概率的基本性质及古典

概率的基本性质及古典槪型复习学案

一、基础知识梳理

1.事件的有关概念（注意是在一定条件S下）

（1）必然事件（2）不可能事件（3）随机事件

2.n次试验中事件A出现的频率与该事件发生的概率之间关系：

3.事件的关系与运算

（1）包含事件：A

?B(或B?A）（2）相等事件：若A?B，且B?A，则A=B.

（3）并事件（和事件）：C=A∪B（或A+B）. （4）交事件（积事件）：C=A∩B（或AB）.

（5）互斥事件：A∩B＝_____ P(A∩B)= (6）对立事件：A∩B=_____，P(A∪B)=______

4.概率的几个基本性质

（1）0≤P(A)≤1.

（2）事件A与B互斥，则 P（A∪B）＝_________

（3）事件A与B对立，则P（A）＋P（B）=______.

5.古典概型特点______________________

6.古典概型的概率公式P(A)=____________________

7. 利用古典概型的计算公式时应注意两点：

（1）所有的基本事件必须是互斥的；

（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。

二、典例分析

例1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）“抛一石块，下落”.

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，中靶”；

（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;

（5）“掷一枚硬币，出现正面”；

（6）“导体通电后，发热”；

（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

（9）“没有水份，种子能发芽”；

（10）“在常温下，焊锡熔化”．

必然事件：，不可能事件：，随机事件：变式练习1：下列说法错误的是( )

A.“在标准大气压下，水加热到100 ℃时沸腾”是必然事件

B.“姚明在一场比赛中投球的命中率为60%”是随机事件

C.“在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态”是不可能事件

D.“济南市明年今天的天气与今天一样”是必然事件

例2 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列、事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品；

变式训练2：从一批产品（正品数和次品数都不少于3件）中任取三件，

A={取出的三件全是次品}，B={取出的三件全不是次品}，C={取出的三件不全是次品}，

试判断任意两个事件间的关系是否互斥？如果是，再判断它们是不是对立事件？

例3现有A、B、C、D四张卡片，从中任意抽取。

（1）先后不放回地抽取2张，求抽到A的概率；

（2）一次抽取2张，求抽到A的概率；

（3）先抽取一张，然后放回再抽取一张，求抽到A的概率；

变式训练3：一个密码箱的密码由2位数字组成，2个数字都可任意设定为0-9中的任意一个数字，假设某人已经设定了2位密码。

（1）若此人只记得密码的前1位数字，则一次就能把锁打开的概率；

（2）若此人忘了密码的所有数字，则他一次就能把锁打开的概率 .

例4抛掷一红、一蓝两颗均匀骰子

（1）求出现点数相同的概率.

（2）甲、乙两人打赌，点数之和出现4，则甲赢，点数之和出现10，则乙赢，其他情况平局，这样规定公平吗？平局的概率是多少？

变式训练4：甲乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏.分别求平局、甲赢、乙赢的概率.

例5：已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，

1）求甲排在第二天值班的概率。

2）求甲排在乙前面值班的概率。

变式训练5：甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表,写出所有基本事件,并求甲被选上的概率三、巩固练习

1.在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是

A.必然事件

B.不可能事件

C.随机事件

D.以上选项均不正

2.从整数中任取两数，其中是对立事件的是( )

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数

③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数

A.①

B.②④

C.③

D.①③

3、从装有2个红球和2个黑球的袋子中任取2个球，那么互斥而不对立的事件是（）

A.至少有一个黑球与都是黑球

B.至少有一个黑球与至少有一个红球

C.恰有一个黑球与恰有两个黑球

D.至少有一个黑球与都是红球

4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙下成和棋的概率为( )

A.60%

B.30%

C.10%

D.50%

5、下列4个命题：

（1）对立事件一定是互斥事件

（2）A、B是两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)

（3）若事件A、B、C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1

(4)事件A、B满足P(A)+P(B)=1，则A、B是对立事件，其中错误的有（）

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个

6.一枚伍分硬币连掷3次,只有1次正面向上的概率为( )

7、从0，1，2，3，4，5中任取3个组成没有重复数字的三位数，这个三位数是5的倍数的概率等于.

