高等数学B(二)2009-2010(B)
0910高等数学B( 二)试题答案济南大学
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
高等数学B(2)普通教学班考试大纲
《高等数学B2》考试大纲（普通教学班）适用专业：经济与管理各专业教材：《经济数学-微积分新编》，侯吉成主编，清华大学出版社，2014年参考书目：《经济数学-微积分》（第二版），吴传生主编，高等教育出版社，2009年。
一、考试的方式与题型考试方式：闭卷，考试时间120分钟题型：选择（15%）、简答题（15%）、计算题（49%）、应用题（14%）、证明题（7%）单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。
简答题只要求简单地写出解题过程和结果。
计算题、应用题和证明题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。
难度：基础题（1个知识点）：提高题（2个知识点）：综合题（3个及以上知识点）=5:3:2内容: 常微分方程（20%）；差分方程（14%）；无穷级数（20%）；向量代数与空间解析几何（12%）；多元函数微分学（22%）；多元函数积分学（12%）二、考试的目的和要求依据课程教学大纲要求，通过本课程的学习，要求学生比较系统地理解经济数学的基本概念和基本理论，掌握经济数学的基本方法，要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试的内容和要求（一）常微分方程（一）一阶微分方程考试内容：（1）微分方程的定义阶解通解初始条件特解；（2）可分离变量的方程；（3）一阶线性方程。
考试要求：（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解；（2）掌握可分离变量方程的解法；（3）掌握一阶线性方程的解法。
（二）二阶线性微分方程考试内容：（1）二阶线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐次线性微分方程考试要求：（1）了解二阶线性微分方程解的结构。
（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（非齐次项限定为ax n e x P x f )()(=，其中)(x P n 为x 的n 次多项式。
高等数学B(二)教学大纲
《高等数学B（二）》教学大纲本课程依据全校理工类专业2015版人才培养方案，理工类本科数学基础课程教学基本要求制定，也依据了2015年教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会关于大学数学课程教学的基本要求。
课程名称：高等数学B（二）课程代码：B1509001B-2课程管理：数理学院（或部）高等数学教研室教学对象：全校理工类专业教学时数：总时数64 学时，其中理论教学64 学时，实验实训0 学时。
课程学分：4.0课程开设学期：2课程性质：专业基础课课程衔接：（1）先修课程初等数学（2）后续课程概率论与数理统计一、课程教学目标及要求通过本课程的学习，要使学生获得空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程及无穷级数等基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要求学生理解数学的基本概念和基本定理，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
熟悉高等数学的基本公式和基本方法，掌握常用公式和方法，提高计算能力。
二、教学内容及要求第六章空间解析几何与向量代数（一）教学目标使学生掌握向量概念及有关运算；掌握平面方程、空间直线方程的各种形式；熟悉平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的交角公式及平行、垂直条件；掌握常用的二次曲面的标准方程及其图形。
（二）知识点及要求第一节向量及其线性运算1、理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示。
2、掌握向量的线性运算，向量的模与方向余弦的计算。
第二节数量积与向量积1、理解两向量的数量积与向量积的概念。
2、掌握向量的数量积和向量积的运算。
第三节平面及其方程1、理解平面的点法式方程，平面的一般方程，两平面的夹角。
2、掌握平面方程及其求法，平面与平面间几何位置的判定。
第四节空间直线及其方程1、理解空间直线的一般方程、对称式方程与参数方程，两直线的夹角，直线与平面的夹角。
2、掌握空间直线方程及其求法，会利用直线、平面相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
2009-2010高等数学B第二学期试卷A1.
