04自感和互感

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中产生的互感系数： 线圈 2 在线圈 1 中产生的互感系数：
M 12 =
ψ 12
I2
l
= µn1n2lห้องสมุดไป่ตู้ ,
2 n1 n2
µ
S
由此可看出，两线圈的互感系数相等。 由此可看出，两线圈的互感系数相等。 I
例4：证明上例中两线圈的互感系数为：M = ：证明上例中两线圈的互感系数为： 2 证明： 线圈1的自感系数为 L 的自感系数为： 证明： 线圈 的自感系数为： 1 = µn1 lS 的自感系数为： 线圈 2 的自感系数为： 2 L
ψL = φL1 +φL2 +⋯+φLN 若：φL1 = φL2 = ⋯= φLN = φL , ψ L = Nφ L
根据毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁感应 根据毕奥 萨尔定律， 萨尔定律 强度的大小与电流强度成正比。 强度的大小与电流强度成正比。 通过线圈的磁链也与线圈中的电流 成正比。 通过线圈的磁链也与线圈中的电流 I 成正比。 磁链
2 1 1
例2：一电缆由内外半径分别为 1、R2的两个无限长同 ：一电缆由内外半径分别为R 轴圆筒状导体构成。两圆筒电流大小相等方向相反。 轴圆筒状导体构成。两圆筒电流大小相等方向相反。 计算电缆单位长度的自感。 计算电缆单位长度的自感。 根据对称性和安培环路定理， 解：根据对称性和安培环路定理，在内圆筒和外圆筒 外的空间磁场为零。两圆筒间磁场为: 外的空间磁场为零。两圆筒间磁场为 R2
ψ 21 = N 2φ m 21 = ln2 B1S
µ
= ln2 µn1 I1S
中产生的互感系数： 线圈 1 在线圈 2 中产生的互感系数：
S n1 n2
M 21 =
ψ 21
I1
= µn1n2lS
设线圈 2 中的电流为 I2， 中产生的磁链： 线圈 2 在线圈 1 中产生的磁链：
ψ 12 = N1φ m12 = ln B S = ln µn I S 1 2 1 2 2
互感系数： 互感系数：
a +b
l
x o a b I
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x
Nφ m µ0lI a + b M 21 = = ln = I1 I 2πI a
ψ 21
µ 0l a + b = ln 2π a
请考虑一下，当 请考虑一下， 导线放在矩形导 线框中部， 线框中部，互感 系数为多大？ 系数为多大？
例6：求自感量分别为L1、L2的两线圈串联后的总自感 求自感量分别为L 设它们的互感系数为M 量。设它们的互感系数为M。 解：1）顺串：两个线圈中的磁场互相加强。 ）顺串：两个线圈中的磁场互相加强。 L1 M L2
12
= µn lS
2 2
例5： 在长直导线旁距 a 放置一长为 l、宽为 b 的矩 ： 、 形导线框，求两导体的互感系数。 形导线框，求两导体的互感系数。 解：设直导线中通有电流 I ， 载流直导线在矩形线圈内产 I 生的磁通量为： 生的磁通量为：
φm = ∫ B ⋅ dS = ∫ Bldx S a a +b µ0I µ 0 Il a + b = ∫ ldx= ln a 2π x 2π a
I L总 = L1 + L2 + 2M
2）反串：两个线圈中的磁场互相减弱。 ）反串：两个线圈中的磁场互相减弱。 L1 M L2
L总 = L1 + L2 − 2M
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I
dI 要求自感电动势， 由 εL = −L 知，要求自感电动势，应先求出自感系 dt 数
7
二、互感 互感系数
1.互感现象 互感现象
2
当线圈 1中的电流变化时,所激 中的电流变化时, 发的磁场会在它邻近的另一个 中产生感应电动势。 线圈 2 中产生感应电动势。 这种现象称为互感现象。该电动势叫互感电动势。 这种现象称为互感现象。该电动势叫互感电动势。 互感电动势与线圈电流变化快慢有关； 互感电动势与线圈电流变化快慢有关；与两个线圈结 构以及它们之间的相对位置和磁介质的分布有关。 构以及它们之间的相对位置和磁介质的分布有关。 2.互感系数 互感系数 线圈 1所激发的磁场通过线圈 2的磁通链数 ψ 21。 ψ 21 = N 2φ m 21 , φ m 21 由“1”产生穿过“2”的磁通； 产生穿过“ 的磁通 的磁通； 产生穿过 ψ 线圈2所激发的磁场通过线圈1 线圈2所激发的磁场通过线圈1的磁通链数为 12。 ψ 12 = N1φ m12 , φ m12 由“2”产生穿过“1”的磁通； 产生穿过“ 的磁通 的磁通； 产生穿过
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根据毕奥—萨尔定律 可以证明： 根据毕奥 萨尔定律 可以证明： 21 ψ 写成等式： 写成等式： 21 = M21I1, ψ
∝ I1 , ψ 12 ∝ I 2
ψ12 = M12I2
M21 、M12是比例系数，M21称为线圈 1 对线圈 2 的互感 是比例系数， 系数， M12 称为线圈 2 对线圈 1 的互感系数， 系数 的互感系数， 从能量观点可以证明两个给定的线圈有： 从能量观点可以证明两个给定的线圈有：
自感和互感
(第六章第 节) 第六章第5节 第六章第
1
一、自感 自感系数
