数列求和之错位相减法练习
(完整版)错位相减法等比数列求和十题
(完整版)错位相减法等比数列求和十题1. 题目已知一个等比数列的首项是a，公比是r，前n项和是Sn。
根据错位相减法，推导出用Sn表示S2n-Sn的公式。
2. 解答根据错位相减法的原理，我们可以得出：S2n - Sn = (a*r^(2n-1) + a*r^(2n-2) + ... + a*r + a*r^0) - (a*r^(n-1) + a*r^(n-2) + ... + a*r + a*r^0)化简后得到：S2n - Sn = a * (r^(2n-1) + r^(2n-2) + ... + r + 1) - a * (r^(n-1) +r^(n-2) + ... + r + 1)因此，用Sn表示S2n-Sn的公式可以表示为：S2n - Sn = (a * (r^(2n-1) + r^(2n-2) + ... + r + 1)) - (a * (r^(n-1) + r^(n-2) + ... + r + 1))3. 答案验证为了验证这个公式的正确性，我们可以举一个具体的例子。
假设首项a=2，公比r=3，项数n=3。
根据公式计算：S2n - Sn = (2 * (3^(2*3-1) + 3^(2*3-2) + 3^2 + 3 + 1)) - (2 * (3^(3-1) + 3^(3-2) + 3 + 1))= (2 * (81 + 27 + 9 + 3 + 1)) - (2 * (9 + 3 + 3 + 1))= (2 * 121) - (2 * 16)= 242 - 32= 210我们还可以通过计算原数列的前2n项和和前n项和，来验证公式的准确性。
原数列前2n项和：S2n = (2 * (3^(2*3-1) + 3^(2*3-2) + 3^2 + 3 + 1)) = 242原数列前n项和：Sn = (2 * (3^(3-1) + 3^(3-2) + 3 + 1)) = 32由此可见，公式得出的结果与实际计算符合，验证了公式的正确性。
错位相减法求和附答案
错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列•的前项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上•(I)求数列的通项公式;(n)设，,■是数列的前」项和，求・’•［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，则设,又点「均在函数的图象上，二当心时,©、、= J ；：• ；•■■■ L］ 5 T又忙：=.：「=乜，适合上式,I ............................................... （7 分）（n）由（i）知- 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2• • ：' - 'I+（2«+ l）^"kl,上面两式相减得=3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨, ,: ■ .1=2整理得：，•.................2.已知数列’的各项均为正数，是数列’（14 分）的前n项和，且（1）求数列’的通项公式；（2）二知二一-［答案］查看解析解出a i = 3, ［解析］又4S n = a n? + 2a n —3 ①2当 -时4S n -1 = + 2a n-1 —3 ②①—②他・％7^+ «叫-叫J,即丐~二・+ j)=o... ■ - ■ :.”■-■'"叫—2( 一)二数列也“｝是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二心=3 + 2(n-1) = 2/? + !T ti=3x2' +5x2?+L +(切1).『又.：匚............... : -.:-T a=-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'④一③+(2卄】)・2曲12分3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数■' ：■ 1 1 1'，数列：前项和’，：；：「“二二；-匕斥.二’，数列■，满足沢二U.(I)求数列：，的通项公式•；(n)设数列屮广的前项和为•，数列殖的前；项和为’：，证明：［答案］(i 由■'，，得'•■•kJ是以;为公比的等比数列，故叫=』芦|.用错位相减法可求得■. ■? •比丁■二.(注：此题用到了不等式：：I ，I …进行放大.)4. 已知等差数列'中，；是与的等比中项.fa 3(I)求数列的通项公式：(n)若' .求数列' 的前厂项和［解析］(I)因为数列'是等差数列，是与的等比中项.所以 '又因为，设公差为」，U ' ' '' ' 1 , 所以.门 "'1',解得，［或，当宀2时，坷二2 , % =八(冲-1)，2 =加；当d -0时，毎二4 .所以’或. .(6分)(n)因为' ，所以'，所以^所以' •「——，所以■二丁「1 - - I■:」-：■ 2 ' I1 一？-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2•—-n-2^'两式相减得,所以' .(13 分)5. 已知数列：的前I：项和' ,' , 'J'■,等差数列：中= S,且公差心2.(I)求数列’、；的通项公式；(n)是否存在正整数'，使得’'''：若存在，求出“的最小值，若不存在，说明理由.u. —L £?… . = 2S + L 当H工2 u 虬=25 . + I —亠/口［解析］(I) 时，相减得：%=她Z ") & 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人? ?'数列：是以1为首项，3为公比的等比数列令-处叮"存沁"¥宥“ 4［細一恥汀丄“：：.2：冷严」37； =3x3*5x3J +7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)^3*-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl -,)-(2» + 1)x3fl二匚=^V ，一 o> 伽,即 3" >60 ,当 n<3，亍弋60 ,当/;>4。
数列求和之错位相减法练习
