绝对连续函数的反例
反函数的连续性(老黄学高数第130讲)
第130讲 反函数的连续性
若函数f在[a,b]上严格单调并连续，
则反函数f-1在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续.
证：(如图)若f在[a,b]上严格增，f-1的定义域为[f(a),f(b)]. 任取y0∈(f(a),f(b))，设x0= f-1(y0)，则x0∈(a,b). ∴∀ε>0，可在(a,b)内的x0两侧取点x1,x2(x1<x0<x2)， 使|x1-x0|<ε，|x2-x0|<ε. 设y1= f(x1)，y2= f(x2)，则y1<y0<y2. 令δ=min(y2-y0, y0-y1)， 则当y∈U(y0,δ)， 有|f-1(y)- f-1(y0)|=|x-x0|<ε，
1、分析反三角函数的连续性.
解：由于y=sin x在区间
上严格单调且连续，
故其反函数y=arcsin x在区间[-1,1]上连续.
同理可知其它反三角函数也在相应的定义区间上连续.
2、证明：y= (q为非零整数)在其定义区间上连续. 证：∵y=xn(n为正整数)在[0,+∞)上严格单调且连续， ∴y= 在[0,+∞)上连续. 又y= (n为正整数)是y= 与u= 的复合函数， 由复合函数的连续性，y= 在(0,+∞)上连续. 综上，y= (q为非零整数)在其定义区间上连续.
有|f-1(y)- f-1(y0)|=|x-x0|<ε，
∴f-1在y0连续，即f-1在(f(b),f(a))连续，
则反函数f-1在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续.
记ya=f(a)， yb=f(b)，则a=f-1(ya)，b=f-1(yb)， ∴∀ε>0，可在点a的右侧取点x’，在点b的左侧取点x”， 使x’,x”∈(a,b)，且|x’-a|<ε，|x”-b|<ε， 设y’= f(x’)，y”=f(x”)，则y’<ya，yb<y”. 取δ=min{ya-y’, y”-yb}, 则 当y∈U+(ya,δ)时， 有|f-1(y)- f-1(ya)|=|x-a|<ε， 当y∈U-(yb,δ)时， 有|f-1(y)- f-1(yb)|=|x-b|<ε， ∴f-1在f(a)右连续，在f(b)左连续，从而在[f(a),f(b)]内连续.
数学《数学分析》判断题
1. 若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数；（原函数存
在定理）的逆命题：若原函数存在，则导函数一定连续。
（错误）
例： 21sin , 0;() 0, 0,
x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 原函数存在，但导函数在x=0出间断；
2. 连续函数必有原函数吗？
正确；证明思路看书p224页定理9.10；
注：某些特殊连续函数以积分的形式给出原函数；
例如y=sinx/x 的原函数不是初等函数；但我们可用变上限积分给出原函数；
3. 若函数再闭区间[a,b]内有界，则必定可积；
反例：在[0,1]上的Diriclet 函数D(x)；
4. 若函数f 在[a,b]内可积，则f 在（a,b ）内至少有一个连续点；
正确；证明方法 反证法；
5. 若|f|在[a,b]可积，则f 在[a,b]内可积。
错，反例：（处处不连续但|f|处处连续的函数）；
6. 若函数f(x)存在原函数，则一定可积；
错，讲义57页；
7. 可积，不连续的函数也可能有原函数；
正确，讲义57页；。
函数连续性判定方法例题和知识点总结
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
实变函数的几个反例
实数域上一个单调递增的有界可微函数f，但lim(x→±∞)f ‘(x)≠0直觉上，一个单调递增的有界函数走到无穷远的地方一定是“平”的，而事实上却并非如此。
我们能构造这样一个函数，它是R上的递增有界函数，但无穷远处的导数并不等于0。
对所有非负整数n，定义f(n)=1 – 1/2^n。
接下来，用下面的方式把函数扩张到全体非负实数：对区间(n, n+1)，用一条光滑的、递增的、导数由0变成1再变成0的函数来连接f(n)和f(n+1)（例如正弦函数的一个完整递增区间缩小至原大小的1/2^(n+2)再加上两根分别等于f(n)和f(n+1)的常函数）。
