错位相减法数列求和法(供参考)
数学课件 数列求和的方法之错位相减法
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
数列求和公式错位相减法公式
数列求和公式错位相减法公式数列求和公式，听上去就有点儿复杂对吧？但别急，咱们慢慢来，今天就给大家讲讲一个超好用的技巧——错位相减法。
乍一听，可能有点懵，但你放宽心，一旦弄明白了，分分钟让你觉得数列求和其实没啥难度。
你想啊，谁不想让看似难搞的数学题变得简单呢？对吧？就像是你去超市买东西，拿到结账单时，发现所有打折的商品都给你算得特别清楚，省了不少钱。
今天这招，保准让你在求和的路上少走很多弯路。
咱们从最简单的数列讲起。
你想求一个简单的等差数列的和，通常大家都会背那些公式。
嗯，好像也不难，直接套用公式就行了。
但很多时候，公式也有它的局限，尤其是当数列比较复杂，或者我们想要更高效地解决问题的时候，就得学点儿新招数了。
而这招“错位相减法”，就像是给数列加了一双隐形的翅膀，飞起来不费劲。
说白了，错位相减法就是把两个数列“合并”在一起，然後相减，结果会让你大吃一惊。
听起来有点儿抽象？那就举个例子。
比如你有一个数列1 + 2 + 3 + … + n，咱们现在的目标就是求它的和。
你可以这样操作：写下这个数列，然后把它倒过来再写一次。
比如：1 +2 +3 + … + nn + (n1) + (n2) + … + 1。
好像没啥特别的对吧？但重点来了：你把它们相加——每一项的和都是一样的。
举个例子，第一项1加最后一项n，第二项2加倒数第二项(n1)，以此类推。
结果呢，每一对加起来的结果都是n+1。
那么你就可以轻松得出，整个数列的和是（n+1）乘以n，然后再除以2！是不是一下子就变得清晰明了，省时又省力。
是不是有点“豁然开朗”的感觉？这个方法简直就是数学的“撒手锏”，不仅效率高，而且其实背后的道理也不难理解。
你想，原本一个长长的数列，把它拆成两个“对称”的部分，再相加就能搞定。
多么聪明的招数！就像你去买东西，店员总会问你“要不要礼品包装”，一看就是已经帮你考虑好了怎么样更方便、更高效。
咱们可以稍微升级一下这个技巧。
假如你遇到的不是等差数列，而是更复杂一点的数列，怎么办呢？别怕！这时候错位相减法依然能派上用场。
数列求和(错位相减) 高考数学
试卷讲评课件
=
【解析】∵
= ⋅
+ =
=
=
则
，解得
或
(舍去)
+ = ⋅ +
=
=
∴ = + − = − .
又∵ = − ，
当 = 时， = − ，则 =
− ⋅
+. . . + − ⋅
= +
− − ⋅
+
+
①
+
②
+. . . +
= −
+
+
− − ⋅
+
，
试卷讲评课件
+
∴ = − .
−
则 −
= −
− ，
当 ≥ 时，由 + + = 有− + − + = ，两式相减
可得�� = − ，
即{ }是以− 为首项，以 为公比的等比数列，
−
所以 = −
= −
.
试卷讲评课件
(2)设数列{bn }满足2bn + n − 3 an = 0 n ∈ N ∗ ，记数列{bn }的前n项
所以 = − ，
+
因为 − =
错位相减数列求和
∴数列{an}从第2项起是公比为3的等比数列.
又a2=2S1=2,
1 a n n 2 2 3 n 1 n 2,n N .