8.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是____________________

9．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。

10.一年按365天算， 2名同学在同一天过生日的概率是。

11．甲袋中有1个白球，2个红球，3个黑球，乙袋中有2个白球，3个红球，1个黑球，从两袋中各取一球，颜色不相同的概率是.

12．柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率

（1）取出的鞋子都是左脚的；（2）取出的鞋子都是同一只脚的；

（3）取出的鞋子至少有一只是左脚的；（4）取出的鞋子至多有一只是左脚的

谈条件概率常见问题解题方法

谈条件概率常见问题解题法摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。关键词:条件概率，事件、样本空间 1.条件概率的概念一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称=)|(A B P ) ()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。关于条件概率，有下面的定理: 定理1:设事件A 的概率0)(>A P ，则在事件A 已经发生的条件下事件B 的条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商: =)|(A B P ) ()(A P AB P 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 性质：1. ()P B A =1- )|(A B P 2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别 )|(A B P 与)(AB P 这是两个截然不同的事件概率．设B A ,是随机试验对应的样本空间Ω中的两个事件，)(AB P 是事件B A ,同时发生的概率，而)|(A B P 是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求)(AB P 时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间Ω中进行讨论；而求)|(A B P 时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式)(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P 给出了它们之间的联系。 3.条件概率的解题方法：解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方法: （1）化为古典概型解决 )()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数（2）化为几何概型解决 )()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,) A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等（3）条件概率公式法如果0)(>A P ,则先在原样本空间Ω中计算)(AB P 和)(A P ，再按公式 =)|(A B P ) ()(A P AB P 计算

条件概率及其性质

1．条件概率及其性质 (1)条件概率的定义设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率． (2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P (B |A )＝ . (3)条件概率的性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B |A )≤1. ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ P(B|A)＋P(C|A) ) ． 2．事件的相互独立性 (1)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P(A)P(B) ，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)如果事件A 与B 相互独立，那么与，与，与也都相互独立．3．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0,1, 2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p) ，并称_p_为成功概率．若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 1.区分条件概率P (B |A )与概率P (B ) 它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的．概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小． 2．求法：(1)利用定义分别求P (A )，P (AB )，得P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) ； (2)先求A 含的基本事件数n (A )，再求在A 发生的条件下B 包含的事件数即n (AB )，得P (B |A )＝ n (AB ) n (A ) . 1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝ 42＋4＝23 ，P (B )＝1－P (B )＝13， (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝1 3， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝11 27. 2.(2011年湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正

条件概率知识点、例题、练习题

条件概率专题一、知识点 ①只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(B A)，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ②在古典概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) ③在几何概型中--- P(B A) P( AB) (AB) P(A) (A) 事件AB包括的基本事件(样本点)数事件A包括的基本事件(样本点)数区域AB的几何度量(长度，面积，体积等) 区域A的几何度量(长度，面积，体积等) 条件概率及全概率公式 .对任意两个事件A B,是否恒有P(A) > P(A| B). 答：不是?有人以为附加了一个B已发生的条件，就必然缩小了样本空间，也就缩小了概率,从而就一定有P(A) > P(A| B), 这种猜测是错误的?事实上, 可能P(A) > P(A| B),也可能P(A) < P(A|B),下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令 A=｛抽到一数字是3的倍数｝; B=｛抽到一数字是偶数｝; B2=｛抽到一数字大于8｝,那么 P(A)=3/10, P(A| B i)=1/5, P(AB)=1. 因此有P(A) > P(A| B i), P(A) v P(AB). .以下两个定义是否是等价的? 定义1. 若事件A、B满足P(A^=P(A)P(B), 则称A、B相互独立. 定义2.若事件A、B满足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称A、B相互独立?答：不是的?因为条件概率的定义为 P(A B)=P(AB?/ P(B)或P(B| A)=P(A^/ P(A) 自然要求P(A)丰0, P(B)丰0,而定义1不存在这个附加条件，也就是说，P(AB=P(A)P(B)对于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事实上，若P(A)=0 由0W P(AB) < P(A)=0 可知P(AB=0 故P(AB=P(A)P(B). 因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1 不能推出定义2,因此一般采用定义1更一般化. . 对任意事件 A 、B, 是否都有P(AB < P(A < P(A+B) < P(A)+P(B). 答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB (*)

