数学与应用数学专业毕业论文--浅谈微积分中的反例
浅析反例在数学分析中的应用
学号：201092210228西北师范大学知行学院本科学生毕业论文浅析反例在数学分析中的应用系别名称：数学系专业名称：数学与应用数学学生姓名：张成山指导教师：程辉教授二〇一四年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF ZHIXING COLLEGE OF NWNUApplication of counter examples in mathematical analysisDept of ：Department of mathematicsSubject：Mathematics and applied mathematics Name ：Zhang ChengshanDirected by：Cheng Hui ProfessorMay 2014摘要数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义.而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.本文主要针对学生在学习数学分析中存在的种种问题，列举了一些反例旨在帮助学生正确理解数列、函数极限、级数、导数及积分等概念和相关理论.关键词:数列；极限；导数；积分ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course for students, the formation of mathematical thinking, have important significance for further learning. But there are many theorems in mathematical analysis proposition in essence, using appropriate counterexample grasping concepts or rules from another side, and thus more likely to deepen the understanding of knowledge. In this paper, aiming at the problems students have in learning in mathematical analysis, some counter examples to help students understand the sequence, limit of function, series, derivative and integral concept and related theory.Key words:Sequence; limit; derivative; integral目录序言 (1)一反例的类型 (2)1.1 基本形式的反例 (2)1.2 充分条件假设判断的反例 (2)1.3 必要条件的假设判断反例 (2)1.4 条件性反例 (2)二数列中的反例 (3)2.1 判断两个论断是否与极限定义等价的反例 (4)2.2 收敛数列的四则运算中的反例 (4)2.3 发散数列的反例 (4)2.4 两个非负的发散数列中的反例 (5)2.4 有界变差数列逆命题的反例 (5)三函数极限与性质的反例 (6)3.1函数极限的定义的反例 (6)3.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 (6)3.3 不连续函数的和与积是连续函数的反例 (7)3.4周期函数的和不是周期函数的反例 (8)四级数中的常见反例 (9)4.1 级数收敛，其部分和数列有界且收敛的反例 (9)4.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例 (9)4.3 条件收敛级数可以不是交错级数 (10)4.4 两级数收敛，但它们Cauchy乘积发散 (11)五一元函数导数及其积分中的反例 (11)5.1一元函数中导数中的反例 (11)5.2 一元函数中积分中的反例 (12)六多元函数微积分中的反例 (14)6.1 累次极限和二重极限的相关反例 (14)6.2 多元函数微分学其他反例 (15)6.3 同一函数累次积分不同的反例 (16)6.4与曲线方向无关的第二类曲线积分 (17)总结 (19)参考文献 (20)序言数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.本文一共分为六个章节：反例类型、数列中的反例、函数极限与性质的反例、级数中的常见反例、一元函数导数及其积分中的反例、多元函数微积分中的反例.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.一 反例的类型简单地说，数学分析中的反例就是指一种指出某命题不成立的例子.反例概念的产生与数学命题的结构的密切相关，常见的反例类型有基本形式的反例，充分条件假言判断的反例，必要条件假言判断的反例，条件变化型反例.1.1 基本形式的反例数学命题有以下四种基本形式：全称肯定判断、全程否定判断、特称肯定判断、特称否定判断.例1.1[3] “所有初等函数在定义域内都连续，故都存在原函数，且原函数都可以用初等函数表示.”对上述全称肯定的判断，可举一个特称否定判断的反例.如：sin ()xf x x=在0x ≠处连续，但其原函数却不能用初等函数表示.1.2 充分条件假设判断的反例充分条件假设判断是某事物情况是另一事物情况的充分条件的假设判断 ,可表达为q p →.例1.2[3] 可导函数必连续，但连续函数却不一定可导. 如：函数sin y x =在x k π= ()k π∈处连续，但不可导.1.3 必要条件的假设判断反例必要条件的假设判断是判定某事物情况是另一种事物情况必要条件的假言判断,可表达为q p ←.例1.3[3]级数1n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=反之不然。
数学与应用数学专业毕业论文--浅谈微积分中的反例
浅谈微积分中的反例摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。
关键词 反例、微积分、函数.1 引言在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。
同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。
用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。
2 微积分中反例的作用与意义2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。
许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。
运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。
