Lanczos方法

则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向 量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有 特征值都是正的实数。
（ 2 ）
特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚 度矩阵K正交，即：
mii {i } M { j } 0
T
(i j ) (i j )
（5）
kii {i } K { j } 0
结构动力学问题分析的有限元方法
LANCZOS 方法
—2015.11.18—
一 一
二
三
数值分析技术为结构的动态分析提供了有力
的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下
的模拟和仿真提供了有效工具。
工程结构的动态分析主要包括两个方面：结
构的动态特性分析和结构动态响应分析。
结构无阻尼自由振动方程
M { y} K{ y} {0}
这里，k = 1, 2, …, m。当k＝m时，作完第（1）步，即求出αm就 停止迭代，于是得到全部的αk和βk就构成式（6-68）的m阶三对 角矩阵Tm。 求解此矩阵对应的标准特征值问题：
Tm {X m } 1

{X m }
（22）
式（61）的全部特征值λi(k = 1, 2, …, m )就是广义特征值式（68） 的最小特征值组的近似值。当m＜n时，就是截断广义逆Lanczos 法。
{U k 1} ( K{U k } k {U k } k {U k 1}) / k 1
（11） （12）
其中，
1 0
k {U k }T K{U k }
（13）
（14）
k 1 K {U k } k {U k } k {U k 1} 2
m1 m1 m
求解此矩阵的特征值，就是K的m个最高阶特征值。
（2）广义逆Lanczos法 广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同。设广义特征 值问题 （16） K {x} M {x} 其中K为n×n阶实对称正定阵，M为对称阵。 选取适当的初始向量｛U1｝，且｛U1｝TM｛U1｝=1，计算 令β1=1，作
将简谐运动
..
（1） （2） （3） （4）
y sin(t )
( K M ) 0
2
代入上式可得
或写成
K M
其中， λ= ω ²； K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。
特征系统的一些基本特性。
（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，
Lanczos 方法目前被认为是求解大型矩阵特征值 问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算 量要少得多。
Lanczos 方 法 用 于 标 准 特 征 值 问 题 称 为 标 准 Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义Lanczos法。
求解n 阶实对称矩阵A 特征值问题的Lanczos
这里，k = 1, 2, …, m -1≤n； ‖ ‖ 2为2范数。于是得
1 2 2 2 3 3 3 4 Tm ... ... ... m m
... ... ...
（15）
T
(i j ) (i j )
（6）
M 中将特征向量归一化，即： 在式 K
{ i }
1 mii
{ i }
（7）
上式称为归一化特征向量。 则式（5），（6）有
1 {i } M{ j } 0
T
(i j ) (i j )
（8）
i {i } K { j } 0
( Au,V )K (u, AV ) K
则称A是K 一对称或广义对称矩阵, 类似的还有K 一 x B ( x, x)B 。读者不难验证, 矩阵 范数 1 M 1K和（K M） M 都是M一对称矩阵。
U K 设 1 向量U 0 任何初始向量U， = 0 , 用三项 递推公式进行迭代:
问题就转化为中小规模对称三对角矩阵T 的特征值 问题。
（1）标准Lanczos法
设标准特征值问题
K{x} {x}
（10）
其中：K为n×n阶矩阵。 首先,给出K一对称或广义对称矩阵的定义: 设 T ( x , y ) x Ky 成为一个内积, 如 矩阵K 对称正定, 则 K n 果对任何u , V k ,矩阵A满足
（ 1） （ 2）
k {Uk }T M{Uk }
{wk } {U k } k {U k }
k 1 {wk }T M{wk }
（17） （18）
（ 3）
（19）
（ 4）
{U k 1} {wk } / k 1
（20）
（21）
（ 5）
{Uk 1} K 1M{Uk 1Байду номын сангаас k 1{Uk }
T
(i j ) (i j )
（9 ）

Lanczos法
Lanczos方法利用三项递推关系产生一组正交规 范的特征向量，同时将原矩阵约化成三对角阵，将 问题转化为三对角阵的特征问题的求解。以20世纪 匈牙利数学家Cornelius Lanczos命名。 Lanczos方法实际上是Arnoldi算法对于对称矩 阵的特殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解 的Krylov子空间方法以及对称矩阵的特征值问题。
算法基本思想如下: 取定一个任意单位向量
q1 , 通过Lanczos过程构造一组正交化序列q1, q2, ..., qn。Q = [ q1, q2, ..., qn ] , 则QTAQ = T 成为一个 对称三对角矩阵。在这中产生了一系列对 称三对角矩阵T , 它们的低阶特征值越来越接近原
矩阵A 的低阶特征值, 这样大规模矩阵A 的特征值