再令f(-x)=-f(x)。
则这个函数是R上的一个单调递增的有界函数，但导数的极限显然不为0。
事实上，这个函数的导数在无穷远处根本就没有极限，因为不管走到多远导数总能取满从0到1的所有值。
如果把问题的条件改为“严格递增”呢？对于严格递增的有界函数，无穷远处的导数也不见得为0，构造一个反例很简单，只需要在刚才那个函数上面加上一个严格单增的有界函数即可，如令g(x)=f(x)+1-1/2^n。
显然，g(x)仍然单调有界，且g'(x)=f'(x) + ln(2)/2^n，其极限仍然不为0。
函数f在x0的任意小的邻域内都无界，但x→x0时f(x)并不趋于无穷大f(x)=|cos(1/x) / x|满足要求。
无论对于多大的正数N，总存在一个充分接近0的点使得f(x)>N。
例如，取x=1/(nπ)，则f(x)=|1/x|=nπ，上述结论显然。
有趣的是，如果取x=1/((n+1/2) π)，则当n→∞时x→0，且f(x)→0。
这说明，x 趋于0时f(x)并不趋于无穷大。
f(x)→∞，不见得有f ‘(x)→∞与上例比较类似。
考虑(0,1)上的函数f(x)=1/x + cos(1/x)，显然lim(x→0+)f(x)=+∞ 。
但f …(x)=(sin(1/x)-1)/x^2，若令x=1/(2n+1/2)π，当n→∞时f …(x)=0，这说明f …(x)→∞是不成立的。
每一点都连续但不可导的函数
每一点都连续但不可导的函数
在数学中，连续的函数是指在其定义域内的每一点都能够无间断地取到值的函数。
而可导的函数则是指在其定义域内的每一点都有导数存在的函数。
但是，有些函数虽然在定义域内每一点都连续，却不存在导数，这样的函数被称为“每一点都连续但不可导的函数”。
一个著名的例子就是绝对值函数。
在其定义域内，绝对值函数始终为正，并且在x=0处取到最小值0。
因此，绝对值函数在定义域内是连续的。
然而，当我们尝试计算在x=0处的导数时，我们会发现左右导数的值不同，因此在x=0处不存在导数。
还有一个例子是魏尔斯特拉斯函数，其定义方式比较复杂，但其主要特点是每一点都连续，并且其导数在任何地方都不存在。
这个函数的存在证明了即使一个函数在定义域内每一点都连续，也不能保证其一定可导。
每一点都连续但不可导的函数在实际应用中有着广泛的应用，尤其是在分形几何学中。
因为这些函数在一定程度上呈现出自相似的特性，这使得它们可以被用来描述自然界中很多不规则的形态，如云朵、山脉、枝丫等等。
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数分中的反例
1柯西收敛准则（柯西收敛准则）数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>,存在正整数N,使得当n,m >N 时有n m a a ε−<. 下面列出两个命题（1） 数列{}n a 收敛的充要条件是[5]：对任给的0ε>,N ∃,当n N >时,对一切1,2,3,p =,都有n p n a a ε+−<（2） 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>,对1,2,3,p ∀=,N ∃,当n N >时,有n p n a a ε+−<对于以上两个命题,再结合柯西收敛准则,我们很难一下子看清楚哪个是对的,看似他们的表述很接近,貌似都对,实则不然,对于命题2,虽然p 是任意的,但是是在选取N 前就给定的,可能每一个p 都会对应着一个不同的N ,这样就会使得N 的选取和p 的取值有关,从而找不到一个公共的N 使的对任何一个p 都成立,这就是命题2和命题1最本质的区别,经过初步分析我们还不能断定命题2是错误的,如果能举一个反例推翻就可以了,而这种反例是存在的,比如令111123n a n =++++,则111||121n p n pa a n n n p n ε+−=+++<<++++, 对任意给定的p ,当n 充分大时成立,所以111123n a n =++++ 是满足命题2的要求的,但是我们知道111123n a n=++++是发散的,所以命题2是不对的.