(2)Tn=a1+2a2+3a3+„+nan. 当n=1时,T1=1； 当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+„+2n·3n-2, 3Tn=3+4·31+6·32+„+2n·3n-1, ① ②
1 n 21－ 2 1 n － 4 1－ n ＋ n －1 2 2
∴ Sn＝
1 1－ 2
1 1 n n ＝ 4 1－ n － 4 1－ n ＋ n－1＝ n－1. 2 2 2 2
训练
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1
a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 {
an } 的前n项和. n 1 2
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
a1 d 0, a 1 1 则 , 解得 , d 1 2a1 12d 10
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
10 11 1 2 1 n－ 2 1 ∴①－②得， Sn＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋„＋ 2 2 1 n 1× 1－ 2 1 1 1 n n－ 1 n ＋2 － n·2 ＝ － n·2 ， 1 1－ 2 1 n－ 2 1 n－ 1 ∴ Sn＝4－ 2 － n· 2 .
－ － －
∴an＝3n(n∈N )．
1 * ∴an＝ n(n∈N )． 13 *
(2) bn＝n· 3n，Sn＝1· 3＋2· 32＋3· 33＋…＋n· 3n， 3Sn＝1· 32＋2· 33＋3· 34＋…＋(n－1)· 3n＋n· 3n＋1 两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n· 3n＋1，
错位相减法求和附答案
错位相减法求和专项错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项；若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列•的前项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上•(I)求数列的通项公式;(n)设，,■是数列的前」项和，求・’•［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点，则设,又点「均在函数的图象上，二当心时,©、、= J ；：• ；•■■■ L］ 5 T又忙：=.：「=乜，适合上式,I ............................................... （7 分）（n）由（i）知- 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2• • ：' - 'I+（2«+ l）^"kl,上面两式相减得=3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】卜2*4屮一才丨, ,: ■ .1=2整理得：，•.................2.已知数列’的各项均为正数，是数列’（14 分）的前n项和，且（1）求数列’的通项公式；（2）二知二一-［答案］查看解析解出a i = 3, ［解析］又4S n = a n? + 2a n —3 ①2当 -时4S n -1 = + 2a n-1 —3 ②①—②他・％7^+ «叫-叫J,即丐~二・+ j)=o... ■ - ■ :.”■-■'"叫—2( 一)二数列也“｝是以3为首项，2为公差的等差数列，6分二心=3 + 2(n-1) = 2/? + !T ti=3x2' +5x2?+L +(切1).『又.：匚............... : -.:-T a=-3x2l-2(22 +21+A +2*) + (2n+l)2"4-'④一③+(2卄】)・2曲12分3. (2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分)设函数■' ：■ 1 1 1'，数列：前项和’，：；：「“二二；-匕斥.二’，数列■，满足沢二U.(I)求数列：，的通项公式•；(n)设数列屮广的前项和为•，数列殖的前；项和为’：，证明：［答案］(i 由■'，，得'•■•kJ是以;为公比的等比数列，故叫=』芦|.用错位相减法可求得■. ■? •比丁■二.(注：此题用到了不等式：：I ，I …进行放大.)4. 已知等差数列'中，；是与的等比中项.fa 3(I)求数列的通项公式：(n)若' .求数列' 的前厂项和［解析］(I)因为数列'是等差数列，是与的等比中项.所以 '又因为，设公差为」，U ' ' '' ' 1 , 所以.门 "'1',解得，［或，当宀2时，坷二2 , % =八(冲-1)，2 =加；当d -0时，毎二4 .所以’或. .(6分)(n)因为' ，所以'，所以^所以' •「——，所以■二丁「1 - - I■:」-：■ 2 ' I1 一？-匕=2(2° + 2' + 2:+-+2ff'l-w2tt) = 2•—-n-2^'两式相减得,所以' .(13 分)5. 已知数列：的前I：项和' ,' , 'J'■,等差数列：中= S,且公差心2.(I)求数列’、；的通项公式；(n)是否存在正整数'，使得’'''：若存在，求出“的最小值，若不存在，说明理由.u. —L £?… . = 2S + L 当H工2 u 虬=25 . + I —亠/口［解析］(I) 时，相减得：%=她Z ") & 6 = 2坤 4 “ 二処二地，人? ?'数列：是以1为首项，3为公比的等比数列令-处叮"存沁"¥宥“ 4［細一恥汀丄“：：.2：冷严」37； =3x3*5x3J +7x31+L +(2ff-l)x3"-'+(2/1+1)^3*-27； =3xl + 2p + 32+L +5fl -,)-(2» + 1)x3fl二匚=^V ，一 o> 伽,即 3" >60 ,当 n<3，亍弋60 ,当/;>4。
错位相减求和的万能公式(一)
错位相减求和的万能公式(一)错位相减求和的万能公式什么是错位相减求和的万能公式？错位相减求和是一种常见的数学运算方法，通过将序列中相邻的数相减得到一个新的序列，并计算新序列的和，从而得到一个数值。
这种方法可以在解决一些数学问题时带来便利，被称为万能公式。
具体公式及示例•公式：S n=(a1−a2)+(a2−a3)+⋯+(a n−1−a n)•示例：假设有一个序列a=[5,9,3,7,2]，按照错位相减求和的公式，我们可以计算出：S5=(5−9)+(9−3)+(3−7)+(7−2)=−4+6−4+5=3应用领域错位相减求和的万能公式在数学和科学领域广泛应用，特别适用于序列分析和差分方程等问题的求解。
