反例在高等数学教学中的功能
反例在高等数学教学中的应用
新校园XinXiaoYuan摘要：美国学者B.R.盖尔鲍姆等人曾指出：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。
”这个比喻，形象地说明了“反例”。
在教学中恰当地应用反例可以帮助学生全面、准确地理解高等数学中的一些概念及定理，对学生理解概念、纠正错误、开拓思维、掌握定理起着很大的作用。
关键词：反例；高等数学；教学；应用回顾数学的发展史，反例具有重要的地位，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。
如在19世纪以前，数学界长期认为连续函数除个别点外，总是处处可导。
但是，后来数学家们创造出了很多反例，使他们清醒地认识到了分析基础严格化的必要性和重要性，推动了微积分理论的发展。
本文将根据高等数学实际教学情况，结合作者多年的教学经验，阐述反例在高等数学中的应用。
一、利用反例加深学生对数学概念的理解在讲数列极限的定义时，由于概念比较抽象，学生很难全面掌握。
这时不妨给出表面相似而实质却根本不同的反例进行区别和判断，从而使学生真正掌握概念的实质。
例1：判断以下两个叙述是否与极限的定义等价。
（1）有无穷多个ε>0，对每一个ε，存在N（ε），当n>N 时，有|a n-a|<ε；（2）对任意正数ε，有无穷多个a n，使|a n-a|<ε。
叙述（1）忽略了ε的最本质的属性任意小的正数。
教学中可举出反例{a n}:a n=1+（-1）n加以说明。
叙述（2）对任意正数ε，虽然有无穷多个a n，使|a n-a|<ε成立，但它忽视了对每个ε>0，都必须存在某个自然数N，即数列{a n}的某一项a N，从项a N以后的所有项都必须满足|a n-a|<ε。
可举出反例{a n}={1，12，1，13，1，14，…，1，1n，…}加以说明。
因此，这两个叙述都与数列极限的定义不等价。
通过反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε与N在定义中的作用与意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。
“反例法”在高等数学教学中的应用
散 ；但它们的和 ∑Ｕ＋ ｎ ０是收敛 级数 。 ｎ ∑Ｖ＝ 学员在学习的过程 中， 常常误以为由收敛级数 的线性性 质可 以推出两个 发散 级数 的 “ 线性性质 ”。通过此例 ，可 以
让学员很快 明白两个 发散级数 的和可能是个收敛级数， 这就
提 高 了课 堂 教 学 效 率 。
“ 反例法＂在高等数学教学中的应用
齐 莲敏
（ 襄樊广播 电视 大学，湖北 襄樊 ４ １２ ） ４ ０１
［ 内容提要］ 本文通过对高等数学 中典型问题的反例研 究，说 明在高数教学中应用 “ 反例法 ”能有效提高教 学质量 ，能提高学生分析 问题和解决 问题的能力。 ［ 关键词】 反例 ；分析 ；实函 ；代数 ［ 中图分类号］ Ｇ７ ２ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章编号］ １０ ．４ ７（ ０ ０ １０ ２ －２ ０ ８７ ２ ２ １ ）０ ．０ ００
连 续 必 然 可 导 。（ 是个 错 误 命 题 ） 这 反例 ：Ｙ ｌ在 ｘ ０处 连 续 ，但 不 可 导 。因 为 在 该 点 的 ＝ｘ ｌ ＝
念与定理的含义，提 高教学质量 。 １ ．连续基数 的概念
通常情 况下，学员在学习实变 函数之前 ，总会从直觉上 感到：较长的线段 比较短的线段含有更 多的点。 这种错误的 直 觉 会 使 学 员在 实变 函数 的后 续 学 习 中绕 很 多弯 路 。 下 面 但 这个反例却可以使初 学实函的人很快 明确 ： 一个较长 的线短 并不 比另一个较 短的线段含有更 多的点 ， 而是含有 同样多的
的周长为 ４ ，表 面看 来好象 “ 后者 比前 者含有更 多的点” ｇ 实际上，只要从原点出发作射线 ，即可建立前者与后者 的点 的一一对应 。也就是 说，ｘ＋ ２ １与 ｘ＋ ２４上面 的点一样 ２ｙ＝ ２ｙ－ ＿ ．
浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造
2. 3 从类比入手[5 1 概念、 公理、 已有的结论等可供类比。
