(完整word版)数列求和之错位相减法、倒序相加法
数列求和的八种重要方法与例题
n
n-1
n
n
n-1
n
2S =lg(xy) +lg(xy) + ...+lg(xy)
n
= 2n(n +1) S = n(n +1)
2.错位相减 当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求 数列{anbn}的前n项和适用错位相减
典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
5.拆项分组求和法
6.并项求和法
深化数列中的数学思想方法：
热点题型1：递归数列与极限. 1
an 2 1 设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 an 1 4 a 1 n 4 1 记 bn a2 n 1 ，n＝l，2，3，…· ． 4
n为偶数
,
n为奇数
1
a1 1, 故b1
1 1 1 2
2;
3 1 13 20 a3 , 故b3 4; a4 , 故b4 . 3 1 4 20 3 4 2
7 1 8 a2 , 故b2 7 1 3 8 8 2
热点题型2：递归数列与转化的思想方法.
数列{an}满足a11且8an116an12an50 (n1)。记 bn 1 (n1)。 an 2 (1)求b1、b2、b3、b4的值； (2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。 1 1 1 bn 得an , 代入递推关系8an1an 16an1 2an 5 0, 1 bn 2 an 1 a b bn 1 2 n n
{an+bn+cn}
等差
等比
数列求和1
1 2n
1
1 2n
1
nn
1
1n
2
1 2
1
nn
1
n
1
1n
2
已知：an 3n 1,求
1 1 1
a1a2 a2a3
an an 1
五、公式法求和：
所给数列的通项是关于n的多
项式，此时求和可采用公式
法求和，常用的公式有：
数列求和
一、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末
两项等距的两项之和等于首 末两项之和，可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式 相加，就得到一个常数列的 和，这一求和的方法称为倒 序相加法.
二、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
已知an
1
nn
2
,
求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
例 ： 求前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
数列求和法(已修改)
练习5:(1)求和 1 4 (2)求和
：
1
1 47
1 7 10
1 ( 3 n 2 )( 3 n 1)
1
+
1
+
1
+ …+
1
1· 3
2· 4
3· 5
n· (n+2)
数列求和法小结
公式法求和 分组求和法
倒序相加法 错位相减法
裂项相消法
再 见
当 x 1 时 ， Sn n n 2n 4n
1
当 x 1 时 ， Sn
2n
x (1 x )
2 2n
1 x
2
x
2
(1 1
1 x 1
2n
) 2n
(x
1)( x
2n 2
2n2
1)
x
2
x ( x 1)
2n
4 n ( x 1) 2n S n ( x 1)( x 2 n 2 1) 2 n ( x 1) 2n 2 x ( x 1)
三、错位相减法
错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列
对应项相乘得的新数列求和，此法即为等比数列求
和公式的推导方法.
例3.(1)求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1) (2)求数列{2n-1}的前n项和.