北京林业大学2009--2010学年第二学期考试试卷课程名称：高等数学B（A卷）课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共计 4 页，共十大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有答案均写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空：（每小题3分，共30分）1. 微分方程的通解为。
2. 微分方程的特解可设为________________________________________。
3. 以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________。
4. 直线与平面间的关系是______________(平行、垂直、相交。
5. 二元函数在点处两个偏导数与存在是在该点处连续的__________________________条件。
6. 若函数在点处具有偏导数，且在点处有极值，则有_______________ ，___________________。
7. 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 。
8.交换二次积分I=的积分顺序，则。
9. 函数展开为的幂级数的形式为 __________ 。
10. 幂级数的收敛半径为。
二、（6分）求的通解三、（6分）求微分方程满足初始条件的特解四、（6分）求过点及直线的平面方程五、（6分）设求六、（6分）设，求七、（6分）计算八、（6分）求曲面与所围立体的体积。
九、（6分）判别级数的敛散性十、（6分）判别级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛？十一、（6分）在曲面上找点，使其到点的距离为最小。
十二、（6分）设具有二阶连续导数，且满足，求的表达式。
十三、（4分）设发散，又，证明收敛。
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)
2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ， 即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分） 类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分） 由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分） 当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法 可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解： 分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。
2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。
3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。
4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷
2 z 求 . x y
解：
z ( x, xy ) yg 2 ( x, xy ) ---4 分 2 f (2 x y ) g1 x
2 z ( x, xy) g 2 ( x, xy) xyg 21 ( x, xy) ----8 分 2 f (2 x y) xg12 xy
2
2 2 3 2
3 2m 时,水箱所用的材料最省. --8 分
1 展开成 x 的幂级数并求其收敛区间。 x x3 1 1 1 1 1 1 1 1 解： f ( x) ------------1 分 ( ) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x 2 6 1 x 3 1 x 2
福建师范大学试卷纸
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Y C1 cos x C2 sin x, ------2 分
* * 观察可得, y y x 的一个特解为 y1 x, y y e x 的一个特解为 y2 e x . -----6 分 * * 由非齐次线性微分方程的叠加原理知 y* y1 y2 x ex
D D1 D D1
C. xydxdy 4 xydxdy
D D1
D. x dxdy 4 x 2 dxdy
2 D D1
5、若级数 an 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ）
n 1
福建师范大学试卷纸
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A.
2 an
n 1
B.
(an 1)
五（10 分）求级数
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 4 页
1 1 1 x dt ln -----------------（8 分） 2 1 t 2 1 x 1 1 1 1 1 2 2 ln(1 2) --------（10 分） 2 s ( ) 2 ln 故 n 1 2 1 2 n 0 (2n 1)2 2
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
高等数学b第二版教材答案