数列求和之错位相减法专项练习一、解答题1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2⋅a4=6，a6=4．(1)求数列{a a}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{a a2a−12.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a−a a−1(a≥2)．(1)设a a=a a−1，求证：{a a}为等比数列．(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a．3.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a−1)(1)求数列{a a}的通项公式；(2)若a a=a(a a−1)，求数列{a a}的前n项和a a．4.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．~(1)求数列{a a}的通项公式；}的前n项和a a．(2)求数列{a a2a a5.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的等比中项，a a为{a a}的前n项和．(1)求a a及a a；(2)若a a=a a⋅3a a，求数列{a a}的前n项和．+16.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公式；(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a．7.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+a a+1.(1)求数列{a a }的通项公式； (2)令a a =(a a +1)(aa +2)a a +1，求数列{a a }的前n 项和．8. 已知等比数列{a a }的前n 项和为a a ，且a a +1=2a a +1(a ∈a ∗)．(1)求数列{a a }的通项公式；"(2)若数列{a a }满足a a =3a a −1，求数列{a aa a}的前n 项和a a ．9. 各项均为正数的数列{a a }满足a 1=1，a a +12−a a 2=2(a ∈a +).(1)求数列{a a }的通项公式;(2)求数列{a a 22a}的前n 项和a a ．10. 已知数列{a a }的前n 项和为a a ，且满足3a a =2a a +1．(1)求数列{a a }的通项公式；(2)设数列{a a}满足a a=(a+1)a a，求数列{a a}的前n项和a a．答案和解析1.【答案】解：(1)设a a =a 1+(a −1)a ，则(a 1+a )(a 1+3a )=6且a 1+5a =4，解得a 1=32，a =12或a 1=−172，a =52， ∵a a >0， ∴a 1=32，a =12， ∴a a =a2+1， (2)设{a a2a −1}的前n 项和为a a ，a a2a −1=a2+12a −1=a +22a， ∴a a =3×(12)+4×(12)2+5×(12)3+⋯+(a +2)×(12)a ， ∴12a a =3×(12)2+4×(12)3+5×(12)4+⋯+(a +2)×(12)a +1，①−②得：12a a =32[(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)a ]−(a +2)×(12)a +1=32+14(1−12a −1)1−12]−(a +2)×(12)a +1，∴a a =4−a +42a【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设a a =a 1+(a −1)a ，利用等差数列的通项公式即可得出． (2)利用错位相减法求和即可得出．2.【答案】解：(1)证明：当a =1时，a 1+a 1=1=2a 1，∴a 1=12，当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，∴a a =12a a −1+12，∴a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)， 又a 1=a 1−1=−12≠0，故数列{a a }是以−12为首项，以12为公比的等比数列； (2)∵a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，∴a a =1−(12)a，当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a =(12)a；当a =1时，a 1=a 1=12， ∴a a =2⋅12+3⋅(12)2+4⋅(12)3+⋯+(a +1)⋅(12)a，又12a a =2⋅(12)2+3⋅(12)3+4⋅(12)4+⋯+(a +1)⋅(12)a +1，两式相减，得12aa=1+(12)2+(12)3+⋯+(12)a−(a +1)⋅(12)a +1=1+14[1−(12)a −1]1−12−(a +1)⋅(12)a +1=32−(a +3)⋅(12)a +1， 故a a =3−(a +3)⋅(12)a．【解析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及错位相减法求数列的和，熟记等比数列的定义与通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，考查了分析和运算能力，属于中档题． (1)运用当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，即得到a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)，再根据a 1=a 1−1=−12≠0即可证明{a a }为等比数列；(2)由(1)得a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，即得a a =1−(12)a，进而得到当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a=(12)a，当a =1时a 1=a 1=12，然后用错位相减法求和即可得解．3.【答案】 解：(1)因为a a =2(a a −1)，① 当a ≥2时，a a −1=2(a a −1−1)，②①−②得a a =2a a −2a a −1，即a a =2a a −1，由①式中令a =1，可得a 1=2，∴数列{a a }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a a =2a 。
数列求和之错位相减法练习
数列求和之错位相减法专项练习一、解答题1.已知正项数列{a n}是递增的等差数列，且a2⋅a4=6，a6=4．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{a n2n−12.在数列{a n}中，前n项和为S n，a n+S n=n,b1=a1,b n=a n−a n−1(n≥2)．(1)设c n=a n−1，求证：{c n}为等比数列．(2)求{(n+1)b n}的前n项和T n．3.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2(a n−1)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=n(a n−1)，求数列{b n}的前n项和T n．4.已知等差数列{a n}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{a n2a n5.已知{a n}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的等比中项，S n为{a n}的前n项和．(1)求a n及S n；(2)若b n=a n+1⋅3a n，求数列{b n}的前n项和．6.已知数列{a n}是首项为1的等差数列，数列{b n}是首项b1=1的等比数列，且b n>0，又a3+b5=21，a5+b3=13．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{2a n b n}的前n项和S n．7.