数学与应用数学专业毕业论文--浅谈微积分中的反例
浅谈微积分中的反例摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。
关键词 反例、微积分、函数.1 引言在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。
同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。
用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。
2 微积分中反例的作用与意义2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。
许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。
运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。
2.1.1连续问题定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.反例： 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,0,0,),(222222y x y x yx xyy x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近000022222lim (,)lim 01x x y kx kx kf x y x k xk →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无关,故可能不连续.2.2可导、可微问题定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限000()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1](),(1,2]x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但()f x 在0x =1处不可导.情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.情形3[2]一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可微.反例：函数(,)f x y =在原点()0,0存在两个偏函数,即0(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上,0.=→(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点()0,0不可微.2.3可积问题定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有1()niii f x Jεε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.反例：①函数2212102cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧≠+⎪=⎨=⎪⎩, 显然2210cos ,()00,x x F x xx ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,取0()n x n =→→∞,则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以()f x 在[-1,1]上不可积.②函数 1,10()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪==⎨⎪<≤⎩, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区间[,]a b 不一定可积. 反例：函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数,函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。
可见,“举反例”不仅能帮助我们搞清楚各个概念、定理间的区别和联系,而且从众多的典型例子中,还可以总结出一般性结论。
2.2运用反例可以以一种特殊的方式准确把握概念之间的关系微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系,可以通过运用适当的反例进行准确理解把握.同时也能培养与提高人的辩证思维能力。
2.2.1可导与连续问题情形1 若函数()y f x =在0x 可导, 则函数()y f x =在0x 连续,但逆命题不成立, 即函数在一点连续,函数在该点不一定可导.反例：函数()1f x x =+,在0x =连续,但在0x =不可导,事实上,0lim ()lim 11(0)x x f x x f →→=+==,所以()f x 在0x =连续; 但极限00()(0)limlim 110x x x f x f x x →→-==--或不相等, 所以()f x 在0x =不可导.情形2 函数()f x 在0x x =处可导, 则函数()f x 在0x x =的邻域为不一定连续. 反例：函数2,()0,x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,在0x =处可导,但在0点的任何邻域, 除0点外都不连续.情形3 ()f x 在0x x =处可导, 则()f x 在0x x =处是否有连续导数？ 反例：函数210()0,0x x xf x x ⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，cos +1，在0x =处可导, 但导数不连续； 事实上,20001cos()(0)1(0)lim lim lim cos 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-, 即()f x 在0x =处可导,但当0x ≠时, 2211111()2cos sin ()2cos sin f x x x x x x x x x '=-⋅-=+极限2200011111lim ()lim[2cos sin ()]lim(2cos sin )x x x f x x x x x x x x x→→→'=-⋅-=+不存在, 即()f x 的导数不连续.综上归结,对一元函数()f x 在点0x 可有：→→←←⇔可微可导连续有极限.通过恰当的反例可以快捷而准确地把握好它们间的所存在的关系。