通过这个反例可以看出反例在加深理解定理中的作用是不言而喻的.2 stolz 公式∞∞型Stolz 公式若{}n y 严格递增且lim n n y →∞=,+∞,11limn n n n n x x l y y −→∞−−=−,则11limlim n n n n n n n n x x xl y y y −→∞→∞−−==−（l 是有限数,+∞或−∞） οο型Stolz 公式 若{}n y 严格递减且lim 0n n y →∞=,lim 0n n x →∞=,11limn n n n n x x l y y −→∞−−=−,则11limlim n n n n n n n n x x xl y y y −→∞→∞−−==−（l 是有限数,+∞或−∞） 注意上面的l 可以是有限数,也可以是+∞或−∞,但是11limn n n n n x x y y −→∞−−=∞−,一般推不出limnn nx y →∞=∞,例如令 {}n x =222(0,2,0,4,0,6,),n y =n,这时虽然11limn n n n n x x y y −→∞−−=∞−,但是n n y x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=(0,2,0,4,0,6,),即lim n n n xy →∞≠∞.要特别注意的是Stolz 公式的逆命题是不成立的,现以∞∞型Stolz 公式为例, 即使{}n y 严格递增且lim n n a →∞=,+∞,limn n n x l y →∞=,但是推不出11lim n n n n n x xl y y −→∞−−=−,如我们用Stolz 公式很容易知道如果lim n n a a →∞=,则12limnn a a a a n→∞+++=,但是由此等式反过来我们是推不出lim n n a a →∞=的,例如：令n a =(1)n −,显然12lim0nn a a a n→∞+++=,但是lim 0n n a →∞≠.针对上例我们还可以得到推不出lim n n a a →∞=是因为{}n a 的极限不存在,如果存在的话,lim n n a a →∞=一定成立,所以加上{}n a 单调这个条件就可以确定lim n n a a →∞=成立,因为如果{}n a 单调就可以保证{}n a 的极限是存在的,要么是有限数,要么是+∞或−∞,而这三种情况恰好在Stolz 公式的使用范围内,这也是我们构造的反例一定不能是单调数列的原因.3 有界变差数列都是收敛数列.逆命题不真.2132431||||||||n n n A a a a a a a a a c −=−+−+−++−<（c 为常数）,则称数列{}n a 为有界变差数列.可以证明有界变差数列都是收敛数列,但是收敛数列却不一定是有界变差数列,例如：{}11111,1,,,,,,22n a n n⎧⎫=−−−⎨⎬⎩⎭, 显然lim n n a →∞=0,但是21324312143221||||||||||||||1112(1)23n n n n a a a a a a a a a a a a a a n−−−+−+−++−>−+−++−=++++→+∞4.若1limn n na a a +→∞=,0n a >,则1n =.逆命题不对.例如：2(1)n n a =+−={}1,3,1,3,1,3,,1n =,但是21213n n a a +=,2213n n a a −=,故1lim n n na a +→∞不存在.这就是在级数收敛判别法中能用比式判别的一定可以用根式判别法来判定,而在有些题目中能用根式判别法却不能用比式判别法的原因,这也说明根式判别法比比式判别法应用的范围更大一些.5周期函数并不是非常数的周期函数都有最小正周期,下面我们寻求一个没有最小正周期的非常数的周期函数,可以证明非常数的连续周期函数必有最小正周期[5],所以我们构造的函数一定是不连续的,如狄利克雷函数,1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,它的周期是全体有理数,因而没有最小正周期.6复合函数(),()y f u u g x ==,已知00lim ()x x g x u →=,0lim ()u u f u A →=,若0x x →的过程中()g x 始终保持有0()g x u ≠,则复合函数的极限0lim (())x x f g x A →=.