2.1.1连续问题定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.反例： 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,0,0,),(222222y x y x yx xyy x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近000022222lim (,)lim 01x x y kx kx kf x y x k xk →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无关,故可能不连续.2.2可导、可微问题定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限000()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1](),(1,2]x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但()f x 在0x =1处不可导.情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.情形3[2]一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可微.反例：函数(,)f x y =在原点()0,0存在两个偏函数,即0(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上,0.=→(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点()0,0不可微.2.3可积问题定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有1()niii f x Jεε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.反例：①函数2212102cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧≠+⎪=⎨=⎪⎩, 显然2210cos ,()00,x x F x xx ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,取0()n x n =→→∞,则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以()f x 在[-1,1]上不可积.②函数 1,10()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪==⎨⎪<≤⎩, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区间[,]a b 不一定可积. 反例：函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数,函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。
微分中的一些反例
微分中的一些反例
晋慧峰;张明学
【期刊名称】《煤炭高教研究》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】数学由两个大类一证明和反例组成。
而数学发现也是朝着两个主要目标—提出证明和构造反例。
反例，在数学的历史中也称为例外、怪物。
怪物的确是令人头痛的问题。
然而正是许许多多的怪物使数学上的一些猜测被拒绝，修改完善成公理或定理，使数学的论证走向严密，推动数学的新学科逐步发展完善。
众所周知，确定一个命题为真，必须经过一系列的严密的逻辑推理。
而要确定一个命题不真，则只需举出一个反例。
事实证明：反例在数学研究与发展中起着不可估量的作用。
【总页数】5页(P22-25,29)
【作者】晋慧峰;张明学
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.向量测度中的一些结论和渐近鞅中的一个反例 [J], 何一农;马天水;李海英
2.有关微分同胚在分析学中的一些反例 [J], 王刚
3.多元函数微分学的基本概念内在关系中的反例 [J], 赵继红
4.类比法在多元函数微分学构造反例教学中的应用 [J], 杨亚莉;王茜;黄国荣
5.多元函数微分学中的反例构造技巧 [J], 戴敏
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浅谈数学分析中反例的作用
浅谈数学分析中反例的作用数学分析是一门基础的数学学科，研究实数集上函数的性质以及极限、连续性、收敛性等概念与定理。
在数学分析的学习过程中，反例是一种非常重要的工具和思维方式。
本文将从数学分析中反例的定义、作用以及展示的方式等方面进行探讨。
首先，反例是指用以证明或推翻一些命题的合理例子。
在数学分析中，经常会用到反例来证伪一个命题，即通过构造一个特殊的例子，使得命题不成立。
反例通常是通过对已知条件进行逻辑推理和推导，然后找出一个具体的实例来使得不等式、恒等式或者条件不成立。
其次，反例在数学分析中的作用是多方面的。
首先，反例可以用来验证是否存在其中一种性质或者条件。
例如，对于一些命题，我们可以通过构造一个反例来证明该命题不成立，从而说明该性质或条件不存在。
其次，反例还可以用来辅助理解和洞察数学概念和定理。
通过构造特殊的反例，可以帮助我们更加清晰地认识和理解一些概念或者定理的含义和适用范围。
最后，反例还可以用来研究数学问题的边界和极限情况。
通过找到一系列逼近一些反例的例子，可以帮助我们确定问题的解或者趋势。
在数学分析中，展示反例有多种方式。
一种常见的方式是通过构造具体的数字或者函数表达式来展示反例。
这种方式比较直观和具体，可以通过计算和观察来验证反例的有效性。
另一种方式是通过逻辑推理和证明来构造反例。
例如，可以通过反证法或者归谬法来推导出反例的存在。
另外，还可以通过反例的存在性和唯一性来讨论。
不同的方式展示反例都有各自的优势和适用范围，具体选择取决于问题的性质和结构。
实际上，反例不仅在数学分析中起着重要的作用，也在数学的其他分支中扮演着重要的角色。
例如，在代数学中的群论和环论中，经常会用到反例来验证或推翻一些命题。
在几何学中，反例也常常被用来证明一些定理不成立或者特殊情况下的解决方法。
总之，反例在数学分析中的作用是不可忽视的。
它不仅可以用来验证性质或条件的存在与否，还可以帮助我们更好地理解和掌握数学概念和定理。
毕业论文反例在数学分析中的应用
包头师范学院本科毕业论文题目：反例在数学分析中的应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：常秋胜二〇一年月反例在数学分析中的应用摘要：数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。
而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。
反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。
恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。
关键词：数学分析反例数列极限微积分Abstract：Mathematical analysis is an important basic course, it's very important to the formation of mathematical thought of students and learning of the following courses.However there are a lot of theorems and propositions, using appropriate counterexamples from another side can recognize the essence of concept or rules, and it’s easier to deepen the understanding of knowledge. The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought, and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept, nature and the research, reasoning of problems. To understand concepts correctly, Consolidate and master theorem, formula and