浅析反例在数学分析中的应用
学号：201092210228西北师范大学知行学院本科学生毕业论文浅析反例在数学分析中的应用系别名称：数学系专业名称：数学与应用数学学生姓名：张成山指导教师：程辉教授二〇一四年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF ZHIXING COLLEGE OF NWNUApplication of counter examples in mathematical analysisDept of ：Department of mathematicsSubject：Mathematics and applied mathematics Name ：Zhang ChengshanDirected by：Cheng Hui ProfessorMay 2014摘要数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义.而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.本文主要针对学生在学习数学分析中存在的种种问题，列举了一些反例旨在帮助学生正确理解数列、函数极限、级数、导数及积分等概念和相关理论.关键词:数列；极限；导数；积分ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course for students, the formation of mathematical thinking, have important significance for further learning. But there are many theorems in mathematical analysis proposition in essence, using appropriate counterexample grasping concepts or rules from another side, and thus more likely to deepen the understanding of knowledge. In this paper, aiming at the problems students have in learning in mathematical analysis, some counter examples to help students understand the sequence, limit of function, series, derivative and integral concept and related theory.Key words:Sequence; limit; derivative; integral目录序言 (1)一反例的类型 (2)1.1 基本形式的反例 (2)1.2 充分条件假设判断的反例 (2)1.3 必要条件的假设判断反例 (2)1.4 条件性反例 (2)二数列中的反例 (3)2.1 判断两个论断是否与极限定义等价的反例 (4)2.2 收敛数列的四则运算中的反例 (4)2.3 发散数列的反例 (4)2.4 两个非负的发散数列中的反例 (5)2.4 有界变差数列逆命题的反例 (5)三函数极限与性质的反例 (6)3.1函数极限的定义的反例 (6)3.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 (6)3.3 不连续函数的和与积是连续函数的反例 (7)3.4周期函数的和不是周期函数的反例 (8)四级数中的常见反例 (9)4.1 级数收敛，其部分和数列有界且收敛的反例 (9)4.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例 (9)4.3 条件收敛级数可以不是交错级数 (10)4.4 两级数收敛，但它们Cauchy乘积发散 (11)五一元函数导数及其积分中的反例 (11)5.1一元函数中导数中的反例 (11)5.2 一元函数中积分中的反例 (12)六多元函数微积分中的反例 (14)6.1 累次极限和二重极限的相关反例 (14)6.2 多元函数微分学其他反例 (15)6.3 同一函数累次积分不同的反例 (16)6.4与曲线方向无关的第二类曲线积分 (17)总结 (19)参考文献 (20)序言数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.本文一共分为六个章节：反例类型、数列中的反例、函数极限与性质的反例、级数中的常见反例、一元函数导数及其积分中的反例、多元函数微积分中的反例.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.一 反例的类型简单地说，数学分析中的反例就是指一种指出某命题不成立的例子.反例概念的产生与数学命题的结构的密切相关，常见的反例类型有基本形式的反例，充分条件假言判断的反例，必要条件假言判断的反例，条件变化型反例.1.1 基本形式的反例数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断、全程否定判断、特称肯定判断、特称否定判断.例1.1[3] “所有初等函数在定义域内都连续，故都存在原函数，且原函数都可以用初等函数表示.”对上述全称肯定的判断，可举一个特称否定判断的反例.如：sin ()xf x x=在0x ≠处连续，但其原函数却不能用初等函数表示.1.2 充分条件假设判断的反例充分条件假设判断是某事物情况是另一事物情况的充分条件的假设判断 ,可表达为q p →.例1.2[3] 可导函数必连续，但连续函数却不一定可导. 如：函数sin y x =在x k π= ()k π∈处连续，但不可导.1.3 必要条件的假设判断反例必要条件的假设判断是判定某事物情况是另一种事物情况必要条件的假言判断,可表达为q p ←.例1.3[3]级数1n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=反之不然。