以下列举几个具体应用领域：数列求和当我们需要计算一个数列中相邻数之间的差的总和时，错位相减求和的公式非常有用。
可以帮助我们快速得出结果，而无需逐个计算相邻数的差。
差分方程的求解差分方程是一种常见的数学模型，描述了变量之间的变化关系。
在求解差分方程时，错位相减求和的公式能够简化计算过程，将差分方程转化为数列求和问题。
数据分析在统计学和数据分析中，错位相减求和的公式可用于获取序列中的趋势信息。
通过计算相邻数据的差异，并求和得到一个数值，可以帮助我们分析数据的变化趋势，从而作出合理的决策。
总结错位相减求和的万能公式是一种简化数学运算的方法，通过计算序列中相邻数的差的总和来得到一个数值。
它在数学、科学和数据分析等领域具有广泛的应用。
无论是数列求和、差分方程的求解还是数据的分析，都可以借助这个公式快速得到结果。
这种方法简单而高效，是我们解决问题时的有力工具。
高考数学解答题(新高考)数列求和(错位相减法)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题07 数列求和（错位相减法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.类型一：乘型n n n c a b =⋅（其中n a 是等差数列，n b 是等比数列）类型二：除型二、典型例题类型一：乘型n n n c a b =⋅（其中n a 是等差数列，n b 是等比数列）例题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为21n b n =+，求1122n n n T a b a b a b =+++的值．感悟升华（核心秘籍） 错位相减法的两个陷阱（易错点）：（特别说明，错位相减其中一种理解就是通过错位，使得齐次对齐，然后再相减） 第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，令，则求解目标，属于典型的错位相减求和的模型.相减：（注意此处标识“”为错位相减法第一易错点，特别注意前面的“”号）化简求和：（注意此处等比数列求和只有项的和，所以求和时“”此处是“”而不是“”）【答案】(1)3=n a (2)3n T n =⋅ (1)当1n =时，1112321S a a =-⇒=， 又231n n S a =-，①当2n ≥时11231n n S a --=-，② ①−②得：1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴ 13-=n n a ． (2)01-13353(21)3n n T n =⨯+⨯+++，③12-133353+(21)?3(21)?3n n n T n n =⨯+⨯+-++，④③−④得：121232(333)(21)3n n n T n --=++++-+13(13)32(21)313n n n --=+⨯-+-(2)3n n =-，所以3n n T n =．例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知数列{}n a ，13a =，点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，且12n n b a =-. (1)求证：数列{}n b 是等差数列； (2)已知数列{}n c 满足122n b n n c b +=⋅，记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求n S .【答案】(1)证明见解析(2)16(23)2n n S n +=+-⋅；证明见解析（特别说明，错位相减其中一种理解就是通过错位，使得齐次对齐，然后再相减） 第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.相减：（注意此处标识“”为错位相减法第一易错点，特别注意前面的“”号）化简求和：（注意此处等比数列求和只有项的和，所以求和时“”此处是“”而不是“”）解答过程：(1)因为点()1,n n a a +在曲线5823x y x -=-上，所以15823n n n a a a +-=-，因为13a =，所以11111232b a ===--， 因为11111158222223n n n n n n n b b a a a a a ++-=-=-------231222n n n a a a -=-=--， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列. (2)由（1）得1(1)221n b b n n =+-⋅=-， 所以1221)22(n n b n nc b n +=⋅=-⋅，所以123123252(212)n n n S =⨯+⨯+⨯++-⋅，3124123252(21)22n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⋅，所以231222(222)(21)2n n n n S S n +-=++++--⋅，所以114(12)22(21)212n n n S n -+--=+⨯--⋅-16(32)2n n +=-+-⋅，所以16(23)2n n S n +=+-⋅.类型二：除型nn na cb =（其中n a 是等差数列，n b 是等比数列） 例题3．（2022·湖南·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，122n n a S +=+. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若23n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)123n n a -=⨯(2)323443n nn T +=-⨯第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.但，求和前，最好化简通项为“乘型”，即：相减，化简，求和：（注意此处等比数列求和有项的和，所以求和时“”此处是“”而不是“”）解答过程：(1)122n n a S +=+，① 当2n ≥时，122n n a S -=+，②①-②得()1122n n n n n a a S S a +--=-=，∴13(2)n n a a n +=≥，∴13n na a +=， ∵12a =，∴21226a S =+=，∴21632a a ==也满足上式， ∴{}n a 为等比数列且首项为2，公比为3，∴111323n n n a a --=⋅=⋅. 即{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯.(2)由（1）知123n n a -=⨯，所以233n n n n nb a ==， 令211213333n n n n nT --=++++，① 得231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++-11111113311323313n n n n n n++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-- ⎪⎝⎭-， 所以323443n nn T +=-⨯.例题4．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知数列{}n a 满足()()*1111n n a a n n n n n +-=∈++N ，且11a =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足13nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =-(2)1133n n n S -+=-第(2)问思路点拨：由（1）知：根据题意，得，求的前项和，属于典型的错位相减求和的模型.但，求和前，最好化简通项为“乘型”，即：相减：化简求和：解答过程：(1)因为()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++， 所以()111211n n a a n n n n n--=-≥--， 12111221n n a a n n n n ---=-----， …2111122a a -=-， 所以()1112n a a n n n-=-≥． 又11a =，所以21n a n n n-=，所以()212n a n n =-≥． 又11a =，也符合上式， 所以21n a n =-． (2)结合（1）得1213n n n b --=，所以 01231135********n n n S --=++++⋅⋅⋅+，① 2311352133333n n n S -=+++⋅⋅⋅+，② ①-②，得212111211233333n n n n S --⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭111213321221213313n n nn n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦=+-=--，所以1133n n n S -+=-． 三、题型归类练1．（2022·辽宁·沈阳市外国语学校高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4n n S a =-，数列{}n b 满足13b =，且1n n n b b a +=+． (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设n n c na =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ． 【答案】(1)3172n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)()18482nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭(1)解：∵4n n S a =-，当2n ≥时114n n S a --=-， 两式作差得()12n n n a a a n -=-+≥， 即()1122n n a a n -=≥.当1n =时1114a S a ==-，∴12a =， ∴{}n a 为首项为2，公比为12的等比数列，∴1122n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，∴11122n n n b b -+⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，即11122n n n b b -+⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，又13b =，∴当2n ≥时，()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-0121113222222n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111232112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯-3172n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1n =时，1311372b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴3172n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)解：由题意1122n n c n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭则011111242222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①则()121111112*********n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得012111111122222222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112221212nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯-⋅ ⎪⎝⎭-()14222n n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，∴()18482nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，2．（2022·广东·模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 满足()22*11230n n n n a a a a n ++--=∈N ，且13a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若31log n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)3n n a =(2)1133244n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(1)解：因为()22*11230n n n n a a a a n ++--=∈N ， 所以()()1130n n n n a a a a +++-=，又因0n a >，所以130n n a a +-=， 即13n na a +=， 所以数列{}n a 是以3为等比的等比数列，是以3n n a =；(2)解：()3131log l 313g 3o n n n n n n b a n a ++=+==⋅，则()2323334313n n T n =⨯+⨯+⨯+++，()23413233343313n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++， 两式相减得()2312633313n n n T n +-=++++-+()()131331313n n n +⨯-=+-+-113322n n +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 所以1133244n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 3．