6概率的基本性质

3.1.3 概率的基本性质（第三课时）一、教学目标： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。三、学法与教学用具：1、讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识；2、教学用具：投灯片四、教学设想： 1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1={出现1点}，C 2={出现2点}，C 3={出现1点或2点}，C 4={出现的点数为偶数}……师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？ 2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．3、例题分析：例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。解：A 与C 互斥（不可能同时发生），B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件（至少一个发生）. 例2 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=2 1，求出“出现奇数点或偶数点”．

条件概率

答案：59 探究点1 利用定义求条件概率甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？【解】设“甲地为雨天”为事件A ，“乙地为雨天”为事件B ，根据题意，得 P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12. (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是 P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝0.120.18＝23 . (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概率是 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.120.2＝3 5. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P (AB )和P (A )． (2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝ P （AB ） P （A ），这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ， B 同时发生．如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形HOE (阴影部分)内”，则P (A )＝________，P (B |A )＝________．解析：因为圆的半径为1，所以圆的面积S ＝πr 2 ＝π，正方形EFGH 的面积为? ?? ??2r 22 ＝2，所以P (A )＝2 π . P (B |A )表示事件“已知豆子落在正方形EFGH 中，则豆子落在扇形HOE (阴影部分)”的概率，所以P (B |A )＝1 4 .

概率的基本性质教案

《概率的基本性质》教案使用教材：人教版数学必修3 教学内容：1、事件间的关系及运算 2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系； 2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算； 3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。一、事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果）学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为C 1， ﹛出现的点数＝2﹜记为C 2， ﹛出现的点数＝3﹜记为C 3， ﹛出现的点数＝4﹜记为C 4， ﹛出现的点数＝5﹜记为C 5， ﹛出现的点数＝6﹜记为C 6. 老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D 1）是不是该试验的事件？（学生回答：是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D 2，﹛出现的点数小于5﹜记为D 3，﹛出现的点数小于7﹜记为E ，﹛出现的点数大于6﹜记为F ，﹛出现的点数为偶数﹜记为G ，﹛出现的点数为奇数﹜记为H ，等等都是该试验的事件。那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？ 1、学生思考若事件C 1发生（即出现点数为1），那么事件H 是否一定也发生？学生回答：是，因为1是奇数我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。具体说：一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作B A ?（或A B ?）特殊地，不可能事件记为 ?，任何事件都包含 ?。练习：写出 D 3与E 的包含关系（D 3 ?E ） 2、再来看一下C 1和D 1间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？即若C 1发生，D 1 是否发生？（是，即C 1 ?D 1）；又若D 1发生，C 1是否发生？（是，即D 1? C 1）两个事件A ，B 中，若A B B A ??，且，那么称事件A 与事件B 相等，记作A ＝B 。所以C 1 和D 1相等。 “下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。” 试验的可能结果的全体 ←→ 全集 ↓ ↓ 每一个事件 ←→ 子集这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。 3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件A 和事件B 的并事件，记作A ∪B ，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为A+B 。我们知道并集A ∪B 中的任一个元素或者属于集合A 或者属于集合B ，类似的事件A ∪B 发生等