2n
…… +nxn-1 ① 解：(1)∵ Sn =1 + 2x +3x2 + ∴xSn = x + 2x2 + … + (n-1)xn-1+nxn ② ∴ ① -②，得： (1-x) Sn =1 + x + x2+ … + xn-1 - nxn = 1-x 1-(1+n)xn+nxn+1 ∴ Sn= (1-x)2 1-xn n项 - nxn
数列求和之错位相减法倒序相加法
.数列求和之错位相减法、倒序相加法}}{{bac、错位相减法适用于1是等差数列，，其中是等比数列。
b×=a nnnnn的两边同乘以公比步骤：此时可把式子1)q1qq(10，得到且，两式错位相减整理即可求出.S n2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
2n?1n】已知数列1【例0)a?(,5a,,(2n?1)a1,3a项和，求前.{}的等差数列，且满足0【例2】已知是一个公差大于aa a=55,a+a=16n7632{}的通项公式：（Ⅰ）求数列a n a{}}{}{nS.（Ⅱ）若数列和数列满足等式:的前项和bab n?b，求数列nnnnnn22222】求和：3【例89sin?sin3?2sin1?sin?1??????????Rfxx，点】已知函数4【例xfyx,yPxP,??图像上，是函数221112x24?1．的两个点，且线段PP P的横坐标为的中点212P的纵坐标是定值；（Ⅰ）求证：点n????????mmNn,,? ,?1,?af2aa的前的通项公式为求数列m，（Ⅱ）若数列??nnn m??S项的和；m【变式训练】n?2?12n?3、已知数列项和.1求前aa44a?a?62?）...，0,2a，，，，，（-8+2n1 / 2.??a}{{}322n的:2、若数列的通项公式为满足等式bb?a?na?b n，求数列，数列nnnnn nS前项和n cos179cos178??cos3??cos1?cos2.的值3、求【过关练习】ba{{2，1.设数列，nba)=b,}b(a-a}=nS=2为等比数列，且的前项和为nnn111221a{）求数列（1}b}{的通项公式；和nn a c{c（2）设，求数列．n n T}=项和的前nnn b n{}已知2、Sa?b?2,a?b?27n a{b}是等比数列，，是等差数列，其前且项和为，4411nnn S?b?10.44{}）求数列1（a{b}的通项公式；与nn**（2）记T?12??2a?10bbT?ab?a?b?an?n?NN ）；证明，（，nnnn?n121nn1??2,xy lg?n2?n?nn12求和3、已知yx lg(x?S lg?x?y)lg(?y)?lg n2 / 2。
数列求和——倒序相加法的应用word版本
数列求和—倒序相加法的应用石家庄实验中学 安军茹 在等差数列的前n 项和公式的推导中，我们使用了倒序相加法：n n a a a a S ++++=Λ321 ①121a a a a S n n n n ++++=--Λ ②①+②得：)()()()(2123121a a a a a a a a S n n n n n ++++++++=--Λ)()()(111n n n a a a a a a ++++++=Λ（共n 个）)(1n a a n +=2)(1n n a a n S +=∴ 这种求和方法的本质是得到了n 个相同的和，把一般等差数列求和问题转化为常数列求和问题，从而把问题简化。
利用这种方法，我们还可以解决下面的问题：1、 求证：1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ 2证明：设=S n n n n n n n nC C n C C C +-++++-1321)1(32Λ ①121)2()1(n n n n n n n C C n C n nC S ++-+-+=--Λ ②①+②得：n n n n n n n n n n n n n nC C n C C C n C C n nC S +-++++-++-+=---])1([]2)2[(])1[(2112211Λ 021n n n n n n n nC nC nC nC ++++=--Λ)(021n n n n n n n C C C C n ++++=--Λn n 2⋅=12-⋅=∴n n n S2、求和：222222222222222101109293832921101++++++++++Λ 3、已知),(),,(),(241)(222111y x P y x P R x x f x ∈+=是函数)(x f y =图像上的两点，且线段21P P 中点P 的横坐标是21。
（1）求证：点P 的纵坐标是定值。
数列求和的几种方法
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数列求和的几种方法
作者：巴合提古丽·木沙别克
来源：《新课程·中学》2013年第06期
数列的求和问题是历年高考考查的重点，经常把等差、等比数列的前几项和公式结合定义，通项公式融入各种类型的题目中尤其是等差数列n项和公式的推导方法“倒序相加法”和等比数列的前n项和公式的推导方法“错位相减法”这两种解法要予以重视.它们在对一般数列求和时经常用到，如在求等差、等比数列相应项构成积数列的和时，就要用“错位相减法”.
一、直接按等差、等比数列的求和公式求和
二、错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，只种方法主要用于求列{an·bn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
三、分组求和法
有一类数列既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等
差、等比或常见的数列即能分别求和，然后再合并.
四、裂项法
这些分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
五、倒序相减法
这种方法体现了“补”的思想，等差数列的前n项和公式就是由它推导出来的.如果一个数列倒过来与原来数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和可以求出来，这样的数列就可以用倒序相加法求和.