注意这里的0()g x u ≠容易忽略,但确实又是必不可少的,例如：1,0()0,0u y f u u ≠⎧==⎨=⎩ 及,()0,x x u g x x ⎧==⎨⎩为无理点为有理点,这时0x →时0u →,0u →时()1y f u =→,但复合后的极限不存在,因为1(())0x f g x x ⎧=⎨⎩，为无理点，为有理点.由此可知0()g x u ≠是不能去掉的,但是如果外层函数连续,则lim (())(lim ())x x x x f g x f g x →→=,就不必假定在极限过程中0()g x u ≠了.7一致连续定义 设f 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>,存在()0δδε=>,使得对任何1x ,2x ∈I,只要12||x x δ−<,就有12|()()|f x f x ε−<,则称函数f 在区间I 上一致连续.由一致连续的定义可以证明,在有限开区间上一致连续的两个函数之积仍然是一致连续函数.现在我们来看在有限开区间上一致连续的两个函数之商和在无穷区间上一致连续的两个函数之积是否还是一致连续函数.通过反例我们可以知道这时就不一定成立了,如：1与x 在（0,1）上一致连续,但其商1x在（0,1）上不一致连续.x 与x 在(0,,+∞)上一致连续,但2x 在(0,,+∞)上不一致连续.8.,众所周知,若()f x 的导函数在I 上有界,则()f x 一定一致连续.我们的问题是逆命题是否成立呢？答案是否定的,因为()f x =在（0,1）上一致连续,但'()f x =在（0,1）上是无界的.这里还有个重要的结论,若()f x 在[),a +∞上连续且处处可导,且'lim |()|x f x A →+∞=（有限或无限）,则当且仅当A 为有限时,()f x 在[),a +∞一致连续.证,⇒,因为A 有限,12|()()|f x f x −=|'()f ξ|12||x x −≤M 12||x x −,由Lipschitz 条件可得()f x 一致连续.⇐,,反证法：假如A=+∞,令0ε=1,1x =b>0,,2x =b+1n,对n N ∀∈,b 充分大时,有 12|()()|f x f x −=|'()f ξ|1n≥0ε=1, 故()f x 非一致连续.9导数定义 设函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义,若极限00()()limx x f x f x x x →−−存在,则称函数f 在点0x 处可导.由定义可知函数的可导是针对一点而言的,所以存在只在一点可导,在这一点的任何领域内都不可导的函数,因为连续也是针对点而言的,我们知道存在只在单点连续的函数,在这一点的任何领域内都不连续,如黎曼函数,那么是否存在这样的函数,只在一点可导,在其他任一点都不连续,这样的函数是存在的,如()f x ,=2()x D x 仅在点0x =0处可导,在其他任意一点都不可导,且不连续,其中()D x 是狄利克雷函数.1.,可导函数()f x 在某点满足'0()0f x >,但不能断定()f x 在0x 的某领域内单调递增,如212sin ,0()=00x x x f x xx ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩， , 则'1114sin 2cos ,0()=0x x f x x xx ⎧+−≠⎪⎨⎪=⎩1， , 在0x =0点,'(0)=1>0f ,但在原点的任意领域内'()f x 都取正值和负值. 2.导函数不一定连续.例如21sin ,0()=0x x f x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩0， , 则'112sin cos ,0()=0x x f x x xx ⎧−≠⎪⎨⎪=⎩0， , '()f x 在0x =点间断,并且是第二类间断点,其实这并不是偶然,因为导函数是没有第一类间断点的,并且还可以证明导函数如果有第二类间断点一定是振荡型的第二类间断点.10 若()f x 在(,)a +∞内可导,并且'lim ()=A x f x →+∞,则 ()lim=A x f x x→+∞这由推广的洛必达法则很容易得到,但是此命题的逆命题不真.