浅谈微积分中的反例
数学与应用数学专业毕业论文--浅谈微积分中的反例
浅谈微积分中的反例摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。
关键词 反例、微积分、函数.1 引言在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。
同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。
用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。
通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。
反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。
对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。
2 微积分中反例的作用与意义2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。
许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。
运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。
2.1.1连续问题定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.反例： 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,0,0,),(222222y x y x yx xyy x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近000022222lim (,)lim 01x x y kx kx kf x y x k xk →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无关,故可能不连续.2.2可导、可微问题定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限000()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1](),(1,2]x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但()f x 在0x =1处不可导.情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.情形3[2]一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可微.反例：函数(,)f x y =在原点()0,0存在两个偏函数,即0(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上,0.=→(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点()0,0不可微.2.3可积问题定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有1()niii f x Jεε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.反例：①函数2212102cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧≠+⎪=⎨=⎪⎩, 显然2210cos ,()00,x x F x xx ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,取0()n x n =→→∞,则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以()f x 在[-1,1]上不可积.②函数 1,10()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪==⎨⎪<≤⎩, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区间[,]a b 不一定可积. 反例：函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数,函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。
浅谈数学分析中反例的作用
浅谈数学分析中反例的作用数学分析是一门基础的数学学科，研究实数集上函数的性质以及极限、连续性、收敛性等概念与定理。
在数学分析的学习过程中，反例是一种非常重要的工具和思维方式。
本文将从数学分析中反例的定义、作用以及展示的方式等方面进行探讨。
首先，反例是指用以证明或推翻一些命题的合理例子。
在数学分析中，经常会用到反例来证伪一个命题，即通过构造一个特殊的例子，使得命题不成立。
反例通常是通过对已知条件进行逻辑推理和推导，然后找出一个具体的实例来使得不等式、恒等式或者条件不成立。
其次，反例在数学分析中的作用是多方面的。
首先，反例可以用来验证是否存在其中一种性质或者条件。
例如，对于一些命题，我们可以通过构造一个反例来证明该命题不成立，从而说明该性质或条件不存在。
其次，反例还可以用来辅助理解和洞察数学概念和定理。
通过构造特殊的反例，可以帮助我们更加清晰地认识和理解一些概念或者定理的含义和适用范围。
最后，反例还可以用来研究数学问题的边界和极限情况。
通过找到一系列逼近一些反例的例子，可以帮助我们确定问题的解或者趋势。
在数学分析中，展示反例有多种方式。
一种常见的方式是通过构造具体的数字或者函数表达式来展示反例。
这种方式比较直观和具体，可以通过计算和观察来验证反例的有效性。
另一种方式是通过逻辑推理和证明来构造反例。
例如，可以通过反证法或者归谬法来推导出反例的存在。
另外，还可以通过反例的存在性和唯一性来讨论。
不同的方式展示反例都有各自的优势和适用范围，具体选择取决于问题的性质和结构。
实际上，反例不仅在数学分析中起着重要的作用，也在数学的其他分支中扮演着重要的角色。
例如，在代数学中的群论和环论中，经常会用到反例来验证或推翻一些命题。
在几何学中，反例也常常被用来证明一些定理不成立或者特殊情况下的解决方法。
总之，反例在数学分析中的作用是不可忽视的。