概率的基本性质教学设计

《概率的基本性质》教学设计蓟县第四中学于海存一、说教材： 1、教材的地位及作用：本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第一节第三课时概率的基本性质，本节课主要是结合具体实例以螺旋上升的方式由浅入深地学习概率的一些基本性质，学生在前面已经学习了集合的表示方法（Venn图）和随机事件的概率，已具有一定的归纳、抽象的能力，这些都是学习本节内容的基础。本节在教材中起着承上启下的作用。一方面把所学的概率知识应用于实际生活，另一方面为今后学习概率其他知识做了理论上的准备。 2、教学目标：知识与技能：（1）了解事件之间的相互包含关系、相等关系，知到和事件、积事件的意义，（2）通过实例，理解互斥事件、对立事件的概念及实际意义；（3）掌握概率的几个基本性质并能简单应用。过程与方法：类比集合，揭示事件的关系与运算，培养学生的类比与归纳的数学思想，情感态度与价值观：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和兴趣，在参与探究活动中，培养学生的合作精神.在观察发现中树立探索精神，在探索成功后体验学习乐趣。 3、教学重点与难点：根据本节课内容即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定如下教学重难点。重点：互斥事件、对立事件的概念及概率的加法公式的应用。难点：正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 4、课时安排：1课时二、说教法：根据本节课的内容、教学目标和学生的实际水平等因素，在教法上，本节课我采用“开放性教学”，充分了解学生的最近发展区，精心创设问题情景，以导为主，重视多媒体的作用，充分调动学生，展示学生的思维过程，使学生能准确理解、判断和运用所学知识。 1) 立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题，做到重点突出； 2）紧扣数学的实际背景，多采用学生日常生活中熟悉的例子来突破难点。三、说学法：引导学生用观察、类比、归纳、推导方式来实现预定教学目标。创设、再现知识发生的情境，让每个学生都能动手、动笔、动口、动脑、动心、动情。从而在知识产生迁移中发现规律，进一步把知识纳入学生已有认知结构中，形成新的认知结构。达到教育学“最近发展区”要求，并培养学生学会观察、分析、归纳、等适应客观世界的思维方法，养成良好学习习惯和思维习惯。 1格式已调整，word版本可编辑.

条件概率试题

2.2.1 条件概率【学习要求】 1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法． 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A) 也可以利用缩小样本空间的观点计算. 1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P(B|A)∈． (2)如果B与C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝.

[一点通]求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ＝n(AB) n(A) ，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝P(AB) P(A) ，特别要注意P(AB)的求法．[例1]一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [思路点拨]先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同． [精解详析](1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果． ∴P(A)＝2×3 4×3 ＝ 1 2，P(AB)＝ 2×1 4×3 ＝ 1 6. ∴P(B|A)＝P(AB) P(A) ＝ 1 3. (2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸到白球为事件A1B1. ∴P(A1)＝2×4 4×4＝ 1 2，P(A1B1)＝ 2×2 4×4 ＝ 1 4. ∴P(B1|A1)＝P(A1B1) P(A1) ＝ 1 4 1 2 ＝ 1 2. 故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1 3；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为1 2.

高中数学必修三3.1.3《概率的基本性质》

3.1.3《概率的基本性质》【学习目标】 1.说出事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，对立事件的概念； 2..能叙述互斥事件与对立事件的区别与联系 3. 说出概率的三个基本性质；会使用互斥事件、对立事件的概率性质求概率。【重点难点】教学重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。教学难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算，概率的几个基本性质【知识链接】 1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？ 2我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和认识．育网【学习过程】 1. 事件的关系与运算思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等. 你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现它们之间的关系和运算吗？上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件? (1) 显然，如果事件C1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，记作H C1。一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B A ( 或A B )；任何事件都包含不可能事件. [来源:https://www.360docs.net/doc/7018965841.html,]（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B. （3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？[来源:https://www.360docs.net/doc/7018965841.html,] 事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与事件B的并事件（或和事件）是什么含义？当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作C=A∪B(或A+B). （4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B 的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4 （5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B有且只有一个发生.

条件概率及其应用

本科毕业论文（设计） (2014 届) 条件概率及其应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学姓名冯杰指导教师孙晓玲职称副教授

摘要条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念,在概率论的知识体系中起着承上启下的作用.因而本文以条件概率及其应用作为研究课题,研究条件概率的概念、性质以及相关的四个公式(条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)的基本计算方法,并研究全概率公式以及贝叶斯公式在实际生活中的应用.通过本课题的研究,可了解抽签问题和风险决策问题中全概率公式和贝叶斯公式的应用.了解应用条件概率方法可以使实际生活中的问题转变为相关概率计算,让问题解决过程变得简洁,清晰.因此,研究条件概率及其应用有着极其重要的意义. 关键词：条件概率；全概率公式；贝叶斯公式；风险决策

ABSTRACT Conditional probability is an important and useful concepts in probability theory, play a connecting role in probability theory system. So in this paper, the conditional probability and its application as the research subject, research condition probability concept, character and correlation of four formula (conditional probability formula, multiplication formula, the formula of total probability, the Bias formula) the basic calculation methods, application and study the full probability formula and Bias formula in practical life. Through the study of this subject, can understand the application of ballot problem and risk decision making problem in the whole probability formula and Bias formula. The probabilistic method to understand the application conditions can make real life problems into the relevant probability calculation so, problem solving process more concise, clear. Therefore, there is an extremely important significance of conditional probability and Its Applications. Key words：conditional probability；complete probability formula；Bayes formula；Risk decision