如,()=sin f x x ,(,)x a ∈+∞,sin limx xx →+∞=0,但是'lim ()=lim cos x x f x x →+∞→+∞不存在.11 lim()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞的关系 由推广的洛必达法则我们还可以知道,设()f x 在(,)a +∞内可导,若lim ()x f x →+∞,,'lim ()x f x →+∞都存在,则'lim ()x f x →+∞=0.现在我们来进一步探讨在()f x 在(,)a +∞内可导的前提下lim ()x f x →+∞,和'lim ()x f x →+∞之间的关系.下面的两个反例告诉我们它们是无关条件,即()f x 在(,)a +∞内有界可导,且有lim ()x f x →+∞存在,但'lim ()x f x →+∞不一定存在,例如2sin ()=x f x x,(0,)x ∈+∞则2'22sin ()=2cos x f x x x−,显然lim ()=0x f x →+∞但是'lim ()x f x →+∞不存在.反之如果()f x 在(,)a +∞内有界可导,且'lim ()x f x →+∞存在,但lim ()x f x →+∞不一定存在,例如：()=cos(ln )f x x ,(0,)x ∈+∞,它在(0,)+∞上有界且可微,且'sin(ln )()=x f x x−, 所以'lim ()x f x →+∞=0,但是lim ()x f x →+∞不存在.12 极值若连续函数()f x 在0x 点有极大值,则在此点的某一领域内一定满足()f x 在此点的左侧递增右侧递减.这个命题初看很正常,感性认识是对的.但是事实并非如此,例如,212(2+sin ),0()=00x x f x xx ⎧−≠⎪⎨⎪=⎩， , ()f x 在0x =0取得极大值2,而'11()cos 2(2sin ),0f x x x x x=−+≠在0x =0的任意小的邻域内都时正时负,故在0x =0的左右两侧任意领域内()f x 都是震荡的.13原函数与可积函数之间的关系1．可积但不一定存在原函数.例如黎曼函数1,,,()0,0,1p x p q q pq q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩互素，以及（0，1）内的无理数,1()=0f x dx ⎰,但是()f x 是没有原函数的,因为导函数没有第一类间断点且具有介值性,而黎曼函数在无理点连续,在有理点间断,并且是第一类间断点,况且()f x 没有介值性,因为取不到无理数,所以()f x 是没有原函数的.从这个例子中也可以看出有无数个间断点的函数也可能可积,进一步我们会知道黎曼可积的一个充要条件是几乎处处连续,因为有理点可列,显然黎曼函数符合要求.2.有原函数但不一定可积.例如221212sin cos ,0()00x x f x x x xx ⎧−≠⎪=⎨⎪=⎩， ,在区间[]-1.1上()f x 有原函数221sin ,0()00x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩， , 但是()f x 在[]-1.1上不可积,（因为()f x 在[]-1.1上无界）.14.,若()=0ba f x dx ⎰可积,则()f x 在[],ab 一定有界.反之不真.例如狄利克雷函数1,()1x f x x −⎧=⎨⎩为有理数，为无理数,在[],a b 内有界,但是()D x 是不可积的.15. 若()f x 可积,则|()|f x 和2()f x 都可积,但逆命题不真.例如1,()1x f x x −⎧=⎨⎩为有理数，为无理数,|()|f x ,2()f x 在[],a b 内都可积,但是()f x 在[],a b 内是不可积的.16可积和绝对可积以及平方可积之间的关系1. 绝对可积必可积，反之不然.,例如()f x =sin x x 在()0+∞，上可积,但|()f x |=|sin xx|在()0+∞，上不可积. 2.可积未必平方可积.,例如1+∞⎰收敛,但21sin x dx x +∞⎰不收敛. 这个结论的直观体现也很明显,因为条件可积很可能是因为正负项相消造成的,而一旦平方后就不存在正负项相消的现象,并且函数值增长的速度还会加快,最终导致不在收敛.3．对瑕积分,平方可积必可积; 对无穷积分,平方可积未必可积.,例如()f x =231x,显然2()f x 在[)1+∞，上可积,但()f x 在[)1+∞，上不可积.要知道瑕积分和无穷积分的最大区别是,对瑕积分而言,当自变量趋于瑕点时,函数值一定是趋于无穷的,而平方会加快趋于无穷的速度,既然快速的都收敛了,慢速度的一定会收敛,这是对瑕积分平方可积必可积的一种直观解释。
