21)21

k k k S k k a k k k k k =-=-=-++； 11(1)(21)k k S k k a ++=++ ∴111(1)(21)21k k k k k S S a k k a k +++-==++-

+，即1(23)21k k k k a k ++=+， ∴11(21)(23)

k a k k +=++，即：当1n k =+时等式也成立． 由①②可知，命题对一切*n N ∈都成立．

考点：数列求通项及数学归纳法证明

点评：已知条件是关于,n n a S 的关系式，此关系式经常用到()

()112n n n n S n a S S n -=?=?-≥?

有关于正整数的命题常用数学归纳法证明，其主要步骤：第一步，n 取最小的正整数时命题成立，第二步，假设

1n k =+时命题成立 9．（Ⅰ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）求{}n a 的通项公式，关键是求等差数列{}n a 的首项及公差即1,a d ，由已知可知335,9a S ==，即，解方程组得11,2a d ==，有等差数列的通项公式即可写出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和，首先求出数列2n a n =-11

25339a d a d +=??+=?11{}n n a a +n n T 11{}n n a a +

的通项公式，由（Ⅰ）可知

数列{}

n a 的连续两项的积，符合利用拆项相消法求和，故

试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为.因为，

所以 解得 4分 所以 6分

（Ⅱ） 12分 考点：等差数列的通项公式，数列求和．

10．(1) 12,1

{ 2,2n n n a n -=∴=≥；(2) 数列11n n b b +??????前n 项之和为1n n +． 【解析】试题分析：（1）由12n n S S +=可得数列{}n S 是首项为2，公比为2的等比数列，然后

根据数列的通项与前n 项和之间的关系，即可求数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）求出

21log n n b a +=的通项公式，利用裂项相消法即可求数列11n n b b +??????

的前n 项和. 试题解析：（1）由题设得：数列{}n S 是首项为2，公比为2的等比数列.

122n n n n S S -∴=?=

111,1

2,1

{ { ,22,2n n n n S n n a S S n n --==∴==-≥≥ （2）由（1）知： 2121111log log 2,1n

n n n n b a n b b n n ++===∴=-+. 2n a n =-d 35,a =39S =11

25339a d a d +=??+=?11,2a d ==21n a n =-1111133557(21)(21)

n T n n =++++???-?+L 11111111(1)2335572121

n n =-+-+-+--+L 11(1)22121

n n n =-=++

∴数列11n n b b +??????

前n 项之和为11111122311n n n n ??????-+-++-= ? ? ?++??????L . 11．（1）4n a n =- （2）()121n n S n =-+

【解析】试题分析：

（1）由等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4，利用等差数列的前n 项和公式建立方程组求出131a d ==-，．由此能求出数列{}n a 的通项公式．

（2）由4n a n =-，知1?2n n b n -=，所以数列{}n b 的前n 项和

12112?23?2?2n n S n -=++++L ，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 的前n 项和n S 试题解析：

（1）设等差数列{}n a 的公差为d .

由已知得11336

{ 8284a d a d +=+=-，解得13

{ 1a d ==-.

故()()31?14n a n n =+--=-.

（2）由（1）得， 1?2n n b n -=.

12112?23?2?2n n S n -=++++L ，两边同乘以2得

23222?23?2?2n n S n =++++L ，两式相减得

()121n n S n =-+

点睛：求解由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列的前项和，一般采用错位相消法，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS －”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

12．（Ⅰ）212n n a -??= ???. （Ⅱ）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先令1n =求出首项1a ，.

由两式相减，得即.所以，

数列是首项为2，公比为的等比数列.由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式.

（Ⅱ）证明有关数列前项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和.在本题中，由（Ⅰ）可得：，.这显然用裂项法求和，然后用放缩法即可证明.

试题解析：（Ⅰ）由题设知， 2分

由两式相减，得.

所以. 4分

可见，数列是首项为2，公比为的等比数列。

所以6分

（Ⅱ）， 8分

. 10分

=. 12分

考点：1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.

13．(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n .

(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.

设{b n }的公差为d ，则有????? b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32解得????? b 1＝－16d ＝12，

从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，

所以数列{b n }的前n 项和

S n ＝n －16＋12n －282

＝6n 2－22n. 【解析】略

14．（1）a n =3n －5.（Ⅱ）;28

1881)81(41-=--=n n n S 【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解以及等比数列求和的综合运用。

（1）因为公差不为零的等差数列}{n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列，联立方程组得到首项和公差得到结论。

（2）在第一问的基础上可知，15384122--?=

==n n a n n b ，利用等比数列的求和公式得到结

论。

（1）由题意知 ???++=+=+).