rule, etc, train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors, it’s necessary to use counterexamples felicitously.Key words: Mathematical Analysis Counterexample Series Limit Calculus目录序言 (1)1 收敛数列的性质及反例 (2)1.1 关于收敛数列的定义应用不当产生的反例 (2)1.2 关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例 (3)1.3 关于数列收敛四则运算法则的反例 (4)1.4 有界变差数列逆命题的反例 (5)2 函数极限与性质的反例 (6)2.1函数极限的定义的反例 (6)2.2 无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例 (6)2.3 关于不连续函数的和与积是连续函数的反例 (7)2.4 周期函数的和不是周期函数的反例 (8)2.5 介值定理的反例 (9)3 一元函数微积分中的反例 (10)3.1 一元函数微分学中的反例 (10)3.1.1 中值定理相关反例 (10)3.2 一元函数积分学反例 (12)3.2.1 Riemann可积相关反例 (12)3.2.2 Newton-Lebniz 公式相关反例 (13)3.2.3 积分中值定理相关反例 (13)4 级数中的常见反例 (14)4.1 级数收敛，但其立方项级数不收敛 (14)4.2 条件收敛级数重新排序后发散的反例 (15)4.3 条件收敛级数可以不是交错级数 (15)4.4 两级数收敛，但它们的Cauchy乘积发散 (16)5 多元函数微积分中的反例 (17)5.1 多元函数的极限与连续及其微分学反例 (17)5.1.1 累次极限和二重极限的相关反例 (17)5.1.2 多元函数微分学其他反例 (18)5.2 重积分及其反例 (19)5.2.1 同一函数累次积分不同的反例 (19)5.2.2 与曲线方向无关的第二类曲线积分 (20)总结 (22)参考文献 (23)致谢： (24)序言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。
谈微积分反例
微积分谈微积分中的反例摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养逆向思维能力。
用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。
1连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。
同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。
情形1 若函数f（x）在a连续，则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。
反例：函数f（x）=1，x?叟0-1，x<0，虽然f（x）=1在x=0处连续，但f（x）在x=0处不连续。
情形2 可导函数必定是连续函数。
那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。
反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等，所以f（x）在x=0不可导。
情形3 函数f（x）在x=x0处可导，则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。
反例：函数f（x）=x，x为有理数0，x为无理数，在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。
情形4 f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续导数？反例：函数f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0处可导，但导数不连续。
事实上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x ≠0时，f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin ,极限f′(x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。
微积分教学中反例的应用
微积分教学中反例的应用摘要：本文通过具体实例，来加强学生在微积分学习中对概念的理解，进而培养学生的创造精神、提高学生纵向思维的能力。
关键词：应用反例微积分高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。
它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。
通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力，我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导，在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论，但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。
通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。
本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。
一、两个无穷小的商一定是无穷小吗？在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。
学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗？对于这一结论大部分同学认为是正确的。
不妨举一个反例：如： =0， =0都是无穷小量，而（第一个重要极限），显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。
二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗？最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值（据团区间上的连续函数的性质）。
1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间（a，b），那么结论不一定成立。
如求f（x）=x在区间（2，4）上的最大值与最小值。
浅谈反例在高中数学教学中的应用
浅谈反例在高中数学教学中的应用一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是以“浅谈反例在高中数学教学中的应用”为主题，旨在通过反例的引入和分析，帮助学生深刻理解数学概念、定理和方法。
在高中数学教学中，反例具有独特的价值，能够揭示数学问题中的误区和盲点，提高学生的思辨能力和解题技巧。
本节课将围绕反例的应用，引导学生探索数学的奥秘，培养他们严谨、缜密的数学思维。
2、教学对象本次教学的对象为高中学生，他们对数学基础知识和基本技能已有一定掌握，具备一定的数学思维能力。
然而，在解决实际问题时，学生往往容易陷入思维定势，无法灵活运用所学知识。
因此，通过本节课的教学，旨在帮助学生打破思维局限，提高他们运用反例分析问题、解决问题的能力。