数学与应用数学专业毕业论文--浅谈微积分中的反例
浅谈微积分中的反例摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。
关键词 反例、微积分、函数.1 引言在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。
同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。
用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。
2 微积分中反例的作用与意义2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。
许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。
运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。
2.1.1连续问题定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.反例： 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,0,0,),(222222y x y x yx xyy x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近000022222lim (,)lim 01x x y kx kx kf x y x k xk →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无关,故可能不连续.2.2可导、可微问题定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限000()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1](),(1,2]x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但()f x 在0x =1处不可导.情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.情形3[2]一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可微.反例：函数(,)f x y =在原点()0,0存在两个偏函数,即0(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上,0.=→(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点()0,0不可微.2.3可积问题定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有1()niii f x Jεε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.反例：①函数2212102cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧≠+⎪=⎨=⎪⎩, 显然2210cos ,()00,x x F x xx ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,取0()n x n =→→∞,则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以()f x 在[-1,1]上不可积.②函数 1,10()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪==⎨⎪<≤⎩, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区间[,]a b 不一定可积. 反例：函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数,函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。
微分中的一些反例
微分中的一些反例
晋慧峰;张明学
【期刊名称】《煤炭高教研究》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】数学由两个大类一证明和反例组成。
而数学发现也是朝着两个主要目标—提出证明和构造反例。
反例，在数学的历史中也称为例外、怪物。
怪物的确是令人头痛的问题。
然而正是许许多多的怪物使数学上的一些猜测被拒绝，修改完善成公理或定理，使数学的论证走向严密，推动数学的新学科逐步发展完善。
众所周知，确定一个命题为真，必须经过一系列的严密的逻辑推理。
而要确定一个命题不真，则只需举出一个反例。
事实证明：反例在数学研究与发展中起着不可估量的作用。
【总页数】5页(P22-25,29)
【作者】晋慧峰;张明学
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.向量测度中的一些结论和渐近鞅中的一个反例 [J], 何一农;马天水;李海英
2.有关微分同胚在分析学中的一些反例 [J], 王刚
3.多元函数微分学的基本概念内在关系中的反例 [J], 赵继红