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)令C n=(a n+1)(b n+2)n n+1，求数列{C n}的前n项和．8.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=2S n+1(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)若数列{b n}满足a n=3b n−1，求数列{b na n2−a n2=2(n∈N+).(1)求数列{a n}的通9.各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+1项公式;(2)求数列{a n2}的前n项和S n．2n10.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足3S n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=(n+1)a n，求数列{b n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】解：(1)设a n =a 1+(n −1)d ，则(a 1+d)(a 1+3d)=6且a 1+5d =4，解得a 1=32，d =12或a 1=−172，d =52， ∵a n >0， ∴a 1=32，d =12，∴a n =n2+1，(2)设{an2n−1}的前n 项和为S n ，a n 2n−1=n 2+12n−1=n+22n，∴S n =3×(12)+4×(12)2+5×(12)3+⋯+(n +2)×(12)n ，∴12S n =3×(12)2+4×(12)3+5×(12)4+⋯+(n +2)×(12)n+1，①−②得：12S n=32[(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)n ]−(n +2)×(12)n+1=32+14(1−12n−1)1−12]−(n +2)×(12)n+1，∴S n =4−n +42n【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设a n =a 1+(n −1)d ，利用等差数列的通项公式即可得出． (2)利用错位相减法求和即可得出．2.【答案】解：(1)证明：当n =1时，a 1+S 1=1=2a 1，∴a 1=12，当n ≥2时，{a n +S n =n,a n−1+S n−1=n −1.两式相减，得a n −a n−1+a n =1，∴a n =12a n−1+12，∴a n −1=12(a n−1−1)，即c n =12c n−1(n ≥2)， 又c 1=a 1−1=−12≠0，故数列{c n }是以−12为首项，以12为公比的等比数列； (2)∵c n =(−12)⋅(12)n−1=−(12)n，∴a n =1−(12)n ， 当n ≥2时，b n =(12)n−1−(12)n =(12)n；当n =1时，b 1=a 1=12，∴T n =2⋅12+3⋅(12)2+4⋅(12)3+⋯+(n +1)⋅(12)n，又12T n =2⋅(12)2+3⋅(12)3+4⋅(12)4+⋯+(n +1)⋅(12)n+1，两式相减，得12T n =1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−(n +1)⋅(12)n+1=1+14[1−(12)n−1]1−12−(n +1)⋅(12)n+1=32−(n +3)⋅(12)n+1，故T n =3−(n +3)⋅(12)n．【解析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及错位相减法求数列的和，熟记等比数列的定义与通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，考查了分析和运算能力，属于中档题．(1)运用当n ≥2时，{a n +S n =n,a n−1+S n−1=n −1.两式相减，得a n −a n−1+a n =1，即得到a n −1=12(a n−1−1)，即c n =12c n−1(n ≥2)，再根据c 1=a 1−1=−12≠0即可证明{c n }为等比数列；(2)由(1)得c n =(−12)⋅(12)n−1=−(12)n，即得a n =1−(12)n，进而得到当n ≥2时，b n =(12)n−1−(12)n=(12)n，当n =1时b 1=a 1=12，然后用错位相减法求和即可得解．3.【答案】 解：(1)因为S n =2(a n −1)，①当n ≥2时，S n−1=2(a n−1−1)，②①−②得a n =2a n −2a n−1，即a n =2a n−1， 由①式中令n =1，可得a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n =2n 。
题型-数列求和之错位相减法
1数列求和之错位相减法一、题型要求：错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）。
二、例题讲解：1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S2、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.三、练习巩固：1、（2012－信宜二模）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，（1）求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式.；2、（2015－漳浦校级模拟）等差数列}{n a 中，.2,49197a a a ==数列}{n b 满足n a n n a b 22⋅=（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和n S3、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，n a a na n n n =-++11，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；4、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a （*N n ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列}12{+n a n的前n 项和，求n S ；35、（2014－惠州调研）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12n n a S -=；数列{}n b 满足(27)n n b n a =-（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和为n T6、（2014－珠海六校联考）已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123b =. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .7、（2014－中山期末）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；8、（2014－梅州质检）设等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，已知122(*)n n a S n N +=+∈。