[ 文章编号] 1009一2323(2005)03一0087一02
数学教育理论认为:概念或规则的正例传递了最有利 于概括的信息， 反例则传递了最有利于辨别的信息。 在高 j l [ 等数学教学中经常用到数学反例。所谓数学反例就是否定 的数学例证。为了防止或否定学生对于数学知识的错误认 识而列举的一些数学事例， 是数学教学上的“ 调节器” 运 . 用数学反例对学生的智力活动能起到定向纠错、 提炼升华 的作用， 并能维持数学课堂教学按既定的路线进行。教师 在数学教学中要有运用反例的意识。现就反例在高等数学 教学中的作用及构造谈几点看法。 1. 反例在高等数学教学中所起的重要作用 1. 1 能使学生准确地理解定义， 正确地掌握定理 心理学实验告诉我们:差别大的东西、 异常的信号， 往 往会首先引起人们的注意;同样的问题， 变化一个角度去观 察或思考， 常常会给人以新鲜的感觉， 往往会收到意想不到 的效果。在数学教学中教师若只采用正例来帮助学生理解 数学知识， 学生将很难留 下深刻的印象， 甚至难以讲清楚有 关问题;而适当地运用反例， 就能使学生从另一个侧面抓住 问题的本质。 例如， 在微积分中， 关于罗尔(Ro le) 定理， 闭许多教 l J z [ 材的处理方式雷同， 一般先介绍定理:若 “x 满足: ( 1 在 ) ) 闭区间〔 b〕 a， 上连续; (2) 在开区间(a， 内可导， f(a) = f b) (3) b ( ). 则在开区间( ， 内至少存在一点e， f‘ 。再 a b ) 使得 (日= ， 给出证明， 最后举出满足定理条件的正例， 求出定理中的佗 (或判断所给问题是否满足定理条件) 。为了深刻理解此定 理， 可举出反例来说明罗尔定理中的三个条件与结论之间
高等数学教学中的反问题及反例
高等数学教学中的反问题及反例
【原创实用版】
目录
一、引言
二、高等数学中的反问题
三、高等数学中的反例
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
五、结论
正文
一、引言
高等数学是现代科学和技术领域的重要基础学科，其教学目的是培养和加强学生的基本运算能力、基本应用能力和逻辑思维能力。
在高等数学教学过程中，反问题和反例的教学方法被广泛应用，它们对于加深学生对概念的理解、提高学生的运算能力和应用能力具有重要的作用。
二、高等数学中的反问题
反问题是指将问题的条件和结论互换，从而形成的新问题。
在高等数学中，反问题的提出可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程，同时也能够培养学生的逆向思维能力。
例如，在求解微分方程时，通过提出反问题，可以帮助学生更好地理解微分方程的解法。
三、高等数学中的反例
反例是指在某个命题中，存在的一个对象使得该命题不成立。
在高等数学中，反例的存在可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围，防止学生片面理解概念和定理。
例如，在极限的求解过程中，通过引入反例，可以帮助学生理解极限存在的条件。
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
在高等数学教学过程中，教师应该注重反问题和反例的教学方法。
通过引入反问题，可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程；通过引入反例，可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围。
同时，教师应该引导学生主动寻找反问题和反例，培养学生的自主学习能力和探索能力。
五、结论
反问题和反例在高等数学教学中具有重要的作用，它们可以帮助学生更好地理解概念和定理，提高学生的运算能力和应用能力。
论高等数学教学中反例的应用
重 要概 念很 多，而且 概 念 之 间错 综 复 杂，因此 在
教 学 中让学 生 深刻 理解 概 念 的 内涵 与 外延 。对 提
高教 学质 量具 有非 常 重要 的意义 。本 文拟 就在 教 学 中充分 应 用 反例 揭示 概 念 之 间 的 内在关 系 增
强学 生对 定理 、 质 的理 解掌 握 ， 性 做一 些分 析谈 一
高等 数 学 的教 学 目的 ， 是 通过 对 极 限理论 、 就
学 的不 足 ， 而加 深 学生 对 知识 的理 解 ， 从 给他们 留