它不仅可以用来验证性质或条件的存在与否，还可以帮助我们更好地理解和掌握数学概念和定理。
微积分中反例的构造方法探究
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在微积分教学过程 中，深深的感受到微积分的内容是一套抽象而 又严谨 的理论体系，学生会遇到许多较难理解 的概念或者难 以利用概 念、 定理去解决的问题等。但是 ， 在教学中发现很 多问题在反例的帮助 下可以迎 刃而解 ， 然而 ， 由于数学本身 的抽象性 ， 反例的构造不是一件 轻 而易举 的事 ， 教材 由于篇幅的限制 ， 常常直接给 出反例 ， 以至学生在 学 习时会感到反例虽好 ，但不 知如何构造 。基于全面提高人才培养质 量 ， 了培养宽 口径 ， 基础 ， 为 厚 高素质 ， 知识型 与能力型并重 的数学人 才 ，各个高等学校在对数学 的教育 中，都在有意识的构造反例进行 教 学。 反例思想是微积分中的重要思想， 在概念 、 性质的理解 、 问题的研 究 和论证中都具有不可代替 的独特作用 ，因此反例的利用和构造在微积 分理论中具有重要价值 。 ２反 例 的概 述 ．
线 ｙ ｅｓｗ 构 造 提 出 的 ： ＝ｏｘ ｂｃｓ （ ，ｏ ｂ ｌａ为 正 的 奇 数 ，使 得 ＂ ｏ 以 （＜＜ ，
反例 ， 通常是指用来说明某个命 题不成立 的例子 ， 是教师在教育实 践中收集 的典型例题的典型误解 、 重要知识的典型错误认识。 数学 中的 命题一般可归纳为下述形式 ： Ａ具有性 质 Ｂ 。我们要 推翻这个命题 ， 只 需 找到一个元素 ａ ， ａ ∈Ａ 而 ｉ 有性质 Ｂ 则给予 了反驳 ， 不具 ， 使得命题 不
浅谈初中数学的反例教学
泰州教育ＴＡＩＺＨＯＵＪＩＡＯＹＵ反例是指符合命题条件而不符合该命题结论的例子。
简言之，反例就是能够说明一某命题不成立的例子（即假命题）。
数学中的反例的主要作用是证伪（即说明某一个命题不正确），当直接证明某个命题是假命题或说明某些猜想错误比较困难时，常常会趋向于寻找一个反例，以说明这个命题或猜想是错误的，在数学教学中，恰当地运用与建构反例进行数学教学，有助于学生深刻理解与掌握，有助于培养学生思维的灵活性与深刻性。
本文从反例的运用、引入、分析和建构等几个方面，谈谈初中数学中反例教学，以期得到同行的指正。
一、运用反例，深化理解数学概念在数学概念教学中，不少学生难以把握概念的内涵与外延，从而导致概念理解错误。
教学中，通过反例的恰当运用，引发学生思维冲突，促使学生积极思考，从而全面、正确认识概念。
例如，说明“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论是假命题，我们可以启发学生思考：能不能找到这样的四边形，满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但却不是平行四边形，显然，等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等但不平行，故不是平行四边形，所以这个结论不成立，从而深化了学生对平行四边形概念的理解。
反例从哪里来？笔者以为：大多数反例应该基于学生的已有认知和数学活动经验，包括错误的经验。
如从学生课堂教学学习活动出现的问题中来，从学生练习中出现的错误中来，而不是教师先入为主地抛出。
只有这样，学生才会有切身的体验。
例如，上述问题中，如果学生没有接触过等腰梯形，就不可能举出这样的反例；再比如，在“三线八角”概念的教学中，学生对同位角的概念理解不清，笔者从学生作业中发现这样的问题：“若第一个角与第二个角是同位角，第二个角与第三个角是同位角，则第一个角与第三个角也是同位角”，这时可以引导学生通过画图来辨析：如图1，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角吗？这样，学生对上述判断是否正确就便会了然于心，从而使同位角概念真正内化。
微积分教学中反例的应用
微积分教学中反例的应用摘要：本文通过具体实例，来加强学生在微积分学习中对概念的理解，进而培养学生的创造精神、提高学生纵向思维的能力。
关键词：应用反例微积分高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。
它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。
通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力，我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导，在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论，但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。
通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。
本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。
一、两个无穷小的商一定是无穷小吗？在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。
学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗？对于这一结论大部分同学认为是正确的。
不妨举一个反例：如： =0， =0都是无穷小量，而（第一个重要极限），显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。
二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗？最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值（据团区间上的连续函数的性质）。
1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间（a，b），那么结论不一定成立。
如求f（x）=x在区间（2，4）上的最大值与最小值。
微积分中反例的作用和构造
高等数学研究
４ ０
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＯＬＬＥ ＡＴＨＥＭ ｎＣＳ Ｅ Ｎ Ｃ ＧＥ Ｍ
Ｖｏ ． Ｏ， ． １ １ Ｎｏ １
Ｊｎ ａ ．，２ ０ ０７
微 积分 中反 例 的作 用和 构 造
马 守春 （ 藏大学 西 农牧学院基础部 西藏林芝 ８００） ６ ０ ０
中国分类号