4.类比法在多元函数微分学构造反例教学中的应用 [J], 杨亚莉;王茜;黄国荣
5.多元函数微分学中的反例构造技巧 [J], 戴敏
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浅谈数学分析中反例的作用
浅谈数学分析中反例的作用数学分析是一门基础的数学学科，研究实数集上函数的性质以及极限、连续性、收敛性等概念与定理。
在数学分析的学习过程中，反例是一种非常重要的工具和思维方式。
本文将从数学分析中反例的定义、作用以及展示的方式等方面进行探讨。
首先，反例是指用以证明或推翻一些命题的合理例子。
在数学分析中，经常会用到反例来证伪一个命题，即通过构造一个特殊的例子，使得命题不成立。
反例通常是通过对已知条件进行逻辑推理和推导，然后找出一个具体的实例来使得不等式、恒等式或者条件不成立。
其次，反例在数学分析中的作用是多方面的。
首先，反例可以用来验证是否存在其中一种性质或者条件。
例如，对于一些命题，我们可以通过构造一个反例来证明该命题不成立，从而说明该性质或条件不存在。
其次，反例还可以用来辅助理解和洞察数学概念和定理。
通过构造特殊的反例，可以帮助我们更加清晰地认识和理解一些概念或者定理的含义和适用范围。
最后，反例还可以用来研究数学问题的边界和极限情况。
通过找到一系列逼近一些反例的例子，可以帮助我们确定问题的解或者趋势。
在数学分析中，展示反例有多种方式。
一种常见的方式是通过构造具体的数字或者函数表达式来展示反例。
这种方式比较直观和具体，可以通过计算和观察来验证反例的有效性。
另一种方式是通过逻辑推理和证明来构造反例。
例如，可以通过反证法或者归谬法来推导出反例的存在。
另外，还可以通过反例的存在性和唯一性来讨论。
不同的方式展示反例都有各自的优势和适用范围，具体选择取决于问题的性质和结构。
实际上，反例不仅在数学分析中起着重要的作用，也在数学的其他分支中扮演着重要的角色。
例如，在代数学中的群论和环论中，经常会用到反例来验证或推翻一些命题。
在几何学中，反例也常常被用来证明一些定理不成立或者特殊情况下的解决方法。
总之，反例在数学分析中的作用是不可忽视的。
它不仅可以用来验证性质或条件的存在与否，还可以帮助我们更好地理解和掌握数学概念和定理。
毕业论文反例在数学分析中的应用
包头师范学院本科毕业论文题目：反例在数学分析中的应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：常秋胜二〇一年月反例在数学分析中的应用摘要：数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。
而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。
反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。
恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。
关键词：数学分析反例数列极限微积分Abstract：Mathematical analysis is an important basic course, it's very important to the formation of mathematical thought of students and learning of the following courses.However there are a lot of theorems and propositions, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, Consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, it’s necessary to use counterexamples felicitously.Key words: Mathematical Analysis Counterexample Series Limit Calculus目录序言 (1)1 收敛数列的性质及反例 (2)1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例 (2)1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例 (3)1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例 (4)1.4 有界变差数列逆命题的反例 (5)2 函数极限与性质的反例 (6)2.1函数极限的定义的反例 (6)2.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 (6)2.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例 (7)2.4 周期函数的和不是周期函数的反例 (8)2.5 介值定理的反例 (9)3 一元函数微积分中的反例 (10)3.1 一元函数微分学中的反例 (10)3.1.1 中值定理相关反例 (10)3.2 一元函数积分学反例 (12)3.2.1 Riemann可积相关反例 (12)3.2.2 Newton-Lebniz 公式相关反例 (13)3.2.3 积分中值定理相关反例 (13)4 级数中的常见反例 (14)4.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛 (14)4.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例 (15)4.3 条件收敛级数可以不是交错级数 (15)4.4 两级数收敛，但它们的Cauchy乘积发散 (16)5 多元函数微积分中的反例 (17)5.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例 (17)5.1.1 累次极限和二重极限的相关反例 (17)5.1.2 多元函数微分学其他反例 (18)5.2 重积分及其反例 (19)5.2.1 同一函数累次积分不同的反例 (19)5.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分 (20)总结 (22)参考文献 (23)致谢： (24)序言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。