下 深刻 的印象【 。 ３
连 续 与 可 导是 一 元 函数 的重 要概 念 之 一 ， 但 高 等 数学 初学 者 对 它 们 的理 解 常 常模 糊 不 清 ， 在 讲授 这些 知识 的时候 ， 果 只从 正 面论述 ， 如 同学们
点看 法 。
的证明才可 以肯定一个命题的正确性 ，而一个巧 妙 的反 例 即可 否 定 一 个 命 题 的正 确 性 ，８ 纪 著 １世
名数 学家 欧 拉 曾作 出类 似于 费 尔马 大定 理 的一个
猜想 ： 方程 ＋ ｃ： ６＋ 没有 整数 解 。２ ０ ０ 多年 来 ， 无
导数都存在但不相等 ， ） ＝ 不可导。通过此 即 在 ０
例 ， 生 印象 深 刻 ， 化 了对这 两个 概 念之 间内在 学 强
２ ．通 过 反 例 教 学 ．可 加 深 学 生 对 基 础 知 识 的 掌 握
高等数学的教学 内容除概念以外 ，大量的是
论高等数 学教 学 中反例 的应 用
屈 红 萍
（ 山学 院 数学 系 ， 保 云南 保 山 ６ ８０ ） ７０ ０
【 摘
要】反例在高等数 学教 学中有着 重要 的作用， 通过举反例 ， 以加深学生对概念 、 理 、 可 定 公式 的理解 ， 修正学
“反例”在高中数学教学中的应用
“反例”在高中数学教学中的应用【摘要】众多反例集知识性与趣味性于一体，让学生在“惊奇”中发现不同，在“警醒”后学到知识。
在新课程改革大趋势下，我们一线教师必须担负起提高教学效率的重任，而反例的应用就是其中一种很好的方法。
【关键词】反例高中数学教学效率一，反例在数学中的重要意义在整个数学发展史中，发现一个正确的命题固然让我们欣喜，而发现一个命题的错误之处也同样重要。
要证明一个命题的正确必须严格地从所给条件出发，用逻辑推理的方法结合已知定理公理推导出结论。
而要证明一个命题是错误的或者片面的，最具有说服力而又简明的方法就是举出反例。
在数学发展的历史上，恰当的反例推动了数学的发展。
常常有这样的情况，一个重要的猜想，数学家用了很长的时间未能证明它，结果有人举出反例否定了这样的猜想，使问题得到了解决。
1640年，费马认为自己找到了能表示部分素数的公式+1(称为费马数).他验证了n=1,2,3,4的情况都是正确的,于是得到了形如+1的自然数是素数的猜想..一百多年后,欧拉指出+1=4294967297=6700417×641.从而推翻了费马的猜想.历史上,这样的例子数不胜数.二，反例在高中数学教学中的重要作用：1．反例是概念教学中不可或缺的组成部分概念教学是数学教学中的重要板块，几乎每一部分知识的构建都是从概念部分开始。
在概念教学中适当运用反例，有利于突出概念的关键特征，加深学生对概念本质属性的理解，提高概念学习的效率。
例如在双曲线的概念的教学中，课本的双曲线的定义是：我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于｜｜）的点的轨迹叫做双曲线。
在实际学习中，学生总是把注意力放在“差”和“绝对值”上，而忽略了括号中“常数小于｜｜”的要求，而“常数小于｜｜”的要求不仅是双曲线的定义的重要组成部分，也是考题最容易考察的知识点。
我们在教学中也可以先不用急着把“（常数）小于｜｜”的重要性先强加给他们，而是在概念给出后及时给出一个不考虑（常数）小于｜｜的反例：是平面内两个定点，ｐ点是平面内一个动点，并且满足｜｜＝６，那么ｐ点轨迹是什么？学生经过思考后发现，p点轨迹是两条射线，有了这个反例，学生就会发现，双曲线定义中“（常数）小于｜｜”和“差”“绝对值”同样重要，在以后对类似题目的处理就不会忘掉考虑“定值小于｜｜”的要求了。
反例教学法在高等数学教学中的应用解析
须 促使 学生 注意定 理 、 质成 立 的条件 ， 性 正确 理解 定理、 性质 的 实质 ， 把握 定理 的结 论 ， 为推 理 论证
及 应 用打下 良好 的基 础 。 反例 在加 深 学生对 定理 、
性 质 本 质 的 理 解 ， 防 止 理 解 错 误 、 用 不 当 方 面 以 运
解 和 对 基 础 知 识 的 掌 握 ， 现 并 纠 正 学 习 中 的错 误 ， 养 学 生 的创 新 能 力 和 良 好 的 思 维 品 质 。 在 发 培
高等 数 学教 学 中 ， 当 的 应 用反 例 进 行 教 学 ， 导 学 生从 反 面 思 考 问题 ， 有 利 于 高 等 数 学教 学 质 恰 引 将 量 的 提 高和 学 生数 学素 质 的 培 养 。 关 键 词 ： 例 ；高 等 数 学 ；应 用 反