六、公式法求和
七、无穷递缩等比求和公式
（作者单位新疆维吾尔自治区阿勒泰哈巴河县初级中学）。
数列累加法 裂项求和倒序相加错位相减分组求和法结合
1分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。
例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X （X为通项）的公式对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2数列累加法逐差累加法例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1将以上n-1个式子相加可得an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。
逐商叠乘法例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an解：当n≥2时，=22, =23, =24, (2)将以上n-1个式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2当n=1时，a1=1满足上式故an=2 (n∈N*)注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列3裂项求和：当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆为1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。
4倒序相加：最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。
所以便有首项加末项乘以项数除以二。
1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元）=2-1/100=199/100一、基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、数列的项与项数：3、有穷数列与无穷数列：4、递增（减）、摆动、循环数列：5、数列{an}的通项公式an：6、数列的前n项和公式Sn:7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、公比q、等比数列的结构：二、基本公式：三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
数列求和八种重要方法与例题
分组求和法：
把数列的每一项分成两项，或把数
列的项“集”在一块重新组合，或把整
个数列分成两部分，使其转化为等差或
等比数列，这一求和方法称为分组求和
法.
{an+bn+cn} 错位相减
等差
等比 或裂项相消
并项求和
典型6：
1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？
局部重组转化为常见数列
交错数列，并项求和 既{（-1）n bn}型
b2n 0
又b0=－1
bn
1 2
2n
1
,
1 2
1 2
2
b22 n 1
即an
2 bn
2
1
2n
1
2
(n1)。 (1)求b1、b2、b3、b4的值；
an
1 2
(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。
bn
an
1
1 2
得an
4 6
bn1bn bn1
3 bn
1 bn
1 2
, 代入递推关系8an1an
16an1
2an
1
5
0,即bn1
2bn
（III）求 lnim(b1 b2 b3 ． bn )
（I）a2＝a1+
1 4
=
a+ 1
4
，a3=
1 2
a2=
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数列求和之错位相减法、倒序相加法
1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。
步骤：此时可把式子
的两边同乘以公比 q (q ¹0且
q ¹1)，得到
，两式错位相减整理即可求出
S n .
2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
【例1】已知数列2
1
1,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠L ，求前n 项和.
【例2】已知 a n {
}
是一个公差大于0的等差数列，且满足
a 3a 6
=55,a 2+a 7=16
（Ⅰ）求数列 a n {}的通项公式：
（Ⅱ）若数列 a n {
}
和数列 b n {
}
满足等式:2
n
n n
a b =，求数列 b n {}
的前n 项和S n .
【例3】求和：22
2
2
sin 1sin 2sin 3sin 89++++o
o
o
o
L L
【例4】已知函数()()R x x f x ∈+=
2
41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上
的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为2
1． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1,Λ=∈⎪⎭
⎫
⎝⎛=，求数列{}n a 的前m
项的和m S ；
【变式训练】
1、已知数列26a --，14a --，2-，0,2a ，24a ，...，（-8+2n ）3
n a -求前n 项和.
2、若数列
{}n a 的通项公式为23n
a
n =+，数列 b n {
}
满足等式:2n n n b a =，求数列 b n {
}
的
前n 项和S n
3、求cos1cos 2cos3cos178cos179+++++o
o
o
o
o
L 的值.
【过关练习】
1. 设数列{a n }的前n 项和为S n =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1,b 2(a 2-a 1)=b 1， （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n ．
2、已知是等差数列，其前n 项和为n S ，是等比数列，
且，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，，证明（）；
}{n a }{n b 27,24411=+==b a b a 1044=-b S }{n a }{n b n n n n b a b a b a T 1211+++=-Λ*
N n ∈n n n b a T 10212+-=+*
N n ∈
3、已知()lg 2,xy =求和1
22lg lg()lg()lg n
n n n
n S x x
y x y y --=++++L。