高等数学b第二版教材答案第一章：函数与极限1. 基本函数与初等变换1.1 常函数1.2 恒等变换1.3 幂函数1.4 指数函数1.5 对数函数1.6 三角函数1.7 反三角函数1.8 两类特殊函数的图象2. 函数的极限与连续性2.1 函数极限的概念- 函数极限的定义- 函数极限的基本性质2.2 极限的四则运算与比较- 极限的四则运算- 极限比较的性质2.3 连续函数及其性质- 连续函数的定义- 连续函数的性质2.4 无穷小量与无穷大量- 无穷小量的概念与性质 - 无穷大量的概念与性质3. 函数的导数与微分3.1 导数的概念与性质- 导数定义- 导数的计算及性质3.2 基本初等函数的导数3.3 函数的微分3.4 隐函数与参数方程的导数 3.5 高阶导数及其应用第二章：一元函数的微分学1. 中值定理与导数的应用1.1 高阶导数与泰勒公式- 高阶导数的定义- 麦克劳林公式与泰勒公式 1.2 洛必达法则与函数的比较 1.3 弧长、曲率与曲率半径1.4 凸函数与极值问题- 函数的凸性与凹性- 可导函数的极值条件2. 积分学2.1 积分的概念与性质- 积分的定义- 积分运算的基本性质2.2 不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质 - 定积分的概念与性质2.3 积分中值定理与换元法2.4 积分运算的方法与应用- 牛顿-莱布尼茨公式- 特殊函数的积分- 积分的应用3. 定积分的应用3.1 曲线的长度与曲面的面积- 弧长的计算- 旋转曲面的面积3.2 定积分在物理学中的应用- 面积、质量与质心的计算 - 动能、功率与功的计算3.3 定积分在经济学中的应用- 需求曲线与供给曲线的面积 - 价值、利润与消费者剩余第三章：多元函数微分学1. 二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限1.2 二元函数的连续性2. 偏导数与全微分2.1 偏导数的计算与应用- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法2.2 二阶偏导数及其应用- 二阶偏导数的定义- 混合偏导数及其应用2.3 多元函数的全微分与高阶微分3. 多元复合函数的导数3.1 链式法则3.2 隐函数的求导3.3 参数方程的求导第四章：无穷级数1. 无穷级数的概念与性质1.1 级数部分和的定义与性质1.2 收敛级数与发散级数的定义1.3 级数的比较判别法与比值判别法1.4 权数级数1.5 幂级数- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛半径与收敛域1.6 函数展开为幂级数2. 函数项级数的收敛性2.1 函数项级数的一致收敛性- 函数项级数的一致收敛性概念 - 一致收敛的Cauchy准则- 一致收敛级数的性质2.2 列举常用函数项级数- 正弦级数与余弦级数- 对数级数与指数级数- 傅里叶级数3. 广义积分3.1 第一类广义积分- 无穷限积分的概念与性质- 无界函数积分的收敛性3.2 第二类广义积分- 函数在无穷点的瑕积分- 瑕积分的收敛性第五章：向量代数与空间解析几何1. 点、向量及其线性运算1.1 点、向量的表示及其线性运算- 向量的表示- 向量的线性运算1.2 平面与直线的方程- 抽象平面与点法式方程- 直线的参数式方程与对称式方程2. 空间解析几何2.1 点、向量的坐标表示2.2 空间曲线的方程- 曲线的参数方程- 曲线的一般方程2.3 曲面的方程- 平面的一般方程- 二次曲面的方程3. 空间直线与平面的位置关系3.1 直线的位置关系3.2 平面与平面的位置关系3.3 直线与平面的位置关系第六章：函数序列与函数级数1. 函数列1.1 函数列的定义与性质1.2 函数列的极限与连续性1.3 函数列的一致收敛性1.4 一致收敛级数的可积性2. 函数级数2.1 函数级数的定义与性质2.2 函数级数的一致收敛性2.3 函数项级数的逐项积分与逐项微分2.4 一致收敛级数的可微性与可积性3. 幂级数展开的收敛域3.1 幂级数展开3.2 幂级数展开函数的性质3.3 幂级数展开的收敛域通过上述格式，可以将高等数学B第二版教材中各个章节的内容准确地进行归纳和总结，使读者能够更清晰地了解和学习相关知识。
2009-2010(2)BD
(B)．1
n→∞
4.设有级数 ∑ un , lim un = 0 是它收敛的（ B
n =1
（A）充分 5.级数 ∑ (−1) n n (A)绝对收敛
(B) 必பைடு நூலகம் （ B ） (B)条件收敛
(C) 充分必要
(C)发散
(D) 无法判断
1
2009—2010 学年 第 二 学期 《高等数学》 课试题 B 卷
Σ Σ1
） 。
（B）
∫∫ yds = 4∫∫ yds
Σ Σ1
(C) ∫∫ zds = 4 ∫∫ zds
Σ Σ1
(D) ∫∫ xyzds = 4 ∫∫ xyzds
Σ Σ1
3.判断极限 lim (A).0
∞
x =( C x →0 x + y y→0
) (C).不存在 ）条件。 (D) 即非充分也非必要 (D).无法确定
总分
得分 评卷人 二、填空题（共 15 分，每小题 3 分） 填空题（ 1.设 a = (2,1,2), b = (4,−1,10), c = b − λa, 且a ⊥ c，则λ =
3
。
2 2 x −1 y −1 z = 2..求曲面 z = x + y − 1 上点(1,1,0)处的法线方程 = 。 −1 2 2
3x π dz 3.函数 z = ye 在点 (1,1) 沿与 x 轴正向成 α = 方向的方向导数 dl 3
(1,1)
=
e3 (3 − 3 ) 。 2
4.设 f (x) 为连续函数， F (t ) =
∫ dy ∫
1
t
1
y
f ( x)dx, 则 F ′(2) =
f (2)
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上 海 海 事 大 学 试 卷
2009 — 2010 学年第二学期期末考试
《 高等数学B （二）》（B 卷）
（本次考试不得使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
(本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)
1、直线x y z
+-=+-=32473
与平面4223x y z --=的关系是 C （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上;
（C ）垂直相交 ; （D ）相交但不垂直. 2、下列结论正确的是（ C ）
（A ） 2a = ; （B ）若0=⋅b a 则必0 =a 或0
=b ;
（C ）c a b a c b a
-=-)( ; （D ）若0 ≠a ，且c a b a =则c b =.