从 反例 中修 补相关 的知识 。 嘲
例 如 ， 生 在 学 习 了 “ 穷 小 量 与 有 界 变 量 之 学 无
ｎ＝
ｌ
综上 所 述 ， 例 在 高 等数 学 教学 中有重 要 的 反
作 用 ， 过反 例 的构造 ， 以调动 学生学 习 的积 极 通 可 性， 加深 学 生对 知 识 的理 解 ， 析 错误 ， 辨 发现 数 学 真理 。 生通过 解决 数 学问题 寻找 反例 ， 学 领会数 学 思 维 的规 律 和方法 ， 养 创新 能 力 和 良好 的思 维 培
在 高 等数 学 中对 新概 念 讲 授 时 ， 面 的 例 子 正
可 以起 到 了解 、 熟悉 新概 念 的作 用 ， 而反 例则 可 加
深 对 新 概 念 的 理 解 。２ ［ 在 引 入 一 个 新 概 念 时 ， 通
有 显 著作用 。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用作者：唐浩月来源：《高等教育》2016年第04期摘要：反例和证明推动了数学学科的发展，在数学发展中具有同等重要的作用.利用反例可以发现原有理论的局限性，推动数学向前发展.在数学教学中通过反例，可加深学生对基本概念的理解和对基础知识的掌握，发现并纠正错误，培养学生的创新能力和良好的思维品质。
数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子.说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子.这里，我们讨论建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上，并且具有一定作用的反例.本文主要从以下几个方面阐述反例在数学教学中的作用。
第一通过反例教学可加深学生对基本概念和定理的理解.概念是数学理论和方法的基础，只有准确地理解和把握概念的内涵，掌握概念的本质属性，才有可能正确掌握数学知识.高等数学中具有若干新概念，而要很好地理解这些新概念，正面的例子可起到了解熟悉新概念的作用，而反例则可加深对新概念的理解.在讲授Lagrange 中值定理时，学生易将其理解为对一切可微函数均有效，其实它只适用于实分析.这时可构造如下反例以加深学生对Lagrange 中值定理的理解.例：设不难验证处处连续而且可微，但找不到一个区在a与b之间存在某个，使：故，由于不存在正数，使得，因而矛盾，故式（1）不成立.究其原因是的值域中含有虚数元，不属于Lagrange 中值定理中所指实函数范畴.第二通过反例教学可加深学生对基础知识的理解.数学的教学内容除概念以外，大量的是定理性质以及他们的应用.每一个定理性质都有它各自成立的条件.讲解定理性质时，必须促使学生注意这些条件，理解和掌握他们的实质，为推理论证及应用计算打下良好的基础，在这个环节中，正面的例题可使学生掌握定理性质，而反例则可加深学生对其的本质理解，以防止理解错误，运用不当.例如在微分中值定理的教学中，为使学生准确理解和掌握微分中值定理，必须强调结构成立的条件.又如因多元函数是一元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但由于自变量增多，也会产生本质上的差别，因此，在学习多元函数的理论时，既要注意它与一元函数的联系，也要弄清它们之间的本质差别，比如学生在学习多元函数的偏导数与连续性的关系时，容易受到思维定势的影响，不注意一元与多元的差异，错误地把一元函数中可导必连续这一结论搬到多元函数中来，但这个问题结论对多元函数是不成立的，为引起重视，可用如下反例加以说明.如，由偏导数定义而在点却不连续.又如在点连续，但在点两个偏导数都不存在.第三通过反例教学可可以发现和纠正学习中存在的错误.教学过程是一个知识积累的过程，同时也是不断发现错误改正错误的过程，反例在辨析错误中具有直观明显说明力强等突出特点.通过反例教学，不但可以发现学习中存在的错误和漏洞，而且可以从反例中修补相关知识，从而获得正确结论或解答.在区分无界函数和无穷大量这两个概念时，不少学生认为无界就一定是无穷大量.而通过下面的反例即澄清了错误认知.在学习概率论中，同学们都知道不可能事件的概率为零，但是概率为零的事件不一定是不可能事件.通过一反例说明.第四培养学生的良好思维品质.