高中数学数列-错位相减法求和专题训练含答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版错位相减法求和专题训练1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.(1)求 {}n a 的通项公式；(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；(3)设()2121nn n n c a a -=⋅+-，证明：123111154n c c c c ++++< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 21691n n a S n +=++， *n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112a =且224433,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 122n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.5．已知数列{}n a 及()212n n n f x a x a x a x =+++，且()()11?nn f n -=-, 1,2,3,n =.（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证:11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()*n S n N ∈； （Ⅱ）若()1232n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()*n T n N ∈.7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；（2）令11•213nn n n na b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和为n T .8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11,2b =1n b += 12n n b n+． （1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222n n S T f n n -=+，试问()f n 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.参考答案1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）成等比数列 2q = ()()2{2nn n n a n ∴=为奇数为偶数（2）()()21221222121222142kkk k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++23241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣⎦(3) ()()3121nnn C n =-+- ()()()()2121{ 2121nn nn n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212n n n n C +=<≥-+ n 为偶2．解析：(1) 2n 1n a 6S 9n 1+=++，()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴()22n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，∴()22n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥又3a 7=，所以2a 4=，再由221a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=∴{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，∴n a 3n 2=-(2) 13b 1,b 4==∴n 1n b 2-=， ()n 1n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅①()01n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅++-⋅，②()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅∴()12n 1n T 13222--=++++ ()n 3n 22--⋅， ()n n T 3n 525=-⋅+()n 3n 52m -⋅⋅≥ ()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈恒成立∴()2n 6n 31n 35m 3n 52-+≥-⋅ ()()()nn 3n 52n 72n 73n 522---==-⋅，即n 2n 7m 2-≥恒成立. 设n n 2n 7k 2-=， n 1n n 1nn 12n 52n 792nk k 222+++----=-= 当n 4≤时， n 1n k k +>； n 5≥时， n 1n k k +< ∴()n 55max 33k k 232===，∴3m 32≥. 点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键. 3．解：（1）设数列{}n a 的公比q ，由()4422332S a S a S a +=+++， 得()()42434232S S S S a a a -+-+=+，即424a a =，∴214q =． {}n a 是单调递减数列，∴12q =， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知2n n nna =， 所以234112*********n n n n nT --=++++++，①232123412122222n n n n nT ---=++++++，②②-①得： 211112222n n n n nT -=++++-，1122212212nn n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--，由()111112n n n n n T T n a ++++-=+=，得123n T T T T <<<<，故112n T T ≥=又2222n n n T +=-<，因此对于任意正整数n ， 122n T ≤<点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题. 4．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q由已知， 42302S S =≠.