数学课件 数列求和的方法之错位相减法
数列求和：错位相减法
an an n 2 ……6分 （2）设 { n } 的前 n 项和为 Sn ，由（1）知 n n 1 ， 2 2 2
作业布置
1、 (11辽宁)已知等差数列 {an }满足a2 0, a6 a8 10. (1)求数列 {an }的通项公式； an (2)求数列 { n 1 }的前n项和S n . 2
例1 (14安徽)数列{an }满足a1 1, nan 1 (n 1)an n(n 1), n N .
*
an (1)证明 : 数列{ }是等差数列； n n (2)设bn 3 an , 求数列 {bn }的前项和S n。
nan 1 (n 1)an n(n 1) (1)证明 : nan 1 (n 1)an n(n 1), , n(n 1) n(n 1) n(n 1) an 1 an an 1, 数列{ }是等差数列。 n 1 n n
1 设数列 {an } 的公差为 d，则 a4 a2 2d ，故 d ， …3分 2 3 1 ………5分 从而 a1 .所以 {an } 的通项公式为 an n 1 . 2 2
nn 4 1 3 1 1 1 1 n 1 n 1 S 2 所以 . ………………………………………12 分 (n 2 ( ) 2 (n 4)( ) . n 2)( ) n 1 2 22 2 2 2
数列求和
错位相减法求和
学习目标
1、学会错位相减法求数列的前n项和； 2、能熟练应用三种求和方法计算数列的前n项和；
3、提高自己的运算能力。
学习重点
错位相减法求数列的前n项和
三、错位相减
{an 式是由一个等差 数列与一个等比数列的积的形式组合而成的。
数列求和(错位相减法-公开课)
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q a1q
2
2 3
n 2
a1q
n1
n1
n
①
②
qSn a1q a1q a1q a1q
①—② ，得
a1q
错 位 相 n 减 a1 an q 法 a1 a1q q 1时 : S n 错位相减法：来自展开，乘公比，错位，相减
即S n 1 2 2 2 2 (n 1) 2 n 1 n 2 n
2Sn 1 2 2 2 2 3 (n - 1) 2 n n 2 n1 ①-②得 Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
公式法
(3)求数列{a n bn }的前n项和
分组求和法
新问题： 求数列{a n bn } 的前n项和
？
情景重现：
银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。 你能接受这个方案吗？
错位相减法数列求和
我们要使用错位相减法来求一个数列的和。
首先，我们需要理解什么是错位相减法。
错位相减法是一种求和的方法，通常用于求等比数列或等
差数列的和。
这种方法的基本思想是：将原数列的每一项都乘以一个常数，然后与另一个数列相减，使得两个数列中的一部分项相
互抵消，从而简化计算。
假设我们有一个等差数列 a_n，其公差为 d，首项为 a_1。
那么，该等差数列的和 S_n 可以表示为：
S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1)d)
现在，我们要使用错位相减法来求这个等差数列的和。
通过错位相减法，我们得到等差数列的和公式为：
S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
其中，a_n = a_1 + (n-1)d。
因此，等差数列的和 S_n 可以表示为：
S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)
这与我们之前给出的公式一致。
数列求和之错位相减法
全球粮食产量的459倍
探究：等比求和公式的推导
(1)
(2)
(1)-(2)得：
探究：等比求和公式的推导
(1)
(2)
(1)-(2)得：
等比数列求和公式
探 究 成 果
1.等比数列求和
例题1.根据下列条件，求相应的等比数列前n项和
2. 等差乘等比型数列求和
解析：Sn 1 3 2 32 3 33 4 34 L n 3n (1) 2 3 4 5 n1 3Sn 1 3 2 3 3 3 4 3 L n 3 (2) 2Sn n 3n1 (1 31 1 32 1 33 1 34 1 35 L 1 3n )
错位相减法： （又称倍q法）
1.等比数列求和
2.等差乘等比型数列求和
乘以公比 错位相减 数准项数
数列求和
之
错位相减法
那你打算要 多少麦粒呢？
这张棋盘共64格， 请您在第一个放一粒，依次下去， 每一格内的麦粒数是前一格的2倍，一直 放满64个格。陛下，您就把这些 麦粒奖给我吧！
国王付了多少麦子？
＋ ＋ ＋ ＋ ＋
求和 错位相减法
(1)
(2约7000亿吨
数列求和之错位相减法示范课
数列求和之错位相减法示范课
错位相减法是一种常用的数列求和方法，特别适用于等差数列。
下面我们以一个简单的例子来进行示范。
例题：
求等差数列1, 3, 5, 7, 9的和。
解答步骤：
1. 首先，我们观察数列，发现每个数都比前一个数大2，因此，这是一个公差为2的等差数列。
2. 接下来，我们使用错位相减法来求和。
将数列错位一位，得到1, 3, 5, 7, 9。
3. 然后，将原数列和错位后的数列相减，得到0, 0, 0, 0。
4. 最后，将相减后的结果求和，得到0 + 0 + 0 + 0 = 0。
答案：
等差数列1, 3, 5, 7, 9的和为0。
通过这个例子，我们可以看到，使用错位相减法可以简化等差数列求和的过程，将原问题转化为相减问题，进而得到更简洁的答案。
同样的方法也适用于其他类型的数列。
高中数学数列求和-错位相减法
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可.目录简介举例错位相减法解题编辑本段简介错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列.编辑本段举例例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2编辑本段错位相减法解题错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）用（1）—（2）,得到等式（3）如下：（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S 的通用公式了.例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n。
高中数学课件-规范审答指导课例3 错位相减法求和
规范审答指导课例3 错位相减法求和
审题导思
规范解答
(1)第1步：赋值法计算a1
当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0. 1分
第2步：依题意由S n写出S n－1的对应等式
当n≥2时，由2S n＝na n，得2S n－1＝(n－1)·a n－1，2分
第3步：将S n与S n－1的对应等式作差，得到a n与a n－1的关系式两式相减得2a n＝na n－(n－1)a n－1，
即(n－1)a n－1＝(n－2)a n，3分
满分指导
11
2.得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，解题时一定要写清得分的关键点.
第(1)问中先分析当n≥2时情形，由a n＝S n－S n－1得出2a n＝na n－(n－1)a n－1，这是解决此题的关键点.
3.得计算分：第(1)问中正确求出数列{a n}的通项公式得6分，错误不能得满分.
第(2)问采用错位相减法求和，有这个意识方法得3分，但计算错误扣2分.。
错位相减法求和ppt
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1
基础检测
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2
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
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3
Hale Waihona Puke 例题讲解-4
例题讲解
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例题讲解
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基础检测
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8
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9
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？ ① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
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10
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 2010 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
-
11
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12
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13
爱是什么？
一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。
风儿若有若无。
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
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这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
∴ ① -②，得：
(1-x) Sn =1+
x
+
x2+
……
-
+ xn-1 - nxn
=
1-xn 1-x
- nxn
=
1-(1+n)xn + nxn+1 1-x
∴ Sn=
1 - (1+n)xn + nxn+1 (1- x)2
巩固练习： 若数列
的前n项和
的通项公式为 。
，求此பைடு நூலகம்列
解s
n
a1 a2 a3
an