数学教学的目的在于培养学生的思维能力，通过数学知识的传播和思想方法的熏陶，使学生形成良好的思维品质.这就要注重培养他们思维的灵活性、批判性、严谨性及广阔性.而反例在培养学生思维品质的这几个方面都可起到正面例题所不能起到的作用，特别是在培养思维的严谨性和批判性方面尤为重要.第五通过反例教学，可培养学生的创新能力巧妙的一个反例便可否定似乎经过严格“证明”的结论，但实际上，反例的构造并不轻松.构造反例并不像证明那样有清晰可循的逻辑途径，反而需要更高的数学素养和勇于创新的能力.一般说来，许多反例的构造并不惟一，这就从另一方面给学生提供了培养创造性能力的多种途径.因此在教学中，除教师应用反例教学外，指导学生构造反例，使学生在构造反例的过程中学会创新，养成勤于探索，不断进取的良好习惯.在教学中，通过对陈题改造或挖掘定理性质的隐含条件以及针对学生学习中的错误，编制涉及构造反例的题目，通过学生构造反例的训练，达到培养他们的创新能力的目的.数学是一门严密的学科，他有自己独特的思维方式和逻辑推理体系.在数学教学中通过注重应用反例，不但可使学生加深理解教材内容，明确命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差，而且培养了学生应用反例的能力.数学教学实践证明，通过反例的列举，对于理解概念和对整个理论的建立有着重要的借鉴作用，可以使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深理解教材内容，搞清命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差，从而更深刻地理解知识，思维更加严谨.可以这样说，学好数学就必须养成举反例的习惯.而一般来说，举反例比给出证明更需要想像力和创造性.因此，教师在日常教学中一定要注重应用反例教学，引导学生养成举反例的习惯，同时也培养学生应用反例的能力.在这一系列的过程中，不断提高学生数学能力.。
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反例在高等数学教学中的功能
发表时间：2014-08-22T11:01:32.153Z 来源：《素质教育》2014年6月总第154期供稿作者：韩召伟
[导读] 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。
韩召伟陕西师范大学数学与信息科学学院710062
摘要：高等数学是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科。
在高等数学教学中, 恰当地开发和有效地利用反例,能起到事半功倍的效果。
本文具体以多元微分学中极限、可偏导和可微之间的关系为例,剖析了高等数学教学中反例的功能。
关键词：高等数学多元函数反例
一、引言
高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。
因为缺乏反例的衬托,在学习过程中学生对数学概念内涵和外延理解上的偏差或对于命题的条件和结论认知的不充分,都将成为学生高等数学学习的屏障。
构造适当的反例，一方面能帮助学生全面理解和正确掌握高等数学中的基本知识,激发学生的求知欲；另一方面对于提高学生的数学学习能力和数学思维能力将会起到十分重要的作用。
因此,在高等数学教学中,充分发掘反例的教学功能,有效地构造和利用反例,教师应予以足够重视。
二、高等数学教学中反例的功能
1.反例是全面理解概念的基础。
数学知识理论体系向来以思维严密和逻辑严谨而著称,教材主要由定义和定理等内容构成,比较注重学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题方面能力的培养,而这些能力的取得都以深刻理解概念和准确掌握概念为基础，因此,在教学中只要求学生死背概念是不行的,必须注重理解其实质。
高等数学中具有若干新概念,而要很好地理解这些新概念,正面的例子可起到了解、熟悉新概念的作用,而反例则可加深对新概念的理解。
在高等数学教学中,教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点,而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质,弥补正面教学的不足,从而加深学生对知识的理解。