此外，针对不同学生的个性特点和学习需求，教师将因材施教，使每位学生都能在课堂上得到充分的发展。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解反例的概念，掌握反例在高中数学教学中的应用方法；（2）能够运用反例分析数学问题，揭示问题中的误区和盲点；（3）通过反例学习，提高数学思维能力，培养严密的逻辑推理和论证能力；（4）掌握反例在解决高中数学问题中的技巧，提高解题速度和正确率。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作交流等形式，引导学生主动发现反例，培养他们的问题意识；（2）运用比较、归纳、推理等思维方法，对反例进行深入分析，提高学生分析问题的能力；（3）结合实际案例，让学生在实践中感受反例的价值，培养他们运用反例解决问题的能力；（4）通过反思和总结，使学生认识到反例在数学学习中的重要性，形成长期的学习习惯。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的热爱和兴趣，激发他们主动探索数学问题的欲望；（2）通过反例学习，使学生认识到数学的严谨性和思维的辩证性，培养他们勇于质疑、善于思考的品质；（3）培养学生面对困难时，保持积极向上的心态，勇于克服挑战；（4）引导学生认识到反例在数学发展中的重要作用，树立正确的价值观，尊重知识和科学；（5）通过小组合作，培养学生团结协作、共同进步的精神，增强集体荣誉感。
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浅谈微积分中的反例摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。
关键词 反例、微积分、函数.1 引言在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。
同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。
用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。
2 微积分中反例的作用与意义2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。
许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。
运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。
2.1.1连续问题定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.反例： 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,0,0,),(222222y x y x yx xyy x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近000022222lim (,)lim 01x x y kx kx kf x y x k xk →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无关,故可能不连续.2.2可导、可微问题定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限000()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1](),(1,2]x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但()f x 在0x =1处不可导.情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.情形3[2]一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可微.反例：函数(,)f x y =在原点()0,0存在两个偏函数,即0(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上,0.=→(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点()0,0不可微.2.3可积问题定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有1()niii f x Jεε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.反例：①函数2212102cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧≠+⎪=⎨=⎪⎩, 显然2210cos ,()00,x x F x xx ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,取0()n x n =→→∞,则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以()f x 在[-1,1]上不可积.②函数 1,10()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪==⎨⎪<≤⎩, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区间[,]a b 不一定可积. 反例：函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数,函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。
可见,“举反例”不仅能帮助我们搞清楚各个概念、定理间的区别和联系,而且从众多的典型例子中,还可以总结出一般性结论。
2.2运用反例可以以一种特殊的方式准确把握概念之间的关系微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系,可以通过运用适当的反例进行准确理解把握.同时也能培养与提高人的辩证思维能力。
2.2.1可导与连续问题情形1 若函数()y f x =在0x 可导, 则函数()y f x =在0x 连续,但逆命题不成立, 即函数在一点连续,函数在该点不一定可导.反例：函数()1f x x =+,在0x =连续,但在0x =不可导,事实上,0lim ()lim 11(0)x x f x x f →→=+==,所以()f x 在0x =连续; 但极限00()(0)limlim 110x x x f x f x x →→-==--或不相等, 所以()f x 在0x =不可导.情形2 函数()f x 在0x x =处可导, 则函数()f x 在0x x =的邻域为不一定连续. 反例：函数2,()0,x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,在0x =处可导,但在0点的任何邻域, 除0点外都不连续.情形3 ()f x 在0x x =处可导, 则()f x 在0x x =处是否有连续导数？ 反例：函数210()0,0x x xf x x ⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，cos +1，在0x =处可导, 但导数不连续； 事实上,20001cos()(0)1(0)lim lim lim cos 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-, 即()f x 在0x =处可导,但当0x ≠时, 2211111()2cos sin ()2cos sin f x x x x x x x x x '=-⋅-=+极限2200011111lim ()lim[2cos sin ()]lim(2cos sin )x x x f x x x x x x x x x→→→'=-⋅-=+不存在, 即()f x 的导数不连续.综上归结,对一元函数()f x 在点0x 可有：→→←←⇔可微可导连续有极限.通过恰当的反例可以快捷而准确地把握好它们间的所存在的关系。