则1q ≠，则()()212414161{1301a q S q a q S q-==--==-，，两式相除得2q =±，∵数列{}n a 为递增数列，∴2q =，则12a =，所以2n n a =.（2）122log 22n n n n b n ==-⋅，()1231222322n n T n =-⋅+⋅+⋅++⋅ 设1231222322n n H n =⋅+⋅+⋅++⋅，① 23412222322n n H n +=+⋅+⋅++⋅，②①-②得：()1231121222222212n n n n n H n n ++--=++++-⋅=-⋅-，11222n n n n T +-=-⋅+-=，1250n n T n ++⋅>， 即111222250n n n n n +++-⋅+-+⋅>，1252n +>，∴正整数n 的最小值是5.点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．5．解析：（1）由已知()1111f a -=-=-，所以11a =.()21212f a a -=-+=，所以23a =.()312313f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则()()()()2121111nn n f a a a -=-+-++-，①()()()()()21112111111nn n n n f a a a a +++-=-++-++-+-，②两式相减，得()()()1111?11n n n n a f f +++-=---= ()()()11?11?n nn n +-+--，所以()11n a n n +=++,即121n a n +=+， 又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()211,2,3,n a n n =-=.（3）()233521n n f x x x x n x =++++-，所以()2311111352133333nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③()2341111111·3521333333n n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④①-②得()2312111111222213333333nn n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11133n n n f +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 又1,2,3,n =，∴103nn +>，故113n f ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 又1111210333n n n n f f +++⎛⎫⎛⎫--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以13n f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递增数列，故1111333n f f ⎛⎫⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．6．解析：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公差为d ，由条件可得23111a a a =，即()()2222210d d +=+，解得3d =或0d =（舍去），则数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-，()()23113122n n n S n n +-==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()121322n a n n b --==，则()1231223341225282312n n n n T a b a b a b a b n +=++++=⨯+⨯+⨯++-⨯，①()23412225282312n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②将①-②得()123122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()211132324312834212n n n n n +++⨯-⨯=+--⨯=---⨯-，则()18342n n T n +=+-⨯.【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.7．解析：（1）11,4n a == 当2n ≥时， 1,n n n a s s -=-得()1121n n a a +-=-，1121n n a a +-=-112,n n a --=得 121n n a -=- n a = 14,1{21,2n n n -=+≥(2)当1n =时， 123b = 当2n ≥时， 13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当1n =时， 123T =当2n ≥时， 232111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2311123333nM n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3411111233333n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 23M = 122111191833n n n +-⎡⎤⎛⎫+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2111111312323nn M n -⎡⎤⎛⎫∴=+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭132311243n n n T +⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭ 经检验1n =时， 1T 也适合上式． 132311243n n n T +∴=-⋅ ()*n N ∈ ． 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 8．解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则11121{{,.510151n a d a a n a d d +==⇒∴=+==由题意得1111122n n b b b n n +=⋅=+，，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项和公比都是12， 2n n n b ∴=. （2）由（1）得231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 两式相减得： 23111111=222222n n n n T ++++⋅⋅⋅+-， 222n n n T +∴=-；()()()2122222n n n nn n S T n nS f n n +-+=∴==+；()()()()()221111121222n n n n n n n n n f n f n ++++++-+∴+-=-= 当3n ≥时， ()()10f n f n +-<；当3n <时， ()()10f n f n +-≥；()()()3311,2,322f f f === ∴()f n 存在最大值为32.