浅谈条件概率

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 引言 (1) 1.条件概率的定义及意义 (1) 1.1条件概率的定义 (1) 1.2几何直观意义 (1) 1.3 概率直观意义 (2) 2.条件概率的性质及算法 (2) 2.1 条件概率的性质 (2) 2.2条件概率的算法 (3) 3.条件概率系列公式的关系探讨 (4) 3.1乘法公式 (4) 3.2全概率公式 (4) 3.3贝叶斯公式 (5) 3.4 系列公式使用的技巧 (5) 3.5例题解析 (6) 4.结束语 (9) 参考文献 (10)

浅谈条件概率学生姓名：李青烨学号：20090401057 数学与计算机科学系数学与应用数学指导老师：王瑞瑞职称：讲师摘要：条件概率是“概率论与数理统计”课程的重要知识之一，文章从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，以及公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率．关键词：条件概率;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式 Abstract : Conditional probability is one of the important knowledge of the probability theory and mathematical statistics course, This article analyses and discusses conditional probability from meaning of conditional probability , quality, algorithm , the connection of serial formulas of conditional probability and some rules and skills about the using of these formulas. Key Words : Conditional probability ；Multiply formula ；Probability formula ； Bayesian formula 引言概率论与数理统计是研究随机现象的数量规律性的学科，而条件概率又是概率论与数理统计一个重要知识点．本文从条件概率的定义及意义、性质及算法和条件概率系列公式的联系，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式使用的规则和技巧，这三方面来分析、探讨条件概率． 1.条件概率的定义及意义 1.1条件概率的定义若),,(P F Ω是一个概率空间，F B ∈，且0)(>B P 则对任意的F A ∈，称(|)P A B ) () (B P AB P = 为已知事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率．条件概率的意义，可以从以下二个方面来阐述. 1.2几何直观意义我们可以用单位正方形来表示样本空间Ω,用正方形内任一封闭曲线围成的图形

10.1.4 概率的基本性质

10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养 . 教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3. 问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3. 概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 教材拓展补遗 [微判断] 1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×) 2.不可能事件的概率不一定为0.(×) 3.必然事件的概率一定为1.(√) 4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的

概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√) 5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于2 3.(√) 提示任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练] 1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.1 解析事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B 2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________. 解析因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.8 3.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考] 1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝?，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示不对，若A ∩B ＝?，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件. 2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？提示不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立. 题型一互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和

概率的基本性质练习题

3.1.3 概率的基本性质一、基础过关 1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为 ( ) A ．“都是红球”与“至少一个红球” B ．“恰有两个红球”与“至少一个白球” C ．“至少一个白球”与“至多一个红球” D ．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球” 2. 给出事件A 与B 的关系示意图，如图所示，则 ( ) A ．A ?B B ．A ?B C ．A 与B 互斥 D ．A 与B 互为对立事件 3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是 ( ) A ．A ?D B ．B ∩D ＝? C ．A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D 4．下列四种说法： ①对立事件一定是互斥事件； ②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______． 6．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是1 3，则乙不输的概率是________．

-条件概率示范教案

2.2.1 条件概率(1) 教材分析本节内容是数学选修2-3 第二章随机变量及其分布第二节二项分布及其应用的起始课，是对概率知识的拓展，为了导出二项分布需要条件概率和事件的独立性的概念，条件概率是比较难理解的概念，教材利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过两个思考比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学的中奖概率，引出条件概率的概念，给出了两种计算条件概率的方法，给出了条件概率的两个性质.本课题的重点是条件概率的概念，难点是件概率计算公式的应用．通过探究条件概率的概念的由来过程，可以很好地培养归纳、推理，学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法. 课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解条件概率概念、性质及计算公式，并利用公式解决简单的概率问题. 教学目标重点: 条件概率的概念. 难点：条件概率计算公式的应用．知识点：条件概率. 能力点：探寻条件概率的概念、公式的思路，归纳、推理、有特殊到一般的数学思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何理解条件概率的内涵. 考试点：求解决具体问题中的条件概率. 易错易混点：利用公式时()n A 易计算错. 拓展点：有放回.抽球时(|)P B A 与()P B 的关系教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法，抽签有先后，对每个人公平吗？探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 【师生活动】师：如果三张奖卷分别用12,,X X Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？能列举出来吗？生：有六种可能：121221211221,,,,,X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X ．师：用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 包含几个基本事件？