（2022·河南郑州·三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n n a S -=． (1)证明数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； (2)求数列{}n S 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析；(2)()2124n n T n +=-⋅+.(1)N n *∈，122n n n a S -=，当2n ≥时，111122n n n a S ----=，两式相减得：111222n n n n n a a a ----=-， 即11122n n n a a ---=，则有11122n n n n a a ---=，而11122a S -=，解得14a =， 所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由（1）知，()21112n n a n n =+-⨯=+，即()12n n a n =+⋅，于是得12n n S n +=⋅， ()2341122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，因此()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯=，两式相减得：22341222(22222222(112))214n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--， 所以()2124n n T n +=-⋅+. 4．（2022·全国·模拟预测）已知公差为整数的等差数列{}n a 满足23a =，5810a <<．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()2nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)21n a n =-；(2)()12212939n n S n +⎛⎫=--⋅- ⎪⎝⎭. (1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为23a =，5810a <<，所以83310d <+<，解得5733d <<， 又d ∈Z ，所以2d =， 所以()()2232221n a a n d n n =+-=+-=-．(2)解：因为()2n n n b a =-⋅，所以()()212n n b n =-⋅-， 所以()()()()()()()231123252232212n n n S n n -=⨯-+⨯-+⨯-++-⋅-+-⋅-，① ()()()()()()23121232232212n n n S n n +-=⨯-+⨯-++-⋅-+-⋅-，②①-②得，()()()()()231322222212n n n S n +⎡⎤=-+⨯-+-+⋅⋅⋅+---⋅-⎣⎦()()()()()()2111222122223221321n n n n n +++---⎛⎫-=--⋅- ⎪-=⎝⎭-+⨯--⋅-， 所以()12212939n n S n +⎛⎫=--⋅- ⎪⎝⎭． 5．（2022·江西南昌·三模（理））已知数列{}n a 为等比数列，且11a =，2112n n n a a -+=-.(1)求{}n a 的通项公式； (2)设(1)n n nn b a -⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)1(2)n n a -=-(2)1242n n n S -+=- 【解析】(1)因为2112n n n a a -+=-，所以21122n n n a a +++=-， 两式相除可得24n na a +=，即24q =， 因为21n n n a a a q +=，所以22120n n a q +=-<，可得0q <，所以2q =-，所以111(2)n n n a a q --==-. (2)11(1)(2)2n n n n n n b ---⋅==--， 则01221123122222n n n n n S ---⎛⎫=-+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭ ① 12311231222222n n n S n n --⎛⎫=-+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭ ② ①-②可得：1211111122121222222212nn n n n n S n n n -⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=-+++⋅⋅⋅+-=-=- ⎪⎝⎭-， 故1242n n n S -+=-. 6．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a n +=+-．(1)证明：{}n a n +为等比数列；(2)求数列{}2nn a的前n 项和n S ． 【答案】(1)证明见解析(2)222n nn S n +=-+ (1)由已知得()()112n n a n a n +++=+．又因为111120a +=+=≠，所以{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；(2)由（1）可知1222n n n a n -+=⨯=．所以122n n n a n =-． 记2n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n n S n T =-，且有 231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+， ① 12⨯①得 2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， ② -①②得23411111112222222n n n n T +=++++⋅⋅⋅+- 1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--所以222n nn T +=- 所以222n n n n S n T n +=-=-+． 