谈微积分反例
微积分谈微积分中的反例摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养逆向思维能力。
用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。
1连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。
同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。
情形1 若函数f（x）在a连续，则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。
反例：函数f（x）=1，x?叟0-1，x<0，虽然f（x）=1在x=0处连续，但f（x）在x=0处不连续。
情形2 可导函数必定是连续函数。
那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。
反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等，所以f（x）在x=0不可导。
情形3 函数f（x）在x=x0处可导，则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。
反例：函数f（x）=x，x为有理数0，x为无理数，在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。
情形4 f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续导数？反例：函数f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0处可导，但导数不连续。
事实上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x ≠0时，f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin ,极限f′(x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。
微积分教学中反例的应用
微积分教学中反例的应用摘要：本文通过具体实例，来加强学生在微积分学习中对概念的理解，进而培养学生的创造精神、提高学生纵向思维的能力。
关键词：应用反例微积分高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。
它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。
通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力，我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导，在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论，但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。
通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。
本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。
一、两个无穷小的商一定是无穷小吗？在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。
学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗？对于这一结论大部分同学认为是正确的。
不妨举一个反例：如： =0， =0都是无穷小量，而（第一个重要极限），显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。
二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗？最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值（据团区间上的连续函数的性质）。
1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间（a，b），那么结论不一定成立。
如求f（x）=x在区间（2，4）上的最大值与最小值。
浅谈反例在高中数学教学中的应用
浅谈反例在高中数学教学中的应用一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是以“浅谈反例在高中数学教学中的应用”为主题，旨在通过反例的引入和分析，帮助学生深刻理解数学概念、定理和方法。
在高中数学教学中，反例具有独特的价值，能够揭示数学问题中的误区和盲点，提高学生的思辨能力和解题技巧。
本节课将围绕反例的应用，引导学生探索数学的奥秘，培养他们严谨、缜密的数学思维。
2、教学对象本次教学的对象为高中学生，他们对数学基础知识和基本技能已有一定掌握，具备一定的数学思维能力。
然而，在解决实际问题时，学生往往容易陷入思维定势，无法灵活运用所学知识。
因此，通过本节课的教学，旨在帮助学生打破思维局限，提高他们运用反例分析问题、解决问题的能力。