概率的基本性质

概率的基本性质导预习通过预习事件的关系与运算，初步理解事件的包含,并,交, 相等事件, 以及互斥事件, 对立事件的概念。导课堂第一步：情境创设（1）必然事件：在条件S 下，发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 2、事件的关系与运算 ①对于事件A 与事件B , 如果事件A 发生,事件B 一定发生, 就称事件包含事件 . (或称事件包含于事件 ).记作A B , 或B A . 如上面试验中与 ②如果B ?A 且A ?B , 称事件A 与事件B 相等.记作A B . 如上面试验中与 ③如果事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生. 则称此事件为事件A 与事件B 的并. (或称和事件), 记作A ?B (或A +B ). 如上面试验中与 ④如果事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生. 则称此事件为事件A 与事件B 的交. (或称积事件), 记作A ?B (或A ?B ). 如上面试验中与 ⑤如果A ?B 为不可能事件(A ?B =?), 那么称事件A 与事件B 互斥. 其含意是: 事件A 与事件B 在任何一次实验中同时发生. ⑥如果A ?B 为不可能事件,且A ?B 为必然事件，称事件A 与事件B 互为对立事件. 其含意是: 事件A 与事件B 在任何一次实验中发生. 3. 概率的几个基本性质 (1).由于事件的频数总是小于或等于试验的次数. 所以, 频率在0~1之间, 从而任何事件的概率在0~1之间.即 ①必然事件的概率: ; ; ②不可能事件的概率: . (2) 当事件A 与事件B 互斥时, A ?B 发生的频数等于A 发生的频数与B 发生的频数之和. 从而A ?B 的频率()()()n n n f A B f A f B ?=+. 由此得概率的加法公式: (3).如果事件A 与事件B 互为对立, 那么, A ?B 为必然事件, 即()P A B ?= . 因而第二步：目标展示 1．知识与技能（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念. （2）概率的几个基本性质. （3）正确理解并事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2．过程与方法

概率的基本性质及古典

概率的基本性质及古典槪型复习学案一、基础知识梳理 1.事件的有关概念（注意是在一定条件S下）（1）必然事件（2）不可能事件（3）随机事件 2.n次试验中事件A出现的频率与该事件发生的概率之间关系： 3.事件的关系与运算（1）包含事件：A ?B(或B?A）（2）相等事件：若A?B，且B?A，则A=B. （3）并事件（和事件）：C=A∪B（或A+B）. （4）交事件（积事件）：C=A∩B（或AB）. （5）互斥事件：A∩B＝_____ P(A∩B)= (6）对立事件：A∩B=_____，P(A∪B)=______ 4.概率的几个基本性质（1）0≤P(A)≤1. （2）事件A与B互斥，则 P（A∪B）＝_________ （3）事件A与B对立，则P（A）＋P（B）=______. 5.古典概型特点______________________ 6.古典概型的概率公式P(A)=____________________ 7. 利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。二、典例分析例1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．必然事件：，不可能事件：，随机事件：变式练习1：下列说法错误的是( ) A.“在标准大气压下，水加热到100 ℃时沸腾”是必然事件 B.“姚明在一场比赛中投球的命中率为60%”是随机事件 C.“在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态”是不可能事件 D.“济南市明年今天的天气与今天一样”是必然事件例2 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列、事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品；变式训练2：从一批产品（正品数和次品数都不少于3件）中任取三件， A={取出的三件全是次品}，B={取出的三件全不是次品}，C={取出的三件不全是次品}，试判断任意两个事件间的关系是否互斥？如果是，再判断它们是不是对立事件？例3现有A、B、C、D四张卡片，从中任意抽取。（1）先后不放回地抽取2张，求抽到A的概率；（2）一次抽取2张，求抽到A的概率；（3）先抽取一张，然后放回再抽取一张，求抽到A的概率；