7．（2022·河南河南·三模（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，612S =，数列{}n b 的前n 项和为122n n G ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)25,2n n n a n b =-=(2)127214n n T n .(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1615181512,2a d d d +=-+==，所以25n a n =-. 由122n n G ，令1n =得21222b ，当2n ≥时，112222n n n n G G +-⎧=-⎨=-⎩，两式相减得()22n n b n =≥，12b =也符合上式， 所以2n n b =.(2)252n n c n ，()()()123212252n n T n =-⋅+-⋅++-⋅①， ()()()23123212252n n T n +=-⋅+-⋅++-⋅②，①-②得：()34116222252n n n T n ++-=-++++--⋅ ()()()311121262521472212n n n n n -++-=-+--⋅=-+-⋅-， 所以127214n n T n .8．（2022·全国·模拟预测（理））设数列{}n a 满足12a =，()122*n n a a n n --=-∈N ．(1)求证：{}n a n -为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若()n n b a n n =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析，12n n a n -=+(2)()121n n T n =-⨯+(1)解：因为12a =，()122*n n a a n n --=-∈N ， 所以122n n a a n -=+-，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦ 又11211a -=-=，所以{}n a n -是以1为首项，2为公比的等比数列，所以112n n a n --=⨯，所以12n n a n -=+(2)解：由（1）可得()12n n n b a n n n -=-⋅=⨯，所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①，所以12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯②，①-②得12311121212122n n n T n --=+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ 即12212n n n T n --=-⨯-，所以()121n n T n =-⨯+； 9．（2022·江西·二模（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212S =，且()*,m n m n a a a m n +=∈N . (1)求{}n a 的通项公式；(2)若n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)3n n a =(2)323443n n n T +=-⨯ (1)令m =n =1，得221a a =，又21212S a a =+=，解得：13a =或14a =-（负值舍去）， 令m =1，得11n n a a a +=，所以13n na a +=， 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以3n n a =.(2)由（1）可得，3n n n n n b a ==， 所以231233333n nn T =++++， 所以2341112333333n n n T +=++++， 两式相减得，23412111113333333n n n n T +=+++++- 11111123331322313n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-⋅-， 所以323443n nn T +=-⨯. 10．（2022·江西萍乡·二模（文））已知数列{}n a 中，111,2n n n a a a +==，令2n n b a =．(1)计算123,,b b b 的值，并求数列{}n b 的通项公式；(2)若()31n n c n b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)1232,4,8b b b ===；2n n b =(2)1(32)24n n T n +=-⋅+(1)由12nn n a a +=得12nn n a a +=，又11a =，423562,2,4,84,a a a a a ∴=====，4612232,4,8b a b a b a ∴======，由 12n n n a a +=得1122n n n a a +++=，两式相除可得 22n na a +=， 则 12222n n n nb a b a ++==， {}n b ∴ 是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故 2n n b =；(2)由 (1) 知 (31)2n n c n =+，则 ()2314272102322(31)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-++，()234124272102322(31)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-++， 两式相减得()2123112283222(31)283(31)212n n n n n T n n +++--=+⨯+++-+=+⨯-+- 1(23)24n n +=-⋅-，故1(32)24n n T n +=-⋅+。
数列求和之错位相减法、倒序相加法
2 、已知 { an} 是等差数列， 其前 n 项和为 Sn ，{ bn } 是等比数列， 且 a1 b1 2, a 4 b4 27 ， S4 b4 10 .
（1 ）求数列 { an } 与 { bn} 的通项公式；
（2 ）记 Tn a nb1 a n 1b2
a1bn ，n N * ，证明 Tn 12 2a n 10bn（ n N * ）；
.