此外，针对不同学生的个性特点和学习需求，教师将因材施教，使每位学生都能在课堂上得到充分的发展。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解反例的概念，掌握反例在高中数学教学中的应用方法；（2）能够运用反例分析数学问题，揭示问题中的误区和盲点；（3）通过反例学习，提高数学思维能力，培养严密的逻辑推理和论证能力；（4）掌握反例在解决高中数学问题中的技巧，提高解题速度和正确率。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等形式，引导学生主动发现反例，培养他们的问题意识；（2）运用比较、归纳、推理等思维方法，对反例进行深入分析，提高学生分析问题的能力；（3）结合实际案例，让学生在实践中感受反例的价值，培养他们运用反例解决问题的能力；（4）通过反思和总结，使学生认识到反例在数学学习中的重要性，形成长期的学习习惯。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的热爱和兴趣，激发他们主动探索数学问题的欲望；（2）通过反例学习，使学生认识到数学的严谨性和思维的辩证性，培养他们勇于质疑、善于思考的品质；（3）培养学生面对困难时，保持积极向上的心态，勇于克服挑战；（4）引导学生认识到反例在数学发展中的重要作用，树立正确的价值观，尊重知识和科学；（5）通过小组合作，培养学生团结协作、共同进步的精神，增强集体荣誉感。
浅谈微积分中的反例
浅谈微积分中的反例微积分是数学中一门基础重要的学科，它将有关函数变化的基本原理抽象为几何图形和数学公式，构成数学上反映某种物理现象的范畴。
在微积分中，许多概念和定理具有普遍的有效性，但也有一些反例，即在特定情况下，它们并不适用。
本文将从几何角度、运动反例和定性推理的反例三个方面讨论微积分中的反例，进一步完善对微积分的理解。
首先，微积分中的反例，从几何角度来看，可以被归类为以下三种情况：正多边形、不规则多边形和椭圆形图形。
正多边形是指有n 个角，其中每个角度角度都相等的多边形。
由于它具有完整的对称性，因此无法应用求面积公式，例如圆的面积计算，只能使用三角形的面积计算公式。
而不规则多边形和椭圆形图形更复杂，无法应用求面积的公式，只能用复杂的数学运算来近似计算图形上某一处的面积。
其次，从运动反例角度来看，微积分中也存在一些反例。
贝索斯（Bos）动力学确定了物体运动的轨道，认为物体运动轨迹是一条曲线，结果却发现运动轨迹并不处处是曲线，而是具有突变的抛物线。
此外，还有许多物理现象，如霍金的黑洞理论，经受测量，其实不完全符合经典物理学定律，也就是微积分中的定理。
最后，从定性推理的角度来看，微积分论述的某些定理可能存在反例，即给定的定理对某类问题不适用。
例如，极限定理，它认为任何函数的极限都存在，但有时函数是间断的，例如抛物线，这类函数在某点处是不连续的，所以其实并不存在极限。
综上所述，微积分中的反例可以从几何角度、运动反例和定性推理的角度进行分析，证实它们不足以满足所有不同情况，并为我们深入理解微积分提供了参考。
微积分在现代科学研究中起着重要的作用，虽然它存在一些反例，但这并不影响它的实用性和重要性，应该以正确的观点学习和使用它，以达到理解和解释物理现象的目的。
浅谈对数学分析中反例的理解与体会文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学浅谈对数学分析中反例的理解与体会一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，简要说明有关主题的或争论焦点）本论文的主要写作目的是通过对数学分析的学习，结合相关的文献资料，借助反例更加深入的认识某些概念和性质，加深理解教材内容，搞清楚命题成立的条件，克服对数学知识理解的偏差.根据自身对反例的理解和体会，总结一下在数学分析中经常用到的反例、反例构造和反例的作用.首先我们来介绍一些概念[]1：定义1: 设函数()f x 在某()0U x 内有定义.若()()00lim x x f x f x →=，则称()f x 在点0x 处连续.定义2: 若函数()f x 在区间I 上的每一点都连续，则称()f x 为I 上的连续函数. 定义3: 设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何',''x x I ∈，只要|'''|x x δ-<，就有()()|'''|f x f x ε-<则称函数()f x 在区间I 上一致连续定义4：设函数()y f x =定义在点0x 的某领域()0U x 内.当给0x 一个增量x ∆，()00x x U x +∆∈时，相应地得到函数的增量为()()00y f x x f x ∆=+∆-如果存在常数A ,使得y ∆能表示成()y A x x ο∆=∆+∆则称函数()f x 在点0x 处可微.定义5：罗尔定理：若函数()f x 满足如下条件，（1）()f x 在[],a b 上连续；（2）()f x 在(),a b 内可导；（3）()()f a f b =.则在开区间至少存在(),a b ξ∈，使得()'0f ξ=.定义6：比值判别法，设n u ∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数()01q q <<.（1）若对一切0n N >,成立不等式1n nu q u +≤ 则级数n u ∑收敛；（2）若对一切0n N >,成立不等式11n nu u +≥ 则级数n u ∑发散.定义7：设函数()(),,,z f x y x y D =∈.若()00,x y D ∈,且()0,f x y 在0x 的某领域内有定义，则当极限()()()00000000,,,limlim x x xf x y f x x y f x y x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在时，称这个极限为函数(),f x y 在点()00,x y 关于x 的偏导数，记作()00x f x y 或()00,|x y f x ∂∂ 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景，现状和发展方向，以及对这些问题的评述）《数学分析》课程是大学数学专业最重要的一门基础课程，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数与泛函分析等分析类课程的基础.