函数不连续的三种情况
函数不连续的三种情况在数学中，函数的连续性是一个很重要的概念。
如果一个函数在某一点处不连续，那么在这个点处函数无法被定义或者在这个点的左右极限值不同。
下面，我们将讨论三种函数不连续的情况。
1.第一类间断点如果一个函数在某一点的左右极限存在但不相等，那么该函数在这个点处存在第一类间断点。
例如，函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处存在第一类间断点。
当$x$趋近于0时，函数值既可以趋近于正无穷大，也可以趋近于负无穷大，因此$f(x)$在$x=0$处的左右极限不存在。
2.第二类间断点如果一个函数在某一点处一个或两个极限不存在，那么该函数在这个点处存在第二类间断点。
例如，函数$g(x)=\operatorname{sgn}(x)$在$x=0$处存在第二类间断点。
当$x$趋近于0时，函数值既可以趋近于1，也可以趋近于-1，因此$g(x)$在$x=0$处只有右极限存在，不存在左极限。
3.可去间断点如果一个函数在某一点的左右极限存在且相等，但函数在这个点处没有定义，那么该函数在这个点处存在可去间断点。
例如，函数$h(x)=\frac{\sin x}{x}$在$x=0$处存在可去间断点。
显然，当$x=0$时，$h(x)$没有定义，但当$x$趋近于0时，$\frac{\sin x}{x}$的极限存在，且等于1。
总之，函数不连续的三种情况分别是第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
对于这些不连续点，我们需要在求导等计算中特别注意。
同时，这些点也往往对于理解函数的性质和特殊点具有重要意义，需要我们加以研究和掌握。
《实变函数》试卷及参考答案
《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
实变函数(复习资料_带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是nR 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
连续与不连续函数
数学中关于函数的概念非常重要，而其中一个重要的性质就是连续性。
在数学中，函数的连续性指的是函数在其定义域内没有任何的跳跃点或者间断点。
换句话说，当我们在函数图像上追踪点时，我们不会遇到任何间断或突变。
一个连续函数是指在其定义域内任何两个相邻的值之间都没有断连。
也就是说，一个函数f(x)在[a, b]内连续，当且仅当对于[a, b]内任意两个实数x1和x2，都有f(c)介于f(x1)和f(x2)之间的某个值，其中c是[a, b]上的某个实数。
连续函数的一个重要特征是，它们可以通过画出函数图像来表示。
例如，我们可以画出一个连续函数的图像来观察其变化情况。
在图像上，我们可以看到函数的趋势以及任何可能的间断点。
这使我们能够更好地了解函数的行为，从而进行更准确的推断和分析。
与连续函数相对的是不连续函数。
不连续函数是指在其定义域内存在一个或多个间断点的函数。
这些间断点可能是无穷或有限的。
不连续函数的最常见类型是跳跃间断和无穷间断。
跳跃间断又称为第一类间断，是指函数在某一点上具有有限或无限的间断。
换句话说，函数的极限值在该点不存在或不等于函数的函数值。
这种情况下，函数在间断点上左右极限不相等。
一个常见的例子是阶梯函数，它在一个点上跃变。
另一种类型的不连续函数是无穷间断。
无穷间断在某一点上的函数值趋近于无穷大或负无穷大。
在这种情况下，函数的极限值在该点不存在。
一个常见的例子是函数1/x，在x = 0时具有无穷间断。