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 9．解析：（1）当1n =时， 11==3a S ；当2n ≥时， ()()221=212121n n n a S S n n n n n --=+----=+， 1=3a 也符合，∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +. （2）2211111=14441n n b a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，∴()111111111...1422314141n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n 项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.10．解析：（1）设等比例列16.λ∴的最大值为的首项为1a ，公比为q依题意，有3112120{8a q a q a q +==，解之得12{ 2a q ==或132{ 12a q ==， 又数列{}n a 单调递增， 12{ 2.2n a a n q =∴∴==，（2）依题意， 12.log2.2,.2bn n n n n ==- 12222323.........2,Sn n n ∴-=⨯+⨯+⨯++①2122223324........21Sn n n -=⨯+⨯+⨯+++②由①—②得： 2222324......2.21Sn n n n =+++++-+()212.2112n n n -=-+-21.212n n n =+-+- ， 1250n n S n +∴=⋅>，即12250,226n n +->∴>，当4n ≤时， 2241626n <=<；当5n ≥时，5223226n <=<， ∴使1250n n S n ++⋅>，成立的正整数n 的最小值为5.【 方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。
数列求和(分组求和、并项法、错位相减、裂项相消)综合经典例题(收藏版)含答案详解
数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式； （Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *）， （i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（ ）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足， 则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时， ，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和， 所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
错位相减法求和典型例题
错位相减法求和典型例题一、引言错位相减法是一种数学中常用的求和方法。
它通过将两个等式错位相减，消去其中的某些项，从而得到一个新的等式，通过求解这个新的等式可以得到原问题的解。
在本文中，我们将介绍错位相减法的定义、原理以及应用，并提供一些典型的例题，以帮助读者更好地理解和掌握这个方法。
二、错位相减法的定义和原理1. 定义错位相减法是指将两个等式的左、右两边错位对应的项相减，并得到一个新的等式的求和方法。
它主要用于解决一些复杂的求和问题，通过消去一些项，简化问题的求解过程。
2. 原理错位相减法的原理可以通过以下步骤来解释：a) 将两个等式的左、右两边分别写出，并使其对应项排列在一起；b) 将两个等式的左、右两边错位对应的项相减，得到一个新的等式；c) 求解这个新的等式，得出问题的解。
三、错位相减法的应用错位相减法主要应用于解决求和问题，特别是一些具有特定模式的求和问题。
下面将介绍一些典型的例题，以帮助读者更好地理解和应用这个方法。
例题1：求解等差数列的和已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S，求解S的表达式。
解法：设等差数列的第一项为a，公差为d，则等差数列的第n项为a+(n-1)d。
根据等差数列的求和公式，可得：S = (a + a+(n-1)d)n/2= 2a + (n-1)d)n/2= (2a + (n-1)d)n/2= (2a + n*d - d)n/2= (2a + n*d)n/2 - d*n*(n-1)/2因此，S的表达式为(2a + n*d)n/2 - d*n*(n-1)/2。
例题2：求解等比数列的和已知等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为S，求解S的表达式。
解法：设等比数列的第一项为a，公比为r，则等比数列的第n项为a*r^(n-1)。
根据等比数列的求和公式，可得：S = a*(1-r^n)/(1-r)因此，S的表达式为a*(1-r^n)/(1-r)。
例题3：求解级数的和已知级数的通项为an，求级数的和S。
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数列求和之错位相减法专项练习一、解答题1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2⋅a4=6，a6=4．(1)求数列{a a}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{a a2a−12.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a−a a−1(a≥2)．3.(1)设a a=a a−1，求证：{a a}为等比数列．4.(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a．5.6.7.8.9.10.11.12.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a−1)(1)求数列{a a}的通项公式；(2)若a a=a(a a−1)，求数列{a a}的前n项和a a．13.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a a}的通项公式；(2)求数列{a a2a a }的前n项和aa．14.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的等比中项，a a为{a a}的前n项和．(1)求a a及a a；(2)若a a=a a+1⋅3a a，求数列{a a}的前n项和．15.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公式；16.(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a．17.18.19.20.21.22.23.24.