3、设y x
y xy z arcsin
)1(2-+=，那么
=)
1,1(y z ∂∂（ D ） (A) 0 ; (B) 2 ; (C) 2－
π
2
; (D) 2+
2
π. 4、旋转抛物面z=x 2+2y 2-4在点（1，-1，-1）处的法线方程为（ B ）
（A ）
114121-+=+=-z y x ; （B ）11
4121-+=-+=-z y x ; （C ）114121-+=+=--z y x ; （D ）1
1
4121--=-=-+z y x 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)
--------------------------------------------------------------------------------------
装
订
线------------------------------------------------------------------------------------
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1、级数
∑∞=-0
2!2)
1(n n
n
n x 的和函数为 2
)1(2
-x e
2、微分方程''-'=y y x 424cos 用待定系数法确定的特解形式是
y A x B x *cos sin =+44
3、设(,),z z x y =由(,)0z z
F x y y x
+
+=给出，),(v u F 可微 则=∂∂+∂∂y
z
y x z x
xy z - 4、
交换
2
1
2(,)y
dy f x y dx -⎰
得
1
10
2(,)x
dx f x y dy -⎰⎰
三 计算题（必须有解题过程）
（本大题分10小题，共 68分）
1、(本小题7分)
D 由0,1,1==-=+x y x y x 围成，求
⎰⎰D
xd σ
解：⎰
⎰--=x x xdy dx I 11
10 4分
3
1)22(10
2=
-=⎰dx x x 7分
2、(本小题6分)
设133
=-xyz z 确定了z 是x ，y 的二元函数，求x z '。
2,z yz x z xy
∂=∂- （6分）
3、(本小题8分)
求 y e y x x y x f )2(),(2+-=的极值点和极值。
解：2
(22)0(21)0y x y y
f x e f e x x y '⎧=-=⎪⎨'=-++=⎪⎩，解得驻点（1，0） 2分 22,(22),(22)y y y xx
A f e
B x e
C x x y e ''===-=-++ 5分 代入（1，0）得：20,0,(1,0)1AC B A f ∆=
->>=-极小。
8分
4、(本小题8分)
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求解微分方程()0ydx x y dy --=的通解
（一）,dy y
dx x y
=-令,,y xu y u xu ''==+得：21du u x
dx u =- 4分 解得：11ln ln ln ,u u x C cxu e u
---=+∴=，即：y x
Cy e -=。
8分
（二）
1
1
11,[1]dy
dy y y dx x x e dy C e dy y
---⎰⎰-=-∴=-+⎰(ln )y Cy =-； 5、(本小题5分)
判别级数
∑
∞
=+1
3
2
)1(3cos n n n n π
的敛散性 解：,13cos 2
2
）
（+=n n n u n π
数收敛。
由比较判别法知：原级而∴≤+≤
≤,1
)1(02
3n
n n u n
5 分
6、(本小题5分)
判别级数
1,)
1(sin 1
1
>+∑∞
=+a a n a n n n 的敛散性，若收敛，说明其是绝对收敛还是条件收敛 解：1)1(sin ++=
n n a n a n u ,,1
+≤n n
a n
u 2分 11
1lim 12<=⋅+++∞→a
a a a n n n n ，(a >1), ∑∞
=1
n n
u
收敛，所以原级数绝对收敛。
5分
7、(本小题8分)
试将函数2
31
)(2
++=
x x x f 展开为x 的幂级数。
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解：∑∑+∞
=++∞=---=+-+=0102)1()1(2111)(n n n n n n
n x x x x x f 5分
∑∞
=+-
-=0
1
)211()1(n n
n n x
（-1，1）。
8分
8、(本小题8分)
试求曲面x 2+y 2=12－z 与22y x z +=
所围立体的体积。
解：
⎰⎰
+---=
Dxy
dxdy y x y x V )12(2
222 4分
πθπ⎰⎰=
--=3
220
2
99
)12(dr r r r d 8分 9、(本小题7分)
设+
=x x f )(0
()x
f t dt ⎰
,)(x f 是连续函数，求)(x f
解：
()1(),()()1,()1x f x f x f x f x f x Ce ''=+-==-+，5分
由初始条件得：
1,C =所以通解为：()1x f x e =-。
（7分）
10、(本小题6分) 证明不等式：
πσπ52)(sin 165611
32222≤+≤⎰⎰≤+y x d y x 证：
⎰⎰⎰=+1
3
322sin 2)(sin dr r r d y x D
πσ 2分
33933sin 6
,sin !3r r r r t t t t ≤≤-∴≤≤-，4分
⎰
10
3
sin dr r r 5
1
1
4=
≤⎰dr r ⎰1
3
sin dr r r 330
61
)6(1
0104
=-≥⎰dr r r ，所以原不等式成立。
6分。