不连续函数的图像通常是间断的，这意味着它们在定义域内存在着突然的变化或者断开。
这使得不连续函数的分析和推论变得更加困难，因为无法通过简单的观察函数图像来判断其行为。
连续性在数学中具有广泛的应用。
它在微积分、实数分析、物理学等领域中被广泛应用。
例如，在微积分中，连续性是求解导数和积分的重要前提。
在实数分析中，连续性是用于刻画实数集合的重要性质。
在物理学中，连续性是描述物理现象和量的变化的基础。
总结起来，连续与不连续函数是数学中重要的概念。
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绝对连续函数的反例
在数学中，连续函数是一种在实数集上定义的特殊函数，它在数学
分析和数学建模中起着重要的作用。连续函数的定义是指在给定区间
上的函数图像没有断裂或突变，也就是说，它们在定义域内的任意两
个点之间保持无间断的连接。然而，在连续函数的概念中，也存在着
一个特殊的例外，即绝对连续函数。
绝对连续函数是一类比连续函数更加"光滑"的函数，它具有比连续
函数更严格和强大的性质。一个函数被称为绝对连续函数，当且仅当
在任意给定的正数ϵ>0，存在正数δ>0，对于定义域内的任何一个有限
集合{x_i}，只要这个有限集合的直径小于δ，即max(x_i)-
min(x_i)<δ,那么对于这个有限集合定义的图像的值的波动不会超过ϵ，
即|ƒ(x_i)-ƒ(x_j)|<ϵ对于所有的x_i和x_j成立。
在绝对连续函数的定义中，我们可以看到，在有限集合定义的图像
的值的波动不会超过给定的正数ϵ。这个特性在数学中具有极大的实用
价值，特别是在微积分的证明和研究过程中。
然而，我们也可以找到绝对连续函数的反例。下面我将介绍一种绝
对连续函数的反例，即柯西函数(Cauchy function)。
柯西函数是由奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin-Louis Cauchy)提出的，
它可以被定义为以下形式的函数：
ƒ(x)=Σ[1/(n^2sin(n))]cos(n^2x)
其中n为正整数。
柯西函数具有一些特殊的性质，其中最重要的是它是连续函数，但
不是绝对连续函数。这一事实使得它成为绝对连续函数的反例。
为了证明它是连续函数，我们可以使用极限的概念来进行推导。首
先，我们可以根据威尔斯特拉斯判别法(Werestrass' criterion)得出，对
于任意正整数n，函数ƒ(x)在区间[0,1]上都是一致收敛的。这意味着无
论给定任意的正数ϵ>0，存在正整数N，对于所有n>N，有
|Σ[1/(n^2sin(n))]cos(n^2x)-Σ[1/(n^2sin(n))]cos(n^2y)|<ϵ。
然后，我们可以观察到柯西函数的每一项都是连续函数。对于每个
固定的正整数n，函数Σ[1/(n^2sin(n))]cos(n^2x)都是连续函数。因
此，由连续函数的性质可得，柯西函数ƒ(x)是连续函数。
然而，柯西函数在[0,1]上不是绝对连续函数。我们可以通过选择合
适的正数ϵ和有限集合{x_i}来证明这一点。假设我们选择ϵ=0.5，以及
有限集合{x_i}={1/i}，其中i为正整数。
根据柯西函数的定义，我们可以计算出集合{x_i}对应的图像的值为
{Σ[1/(n^2sin(n))]cos(n^2/i)}。根据柯西函数的特点，我们可以发现
这个值的波动是非常大的，而且不会收敛到0。因此，对于任意给定的
正数δ，我们都可以找到一个有限集合{x_i}，使得max(x_i)-
min(x_i)<δ，但对应的图像的值的波动大于0.5，违反了绝对连续函数
的定义。
综上所述，柯西函数是一个连续函数，但不是绝对连续函数的典型
例子。它的存在证明了在连续函数的概念中，绝对连续函数并不是所
有连续函数的普遍性质。这个例子对于理解和研究连续函数的性质具
有重要的意义，同时也提醒我们在数学推导和研究中要注意特殊情况
和例外。
通过对柯西函数的反例的研究，我们可以更好地理解和掌握连续函
数的性质，并在数学的发展中不断深入探索。尽管柯西函数在实际问
题中的应用相对较少，但它作为绝对连续函数的反例，为我们提供了
一个重要的思维框架和启示，帮助我们更好地理解和应用连续函数的
概念和性质。在数学研究和教学中，我们需要注重这些特殊例子的引
入和深入研究，以推动数学的发展和应用。