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+a a+1.(1)求数列{a a}的通项公式；(2)令a a=(a a+1)(a a+2)a a+1，求数列{a a}的前n项和．25.已知等比数列{a a}的前n项和为a a，且a a+1=2a a+1(a∈a∗)．(1)求数列{a a}的通项公式；(2)若数列{a a}满足a a=3a a−1，求数列{a aa a }的前n项和aa．26.各项均为正数的数列{a a}满足a1=1，a a+12−a a2=2(a∈a+).(1)求数列{a a}的通项公式;27.(2)求数列{a a22a}的前n项和a a．28.29.30.31.32.33.34.35.已知数列{a a}的前n项和为a a，且满足3a a=2a a+1．(1)求数列{a a}的通项公式；(2)设数列{a a}满足a a=(a+1)a a，求数列{a a}的前n项和a a．答案和解析1.【答案】解：(1)设a a =a 1+(a −1)a ，则(a 1+a )(a 1+3a )=6且a 1+5a =4，解得a 1=32，a =12或a 1=−172，a =52， ∵a a >0， ∴a 1=32，a =12， ∴a a =a2+1， (2)设{a a2a −1}的前n 项和为a a ，a a2a −1=a2+12a −1=a +22a， ∴a a =3×(12)+4×(12)2+5×(12)3+⋯+(a +2)×(12)a ， ∴12a a =3×(12)2+4×(12)3+5×(12)4+⋯+(a +2)×(12)a +1，①−②得：12a a =32[(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)a ]−(a +2)×(12)a +1=32+14(1−12a −1)1−12]−(a +2)×(12)a +1，∴a a =4−a +42a【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设a a =a 1+(a −1)a ，利用等差数列的通项公式即可得出． (2)利用错位相减法求和即可得出．2.【答案】解：(1)证明：当a =1时，a 1+a 1=1=2a 1，∴a 1=12，当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，∴a a =12a a −1+12，∴a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)， 又a 1=a 1−1=−12≠0，故数列{a a }是以−12为首项，以12为公比的等比数列； (2)∵a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，∴a a =1−(12)a ， 当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a=(12)a；当a =1时，a 1=a 1=12，∴a a =2⋅12+3⋅(12)2+4⋅(12)3+⋯+(a +1)⋅(12)a，又12a a =2⋅(12)2+3⋅(12)3+4⋅(12)4+⋯+(a +1)⋅(12)a +1，两式相减，得12a a=1+(12)2+(12)3+⋯+(12)a−(a +1)⋅(12)a +1=1+14[1−(12)a −1]1−12−(a +1)⋅(12)a +1=32−(a +3)⋅(12)a +1，故a a =3−(a +3)⋅(12)a．【解析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及错位相减法求数列的和，熟记等比数列的定义与通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，考查了分析和运算能力，属于中档题． (1)运用当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，即得到a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)，再根据a 1=a 1−1=−12≠0即可证明{a a }为等比数列；(2)由(1)得a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，即得a a =1−(12)a，进而得到当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a=(12)a，当a =1时a 1=a 1=12，然后用错位相减法求和即可得解．3.【答案】 解：(1)因为a a =2(a a −1)，①当a ≥2时，a a −1=2(a a −1−1)，②①−②得a a =2a a −2a a −1，即a a =2a a −1，由①式中令a =1，可得a 1=2，∴数列{a a }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a a =2a 。
(2)由(1)知a a =a (2a −1)=a ⋅2a −aa a =2+2×22+3×23+⋯+(a −1)2a −1+a ⋅2a −[1+2+3+⋯+(a −1)+a ]，设a a =2+2×22+3×23+⋯+(a −1)2a −1+a ⋅2a ，-------------①则2a a=22+2×23+3×24+⋯+(a−1)2a+a⋅2a+1，---------②①减②式得−a a=2+22+23+⋯+2a−a⋅2a+1=2(1−2a)1−2−a⋅2a+1=2a+1−2−a⋅2a+1=−(a−1)2a+1−2，得a a=(a−1)2a+1+2，又1+2+3+⋯+(a−1)+a=a(1+a)2，∴a a=(a−1)2a+1−a(a+1)+2【解析】本题考查数列通项与和递推关系的处理，以及等比数列的定义，错位相减法求和．(1)根据a a与a a之间的关系，证明等比数列，得出{a a}的通项公式．(2)利用分组求和和错位相减法即可求解．4.【答案】解：(1)因为{a a}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以a32=a1a9，即(a1+2)2=a1(a1+8)，解得a1=1．所以a a=a1+(a−1)a=a(a∈a∗).(2)a a=1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+a×(12)a，1 2a a=1×(12)2+2×(12)3+⋯+(a−1)×(12)a+a×(12)a+1，两式相减得12a a=(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)a−a×(12)a+1，所以12a a=12−(12)a+11−12−a×(12)a+1=1−12a−a2a+1．所以a a=2−2+a2a．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)因为{a a}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32=a1a9，即(a1+2)2=a1(a1+8)，解得a1.利用通项公式即可得出结果．(2)利用错位相减法，即可得出结果．5.【答案】解：(1)设{a a }的公差为a (a ≠0)，则{3a 1+8a =19a 1(a 1+4a )=(a 1+a )2，解得{a 1=1a =2, 所以a a =2a −1，a a =a (1+2a −1)2=a 2．