数列求和之错位相减法、倒序相加法
{ } { } 1 、错位相减法适用于 cn = an ×bn ，其中 an 是等差数列， bn 是等比数列。
步骤：此时可把式子
的两边同乘以公比 q(q 1 0且 q 1 1)，得到 ，两式错位相减整理即可求出 Sn .
2 、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。
【例 1 】已知数列 1,3a,5 a2, ,(2 n 1)an 1(a 0) ，求前 n 项和 .
项的和 Sm ；
【变式训练】
1 、已知数列
6a
2
，
4a
1
，
2， 0,2a ， 4a 2 ， ...，（ -8+2n
）
an
3
求前
n 项和 .
1/2
.
{ } { } 2、若数列 an 的通项公式为 an
2n 3 ，数列 bn 满足等式 : bn
n
2 an ，求数列
bn 的
前 n 项和 Sn
3、求 cos1 cos2 cos3
cos178 cos179 的值 .
【过关练习】
1.
设数列
{ an } 的前
n 项和为
Sn
=
2
2
n
，
{ bn}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
特定数列求和法—错位相减法在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。
那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程：数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求n s 的通项公式。
解 由已知有111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○1 两端同乘以q ，有○1-○2得 当1q =时，由○1可得 当1q ≠时，由○3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q-=≠-通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。
可以归纳数学模型如下：已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.解 由已知可知 两端同乘以q 可得=11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q--=+++++1223341...n n n n a b a b a b a b a b q -+++++ ○2 由○1-○2得 化简得 11231(...)(1)1n n n n n a b d b b b b a b qc q q-+++++-=≠-许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式，通过对最近几年高考中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列，那么就可以用错位相减法来求解该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解，得另找他法了.例1.（2013湖南文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知：*1110,2,n n a a a S S n N ≠-=⋅∈.（1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n na 的前n 项和.分析：在本题中第二问要求的是数列{}n na 的前n 项和，其中的a n 我们不能直接知道是什么数列，n 可以由做题经验看出是公差为1的等差数列，所以在本题中要先求出n a ，证明是等比数列以后，则才可以用错位相减法求解n b .解 (1)令1n =得 211a a = 因为 10a ≠ 所以 11a = 令2n =,得22222112a S a a -==+∴=，当2n ≥时,由21n n a s -=， 112n n a s --=,两式相减得122n n n a a a --=,即12nn a a -=. 故数列{}n a 是由首项为1,公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.(2)由(1)知,12n n na n -=⋅.记数列{}n na 的前n 项和为n B .于是 21122322n n B n -=+⨯+⨯++⨯ , ① 2212222n n B n =⨯+⨯++⨯ , ②②-①得 212(1222)1(1)2n n n n B n n -=⨯-++++=+-⋅.例2．（2010新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅.（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解 （1）由已知，当1n ≥时， 所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=.（2）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ， ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅， ②①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅，即211[(31)22]9n n S n +=-+.评析：在上述两个例题中的第一问中都是先求出了n a 是等比数列，所以此时的n na 就是一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列，符合模型要求，最后才可以用错位相减法快速地求出n na 的前n 项和.所求数列中的等比数列是已知这种类型的题与第一种类型题相反，就是在所求的复杂数列中直接写明其中一个是等比数列，只要求出或者证明另一个是等差数列，则我们就可以用错位相减法来求解该题，如果另一个不是等差数列则我们就不能用错位相减法来求解，下面我们又来看看这类题型的应用。