对于刚进大学的大学生来说，在从用非极限方法研究常量数学到用极限方法研究变量数学的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用.基本概念、基本理论、基本方法构成数学分析的“三基”.对于基本概念、基本理论模糊的学生，很难想象他能学好数学分析，所以使学生清楚基本概念、掌握基本理论，是一个重要而不易解决的问题.我们知道，判定一个命题的正确性必须经过严密的退证，而要否定一个命题，却只要举一个与结论矛盾的例子就可以了.美国数学家 B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出：“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由证明与反例两大类组成，而数学发现也是朝着这两个主要的指标，给出证明与构造反例.一个数学问题，用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧.” [2]反例作为推翻错误命题的手段，在数学教学中，有意识的、恰当地构造、使用一个反例，对于说明一个命题不真，会收到很好的效果.下面我们介绍一下反例的作用.反例在概念教学中的作用[3].在讲纯理论的数学问题是学生容易把前后所学的相似概念相互之间弄混淆，这样导致的结果是在解题时出现答非所问的情况.在这里以连续、可微、有连续微商这三个概念为例来说明“举反例”的作用.在讲述这三个概念后，学生往往很难理解三个概念间的区别与联系.为此，可以提出如下四个问题：1. ()f x 在0x x =处可微，则()f x 在0x x =处是否连续？2．()f x 在0x x =处连续，则()f x 在0x x =处是否可微？３. ()f x 在0x x =处可微，则()f x 在0x x =处是否有连续微商？４. ()f x 在0x x =处可微，则()f x 在0x x =处领域内是否连续？上面例子不仅说明()f x 在一点可微推不出()f x 在该点领域内连续，而且使学生对“可微”这一概念有进一步理解；()f x 在0x x =处可微，知识对于当0x x →时，()f x 在总的趋势上的一种约束.通过上面分析可以概述为下面定理：设()f x 在0x x =的领域()0,U x δ内有定义，而且()012,n U x E E E δ=+++L ，其中i E 是以0x 为极限的互不相交的点集()1,2,,i n =L ，若：()()()00lim ,1,2,0i x x f x f L x E i n x →-=∈=-L 则：()0'f x L =可见，“举反例”不仅能帮学生搞清楚各个概念＼定理间的区别和联系，而且在考虑了较多的典型例子之后，还可以总结出一些一般性结论.初学数学分析的学生，容易犯这样的毛病：一提到“连续”，脑子中就出现“笔不离纸划出一条直线或曲线.”事实上，这仅是初步模型，它的好处是直观，对于一些定理可以一目了然地看出其几何意义.但这个初步模型往往使学生把“连续”、“可微”甚至“光滑”相混淆.因这种“笔不离纸划出的曲线”往往使学生觉得连续、可微、光滑的概念是同等的，一遇到“连续而不可微”、“可微而不光滑”的说法时，头脑中便无所反映，所以单有一个初步的直观模型还不够，还必须掌握一批典型例子来严格区别各个概念、定理，不发生混淆，这对于数学专业学生来说是非常重要的. “反例”在掌握基本定理中的作用[3].在数学分析中有些基本定理是非常难理解的，这时在教学或学习时尝试着举出一些反例来帮助理解，这样就达到事半功倍的效果.在命题学习中，用生动的反例驳斥错误的命题是非常简洁、有效、重要的.反例可以用来说明正确命题的使用范围，这对我们初学者非常有益，不仅能澄清一些错误的认识，对基本定理和基本性质作出正确的理解，也能促使学生们形成严密推理、重视条件的习惯，避免发生“失之毫厘谬以千里”的事情.罗尔定理：若函数()f x 满足如下条件，（1）()f x 在[],a b 上连续；（2）()f x 在(),a b 内可导；（3）()()f a f b =.则在开区间至少存在(),a b ξ∈，使得()'0f ξ=.该定理中的三个条件缺一不可.1）()f x 不满足条件（1）时，给出使结论不成立的反例；2）()f x 不满足条件（2）时，给出使结论不成立的反例；3）()f x 不满足条件（3）时，给出使结论不成立的反例；4）定理中的零点不唯一时，给出使结论不成立的反例.“反例”可以纠正错误[4]，完善数学理论中的作用.有些数学分析中的法则在解题时我们会发现条件都符合但做出来的结果是错误的，这时要求我们对一些法则做一些考证，来说明其正确的使用条件.学习洛比达法则时，我们有这样的问题：若符合洛比达法则的条件，则通过法则是否就一定能求得极限呢？举出反例说明即使不定式符合洛比达法则的条件，也未必用该法则就一定能够求得极限，从而更加完善了数学分析学习中有关洛比达法则的理论.利用“反例”说明数学方法的局限性[5].书本的编辑者不一定在编辑的时候做到百分之百的精准，他们可能会出现一些细小的瑕疵或遗漏一些节点上的具体说明.这时我们可以运用构造反例的方法来说明其局限性. 如正项级数的比值判别法：若()1lim 0n x na l l a +→∞=≤≤+∞，则 （1） 若01l ≤<，则n a ∑收敛；（2） 若1l <≤+∞，则na ∑发散. 对于比值判别法，有的书上直接说1l =时此判别法失效，但有的书上没有说1l =时此判别法失效.在此举出两个反例说明在1l =的情况下，有的正项级数收敛，但有的正项级数却发散. 利用“反例”来证明命题不真[5].当然在证明一个问题是否正确时，构造一个恰当的反例是解决问题最好的方法之一.在多元函数微分学中，若函数(),f x y 在点()00,P x y 的领域G 存在二阶混合偏导数''xy f 与''yx f ，而且它们在点()00,P x y 连续，则()()0000'','',xy yx f x y f x y =.有的学生就模糊地认为命题：“二阶混合偏导数不相等的二元函数是不可微函数”是真命题，但实际上却是个假命题.“反例”有助于激发求知欲[6]，教师在教学过程中适时的加入反例对学生的引导无非是非常好的方法.