(2)a a =a a +1⋅3a a =(2a +1)·32a −1， 记数列{a a }的前n 项和为a a ，则a a =a 1+a 2+a 3+⋯+a a =3×31+5×33+7×35+⋯+(2a +1)×32a −1，所以9a a =3×33+5×35+7×37+⋯+(2a −1)×32a −1+(2a +1)×32a +1， 两式相减得−8a a =9+2(33+35+37+⋯+32a −1)−(2a +1)×32a +1=9+2×27(32a −2−1)8−(2a +1)×32a +1=9−(8a +3)·32a +14， 所以a a =(8a +3)·32a +1−932【解析】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的求和及错位相减法，是中档题． (1)设{a a }的公差为a (a ≠0)，由题意列出等式得出a 1和d ，即可得出a a 及a a ； (2)a a =a a +1⋅3a a =(2a +1)·32a −1，利用错位相减法求和即可．6.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a a }的公差为d ，{a a }的公比为q ，则由已知条件得：{a 4+1+2a =21a 2+1+4a =13,解之得：{a =2a =2或a =−2(舍去), ∴a a =2a −1，a a =1+(a −1)×2=2a −1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知2a a a a =(2a −1)2a ，∴ a a =1×21+3×22+5×23+⋯+(2a −1)2a ，① ∴2a a =1×22+3×23+5×24+⋯+(2a −1)2a +1，②① −②得： −a a =1×21+2×22+2×23+⋯+2×2a −(2a −1)2a +1，∴．【解析】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．(Ⅰ)由已知得{a 4+1+2a =21a 2+1+4a =13，由此能求出数列{a a }和{a a }的通项公式；(Ⅱ)利用错位相减法进行数列求和，即可求出数列{2a a a a }的前n 项和a a ．7.【答案】解：(1)由题意知，当a ≥2时，a a =a a −a a −1=6a +5；当a =1时，a 1=a 1=11，也符合上式，所以a a =6a +5．设数列{a a }的公差为a .由{a 1=a 1+a 2,a 2=a 2+a 3,即{11=2a 1+a ,17=2a 1+3a ,解得{a 1=4,a =3,所以a a =3a +1． (2)由(1)知a a =(6a +6)a+1(3a +3)=3(a +1)·2a +1．又a a =a 1+a 2+⋯+a a ，得a a =3×[2×22+3×23+⋯+(a +1)×2a +1]，2a a =3×[2×23+3×24+⋯+(a +1)×2a +2]，两式作差，得−a a =3×[2×22+23+24+⋯+2a +1−(a +1)×2a +2]=3×[4+4×(1−2a )1−2−(a +1)×2a +2]=−3a ·2a +2，所以a a =3a ·2a +2．【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．(1)由题意知，当a ≥2时，a a =a a −a a −1,，求出数列{a a }的通项公式，再求数列{a a }的通项公式；(2)求出数列{a a }的通项，利用错位相减法求数列{a a }的前n 项和a a ．8.【答案】解：(1)当a =1时，a 2=2a 1+1；当a ≥2时，a a +1−a a =2a a −2a a −1=2a a ，即a a +1=3a a ， 所以等比数列{a a }的公比是3，所以a 2=3a 1，即2a 1+1=3a 1， 故a 1=1，故数列{a a }是以首项为1，公比为3的等比数列， 故a a =3a −1；(2)由(1)知，a a =3a −1， 又a a =3a a −1， 所以a a −1=a −1， 故a a =a ，所以a aa a=a3a −1，则a a =13+231+332+⋯+a −13a −2+a 3a −1，13a a =131+232+333+⋯+a −13a −1+a3a ，两式相减，得23a a=13+131+132+⋯+13a −1−a 3a=1−13a1−1−a 3a =32−2a +32×3a ，所以a a=94−2a+34×3a−1．【解析】本题考查了数列递推关系，数列通项公式的求法，数列求和，考查了分析和运算能力，属于中档题．(1)根据递推关系进行作差，可得数列数列{a a}是以首项为1，公比为3的等比数列，即可得到数列{a a}的通项公式；(2)先求出a a=a，即可得到a aa a =a3a−1，然后运用错位相减法求和即可．9.【答案】解：(1)因为a1=1，a a+12−a a2=2(a∈a∗)，∴数列{a a2}为首项为1，公差为2的等差数列，所以a a2=1+(a−1)×2=2a−1，因为a a>0，所以a a=√2a−1(a∈a∗).(2)由(1)，知a a=√2a−1，所以a a22a =2a−12a，所以a a=12+322+523+⋯+2a−12a，①则12a a=122+323+524+⋯+2a−12a+1，②由①−②，得12a a=12+222+223+⋯+22a−2a−12a+1=12+2(122+123+⋯+12a)−2a−12a+1=12+2·122−12a+11−12−2a−12a+1=32−2a+32a+1，所以a a=3−2a+32a．【解析】本题考查数列的通项以及数列求和的错位相减法，属于中档题．(1)由等差数列的通项公式可求得数列{a a}的通项公式；(2)利用错位相减法求和即可．10.【答案】解：(1)当a =1时，3a 1=2a 1+1，可得a 1=1， 当a ≥2时，由{3a a =2a a +13a a −1=2a a −1+1得3(a a −a a −1)=2a a −2a a −1，整理得a a =−2a a −1， 所以数列{a a }是公比为−2，首项为1的等比数列从而a a =(−2)a −1．(2)由a a =(a +1)a a ，得a a =(a +1)×(−2)a −1，则：a a =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+⋯+(a +1)×(−2)a −1，……① 那么：−2a a =2×(−2)1+3×(−2)2+⋯+a ×(−2)a −1+(a +1)×(−2)a ，……② 由①−②得：3a a =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+⋯+(−2)a −1−(a +1)×(−2)a =1+1−(−2)a1−(−2)−(a +1)×(−2)a =43−(a +43)×(−2)a ，从而：a a =49−3a +49×(−2)a ．【解析】本题考查数列的通项公式、错位相减法求和，属于基础题．(1)根据a ≥2时，由{3a a =2a a +13a a −1=2a a −1+1可得a a =−2a a −1 ，可得通项公式； (2) 根据“差比数列”用错位相减法求和即可．。