例3.（2013辽宁理17）已知等差数列{}n a 满足02=a ，1086-=+a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 分析：在本题中最终要求的是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和，其中的n a 不能直接知道是什么数列，要通过已知求解，112n -我们可以由做题经验看出是以公比为12的等比数列，故在本题中我们要先求出n a ，证明它是等差数列以后，则才可以用错位相减法求出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，从已知条件可知道：⎩⎨⎧-=+=+10122011d a d a ， 解得⎩⎨⎧-==111d a 故数列{}n a 的通项公式为n a n -=2（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ， 即 12321222-++++=n n n a a a a S ○1 故11=S ，所以当1>n 时，n nn n n a a a a S 2222211221++++=-- ○2○1-○2有：nn n n n n a a a aa a a a S 2222211223121--++-+-+=-- ，又11-=--n n a a 所以 故 12-=n n n S .例4.（2012江西理16）已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－12n 2＋kn (k ∈N *)，并且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列92{2nna -}的前n 项和T n . 分析：在本题第二问中要求的是数列92{2nna -}的前n 项和，其中的n a 不能直接知道是什么数列，要通过已知求解，12n 可以由数学经验看出是公比为12的等比数列，所以在本题中要先求出n a ，证明它是等差数列后，才可以用错位相减法求出数列92{2nna -}的前n 项和。
解（1）根据题目可知，当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即 8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2， 故 k 2＝16(k ∈N ＋)， 因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72， 所以a n ＝92－n .（等差数列）(2) 设 922nn n a b -=， 将a n 代入n b 得 12n n n b -=T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝22123112222n n n n---++++…+，所以T n ＝2T n －T n＝211121222n n n--++++-….评析：在上述两题中的第一题中先证明了n a 是等差数列，所以此时的⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 就是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，符合模型要求；第二题中，先在第一问求出了n s 的公式，再根据这个公式求出了3ns n是等差数列，所以此时的n b 也是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，符合模型要求，最后我们在这两个题中才借用错位相减法来快速地求出所求数列的前n 项和. 所求数列中的等比数列和等差数列都未知求解这种类型的题的难度就比较大了，因为在所求的复杂数列中不能直接明显地看出它其中包含的等差数列和等比数列，则需要根据题目已知来找出或者证明所求数列是一个等差数列与一个等比数列的乘积，这样才能依据错位相减法来计算结果。
例5. (2013山东.理)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+ （1） 求数列{}n a 的通项公式；求数列{}n c 的前n 项和n R .分析：本题中要求的是数列2()n n c b n N *=∈的前n 项和，其中2n b 不能直接知道是什么数列，在第二问中又知道n b 和n a 有关系，所以在本题的第一问中我们要先求出n a ，再在第二问中将n b 求出，最后当n c 满足错位相减法的条件后我们就可以用错位相减法来求解了.解：（1）由{}4224,21,n n n S S a a a ==+为等差数列，可得11,2a d == 所以 21n a n =-（2）由 12n n na T λ++= ○1 得 111b T λ==- 当2n ≥时，11112n n n a T λ---++=, ○2 ○1-○2可得 122n n n b --=， 所以当0λ=时， 2114n n n n c b --==，211210 (444)n n n R --=++++，○3 2311211 (4444)n n n R -=++++，○4○3-○4得 1431994n n n R --=-⋅， 当0λ≠时，211(1)1(2)4n n n n c b n n λ--=⎧⎪==⎨-≥⎪⎩，即1531994n n n R λ-+=--⋅. 例6.（2009上海青浦区）设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ，一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ； （2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++ ．分析：本题中要求的是n n a a a a a a a a 212654321-++++ 的和，虽然不能直接看出它是数列，但可以抱着这样的心态来看看，通过第二问中的2n a 来求出那一串的和，也许可以转化为一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，那么就可以用错位相减法来求和了. 解 （1）略；（2）当k n 2=时，（*N k ∈）222222(2)4(2)4(21)(21)2123123kk kk k -⎡⎤=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 所以 n n a 42=（*N n ∈）． （3） 与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ，设 n n a a a a a a a a 212654321-++++ =n T ，]4)12(45434[3132n n n T ⨯-++⨯+⨯+= ]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T ，两式相减得 ]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T ，所以 94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ．评析：在上述两题中，都不能直接知道所求的是什么形式的数列，所以只能从题目中找出相关条件，将所求的结论转化成一个等差数列与一个等比数列的乘积形式，使之符合模型要求，这样才能在这两个题中借用错位相减法来快速地求出所求结果。