6)(()2(,106411211d a d a d a d a …………………………3分 解得???=-=3

21d a ……………………………………………………… 5分

所以a n =3n －5.………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）∵15384122--?=

==n n a n n b ∴数列{b n }是首项为4

1，公比为8的等比数列，---------------------------9分 所以;28

1881)81(41-=--=n n n S …………………………………………12分 15．（1）2n

（2）131()322

n n ++- 【解析】

试题分析：解:（1）12a =Q ，12312a a a ++=133122a d d ∴+==，即

2(1)22.n a n n ∴=+-?=

（2）由已知：23n n b n =?

23436323n n S n =?+?+?+?Q ２３…＋ ①

123436323n n S n +=?+?+?+?234３…＋ ②

①-②得

12323232323

n n n S n +=?+?+?+???+?-?23-2=16(13)2313

n n n +--?- 11133313()3222n n n n S n n +++-∴=+?=+-. 考点：等差数列，错位相减法

点评：主要是考查了等差数列的通项公式以及求和的运用，属于中档题。

16．（1）12+=n c n （2）2

121++=n a n n ，12212+++-=n n S n n 【解析】

试题分析：（1）两式相加得2)(11++=+--n n n n b a b a ，即)2(21≥+=-n c c n n ，根据等差数

列定义及通项公式得12+=n c n （2）两式相减得)2(),(2

111≥-=

---n b a b a n n n n ，根据等比数列定义及通项公式得112n n n a b --=，又21n n a b n +=+，解方程组得2121++=n a n n ，最后根据分组求和得n S

试题解析：解：（1）由题设得2)(11++=+--n n n n b a b a ，即)2(21≥+=-n c c n n ， 易知}{n c 是首项为311=+b a ，公差为2的等差数列，通项公式为12+=n c n

（2）由题设得)2(),(2

111≥-=

---n b a b a n n n n ， 令n n n b a d -=，则)2(,2

11≥=-n d d n n ， 易知}{n d 是首项为111=-b a ，公比为21的等比数列，通项公式为121-=n n d ??

???=-+=+-12112n n n n n b a n b a 解得2121++=n a n n

求和得12

212

+++-=n n S n n 考点：等差数列及等比数列定义及通项公式，分组求和

17．（1）65n a n =-（2）361n n T n =

+ 【解析】

试题分析：（1）由数列前n 项和求通项时主要借助于公式()()1112n n n S n a S S n -=??

=?-≥??解决（2）将通项1

3n n n b a a +=整理后根据特点采用裂项相消的方法求和 试题解析：（1）Q 点()()

,n n S n *∈N 均在二次函数()232f x x x =-的图象上，（1） ∴232n S n n =-．（2分）

当2n ≥时，()()2

2132312165n n n a S S n n n n n -??=-=-----=-??

；（4分） 当1n =时，21131211a S ==?-?=，满足上式．（5分）

∴数列{}n a 的通项公式是65n a n =-．（6分）

（2）Q 65n a n =-，（7分） ∴()()133111656126561n n n b a a n n n n +??===- ?-+-+??

．（9分） ∴ 123n n b b b b T =++++L （10分）

1111111111112727132131926561n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?-+????????

L 1111111112771313196561n n ??=-+-+-++- ?-+??

L 111261n ??=- ?+?? 361

n n =+．（12分） 考点：1．数列求通项公式；2．裂项相消法求和

18．（1）21n a n =-；（2）n S 2122n n +=+-.

【解析】

试题分析：（1）借助等差数列的通项公式建立方程求解；（2）借助题设条件运用等差数列等比数列的求和公式求解.

试题解析:

（1）设数列{}n a 的公差为d .

∵11a =，且125,,a a a 成等比数列，

∴2215a a a =，即2

(1)1(14)d d +=?+， ∴22d d =

∵0d ≠，∴2d =，∴21n a n =-.

（2）212n n n a b n +=-+，

23(12)(32)(52)(212)n n S n =+++++++-+L

23(13521)(2222)n n =++++-+++++L L

(121)2(12)212

n n n +--=+- 2122n n +=+-.

考点：等差数列和等比数列的有关知识及运用．

19．（1）证明见解析；（2）22n a n

=+

． 【解析】

试题分析：（1）由144n n a a -=-，可得()122422n n n n a a a a +--=-=，即()111122222n n n n a a a a +==+---，即可得出1111222

n n a a +-=--，可证明数列{}n b 是等差数列；（2）由（1）可知，根据等差数列的通项公式，求解

122n n a =-，即可求解数列{}n a 的通项公式．

试题解析：（1）∵()*

14

42n n a n n N a -=-≥∈，， ∴()122422n n n n a a a a +--=-=，∴()111122222

n n n n a a a a +==+---，

故1111222n n a a +-=--，即112

n n b b +-=， 所以{}n b 为等差数列．

（2）由（1）知{}n b 是等差数列，首项111122b a ==-，公差12d =， ∴()()11111222

n b b n d n π=+-=+-?=， 即122n n a =-，∴22n a n =+，所以数列{}n a 的通项公式为22n a n =+． 考点：等差数列的定义；等差数列的通项公式．