1.自感现象 自感现象 当线圈中电流变化时， 当线圈中电流变化时，它所 激发的磁场通过线圈自身的磁通 量也在变化， 量也在变化，使线圈自身产生感 应电动势的现象叫自感现象。 应电动势的现象叫自感现象。该 电动势称为自感电动势。 电动势称为自感电动势。 2.自感系数 L 自感系数 自感磁通--由回路电流产生穿过电流自身回路的磁通。 自感磁通 由回路电流产生穿过电流自身回路的磁通。 由回路电流产生穿过电流自身回路的磁通 用 φL表示。 表示。 自感磁链--由回路电流产生穿过电流自身回路各匝线 自感磁链 由回路电流产生穿过电流自身回路各匝线 圈磁通的和。 表示。 圈磁通的和。用 ψL表示。
2 2 1 2 2 2 2
M 21 = M 12 = M = µn1n2lS
L1L2
L1L2 = µ n n l S M 21 = µn1n2lS 证毕。 L1L2 = µn1n2lS= M 证毕。
对于两线圈不完全耦合时 为耦合系数, ＜ M = k L1L2 其中 k 为耦合系数 （0＜k≤1） ）
注意：自感系数与电流无关，只决定于线圈本身性 注意：自感系数与电流无关， 几何尺寸、 质——几何尺寸、匝数、介质。 几何尺寸 匝数、介质。 自感系数的计算： 自感系数的计算： ①假设线圈中的电流 I ； ②求线圈中的磁通量 φm ； ③由定义求出自感系数 L。 。
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例1：一长直螺线管，线圈密度为 n，长度为 l，横截 ：一长直螺线管， ， ， 的磁介质， 面积为 S，插有磁导率为 µ 的磁介质，求线圈的自感 ， 系数 L 。 l 解： 设线圈中通有电流 I ， µ 线圈中的磁通量为： 线圈中的磁通量为： S
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自感磁通--由回路电流产生穿过电流自身回路的磁通。 自感磁通 由回路电流产生穿过电流自身回路的磁通。 由回路电流产生穿过电流自身回路的磁通 表示。 用 φL表示。 自感磁链--由回路电流产生穿过电流自身回路各匝线 自感磁链 由回路电流产生穿过电流自身回路各匝线 圈磁通的和。 表示。 圈磁通的和。用 ψL表示。
dψ 21 dI1 dI1 ε 21 = − = − M 21 = −M dt dt dt
线圈2电流变化在线圈 中产生的互感电动势 线圈 电流变化在线圈1中产生的互感电动势 电流变化在线圈 中产生的互感电动势:
dψ 12 dI 2 dI 2 ε12 = − = − M 12 = −M dt dt dt
M21 = M12 = M
M就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。 就叫做这两个线圈的互感系数
ψ21 ψ12 = M= I2 I1
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它的单位：亨利（ ） 它的单位：亨利（H）
互感系数与两线圈的大小、形状、 互感系数与两线圈的大小、形状、磁介质和相对 位置有关。 位置有关。
3.自感电动势 自感电动势
dψ dI 自感电动势： = −L 自感电动势： εL = − dt dt
dψ 由法拉第电磁感应定律 ε = − dt
可知： 可知：
式中负号表明自感电动势的方向总是要使它阻碍回路 本身电流的变化。 本身电流的变化。 电流强度变化率为一个单位时， 电流强度变化率为一个单位时，在这个线圈中产 生的感应电动势等于该线圈的自感系数。 生的感应电动势等于该线圈的自感系数。 有维持原电路状态的能力， 就是这种能力大小 自感 L有维持原电路状态的能力，L就是这种能力大小 有维持原电路状态的能力 的量度，它表征回路电磁惯性的大小。 的量度，它表征回路电磁惯性的大小。
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互感系数的计算： 互感系数的计算： ①假设线圈中的电流 I ； ②求另一个线圈中的磁通量φm ； ③由定义求出互感系数 M。 。 3.互感电动势 互感电动势 由法拉第电磁感应定律可知： 由法拉第电磁感应定律可知：
ψ21 ψ12 = M= I1 I2
线圈1电流变化在线圈 中产生的互感电动势 线圈 电流变化在线圈2中产生的互感电动势 电流变化在线圈 中产生的互感电动势:
ψ 为自感系数,简称自感或电感 写成等式： 写成等式： L = LI • L为自感系数 简称自感或电感
ψ L 自感系数为线圈中磁链与线圈中 自感系数 L =
I
的电流之比。 的电流之比。
3
ψ L 自感系数为线圈中磁链与线圈中 自感系数 L =
的电流之比。 I 的电流之比。 物理意义：一个线圈中通有单位电流时， 物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通过线圈 自身的磁通链数，等于该线圈的自感系数。 自身的磁通链数，等于该线圈的自感系数。 单位：亨利 ， 单位：亨利H，毫亨 mH 1H=103mH
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的长直螺线管 直螺线管， 例3： 长为 l、横截面积为 S 的长直螺线管，插有磁导 ： 的磁介质，绕两个线圈， 率为 µ 的磁介质，绕两个线圈，两线圈的线圈密度分别 两线圈完全耦合，求两线圈的互感系数。 为 n1 、n2，两线圈完全耦合，求两线圈的互感系数。 解：设线圈 1 中的电流为 I1， l 中产生的磁链： 线圈 1 在线圈 2 中产生的磁链：