在学习过程中，当教师针对有些问题给出特例，说明其为一反例再交给我们思考，在此基础上的思索，往往更能引起同学们较大的学习探究兴趣.而通过教师有效地引导和学生间积极的讨论，在问题解决的同时，更激发了学生学习数学的强烈求知欲.“反例”诱发学习者的创造力，提升思维能力[6].反例的寻找与构造过程也是一项积极的、创造性的思维活动，更是一个探索、发现的过程.在数学分析的学习过程中，恰当开发和利用反例，特别是通过解题寻找反例来提升解题能力，不仅能帮助我们有效的提高学习质量，更能培养思维的严密性，从而更好地学习数学分析这么基础学科.反例构造是一种重要的数学技能，由于数学本身的抽象性，使得反例的构造不是一件轻而易举的事，教材由于篇幅的限制，常常直接给出反例，学生在学习时会感到反例虽好，但不知从何而来.在教学中注意反例的构造分析，向学生展示反例构造的思维过程，经常进行反例构造的思维训练，将有助于学生形成批判性和创造性的良好思维习惯，提高学生分析问题、解决问题的能力.构造方法1、利用特例构造法构造反例[7].构造反例的方法有很多这里给出的是特例构造法.特例构造法是利用一些典型的反例来科学的凑合，就可提出所需的反例.例：对于()y f x =在0x x =处连续，是否存在0x 的领域，使()f x 在该领域内连续？这个问题我们通过分析构造合适的反例来解决问题.构造方法2、利用性质构造法构造反例[8].性质构造法就是根据所需反例本身的性质和特征，用一定的技巧构造反例的方法.例：函数(),f x y 在点()00,P x y 处沿任意方向的导数都存在而且相等，不一定有(),f x y 在点()00,P x y 连续、可微，甚至连二重极限也不存在，如何构造这样一个函数呢？ 构造方法3、利用类比法构造反例[9].类比法是根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内造出类似的反例的方法.例：有限个连续函数的和是连续函数，有限个连续函数的积食连续函数；但是无穷个连续函数的和、无穷个连续函数的积就不一定是连续函数[10].通过上面的总结，了解了构造反例的一些方法.我们可以针对具体的题目进行构造反例的方法解题.题目：设(),f x y 在区域G 对x 连续，对y 满足利普希茨条件，即对任何()()12,,,x y G x y G ∈∈有()()1212|,,|||f x y f x y L y y -≤-，其中L 为常数，则函数(),f x y 在G 内连续[11].通过对上面问题的分析与总结，将原题目扩展成更多的类似题目[12]：（1）若将原题中的利普希茨条件改为(),f x y 关于x 对变量y 是一致连续的，原来题目的结论是否成立?(2) 若将原题中的利普希茨条件改为(),f x y 对变量y 连续而且单调，原来题目的结论是否成立?（3）原来题目中的条件不变，是否可以证明(),f x y 在G 内一致连续？（4）若将原题中的利普希茨条件改为()',y f x y 在G 内有界，原来题目的结论是否成立?（5）若将原题中的条件改为(),f x y 分别对x 和y 是一致连续的，是否可以推出(),f x y 在G 内一致连续？（6）若将原题中的条件改为(),f x y 在G 内满足利普希茨条件的连续函数，是否可以推出(),f x y 在G 一致连续？三、总结部分（将全文主题进行简要总结，提出自己的见解并对进一步发展方向作出预测）反例的引入、构造、对命题的再分析等，重视和体验这样的过程，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力.数学分析的教学实践证明，通过反例可以使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深理解教材内容，搞清命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差.合理使用反例还可以使教学更加丰富生动，可以使一些看似困难的问题意外地得到轻松解决，可以使学生对教学中出现的定义、概念、定理理解得更加透彻，并通过反例提高学生学习数学的兴趣.但是，在数学分析中应用反例，一要注意主次：学生的任务是学习概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导.举反例中在说明结构、辨清是非，因此我们不可一味把太多的注意力放在构造或例举反例上，反例应该作为围绕主要内容而进行有效的辅助学习手段.二要注意适当：反例应是经过挑选的，既要简单又要能说明问题.学生自己构造的反例难度应适当，以免浪费很多时间和精力.四、参考资料（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京:高等教育出版社，2001．[2] （美）B.R.盖尔鲍姆，（美）J.M.H.奥姆斯特德著.高枚译.分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社，1980.[3] 司清亮．“反例”在数学分析教学中的作用[J]．新乡师范高等专科学校学报，2001．[4] 李志林．数学分析中反例的重要应用[J]．北京电力高等专科学校学报，2008．[5] 段龙伟，解红霞．谈谈《数学分析》教学中应用反例的几点体会[J]．太原教育学院学报，2003．[6] 肖宏治．反例在数学分析教学中的作用及构造分析[J]．六盘水师范高等专科学校学报，2005，6．[7] 刘荣辉，王彦．浅析数学分析中的反例[J]．赤峰学院学报，2009．[8] 肖宏治．反例在数学分析教学中的作用及构造分析[J]．六盘水师范高等专科学校学报，2005，6．[9] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京:高等教育出版社，1999．[10] 李伟平．数学分析教学中反例的构造[J]．北京电力高等专科学校学报，2010,01．[11] 刘玉链，傅沛仁．数学分析讲义[M]．北京：高等教育出版社，1985．[12] Coarant R，John F．Introduction to Calculus and analysis(2(1))[M]．北京：科学出版社，1979．。