大气数值模式及模拟考试题答案

u u e I ( kid t ) v v e I ( kid t ) z z e I ( kid t )
将此解代入差分方程组，并进行消元得
^ ^
^
Iu fv gzI sin kd / d 0 、
Iv fu 0
I z HuI sin kd / d 0
ui0, j 1.5 sin(2 ix) sin(2 jy)
1
请写出时间中央差、空间中央差分的差分格式，并用 Fortran 语言写出计算程序。
（启动时步采用时间前差格式，东西向边界取周期条件，南北向边界取固定边界条件） 。 要求:程序中要有明确的变量说明，所写程序符合 Fortran 语言基本标准。(20 分) 答：微分方程的差分格式为:
（6）
把（6）代入（4） ，整理后则有： （7）
（7）即是 坐标系中的连续方程。 5．原始方程模式与过滤模式有哪些不同之处？(10 分) 答: (1)原始方程模式可以描写风场和质量场之间的适应过程，这一过程是通过惯性重力波对能量的频 散实现的；在过滤模式中，也会产生不适应，一旦出现则通过地转近似或者其他风压场的诊断关 系加以调整，这种调整不是通过大气中的物理过程来实现的，而是强加的，这是两者最本质的区 别。 (2)过滤模式受到的限制较多，引入了静力近似，还引入了其他的地转近似或者无辐散近似，而原 始方程模式采用的近似条件较少，因而精度高，适用性强。 (3) 原始方程模式可以描述天气发展的快过程，也可以描述天气发展的慢过程，而过滤模式只能描 述天气发展的慢过程。 (4) 原始方程模式，不论是正压得还是斜压的，在不考虑地形和摩擦作用的情况下，大气总的绝对 角动量守恒，但过滤模式只有个别情形可以保证大气总的绝对角动量守恒。 (5)原始方程模式对初值和计算稳定性非常敏感，对于一定的网格，在保证计算稳定的条件下，其所 取的时间步长约比过滤模式小一个量级。 6．什么是非线性计算不稳定和混淆误差?非线性计算不稳定有何特点?你知道有那些方法 可以克服非线性不稳定? (10 分) 答:非线性计算不稳定是指由于非线性作用产生的不稳定现象. 混淆误差是指: 用有限网格上的函数值只能分解有限的波数,其最短波长为 2 x ,如果非线性作用 产生波长小于 2 x 的分量 , 则网格系统不能正确的分辨 , 而把它错误的表示成某一种波长大于
启动时刻的差分格式为:
c
d
0
程序略. 3．试分析如下差分形式的地转适应方程的解的频散性质。 （20 分）
x u fv g z x 0 t v fu 0 t x z H ux 0 t
其中 x
x
1 ( i 1 i 1 ) 2 x
解：设方程有如下形式的波动解
3
2 x 的波,造成了这种波的误差,这样产生的误差就是混淆误差. 非线性不稳定具有突变的特点,同时它的产生不仅和差分方案有关,也和初值有关. 克服的办法: (1) 进行空间和时间平滑,滤去短波分量 (2) 在方程中加入人工扩散项 (3) 构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式 (4)构造守恒的差分格式.
兰州大学大气科学学院 大气科学/应用气象 专业（班） 年级 课程 大气数值模式及模拟（数值天 气预报） 200 —200 学年 第 2 学期（ A ）卷 期末考试题（ 120 分钟） 考试时间 姓 名 学 号 题 号 分 数 主考教师： 隆霄 1．对线性平流方程： 阅卷教师： 得 分
u u a 0 t x
u
n 1 j
u
n j
u n j t
t
2u n j t
2
(t ) 2 /(2!) .......
所以
u n j t

1 un un j j
2u n j t 2
n 1
t
n 1
t /(2!) .......,时间截断误差为 O(t )
n 1
2
类似的方法把 u j 1 , u j 1 , u j 1 , u j 1 在空间域展开,可以得到截断误差为 O(x ) 2．对线性平流方程：
n 1
u u u c d 0 t x y
其中 c=2.5, d=0.2, x y 0.1, t 0.004 初始条件为：
dp d ( pt ) dt dt
又
（5）
所以：
1 1 1 ] [ ( ] [ Vh ) p t
( Vh ) 0 t
Ikxi
利用冯-纽曼方法,设 u n j Ge
,I
1 ,代入上式,化简可以得到增幅因子表达式为:
G
1 2 I sin kx 1 2 I sin kx 1 2 I sin kx | 1 1 2 I sin kx
由于
| G ||
所以格式绝对稳定. 利用泰勒展开可以得到:
进行消元得频率方程
( ) 2 1 2 sin 2kd / 2d 2 f
相应的群速度公式为

cg
f 2 2 sin 2kd 2d
由此可知当 kd=π/2 时，群速度为 0，波能量不能频散。当 kd=π时，重力惯性波变为纯惯性振荡。 4．已知 P 坐标系中的连续方程为： ( 坐标系中的连续方程。(20 分) 解：对任意变量 F ( x, y, p, t ) F[ x, y, ( x, y, p, t ), t ] 有：

把（2）代入（1）则有： (
F F F ) P ( ) s s s
（3）
利用（3）把 P 坐标系中的连续方程 (
u v ) p 0 --展开有： x y p
（4）
(
V u v ) h 0 x y p
P Pt P Pt u v ) p 0 ，其中 ，请推导出 x y p Ps Pt
2
F F F ) P ( ) ( )p s s s 其中 s 表示 x ， y ，或者 t (
又 (
(1)
( p pt ) p pt 1 )p [ ] p ( p pt ) ( ) (2) 2 s ( p pt ) s s s ( 1 ) s
Crank-Nicolson 的差分格式为：
1 un un j j n 1 n 1 n n a u j 1 u j 1 u j 1 u j 1 ( )0 2 2x 2x(20 分)
at 1 n1 n1 n n ,则差分格式可以展开为: u n un j j (u j 1 u j 1 u j 1 u j 1 ) 4 x
4
1 n 1 uin, j ui , j
2t ui1, j ui0, j 2t
c
uin1, j uin1, j 2x ui01, j ui01, j 2x
d
uin, j 1 uin, j 1 2x ui0, j 1 ui0, j 1 2x
0