Ｏ１ ２ ７
数学 教育 理论 认为 ： 概念 或规则 的 正例传 递 了最 有利 于概括 的信 息 ， 例则 传 递 了最有 利 于辨 反
别的信息． 因此， 构造反例是我们辨析命题真假的重要工具． 从数学的发展史来看， 反例和证明一样
占有重要 地位 ， 并起 到了其他 方法 不可 替代 的作 用． 这是 因为在 数 学 问题 的探 索 中， 想 某 个命 题 猜 是 否正确 ， 确则需 要严 格证 明 ， 正 而不正 确则靠 反例 来否 定． 数学 的发 现 也是 朝 着 提 出证 明 和构 而 造 反例这 两个 目标 发展 ． 了使学 生学 好微积 分这 一 门课程 ， 按 照变量 数 学处处 充 满辩 证逻 辑 的 为 应 特 征 ， 必须从 正 反两 方面来 考虑命 题 的真假 ， 就 这其 中构 造 、 举恰 当 的反 例就 是 一 个 极 为关 键 的 列
学 阶段跃 进 到 了变量数 学 的新 时期 ．
微 积分 刨立初 期 的一百 多年 中， 发展缓 慢 、 用局 限 ， 乎 到了停 滞难 进 的局 面 ， 因就 是微 其 应 几 原
积分的理论基础缺乏牢固的严密性． 直到十九世纪二三十年代， 柯西（ Ｌ Ｃ ｕｈ ） Ａ． ． ａｃｙ 率先编著了具 有严格逻辑推理的微积分讲义。 柯西对于微积分中历来保持的所谓“ 代数化 ” 的传统假说持不同意 见． 这些传 统 的假说 是 ： 题 若对 实数 情形正 确则 一定对 复数情 形 也 对 ； 题 若对 有 限情 形 时 成立 命 命
微积分教学中的反例
ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ 卜８ ７ ９ ８ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ３ ． ０ １ ５
微 积 分 教 学 中 的 反 例
殷 炜 栋
（ 浙江科技学院 理学 院， 杭州 ３ １ ０ ０ ２ ３ ）
摘
要： 对 多元 微 积 分 中 比较 容 易 混 淆 的地 方 ， 比如 极 值 和 最 值 、 可 微 性 和 方 向导 数 、 累 次 极 限 和极 限 的 相 关 方
记
ｒ Ｙ。 ＋
ｅ 一 两 １
如 果 ＞ 一１ ， 如 果 一一１ ，
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Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｚ ｈ ｅ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ 。源自３，Ｊ ｕ ｎ ．２ ０ １ ４
几个 新 的反例 ， 希 望有 助 于解决 这方 面 的一些 难点 。
１ 极 值 和 最 值
二元（ 多元） 函数 的极 值 问题 是 微积 分教 学 中偏导 数 的一个 很好 的应 用 。通 常来 说 ， 连续 函数 只有 在
有界 闭域 中才 能保 证有 最值 ， 见 文献 ［ ５ — ６ ］ 。但全 平 面上 的二 次多 项式 是 个 例外 ： 本 质 上这 是 由于 它总 可
容 。所 以 ， 反例 教 学是 微积 分教 学 中很有 效 的一种 方 式 。在 这 方 面 有不 少 书 籍 可 以参 考 ， 比如 文 献 ［ １ ］ ，
里面 收集 了很 多经 典 的反例 ； 此外 还 有很 多参 考 文献 ， 如文献Ｅ ２ － １ 、 文献 ［ ３ ］ 和文 献 ［ ４ ］ 。本 研究 又构 造 了
微分中的反例
ｆ ，＞ １ｘ ０
有 界 ， 续 ， 导 等 概 念 ， 微 积分 中 基 本 概 念 ， 理 解 这 些 概 念 连 可 是 在
！
０ 所有 都 敛 ， 对 的 收
５ 偏 导数 存 在 但 不 连续 的可 微 函 数
我 们 知道 ， 果 多 元 函 数 的偏 导 数 连 续 ， 如 则该 函数 可 微 。 之不 成 反
。
符 号 函数 ｓｎ ） ０ Ｏ ， 际上 ， ｇ （ ＝ ，＝ 实 任何 具 有 跳 跃 １ 点 的 函数 立 ９断
Ｌ １． ＜ ｘ０
都 没 有 原 函数 ， 为 它 不 满足 连 续 函 数 ， 函数 具 备 的 介 值性 。 因 导
ｉ （ ） ｓ （ ）ｘ ＃Ｏ ｉ ， ｎ ｙ
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ｆｓ（ ）Ｏ ），ｏ ２ｉ －ＳＹ ， ； ｙｎＹ Ｃ（ ， ≠
ｌ ｙ ０ ０． ＝
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１ ｘ ０ ０ ＝
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出／（ 在原点不连续 ， ， ） 且原点为厂 ） 第二类间断点 。
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浅谈微积分中的反例
微积分是数学中一门基础重要的学科，它将有关函数变化的基本原理抽象为几何图形和数学公式，构成数学上反映某种物理现象的范畴。
在微积分中，许多概念和定理具有普遍的有效性，但也有一些反例，即在特定情况下，它们并不适用。
本文将从几何角度、运动反例和定性推理的反例三个方面讨论微积分中的反例，进一步完善对微积分的理解。
首先，微积分中的反例，从几何角度来看，可以被归类为以下三种情况：正多边形、不规则多边形和椭圆形图形。
正多边形是指有n 个角，其中每个角度角度都相等的多边形。
由于它具有完整的对称性，因此无法应用求面积公式，例如圆的面积计算，只能使用三角形的面积计算公式。
而不规则多边形和椭圆形图形更复杂，无法应用求面积的公式，只能用复杂的数学运算来近似计算图形上某一处的面积。
其次，从运动反例角度来看，微积分中也存在一些反例。
贝索斯（Bos）动力学确定了物体运动的轨道，认为物体运动轨迹是一条曲线，结果却发现运动轨迹并不处处是曲线，而是具有突变的抛物线。
此外，还有许多物理现象，如霍金的黑洞理论，经受测量，其实不完全符合经典物理学定律，也就是微积分中的定理。
最后，从定性推理的角度来看，微积分论述的某些定理可能存在反例，即给定的定理对某类问题不适用。
例如，极限定理，它认为任何函数的极限都存在，但有时函数是间断的，例如抛物线，这类函数在某点处是不连续的，所以其实并不存在极限。
综上所述，微积分中的反例可以从几何角度、运动反例和定性推理的角度进行分析，证实它们不足以满足所有不同情况，并为我们深入理解微积分提供了参考。
微积分在现代科学研究中起着重要的作用，虽然它存在一些反例，但这并不影响它的实用性和重要性，应该以正确的观点学习和使用它，以达到理解和解释物理现象的目的。